（同步讲练篇）第三单元 （因数和倍数、最大公因数、最小公倍数及应用·9大考点+2拓展考点）-2024-2025学年度五年级数学下册同步高效学习讲练手册（苏教版）

五年级数学下册高效学习工具箱（2025年版） ——紧贴课本·分层突破·思维升级·助力满分 各位老师好！备课找资料是不是经常遇到这些烦恼？网上资源太多挑花眼，下载的习题总是不对路，好不容易找到合适的又不够系统...为了解决这些痛点，特推出这套《五年级数学下册高效学习工具箱（2025版）》，专为课堂教学+课后练习+阶段复习量身定制！ 模块名称 定位 内容构成 核心优势 适用场景 课堂法宝·同步讲练篇 课堂教学 计算题+应用题组合 知识点变式训练包 考点全覆盖 一题多练 新课讲授 当堂检测 提分利器·专项突破篇 课后巩固 15-20题/专项 填空/选择/应用全题型 题型最全面 题量黄金比 作业布置 薄弱项特训 复习神器·单元总结篇 复习阶段 思维导图+易错清单 单元卷+答案解析 系统性强 查漏补缺快 考前复习 假期巩固 思维跃升·素养进阶篇 能力拓展 生活应用题集 数学思想方法论 衔接课标 培养高阶思维 社团活动 竞赛辅导 分层检测·质量评价篇 教学评估 A卷（基础题70%） B卷（提升题20%） C卷（拓展题10%） 精准分层 快速评价报告 随堂测验 个性化作业 在资料整理过程中，因为个人知识结构与认知视角所限，融入了部分主观见解，可能致使资料出现一些错漏之处。在此，期望大家能够以敏锐的视角审视资料。如若发现任何问题，烦请您不吝指出。 一旦收到反馈，将立即修正完善。在此，衷心地感谢大家的理解与信任，期待在您的助力下，这份资料能够更好地服务于大家的学习与工作。 2025年2月17日 2024-2025学年度五年级数学下册同步讲练篇 第三单元 因数与倍数 （因数和倍数、最大公因数、最小公倍数及应用） 单元名称 第三单元 因数与倍数 知识概览 因数和倍数、最大公因数、最小公倍数及应用 考点数量 9大考点·2拓展考点（考点+例题+练习） 难易程度 ☆☆☆☆☆ 备注：拓展考点根据实际情况可选择性运用。 【考点1】说出谁是谁的因数和倍数 3 【考点2】找一个数的因数 3 【考点3】找一个数的倍数 4 【考点4】根据因数的特征解决问题 4 【考点5】根据倍数的特征解决问题 5 【考点6】根据因数和倍数的特征解决综合问题 6 【考点7】求公因数和最大公因数 8 【考点8】求公倍数和最小公倍数 8 【考点9】分解质因数 9 【拓展考点1】约分 10 【拓展考点2】通分 11 【考点1】说出谁是谁的因数和倍数 【思路点拨】在整数除法中，如果商是整数且没有余数，我们就说除数是被除数的因数，被除数是除数的倍数。因数和倍数是相互依存的，不能单独说某个数是因数或倍数，必须说谁是谁的因数，谁是谁的倍数。 ： 4×7＝28，( )和( )都是28的因数，28是( )和( )的倍数。 1．30÷5＝6，( )是5和6的倍数，( )和( )是30的因数。 2．在42＝6×7中，( )和( )都是42的因数，其中( )是42的质因数。 3．在5×4＝20中，( )是4的倍数，( )和( )是20的因数；在中（b不等于0），( )是( )和( )的倍数。 【考点2】找一个数的因数 【思路点拨】列除法算式找：用所求数除以大于等于 1 而小于它本身的整数，所得的商是整数而无余数，这些除数和商都是该数的因数。 列乘法算式找：根据因数的意义，有序地写出两个整数相乘得此数的所有乘法算式，算式中的每个乘数都是该数的因数。 ： 下面哪些数是24的因数？哪些数是30的因数？哪些数既是24的因数又是30的因数？ 1  2  3  4  5  6  8  10  12  15  24  30  120 24的因数有 。30的因数有 。既是24的因数又是30的因数有 。 1．先写出下面各数的所有因数，再把这些数分别填入圈里。 28的因数有__________________；41的因数有____________；55的因数有____________； 71的因数有__________________；73的因数有____________；51的因数有____________； 17的因数有__________________；13的因数有____________；1的因数有____________。 质数    合数    既不是质数又不是合数          2．按顺序写出被除数是24的除法算式，再在横线上写一写。 24÷（1）＝24    24÷( )＝( )    24÷( )＝( )    24÷( )＝( ) 24的因数有： 。 3．一个数的最小倍数是36，把这个数分解质因数是( )，这个数的因数一共有( )。 【考点3】找一个数的倍数 【思路点拨】列乘法算式找：用这个数依次与非 0 自然数相乘，所得的积就是这个数的倍数。 列除法算式找：看哪些数除以这个数，商是整数而无余数，这些数就是这个数的倍数。 ： 下面哪些数是3的倍数？哪些数是7的倍数？哪些数既是3的倍数又是7的倍数？ 3  6  7  12  14  18  21  24  27  28  30  35  36  42 3的倍数有 。7的倍数有 。既是3的倍数又是7的倍数有 。 1．在下面的圈里填合适的数。 30以内8的倍数     50以内5的倍数      15的因数     40以内6的倍数                 2．非零自然数A的最大因数是( )，最小因数是( )，最小倍数是( )。 3．100以内，17的最大倍数是( )，把24分解质因数是( )。 【考点4】根据因数的特征解决问题 【思路点拨】一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是 1，最大的因数是它本身。 ： 把245个零件放在若干个盒子里。要使每盒的零件数相等，可以有几种装法？每种装法需要多少个盒子？每盒放多少个零件？ 1．体育课上，为了使队形整齐，要求站队时每行人数都相等。五一班有32名同学，可以排几行？共有几种站队的方法？（每行或每列不少于2人） 2．一个旅行团有96人，现有下面3种不同的车，选用哪一种车能正好坐满？在□里打“√”。 3．把36个球装在盒子里，每个盒子装的同样多，有几种装法？每种装法各需要几个盒子？如果有37个球呢？ 【考点5】根据倍数的特征解决问题 【思路点拨】一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 ： 剧院有25排座位，第一排有22个座位，后面每一排总比前一排多2个座位。算一算，这个剧院一共有多少个座位？ 1．水果店运来250千克水果，如果每20千克装一箱，能正好装完吗？如果每50千克装一箱，能正好装完吗？为什么？ 2．商店运来36瓶饮料，如果每6瓶装一箱，能正好装完吗？为什么？ 3．小明的妈妈从批发市场买来90千克大枣，如果每15千克装一包，能正好装完吗？还可以怎么装？能装多少包？ 【考点6】根据因数和倍数的特征解决综合问题 【思路点拨】结合因数和倍数的特征综合运用解决。 ： 已知A，B，C都是7的倍数，A－B＝21，B－C＝7，C是7的因数，求A，B，C三个数的和。 1．一个数既是56的因数，同时又是4的倍数，这个数可能是多少？（写出所有满足条件的数） 2．请你按下面的要求为明明家设计一个四位数的门牌号。 （1）a，b，c，d代表的数字各不相同，并且分别代表6的一个因数。 （2）a，b组成的数ab既是3的倍数，又是7的倍数。 （3）4和9都是c，d组成的数cd的因数。 3．想一想：聪聪家的电话号码是多少，0310-ABCDEFG。其中： A：5的最小倍数； B：最小的自然数； C：5的最大因数； D：它既是4的倍数，又是4的因数； E：它的所有因数是1，2，3，6； F：它的所有因数是1，3； G：它只有一个因数。 【考点7】求公因数和最大公因数 【思路点拨】定义：几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。 求法： 列举法：分别列出两个数的因数，再找出公有的因数和最大公因数。 筛选法：先找出较小数的因数，再从这些因数中找出能整除较大数的因数，其中最大的就是最大公因数。 分解质因数法：将两个数分别分解质因数，把公有的质因数相乘，所得的积就是最大公因数。 短除法：用两个数公有的质因数去除，直到商互质为止，把所有的除数相乘就是最大公因数。 ： 18的因数有( )，24的因数有( )，18和24的公因数有( )。 1．9的因数有( )，14的因数有( )，9和14的公因数有( )。 2．A＝2×2×5，B＝2×3×5，A和B两数的最大公因数是( )。 3．35的的因数有( )，14的因数有( )，35和14的最大公因数是( )。 【考点8】求公倍数和最小公倍数 【思路点拨】定义：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数。其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。 求法： 列举法：分别列出两个数的倍数，再找出公有的倍数和最小公倍数。 扩大倍数法（大数翻倍法）：以较大数为基础，依次乘以 1、2、3……，直到所得的积是较小数的倍数，这个积就是最小公倍数。 分解质因数法：先把两个数分解质因数，公有的质因数和各自独有的质因数相乘的积就是最小公倍数。 短除法：用公有的质因数去除，直到商互质为止，把除数和最后的商相乘就是最小公倍数。 ： 50以内4和6的公倍数有( )；45和60的最大公因数是( )。 1．16和48的最大公因数是( )，9和15的最小公倍数是( )。 2．请你从1～100中选中12个数填入下图的圆圈里，使得每个数均为与它相邻的两个数的最大公因数或最小公倍数。 3．若x和y均为正整数，则在中，y和x的最大公因数是 ，最小公倍数是 。 【考点9】分解质因数 【思路点拨】定义：每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数，把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。比如 30=2×3×5，2、3、5 就是 30 的质因数。 方法：一般从最小的质数开始试除，直到除得的商是质数为止，再把所有的除数和最后的商写成连乘的形式。 ： 用短除法把下列各数分解质因数。 98                 35              54 1．用短除法分解质因数。 42     39     32     90 2．分解质因数。 36    68    48 3．将下列各数分解质因数。 【拓展考点1】约分 【思路点拨】求最大公因数：先找出分子和分母的最大公因数。可以使用列举法，即分别列出分子和分母的因数，然后找出它们的最大公因数；也可以使用短除法，用公有的质因数连续去除，直到所得的商互质为止，把所有的除数相乘，就得到最大公因数。 化简分数：将分子、分母同时除以它们的最大公因数，得到最简分数。 ： 把下面各分数约分。（结果是假分数的要化成带分数或整数） 1．约分。                      2．把下面的分数约分。              3．把下面各数约分，能化成带分数的要化成带分数。 【拓展考点2】通分 【思路点拨】求最小公倍数：先确定几个分母的最小公倍数。可以使用列举法，分别列出各个分母的倍数，找到它们第一个相同的倍数，就是最小公倍数；也可以利用分解质因数的方法，先把每个数分解质因数，再把公有的质因数和各自独有的质因数连乘起来，所得的积就是它们的最小公倍数。 转化分数：根据分数的基本性质，将每个分数的分子和分母同时乘以适当的数，使得它们的分母都变为最小公倍数。 ： 先通分，再比较每组分数的大小。 和        和        和 1．先通分，再比较大小。 和        和        和        和 2．把下面每组中的分数通分。 和        和        和        、和 3．通分。 和    和    和    和 学科网（北京）股份有限公司 $$五年级数学下册高效学习工具箱（2025年版） ——紧贴课本·分层突破·思维升级·助力满分 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【思路点拨】在整数除法中，如果商是整数且没有余数，我们就说除数是被除数的因数，被除数是除数的倍数。因数和倍数是相互依存的，不能单独说某个数是因数或倍数，必须说谁是谁的因数，谁是谁的倍数。 ： 4×7＝28，( )和( )都是28的因数，28是( )和( )的倍数。 答案： 4 7 4 7 分析：在整数除法中，若商是整数且没有余数，则除数和商就是被除数的因数，被除数就是除数和商的倍数。乘法算式改写成，所以4和7是28的因数，28是4和7的倍数，据此解答。 详解：，4和7是28的因数，28是4和7的倍数。 1．30÷5＝6，( )是5和6的倍数，( )和( )是30的因数。 答案： 30 5 6 分析：在乘法算式a×b＝c（a、b、c均为非0的自然数）中，a、b就是c的因数，c就是a、b的倍数。因数和倍数两个不同的概念是相互依存的，不能单独存在。据此解答。 详解：30÷5＝6，即5×6＝30；30是5和6的倍数，5和6是30的因数。 2．在42＝6×7中，( )和( )都是42的因数，其中( )是42的质因数。 答案： 6 7 7 分析：在乘法算式a×b＝c（a、b、c均为非0的自然数）中，a、b就是c的因数，c就是a、b的倍数。所谓质因数就是，当我们把一个整数写成若干个整数的积的时候，如果每个因数都是质数，那么这些因数都叫原数的质因数。 详解：在42＝6×7中，6和7都是42的因数；因为6是合数，7是质数，所以7是42的质因数。 因此在42＝6×7中，6和7都是42的因数，其中7是42的质因数。 3．在5×4＝20中，( )是4的倍数，( )和( )是20的因数；在中（b不等于0），( )是( )和( )的倍数。 答案： 20 5 4 a b 7 分析：在整数除法中，如果商是整数且没有余数（或者说余数为0），我们就说除数是被除数的因数，被除数是除数的倍数。例如：12÷3＝4（或4×3＝12），3和4都是12的因数，12是4的倍数，12也是3的倍数。 详解：结合分析中因数和倍数定义知：5×4＝20，20是4的倍数，5和4是20的因数，在中（b不等于0），a是b和7的倍数。 【考点2】找一个数的因数 【思路点拨】列除法算式找：用所求数除以大于等于 1 而小于它本身的整数，所得的商是整数而无余数，这些除数和商都是该数的因数。 列乘法算式找：根据因数的意义，有序地写出两个整数相乘得此数的所有乘法算式，算式中的每个乘数都是该数的因数。 ： 下面哪些数是24的因数？哪些数是30的因数？哪些数既是24的因数又是30的因数？ 1  2  3  4  5  6  8  10  12  15  24  30  120 24的因数有 。30的因数有 。既是24的因数又是30的因数有 。 答案： 1、2、3、4、6、8、12、24 1、2、3、5、6、10、15、30 1、2、3、6 分析：找一个数的因数用除法列举，将所有能整除这个数的数列举出来；公因数就是两个或两个以上的数共有的因数，列出各个数的因数，对比找出即可。 详解：24的因数有1、2、3、4、6、8、12、24； 30的因数有1、2、3、5、6、10、15、30；所以既是24的因数又是30的因数有1、2、3、6。 1．先写出下面各数的所有因数，再把这些数分别填入圈里。 28的因数有__________________；41的因数有____________；55的因数有____________； 71的因数有__________________；73的因数有____________；51的因数有____________； 17的因数有__________________；13的因数有____________；1的因数有____________。 质数    合数    既不是质数又不是合数          答案：见详解 分析：先正确找出各数的所有因数，再根据质数与合数的定义进行分类。一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫作质数；一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫作合数；1既不是质数也不是合数，据此解答。 详解：28的因数：1，2，4，7，14，28； 41的因数：1，41； 55的因数：1，5，11，55； 71的因数：1，71； 73的因数：1，73； 51的因数：1，3，17，51； 17的因数：1，17； 13的因数：1，13； 1的因数：1。 2．按顺序写出被除数是24的除法算式，再在横线上写一写。 24÷（1）＝24    24÷( )＝( )    24÷( )＝( )    24÷( )＝( ) 24的因数有： 。 答案： 2 12 3 8 4 6 1，2，3，4，6，8，12，24 分析：求一个数的因数时，就用这个数从1开始去整除，一直除到除数和商交换位置或除数和商相同为止，除数和商都是被除数的因数，重复的因数只写一个，据此解答。 详解：24÷1＝24 24÷2＝12 24÷3＝8 24÷4＝6 24的因数有：1，2，3，4，6，8，12，24。 3．一个数的最小倍数是36，把这个数分解质因数是( )，这个数的因数一共有( )。 答案： 36＝2×2×3×3 9个 分析：分解质因数：把一个合数分解成若干个质因数的乘积的形式，即求质因数的过程叫做分解质因数。分解质因数只针对合数。再根据求一个数的因数的方法，求出36的因数，即可解答。 详解：36＝2×2×3×3 36的因数有：1，2，3，4，6，9，12，18，36；一共有9个。 一个数的最小倍数是36，把这个数分解质因数是36＝2×2×3×3，这个数的因数一共有9个。 【考点3】找一个数的倍数 【思路点拨】列乘法算式找：用这个数依次与非 0 自然数相乘，所得的积就是这个数的倍数。 列除法算式找：看哪些数除以这个数，商是整数而无余数，这些数就是这个数的倍数。 ： 下面哪些数是3的倍数？哪些数是7的倍数？哪些数既是3的倍数又是7的倍数？ 3  6  7  12  14  18  21  24  27  28  30  35  36  42 3的倍数有 。7的倍数有 。既是3的倍数又是7的倍数有 。 答案： 3、6、12、18、21、24、27、30、36、42 7、14、21、28、35、42 21、42 分析：3的倍数能被3整除，7的倍数能被7整除，既是3的倍数又是7的倍数，则既能被3整除又能被7整除，据此解答。 详解：3的倍数有：3、6、12、18、21、24、27、30、36、42。 7的倍数有：7、14、21、28、35、42。 既是3的倍数又是7的倍数有：21、42。 1．在下面的圈里填合适的数。 30以内8的倍数     50以内5的倍数      15的因数     40以内6的倍数                 答案：见详解 分析：找一个数的倍数，从它本身开始去乘1、2、3、…，就可以得到这个数的1倍、2倍、3倍、……。 30以内8的倍数：找出8的倍数，并且小于30即可； 50以内5的倍数：找出5的倍数，并且小于50即可； 40以内6的倍数：找出6的倍数，并且小于40即可； 求一个数的因数，用这个数分别除以非零的自然数，如果所得的商是整数且没有余数，那么这些除数和商都是这个数的因数。需要注意不重复、不遗漏，并且从1开始，一直除到被除数的商与除数重复出现即可，据此求出15的因数。 详解：8×1＝8 8×2＝16 8×3＝24 8×4＝32 所以30以内8的倍数有：8、16、24。 5×1＝5 5×2＝10 5×3＝15 5×4＝20 5×5＝25 5×6＝30 5×7＝35 5×8＝40 5×9＝45 5×10＝50 5×11＝55 所以50以内5的倍数有：5、10、15、20、25、30、35、40、45、50。 15÷1＝15 15÷2＝7……1 15÷3＝5 15÷4＝3……3 15÷5＝3 15÷6＝2……3 15÷7＝2……1 15÷8＝1……7 15÷9＝1……6 15÷10＝1……5 15÷11＝1……4 15÷12＝1……3 15÷13＝1……2 15÷14＝1……1 15÷15＝1 15的因数有：1、3、5、15。 6×1＝6 6×2＝12 6×3＝18 6×4＝24 6×5＝30 6×6＝36 6×7＝42 40以内6的倍数有：6、12、18、24、30、36。 填空如下： 2．非零自然数A的最大因数是( )，最小因数是( )，最小倍数是( )。 答案： A 1 A 分析：根据“一个数的因数是有限的，最大的因数是它本身，最小的因数是1；一个数的倍数的是无限的，最小倍数是它本身，没有最大的倍数”进行解答即可。 详解：非零自然数A的最大因数是A，最小因数是1，最小倍数是A。 3．100以内，17的最大倍数是( )，把24分解质因数是( )。 答案： 85 24＝2×2×2×3 分析：根据求一个数倍数的方法，求出100以内17的最大倍数；把一个合数写成几个质数相乘的形式即是分解质因数，据此解答。 详解：100以内17的倍数：17、34、51、68、85；100以内17的最大倍数是85。 24＝2×2×2×3 100以内，17的最大倍数是85，把24分解质因数是24＝2×2×2×3。 【考点4】根据因数的特征解决问题 【思路点拨】一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是 1，最大的因数是它本身。 ： 把245个零件放在若干个盒子里。要使每盒的零件数相等，可以有几种装法？每种装法需要多少个盒子？每盒放多少个零件？ 答案：见详解 分析：找到245的因数，有几个因数就有几种方法。 1×245＝245 5×49=245 35×7=245 245的因数有1、5、7、35、49、245，有6个，因此有6种装法，再根据除法计算出需要多少个盒子，每盒放多少零件即可。 详解：根据分析可知245的因数有1、5、7、35、49、245，有6个。 245÷1＝245（个） 245÷5＝49（个） 245÷7＝35（个） 245÷35＝7（个） 245÷49＝5（个） 245÷245＝1（个） 答：可以有6种装法。（1）需要1个盒子，每盒放245个零件；（2）需要5个盒子，每盒放49个零件；（3）需要7个盒子，每盒放35个零件；（4）需要35个盒子，每盒放7个零件；（5）需要49个盒子，每盒放5个零件；（6）需要245个盒子，每盒放1个零件。 1．体育课上，为了使队形整齐，要求站队时每行人数都相等。五一班有32名同学，可以排几行？共有几种站队的方法？（每行或每列不少于2人） 答案：4行或8行；2种 分析：根据题意可知，每行人数×行数＝32，据此将32拆分成2个因数相乘，已知每行或每列不少于2人，据此判断有几种方法即可。 详解：32＝1×32＝2×16＝4×8 因为每行或每列不少于2人，所以1×32、2×16不符合题意，所以有两种站队方法：①4行8列，②8行4列。 答：可以排4行或8行，共有2种站队的方法。 2．一个旅行团有96人，现有下面3种不同的车，选用哪一种车能正好坐满？在□里打“√”。 答案：见详解 分析：选择的车型，限载人数是旅行团总人数的因数，能正好坐满。 只在自然数（零除外）范围内研究倍数和因数。如果a×b＝c（a、b、c都是非0的自然数）那么a和b就是c的因数，c就是a和b的倍数。 详解：60不是96的因数，不能选用限载60人的车； 24×4＝96，24是96的因数，选用限载24人的车能正好坐满； 18不是96的因数，不能选用限载18人的车。 点睛：关键是理解因数和倍数的含义，通过分析总人数和限载人数之间的关系即可解答。 3．把36个球装在盒子里，每个盒子装的同样多，有几种装法？每种装法各需要几个盒子？如果有37个球呢？ 答案：（1）一共有9种装法①一盒装36个，装1盒；②每盒装1个，装36盒；③一盒装18个，装2盒；④每盒装2个，装18盒；⑤一盒装3个，装12盒；⑥每盒装12个，装3盒；⑦一盒装9个，装4盒；⑧每盒装4个，装9盒；⑨一盒装6个，装6盒。 （2）一共有2种装法：①一盒37个，装1盒；②每盒装1个，装37盒。 分析：（1）首先找出36的所有因数，再根据哪两个因数相乘是36，确定每盒装几个，装几盒，据此解答即可； （2）首先找出37的所有因数，再根据哪两个因数相乘是37，确定每盒装几个，装几盒，据此解答即可。 详解：（1）36的因数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36。 36＝1×36，一盒装36个，装1盒；或每盒装1个，装36盒。 36＝2×18，一盒装18个，装2盒；或每盒装2个，装18盒。 36＝3×12，一盒装3个，装12盒；或一盒装12个，装3盒。 36＝4×9，一盒装9个，装4盒；或每盒装4个，装9盒。 36＝6×6，一盒装6个，装6盒。 因此一共有9种装法①一盒装36个，装1盒；②每盒装1个，装36盒；③一盒装18个，装2盒；④每盒装2个，装18盒；⑤一盒装3个，装12盒；⑥每盒装12个，装3盒；⑦一盒装9个，装4盒；⑧每盒装4个，装9盒；⑨一盒装6个，装6盒。 （2）37的因数有：1、37。 37＝1×37，一盒装37个，装1盒；每盒装1个，装37盒。 因此一共有2种装法：①一盒37个，装1盒；②每盒装1个，装37盒。 【考点5】根据倍数的特征解决问题 【思路点拨】一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 ： 剧院有25排座位，第一排有22个座位，后面每一排总比前一排多2个座位。算一算，这个剧院一共有多少个座位？ 答案：1150个 分析：根据题意，第一排有22个座位，后面每一排总比前一排多2个座位，那么第二排就是24个，第三排26个，根据此规律，第25排比第一排多了24个2，所以第25排座位数就是70个，然后再把第一排和第25排相加也就是92个，第二排和第24排座位数之和也是92个，这样两两相加一共有25÷2＝12（组）……1（排），余下的那一排正好是中间的第13排，最后将12组之和加上第13排座位数就是总座位数。 详解：第一排     22 第二排     22＋2 第三排     22＋2×2 第四排     22＋2×3 …… 由此规律可得第25排座位数量： 22＋2×24 ＝22＋48 ＝70（个） 第一排跟第25排数量之和为：22＋70＝92（个）， 第二排跟第24排数量之和为：24＋68＝92（个）， 第三排跟第23排数量之和为：24＋68＝92（个）， 由此推断25÷2＝12（组）……1（排），余数1排也就是第13排， 第13排座位数量： 22＋2×12 ＝22＋24 ＝46（个） 92×12＋46 ＝1104＋46 ＝1150（个） 答：这个剧院一共有1150个座位 点睛：本题考查倍数，后面每一排总比前一排多2个座位，多的座位数都是2的倍数，还考查如何寻找数字之间的规律，以及如何利用规律就行简算，比如此题，除了要知道排与排之间的规律，还要观察出前排和后排数量之和的规律，所以我们在做题时，一定要善于观察并且运用规律。 1．水果店运来250千克水果，如果每20千克装一箱，能正好装完吗？如果每50千克装一箱，能正好装完吗？为什么？ 答案：每20千克装一箱，不能正好装完；每50千克装一箱，能正好装完 分析：根据因数和倍数的意义，如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；如果20是250的因数，则每20千克装一箱，能正好装完，反之则不能；如果50是250的因数，则每50千克装一箱，能正好装完，反之则不能。据此解答。 详解：250÷20＝12（箱）……10（千克） 250÷50＝5（箱） 250不是20的倍数，而是50的倍数。 答：每20千克装一箱，不能正好装完；每50千克装一箱能正好装完。 点睛：此题考查了因数、倍数的意义和应用。 2．商店运来36瓶饮料，如果每6瓶装一箱，能正好装完吗？为什么？ 答案：能；36是6的倍数 分析：根据题意，求如果每6瓶装一箱，能不能正好装完，就看36能不能被6整除，即看36是不是6的倍数，据此解答。 详解：36÷6＝6（箱） 答：36是6的倍数，则能正好装完，能装6箱。 点睛：本题考查倍数的应用。根据倍数的意义即可解答。 3．小明的妈妈从批发市场买来90千克大枣，如果每15千克装一包，能正好装完吗？还可以怎么装？能装多少包？ 答案：能正好装完；还可以10千克一包，装9包 分析：如果90能被15整除，则能正好装完，只要每包的千克数是90合适的因数即可正好分装完，据此解答。 详解：90÷15＝6（包） 90的因数有1、2、3、5、6、9、10、15、18、30、45、90。 每包选择合适的千克数即可，可以10千克一包。 90÷10＝9（包） 答：如果每15千克装一包，能正好装完；还可以10千克一包，装9包。 点睛：本题考查了因数和倍数的认识以及应用。 【考点6】根据因数和倍数的特征解决综合问题 【思路点拨】结合因数和倍数的特征综合运用解决。 ： 已知A，B，C都是7的倍数，A－B＝21，B－C＝7，C是7的因数，求A，B，C三个数的和。 答案：56 分析：已知A、B、C都是7的倍数，A－B＝21，B－C＝7，C是7的因数，因为C是7的因数，而7的因数只有1和7，因此C只能是7，那么B＝7＋7＝14，C＝21＋14＝35，三者相加即可。 详解：因为C是7的因数，而7的因数只有1和7，因此C只能是7， 因为B－C＝7， 所以B＝7＋7＝14， 又因为A－B＝21， 所以A＝21＋14＝35。 A＋B＋C＝35＋14＋7 ＝49＋7 ＝56 答：A，B，C三个数的和是56。 点睛：此题考查了因数的含义，C是7的因数，求出C是多少是解答此题的关键。 1．一个数既是56的因数，同时又是4的倍数，这个数可能是多少？（写出所有满足条件的数） 答案：4、8、28、56。 分析：可以先找出56的所以因数，在从56的因数中挑选出4的倍数，即可解答。 详解：56的因数有：1、2、4、7、8、14、28、56；其中4的倍数有：4、8、28、56。 答：这个数可能是4、8、28、56。 点睛：本题考查了因数倍数的知识。找一个数因数的方法有分解质因数和找配对法； 2．请你按下面的要求为明明家设计一个四位数的门牌号。 （1）a，b，c，d代表的数字各不相同，并且分别代表6的一个因数。 （2）a，b组成的数ab既是3的倍数，又是7的倍数。 （3）4和9都是c，d组成的数cd的因数。 答案：2136 分析：整数a除以整数b（b不为0）除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或b能整除a，a称为b的倍数，b称为a的因数。 详解：6的因数有1、2、3、6，所以a、b、c、d代表1、2、3、6中的数字； a，b组成的数ab既是3的倍数，又是7的倍数，那么组成的数是21，说明a是2，b是1； 4和9都是c，d组成的数cd的因数，说明c是3，d是6。 所以门牌号是2136。 点睛：本题考查因数与倍数，解答本题的关键是掌握因数与倍数的概念。 3．想一想：聪聪家的电话号码是多少，0310-ABCDEFG。其中： A：5的最小倍数； B：最小的自然数； C：5的最大因数； D：它既是4的倍数，又是4的因数； E：它的所有因数是1，2，3，6； F：它的所有因数是1，3； G：它只有一个因数。 答案： 0310-5054631 分析：一个数的倍数的个数是无限的，一个数的最小倍数是它本身，没有最大倍数；一个数的因数的个数是有限，最小的因数是1，一个数的最大因数是它本身；最小的自然数是0，1只有一个因数。据此解答。 详解：A：5的最小倍数是5； B：最小的自然数是0； C：5的最大因数是5； D：它既是4的倍数，又是4的因数，这个数是4； E：它的所有因数是1，2，3，6，这个数是6； F：它的所有因数是1，3，这个数是3； G：它只有一个因数，这个数是1。 答：聪聪家的电话号码是0310-5054631。 【考点7】求公因数和最大公因数 【思路点拨】定义：几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。 求法： 列举法：分别列出两个数的因数，再找出公有的因数和最大公因数。 筛选法：先找出较小数的因数，再从这些因数中找出能整除较大数的因数，其中最大的就是最大公因数。 分解质因数法：将两个数分别分解质因数，把公有的质因数相乘，所得的积就是最大公因数。 短除法：用两个数公有的质因数去除，直到商互质为止，把所有的除数相乘就是最大公因数。 ： 18的因数有( )，24的因数有( )，18和24的公因数有( )。 答案： 1，2，3，6，9，18 1，2，3，4，6，8，12，24 1，2，3，6 分析：先根据乘法算式，一个一个的找出18和24的因数。再找出两个数因数共同的部分就是这两个数的公因数。 详解：18＝1×18＝2×9＝3×6 24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6 18的因数有1，2，3，6，9，18， 24的因数有1，2，3，4，6，8，12，24， 18和24的公因数有1，2，3，6。 1．9的因数有( )，14的因数有( )，9和14的公因数有( )。 答案： 1，3，9 1，2，7，14 1 分析：求一个数的因数，就想哪两个非0自然数相乘等于这个数，则相乘的两个数就是该数的因数，如果相乘的两数相同，写一个即可；公因数是两个或两个以上数字的因数中相同的因数。 详解：9＝1×9＝3×3，所以9的因数有：1，3，9； 14＝1×14＝2×7，所以14的因数有：1，2，7，14； 9和14的公因数有：1。 2．A＝2×2×5，B＝2×3×5，A和B两数的最大公因数是( )。 答案：10 分析：两个数全部共有的质因数相乘的积就是这两个数的最大公因数。题中A和B共有的质因数有2、5，把这两个数相乘即可解答。 详解：通过分析可得：2×5＝10，则A和B两数的最大公因数是10。 3．35的的因数有( )，14的因数有( )，35和14的最大公因数是( )。 答案： 1、5、7、35 1、2、7、14 7 分析：根据求一个数因数的方法，利用分算式，按因数从小到大的顺序一组一组的找出35、14的因数；两个数的最大公因数：两个数的公有质因数的连乘积，就是两个数的最大公因数，据此解答。 详解：35＝1×35＝5×7 35的因数有：1，5，7，35 14＝1×14＝2×7 14的因数有：1，2，7，14。 35和14的最大公因数是7。 35的因数有1，5，7，35，14的因数有1，2，7，14，35和14的最大公因数是7。 【考点8】求公倍数和最小公倍数 【思路点拨】定义：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数。其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。 求法： 列举法：分别列出两个数的倍数，再找出公有的倍数和最小公倍数。 扩大倍数法（大数翻倍法）：以较大数为基础，依次乘以 1、2、3……，直到所得的积是较小数的倍数，这个积就是最小公倍数。 分解质因数法：先把两个数分解质因数，公有的质因数和各自独有的质因数相乘的积就是最小公倍数。 短除法：用公有的质因数去除，直到商互质为止，把除数和最后的商相乘就是最小公倍数。 ： 50以内4和6的公倍数有( )；45和60的最大公因数是( )。 答案： 12、24、36、48 15 分析：先将4和6分别分解质因数，公有质因数和两个数独有质因数的乘积是4和6的最小公倍数。4和6的最小公倍数的倍数，也会是4和6的公倍数。据此，找出50以内4和6的公倍数； 将45和60分别分解质因数，公有质因数的乘积是这两个数的最大公因数。 详解：4＝2×2 6＝2×3 4和6的最小公倍数是2×2×3＝12。 50以内12的倍数有12、24、36、48。所以，50以内4和6的公倍数有12、24、36、48。 45＝3×3×5 60＝2×2×3×5 45和60的最大公因数是3×5＝15。 1．16和48的最大公因数是( )，9和15的最小公倍数是( )。 答案： 16 45 分析：求两个数的最大公因数和最小公倍数，首先要看这两个数是不是特殊关系，如果两个数是倍数关系，那么较小的数就是这两个数的最大公因数，较大的数就是这两个数的最小公倍数。如果两个是互质数，它们的最大公因数是1，最小公倍数是两个数的乘积。如果两个数是一般关系，就利用分解质因数的方法，公有质因数的乘积是它俩的最大公因数，公有质因数和独有质因数的乘积是它俩的最小公倍数；由此解答。 详解：48÷16＝3；48是16的3倍，所以16和48的最大公因数是16； 9＝3×3 15＝3×5 9和15的最小公倍数：3×3×5＝45 即16和48的最大公因数是16，9和15的最小公倍数是45。 2．请你从1～100中选中12个数填入下图的圆圈里，使得每个数均为与它相邻的两个数的最大公因数或最小公倍数。 答案：见详解 分析：我们要从1到100中选出12个数填入圆圈，根据最大公因数和最小公倍数的概念来进行选择。 详解：先选择2，因为2是一个较小且常见的质数； 因为相邻数的关系，选择2×13＝26，13是一个质数，且2和26的最大公因数是2； 接着选择13×3＝39，3是一个质数，13和39的最大公因数是13； 然后选择3×11＝33，11是质数，3和33的最大公因数是3； 选择11×5＝55，5是质数，11和55的最大公因数是11； 选择5×7＝35，7是质数，5和35的最大公因数是5； 最后选择7×2＝14，2和14的最大公因数是2。 所以最终选择的12个数为：2、26、13、39、3、33、11、55、5、35、7、14。 3．若x和y均为正整数，则在中，y和x的最大公因数是 ，最小公倍数是 。 答案： x y 分析：由于y∶5＝x∶1，根据比例的基本性质：内项积＝外项积，即5x＝y，由此可知y是x的5倍，两个数如果成倍数关系，那么较大的数是它俩的最小公倍数，较小的数是它俩的最大公因数，据此即可填空。 详解：由分析可知： y和x的最大公因数是x，最小公倍数是y。 【考点9】分解质因数 【思路点拨】定义：每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数，把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。比如 30=2×3×5，2、3、5 就是 30 的质因数。 方法：一般从最小的质数开始试除，直到除得的商是质数为止，再把所有的除数和最后的商写成连乘的形式。 ： 用短除法把下列各数分解质因数。 98                 35              54 答案：98＝2×7×7；35＝5×7；54＝2×3×3×3 分析：用“短除法”分解质因数方法：先用一个能整除这个合数的最小质数去除，如果所得的商是合数，继续用一个能整除这个商最小的质数去除，直到得出的商是质数，最后把各个除数与最后的商写成连乘形式。 详解： 98＝2×7×7 35＝5×7 54＝2×3×3×3 1．用短除法分解质因数。 42     39     32     90 答案：42＝2×3×7 39＝3×13 32＝2×2×2×2×2 90＝2×3×3×5 分析：分解质因数就是把一个合数写成几个质数的连乘积的形式，一般先从简单的质数试着分解。根据质因数的分解原则用短除法进行解分解即可。 详解：根据分析可知：                            42＝2×3×7                              39＝3×13      32＝2×2×2×2×2                  90＝2×3×3×5 2．分解质因数。 36    68    48 答案：见详解 分析：分解质因数：把一个合数写成几个质数相乘的形式。分解质因数通常用短除法，通常从最小的质数除起，一直除到结果为质数为止。 详解：36＝2×2×3×3 68＝2×2×17 48＝2×2×2×2×3 3．将下列各数分解质因数。 答案：见详解 分析：每个合数都可以由几个质数相乘得到，其中每个质数都是这个合数的因数，叫作这个合数的质因数，把一个合数用质因数相乘的形式表示出来叫作分解质因数。 详解： 15＝3×5 18＝3×2×3 48＝2×3×2×2×2 【拓展考点1】约分 【思路点拨】求最大公因数：先找出分子和分母的最大公因数。可以使用列举法，即分别列出分子和分母的因数，然后找出它们的最大公因数；也可以使用短除法，用公有的质因数连续去除，直到所得的商互质为止，把所有的除数相乘，就得到最大公因数。 化简分数：将分子、分母同时除以它们的最大公因数，得到最简分数。 ： 把下面各分数约分。（结果是假分数的要化成带分数或整数） 答案：；；；； 分析：约分时，分数的分子和分母同时除以它们的最大公因数；假分数化成整数或带分数时，假分数的分子除以分母，能整除的，所得的商就是整数；不能整除时，所得的商就是带分数的整数部分，余数就是分数部分的分子，分母不变；据此解答。 详解：＝＝ ＝80÷16＝5 ＝51÷19＝2……13，所以＝ ＝65÷13＝5 ＝79÷20＝3……19，所以＝ 1．约分。                      答案：；；；；； 分析：根据分数的基本性质进行约分，即分数的分子和分母同时乘或除以一个不为0的数，分数的大小不变，据此解答即可。 详解： 2．把下面的分数约分。              答案：；；； 分析：把一个分数化成同它相等，但分子、分母都比较小的分数叫做约分；约分的方法是：分数的分子、分母同时除以它们的最大公因数，化成最简分数即可。 详解：＝＝ ＝＝ ＝＝ ＝＝ 3．把下面各数约分，能化成带分数的要化成带分数。 答案：；；； 分析：分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数大小不变； 约分：分子和分母同时除以它们的最大公因数即可得到最简分数，最简分数的分子和分母互质。 根据分数的基本性质，将分数约分成最简分数。 假分数化成带分数只要把分子除以分母，商作带分数的整数部分，余数是分子，分母不变，如果没有余数，则直接用整数表示，据此解答。 详解： 【拓展考点2】通分 【思路点拨】求最小公倍数：先确定几个分母的最小公倍数。可以使用列举法，分别列出各个分母的倍数，找到它们第一个相同的倍数，就是最小公倍数；也可以利用分解质因数的方法，先把每个数分解质因数，再把公有的质因数和各自独有的质因数连乘起来，所得的积就是它们的最小公倍数。 转化分数：根据分数的基本性质，将每个分数的分子和分母同时乘以适当的数，使得它们的分母都变为最小公倍数。 ： 先通分，再比较每组分数的大小。 和        和        和 答案：；；； ；；； ；；；。 分析：通分的方法：先求出几个分数的分母的最小公倍数，把它作为这几个分数的公分母，然后依据分数的基本性质，把原分数分别化成以公分母为分母的分数。 根据分数的基本性质把各组分数进行通分，然后根据分数大小比较的方法进行比较。 详解：，因为，所以。 ，，因为，所以。 ，，，因为，所以。 1．先通分，再比较大小。 和        和        和        和 答案：；； ；； ；； ；； 分析：把异分母分数化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。 通分时，一般用原来几个分母的最小公倍数作为公分母，然后运用分数的基本性质，将各分数分别化成以这个公分母为分母的分数。 分数大小的比较：分母相同时，分子越大，分数值就越大；分子相同时，分母越大，分数值反而越小。 详解：，，因为，所以。 ，，因为，所以。 ，，因为，所以。 ，，因为，所以。 2．把下面每组中的分数通分。 和        和        和        、和 答案：；     ；     ； ；； 分析：把异分母分数化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。 通分时，一般用原来几个分母的最小公倍数作为公分母，然后运用分数的基本性质，将各分数分别化成以这个公分母为分母的分数。 详解：（1），； （2），＝＝； （3），； （4），，。 3．通分。 和    和    和    和 答案：和；和；和；和 分析：把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫作通分；据此求出分母的最小公倍数，再根据分数的基本性质解答。 详解：＝＝，＝＝ ＝＝，＝ ＝＝，＝＝ ＝＝，＝＝ 学科网（北京）股份有限公司 $$