高二数学月考卷（人教B版2019，范围：数列）-学易金卷：2024-2025学年高中下学期第一次月考

2024-2025学年高二数学下学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版2019选择性必修第三册第五章数列。 5．难度系数：0.75。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．数列1，，4，，的一个通项公式（   ） A． B． C． D． 2．已知等比数列，，，则公比等于（    ） A． B． C． D．2 3．已知是等差数列的前项和，若，则的公差是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．已知等比数列的前n项和为，则（   ） A．2 B． C． D．4 5．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 6．在等差数列中，公差，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 7．已知正项数列的前项和为，，且，则满足的的最大值为（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 8．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.已知数列满足：，，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知数列满足：，则以下说法正确的是（    ） A．数列为单调递减数列 B． C． D． 10．已知等比数列的公比为，，则（    ） A． B． C． D．数列是公比为的等比数列 11．已知等差数列的前n项和为，若，，则下列结论正确的是（   ） A． B．当取得最大值时， C．数列是递减数列 D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知数列满足，，则 ． 13．已知数列的通项公式为，数列满足，将这两个数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新的数列，则 ． 14．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）．现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（m为正整数），当时，试确定使得至少需要 步雹程；若，则m所有可能的取值集合M为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知等差数列的前项和为，满足，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求． 16．（15分） 已知数列满足．设． (1)求证：数列是等比数列，并求数列通项公式； (2)设数列，且对任意正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围． 17．（15分） 已知数列为等差数列，记分别为数列的前项和．． (1)求的通项公式； (2)求． 18．（17分） 已知等差数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 19．（17分） 已知为数列的前项和，. (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列.数列的前项和为. ①求数列的通项公式； ②若，则在数列中是否存在3项，（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学下学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版2019选择性必修第三册第五章数列。 5．难度系数：0.75。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．数列1，，4，，的一个通项公式（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】数列1，，4，，中， ， ， ， ， ， ……， 故选：. 2．已知等比数列，，，则公比等于（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【解析】因为，，所以，解得. 故选：C 3．已知是等差数列的前项和，若，则的公差是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】设等差数列的公差为， 则，解之得. 故选：B． 4．已知等比数列的前n项和为，则（   ） A．2 B． C． D．4 【答案】A 【解析】解：由等比数列性质有，即，解得， 则， 故选：A． 5．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题： .则ACD错误，B正确. 故选：B 6．在等差数列中，公差，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， ， 因为，则， 因为，解得. 故选：D. 7．已知正项数列的前项和为，，且，则满足的的最大值为（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】A 【解析】由题设，又，即是首项、公比都为2的等比数列， 所以，则， 由，则，即. 所以满足的的最大值为9. 故选：A 8．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.已知数列满足：，，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【解析】, 可知数列可看作从第8项起以3为周期的数列， 因为， 所以， 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知数列满足：，则以下说法正确的是（    ） A．数列为单调递减数列 B． C． D． 【答案】AD 【解析】因为， 所以， 所以为递减数列，A对； 易知，则，B错； 由，故，C错； 由，故，D对. 故选：AD 10．已知等比数列的公比为，，则（    ） A． B． C． D．数列是公比为的等比数列 【答案】AB 【解析】对A，由题知，故A正确； 对B，，故B正确； 对C，，故C错误； 对D，，故数列是首项为，公比为4的等比数列，故D错误． 故选：AB． 11．已知等差数列的前n项和为，若，，则下列结论正确的是（   ） A． B．当取得最大值时， C．数列是递减数列 D． 【答案】AC 【解析】解析：，故，选项A正确； ，即，故且，选项D错误； 又因为是等差数列，故数列是递减数列，选项C正确； 当取得最大值时，，故B错误． 故选：AC. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知数列满足，，则 ． 【答案】 【解析】由，可得， 所以数列是以2为周期的周期数列，故. 故答案为： 13．已知数列的通项公式为，数列满足，将这两个数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新的数列，则 ． 【答案】50 【解析】由题意， 将两数列列举出来可得： 可得两数列的公共项依次为，构成公差为12的等差数列， 于是. 故答案为:50． 14．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）．现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（m为正整数），当时，试确定使得至少需要 步雹程；若，则m所有可能的取值集合M为 ． 【答案】 10 【解析】当时，则按运算法则得到： 26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1， 即使得需要10步雹程． 若，则，，或1，当时，则，或5， 若，则，或21；若，则，若，则； 当时，，或3，若时，则，若时，则； 当时，则，，或1，若，则，或5； 若，则，， 故m所有可能的取值集合M为， 故答案为：10；． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知等差数列的前项和为，满足，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求． 【解析】（1）设等差数列的公差为， 由题意可得，解得，（4分） 所以.（6分） （2）由（1）可得，（10分） 所以.（13分） 16．（15分） 已知数列满足．设． (1)求证：数列是等比数列，并求数列通项公式； (2)设数列，且对任意正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）证明：由， 可得， 即数列是首项和公比均为3的等比数列， 则，即；（7分） （2）数列， 则，（10分） 可得递减，可得，对任意正整数，不等式恒成立， 可得，即有，即的取值范围是.（15分） 17．（15分） 已知数列为等差数列，记分别为数列的前项和．． (1)求的通项公式； (2)求． 【解析】（1）设的公差为． 可得．（3分） 由， 解得.（6分） 所以．（7分） （2） ．（15分） 18．（17分） 已知等差数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【解析】（1）设等差数列的公差为，由，得， 由，得，（6分） 所以，所以．（8分） （2）由（1）知，（14分） 所以（17分） 19．（17分） 已知为数列的前项和，. (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列.数列的前项和为. ①求数列的通项公式； ②若，则在数列中是否存在3项，（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）当时，，得， 当时，，得， 故为首项为，公比为的等比数列，故.（5分） （2）由题意，得，得. 由可得，（7分） 故， ， 上面两式相减可得， 得，（10分） ， 由题意，，（12分） 得， 得，化简得，得，（15分） 这与成等差数列相矛盾， 故不存在这样的3项.（17分） 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学 第 1 页（共 6 页） 数学 第 2 页（共 6 页） 数学 第 3 页（共 6 页） 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年高二下学期第一次月考卷 数学·答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分，共 18 分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 16．（15 分） 数学 第 4 页（共 6 页） 数学 第 5 页（共 6 页） 数学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17 分） 19．（17 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2024-2025学年高二下学期第一次月考卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学下学期第一次月考卷 参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C C B A B D A B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AD AB AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13．50 14．10 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 【解析】（1）设等差数列的公差为， 由题意可得，解得，（4分） 所以.（6分） （2）由（1）可得，（10分） 所以.（13分） 16．（15分） 【解析】（1）证明：由， 可得， 即数列是首项和公比均为3的等比数列， 则，即；（7分） （2）数列， 则，（10分） 可得递减，可得，对任意正整数，不等式恒成立， 可得，即有，即的取值范围是.（15分） 17．（15分） 【解析】（1）设的公差为． 可得．（3分） 由， 解得.（6分） 所以．（7分） （2） ．（15分） 18．（17分） 【解析】（1）设等差数列的公差为，由，得， 由，得，（6分） 所以，所以．（8分） （2）由（1）知，（14分） 所以（17分） 19．（17分） 【解析】（1）当时，，得， 当时，，得， 故为首项为，公比为的等比数列，故.（5分） （2）由题意，得，得. 由可得，（7分） 故， ， 上面两式相减可得， 得，（10分） ， 由题意，，（12分） 得， 得，化简得，得，（15分） 这与成等差数列相矛盾， 故不存在这样的3项.（17分） 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年高二数学下学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版2019选择性必修第三册第五章数列。 5．难度系数：0.75。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．数列1，，4，，的一个通项公式（   ） A． B． C． D． 2．已知等比数列，，，则公比等于（    ） A． B． C． D．2 3．已知是等差数列的前项和，若，则的公差是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．已知等比数列的前n项和为，则（   ） A．2 B． C． D．4 5．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 6．在等差数列中，公差，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 7．已知正项数列的前项和为，，且，则满足的的最大值为 （ ） A．9 B．10 C．11 D．12 8．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.已知数列满足：，，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知数列满足：，则以下说法正确的是（    ） A．数列为单调递减数列 B． C． D． 10．已知等比数列的公比为，，则（    ） A． B． C． D．数列是公比为的等比数列 11．已知等差数列的前n项和为，若，，则下列结论正确的是（   ） A． B．当取得最大值时， C．数列是递减数列 D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知数列满足，，则 ． 13．已知数列的通项公式为，数列满足，将这两个数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新的数列，则 ． 14．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）．现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（m为正整数），当时，试确定使得至少需要 步雹程；若，则m所有可能的取值集合M为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知等差数列的前项和为，满足，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求． 16．（15分） 已知数列满足．设． (1)求证：数列是等比数列，并求数列通项公式； (2)设数列，且对任意正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围． 17．（15分） 已知数列为等差数列，记分别为数列的前项和．． (1)求的通项公式； (2)求． 18．（17分） 已知等差数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 19．（17分） 已知为数列的前项和，. (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列.数列的前项和为. ①求数列的通项公式； ②若，则在数列中是否存在3项，（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$