课时作业·10.2事件的相互独立性-2024-2025学年高一数学下学期课时作业（人教A版2019必修第二册）

课时作业·10.2事件的相互独立性 1．若P(AB)＝，P()＝，P(B)＝，则下列关于事件A与B关系的判断，正确的是(　　) A．事件A与B互斥 B．事件A与B相互对立 C．事件A与B相互独立 D．事件A与B互斥且相互独立 2．下列各对事件中，是相互独立事件的有(　　) A．运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环” B．甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环” C．甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标” D．甲、乙两运动员各射击一次，“至少有1人射中目标”与“甲射中目标但乙未射中目标” 3．射击时，甲每射击10次可击中8次，乙每射击10次可击中7次，甲、乙射击互不影响，若两人同时射击一个目标，则他们都击中的概率是(　　) A.　　　　　 B. C. D. 4．某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯，汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别为，，，则汽车在这三处因遇红灯而停车一次的概率为(　　) A. B. C. D. 5．如图，用K，A1，A2三类不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A1，A2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K，A1，A2正常工作的概率依次是0.9，0.8，0.8，元件之间工作互不影响，则系统正常工作的概率为(　　) A．0.960 B．0.864 C．0.720 D．0.576 6．端午节放假，甲、乙、丙回老家过节的概率分别为，，.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人回老家过节的概率为(　　) A. B. C. D. 7．事件A，B，C相互独立，若P(AB)＝，P(C)＝，P(AB)＝，则P(B)＝________，P(B)＝________，P(B＋C)＝__________． 8．大学生甲、乙两人独立地参加论文答辩，他们的导师根据他们的论文质量估计他们都能过关的概率为，甲过关而乙没过关的概率为(导师不参与自己学生的论文答辩)，则导师估计乙能过关的概率为________． 9．设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率都为0.5，购买乙种商品的概率都为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．求： (1)进入商场的1位顾客，甲、乙两种商品都购买的概率； (2)进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率； (3)进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率． 10．【多选题】设M，N为两个随机事件，下列命题是真命题的是(　　) A．若M，N为互斥事件，且P(M)＝，P(N)＝，则P(M∪N)＝ B．若P()＝，P(N)＝，P(MN)＝，则M，N为相互独立事件 C．若P(M)＝，P()＝，P(MN)＝，则M，N为相互独立事件 D．若P(M)＝，P(N)＝，P(MN)＝，则M，N为相互独立事件 11．某电视台的夏日水上闯关节目中的前四关的过关率分别为，，，，只有通过前一关才能进入下一关，其中，第三关有两次闯关机会，且通过每关相互独立．一选手参加该节目，则该选手能进入第四关的概率为(　　) A. B. C. D. 12．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是________． 13．一次数学考试有4道填空题，共20分，每道题完全答对得5分，否则得0分．在试卷命题时，设计第一道题使考生都能完全答对，后三道题能完全答对的概率分别为p，，，且每道题答对与否相互独立． (1)当p＝时，求考生填空题得20分的概率； (2)若考生填空题得10分与得15分的概率相等，求p的值． 14．【多选题】如图所示的电路中，A，B，C，D，E 5个盒子表示保险匣，设5个保险匣分别被断开为事件A1，B1，C1，D1，E1.保险匣所示数值表示通电时保险丝被切断的概率，保险匣之间工作互不影响，下列结论正确的是(　　) A．A，B两个保险匣串联后畅通的概率为 B．D，E两个保险匣并联后畅通的概率为 C．A，B，C三个保险匣混联后畅通的概率为 D．当开关闭合时，整个电路畅通的概率为 15．某校组织一场PK赛，最终A，B两队进入决赛，两队各由3名选手组成，每局两队各派一名选手PK，除第三局胜者得2分外，其余各局胜者均得1分，负者得0分．假设每局比赛A队选手获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，比赛结束时A队的得分高于B队的得分的概率为(　　) A. B. C. D. 16．在某校组织的一次篮球定点投篮测试中，规定每人最多投3次，每次投篮的结果相互独立．在M处每投进一球得3分，在N处每投进一球得2分，否则得0分，将学生得分逐次累加得到总分，如果总分不低于3分就认为通过测试，立即停止投篮，否则继续投篮，直到投完3次为止．投篮的方案有以下两种： 方案一：先在M处投一球，以后都在N处投； 方案二：都在N处投篮． 甲同学在M处投篮的命中率为0.5，在N处投篮的命中率为0.8. (1)若甲同学选择方案一，求甲同学测试结束后所得总分等于4的概率； (2)你认为甲同学选择哪种方案通过测试的可能性更大？说明理由． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课时作业·10.2事件的相互独立性 1．若P(AB)＝，P()＝，P(B)＝，则下列关于事件A与B关系的判断，正确的是(　　) A．事件A与B互斥 B．事件A与B相互对立 C．事件A与B相互独立 D．事件A与B互斥且相互独立 答案　C 解析　因为P(A)＝1－P()＝1－＝，而P(B)＝，所以P(A)P(B)＝.又因为P(AB)＝，所以P(AB)＝P(A)P(B)，所以事件A与B相互独立，所以事件A和B不是互斥或对立事件．故选C. 2．下列各对事件中，是相互独立事件的有(　　) A．运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环” B．甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环” C．甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标” D．甲、乙两运动员各射击一次，“至少有1人射中目标”与“甲射中目标但乙未射中目标” 答案　B 解析　在A中，甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”两个事件不可能同时发生，二者是互斥事件，不相互独立；在B中，甲、乙各射击一次，“甲射中10环”发生与否对“乙射中9环”的概率没有影响，二者是相互独立事件；在C中，甲、乙各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”不可能同时发生，二者是互斥事件，不相互独立；在D中，记“至少有1人射中目标”为事件A，“甲射中目标但乙未射中目标”为事件B，则AB＝B，因此当P(A)≠1时，P(AB)≠P(A)P(B)，二者不相互独立．故选B. 3．射击时，甲每射击10次可击中8次，乙每射击10次可击中7次，甲、乙射击互不影响，若两人同时射击一个目标，则他们都击中的概率是(　　) A.　　　　　 B. C. D. 答案　D 解析　设“甲射击一次击中”为事件A，“乙射击一次击中”为事件B，则P(A)＝＝，P(B)＝. ∴P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝. 4．某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯，汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别为，，，则汽车在这三处因遇红灯而停车一次的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　设汽车分别在甲、乙、丙三处通行为事件A，B，C，事件A，B，C相互独立，P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，停车一次即为事件BC＋AC＋AB的发生，故概率为××＋××＋××＝. 5．如图，用K，A1，A2三类不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A1，A2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K，A1，A2正常工作的概率依次是0.9，0.8，0.8，元件之间工作互不影响，则系统正常工作的概率为(　　) A．0.960 B．0.864 C．0.720 D．0.576 答案　B 解析　根据题意，记K，A1，A2正常工作分别为事件A，B，C.则P(A)＝0.9，P(B)＝0.8，P(C)＝0.8，A1，A2至少有一个正常工作的概率为1－P()P()＝1－0.2×0.2＝0.96，则系统正常工作的概率为0.9×0.96＝0.864.故选B. 6．端午节放假，甲、乙、丙回老家过节的概率分别为，，.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人回老家过节的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　因为甲、乙、丙回老家过节的概率分别为，，，所以他们不回老家过节的概率分别为，，.“至少有1人回老家过节”的对立事件是“没有人回老家过节”，所以至少有1人回老家过节的概率为1－××＝.故选B. 7．事件A，B，C相互独立，若P(AB)＝，P(C)＝，P(AB)＝，则P(B)＝________，P(B)＝________，P(B＋C)＝__________． 答案　　　 解析　由A，B，C相互独立，P(AB)＝，得P(AB)＝P(AB)·P()＝. ∴P()＝，P(C)＝. 又P(C)＝，∴P()＝，则P(B)＝. 又P(AB)＝，∴P(A)＝. ∴P(B)＝P()·P(B)＝×＝，P(B＋C)＝1－P()＝1－P()·P()＝1－×＝. 8．大学生甲、乙两人独立地参加论文答辩，他们的导师根据他们的论文质量估计他们都能过关的概率为，甲过关而乙没过关的概率为(导师不参与自己学生的论文答辩)，则导师估计乙能过关的概率为________． 答案　 解析　设导师估计甲、乙能过关的概率分别为p，q，则解得p＝，q＝. 所以导师估计乙能过关的概率为. 9．设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率都为0.5，购买乙种商品的概率都为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．求： (1)进入商场的1位顾客，甲、乙两种商品都购买的概率； (2)进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率； (3)进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率． 解析　记A表示事件“进入商场的1位顾客购买甲种商品”，则P(A)＝0.5； 记B表示事件“进入商场的1位顾客购买乙种商品”，则P(B)＝0.6； 记C表示事件“进入商场的1位顾客甲、乙两种商品都购买”； 记D表示事件“进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种”； 记E表示事件“进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种”． (1)易知C＝AB，则P(C)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝0.5×0.6＝0.3. (2)易知D＝(A)∪(B)，则P(D)＝P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝0.5×0.4＋0.5×0.6＝0.5. (3)易知＝ ，则P()＝P( )＝P()P()＝0.5×0.4＝0.2.故P(E)＝1－P()＝0.8. 10．【多选题】设M，N为两个随机事件，下列命题是真命题的是(　　) A．若M，N为互斥事件，且P(M)＝，P(N)＝，则P(M∪N)＝ B．若P()＝，P(N)＝，P(MN)＝，则M，N为相互独立事件 C．若P(M)＝，P()＝，P(MN)＝，则M，N为相互独立事件 D．若P(M)＝，P(N)＝，P(MN)＝，则M，N为相互独立事件 答案　ABD 解析　若M，N为互斥事件，且P(M)＝，P(N)＝，由互斥事件的概率加法公式知P(M∪N)＝P(M)＋P(N)＝＋＝，A正确；若P()＝，则P(M)＝1－P()＝1－＝，P(N)＝，得P(M)·P(N)＝，满足P(MN)＝P(M)·P(N)，由事件独立性的定义知B正确；若P()＝，则P(N)＝1－P()＝，P(M)＝，得P(M)·P(N)＝×＝，不满足P(MN)＝P(M)·P(N)，由事件独立性的定义知C错误；若P(M)＝，P(N)＝，则P(M)·P(N)＝，又P(MN)＝，则P(MN)＝1－P(MN)＝，满足P(MN)＝P(M)·P(N)，由事件独立性的定义知D正确．故选ABD. 11．某电视台的夏日水上闯关节目中的前四关的过关率分别为，，，，只有通过前一关才能进入下一关，其中，第三关有两次闯关机会，且通过每关相互独立．一选手参加该节目，则该选手能进入第四关的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　第一种情况：该选手直接通过前三关，进入第四关，所以P1＝××＝，第二种情况：该选手直接通过前两关，第三关没有通过，再来一次通过，进入第四关，所以P2＝×××＝，则该选手能进入第四关的概率为P＝＋＝.故选D. 12．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是________． 答案　0.18 解析　甲队以4∶1获胜，则甲队在第5场(主场)获胜，前4场中有一场输． 若在主场输一场，则甲队以4∶1获胜的概率为2×0.6×0.4×0.5×0.5×0.6＝0.072. 若在客场输一场，则甲队以4∶1获胜的概率为2×0.6×0.6×0.5×0.5×0.6＝0.108. ∴甲队以4∶1获胜的概率为P＝0.072＋0.108＝0.18. 13．一次数学考试有4道填空题，共20分，每道题完全答对得5分，否则得0分．在试卷命题时，设计第一道题使考生都能完全答对，后三道题能完全答对的概率分别为p，，，且每道题答对与否相互独立． (1)当p＝时，求考生填空题得20分的概率； (2)若考生填空题得10分与得15分的概率相等，求p的值． 解析　设考生填空题得20分、15分、10分分别为事件A，B，C. (1)考生填空题得20分的概率P(A)＝××＝. (2)P(B)＝p××＋p××＋(1－p)××＝p＋， P(C)＝p××＋(1－p)××＋(1－p)××＝－p. 由P(B)＝P(C)，得p＝. 14．【多选题】如图所示的电路中，A，B，C，D，E 5个盒子表示保险匣，设5个保险匣分别被断开为事件A1，B1，C1，D1，E1.保险匣所示数值表示通电时保险丝被切断的概率，保险匣之间工作互不影响，下列结论正确的是(　　) A．A，B两个保险匣串联后畅通的概率为 B．D，E两个保险匣并联后畅通的概率为 C．A，B，C三个保险匣混联后畅通的概率为 D．当开关闭合时，整个电路畅通的概率为 答案　ACD 解析　由题意知，P(A1)＝，P(B1)＝，P(C1)＝，P(D1)＝，P(E1)＝，所以A，B两个保险匣串联后畅通的概率为×＝，因此A正确；D，E两个保险匣并联后畅通的概率为1－×＝1－＝，因此B错误；A，B，C三个保险匣混联后畅通的概率为1－×＝1－＝，C正确；当开关闭合时，整个电路畅通的概率为×＝，D正确．故选ACD. 15．某校组织一场PK赛，最终A，B两队进入决赛，两队各由3名选手组成，每局两队各派一名选手PK，除第三局胜者得2分外，其余各局胜者均得1分，负者得0分．假设每局比赛A队选手获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，比赛结束时A队的得分高于B队的得分的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　比赛结束时A队的得分高于B队的得分包含三种情况： ①A全胜；②第一局A胜，第二局B胜，第三局A胜；③第一局B胜，第二局A胜，第三局A胜． 所以比赛结束时A队的得分高于B队的得分的概率P＝＋××＋××＝.故选C. 16．在某校组织的一次篮球定点投篮测试中，规定每人最多投3次，每次投篮的结果相互独立．在M处每投进一球得3分，在N处每投进一球得2分，否则得0分，将学生得分逐次累加得到总分，如果总分不低于3分就认为通过测试，立即停止投篮，否则继续投篮，直到投完3次为止．投篮的方案有以下两种： 方案一：先在M处投一球，以后都在N处投； 方案二：都在N处投篮． 甲同学在M处投篮的命中率为0.5，在N处投篮的命中率为0.8. (1)若甲同学选择方案一，求甲同学测试结束后所得总分等于4的概率； (2)你认为甲同学选择哪种方案通过测试的可能性更大？说明理由． 解析　(1)在M处投篮命中记作事件A，不中记作事件；在N处投篮命中记作事件B，不中记作事件.甲同学测试结束后所得总分为4，可记作事件BB，则P(BB)＝P()P(B)P(B)＝0.5×0.8×0.8＝0.32. (2)设甲同学选择方案一通过测试的概率为P1，选择方案二通过测试的概率为P2，则P1＝P(A)＋P(BB)＝0.5＋0.32＝0.82. P2＝P(BB)＋P(BB)＋P(BB)＝2×0.8×0.2×0.8＋0.8×0.8＝0.896. 因为P2>P1， 所以甲同学选择方案二通过测试的概率更大． 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$