8.6.3 平面与平面垂直(第1课时)平面与平面垂直的判定 （导学案)-【上好课】高一数学必修第二册同步高效课堂（人教A版2019）

8.6.3 平面与平面垂直(第1课时)平面与平面垂直的判定 导学案 1、 学习目标 1.从相关定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中平面与平面的垂直关系． 2.理解二面角及其平面角的概念并掌握二面角的平面角的一般作法，会求简单的二面角的平面角. 3.掌握两个平面互相垂直的概念，能用定义和定理判定面面垂直. 2、 重点难点 重点：平面与平面垂直的判定定理及应用； 难点：平面与平面垂直的判定定理的形成过程。 3、 导入新知 像研究直线与平面垂直一样，我们首先应给出平面与平面垂直的定义．那么，该如何定义呢?不妨回顾一下直线与平面垂直、 直线与直线垂直的定义过程． 在定义直线与平面垂直时，我们利用了直线与直线的垂直．所以，直线与直线垂直是研究直线、平面垂直问题的基础． 在平面几何中，我们先定义了角的概念，利用角刻画两条相交直线的位置关系，进而研究直线与直线互相垂直这种特殊情况．类似地，我们需要先引进二面角的概念，用以刻画两个相交平面的位置关系，进而研究两个平面互相垂直． 如图8.6-21，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角(dihedral angle)．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为，面分别为，的二面角记作二面角．有时为了方便，也可在，内(棱以外的半平面部分)分别取点，，将这个二面角记作二面角． 如果棱记作，那么这个二面角记作二面角或． 平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面． 思考 如图8.6-22，在日常生活中，我们常说“把门开大一些”， 是指哪个角大一些？受此启发，你认为应该怎样刻画二面角的大小呢？ 如图8.6-23，在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱的射线和，则射线和构成的叫做二面角的平面角． 的大小与点在上的位置有关吗？为什么？ 二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角，二面角的平面角的取值范围是． 观察 教室相邻的两个墙面与地面可以构成几个二面角?分别指出构成这些二面角的面、棱、平面角及其度数． 教室里的墙面所在平面与地面所在平面相交，它们所成的二面角是直二面角，我们常说墙面直立于地面上． 一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．平面与垂直，记作． 如图8.6-24，画两个互相垂直的平面时，通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成垂直． 在明确了两个平面互相垂直的定义的基础上，我们研究两个平面垂直的判定和性质．先研究平面与平面垂直的判定． 观察 如图8.6-25，建筑工人在砌墙时，常用铅锤来检测所砌的墙面与地面是否垂直．如果系有铅锤的细线紧贴墙面，工人师傅就认为墙面垂直于地面，否则他就认为墙面不垂直于地面．这种方法说明了什么道理？ 这种方法告诉我们，如果墙面经过地面的垂线，那么墙面与地面垂直．类似的结论也可以在长方体中发现．如图8. 6-26，在长方体中，平面经过平面的一条垂线，此时，平面垂直于平面． 一般地，我们有下面判定两个平面互相垂直的定理： 定理 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直． 这个定理说明，可以由直线与平面垂直证明平面与平面垂直． 4、 应用新知 例7 如图8.6-27所示，在正方体中，求证：平面平面． 【变式】如图，在正方体中，判断平面与平面是否垂直，并说明你的理由． 例8 如图8.6-28，是的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于，的任意一点．求证：平面平面． 【变式】如图AB为圆O的直径，点C在圆周上（异于A，B点），直线PA垂直于圆所在的平面，点M为线段PB的中点，则以下四个命题正确的是（　　） A．PB⊥AC B．OC⊥平面PAB C．MO∥平面PAC D．平面PAC⊥平面PBC 5、 能力提升 题型一　求二面角 【练习1】如图，在三棱锥中，，平面． （1）求证：平面平面 （2）若，求二面角的正切值 题型二　用定义法证明平面与平面垂直 【练习2】在四棱锥中，已知底面，且底面为矩形，则下列结论中错误的是（    ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 题型三 平面与平面垂直的定义和判定 【练习3】在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，E是PD中点，下列叙述正确的是（　　） A．CE∥平面PAB B．CE⊥平面PAD C．平面PBC⊥平面PAB D．平面PBD⊥平面PAC 题型四　利用判定定理证明面面垂直 【练习4】如图所示，在三棱锥中，且，，，则下列命题不正确的是（    ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 6、 课堂总结 1．知识清单： (1)二面角以及二面角的平面角． (2)平面与平面垂直的定义和判定定理． (3)平面与平面垂直的性质定理． 2．方法归纳：转化法． 3．常见误区：面面垂直性质定理中在其中一个面内作交线的垂线，与另一个平面垂直． 练习（第158页） 1．如图，检查工件的相邻两个(平)面是否垂直时，只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上，另一边在工件的另一个面上转动，观察尺边和这个面是否密合就可以了．这是为什么？ 2．已知直线，与平面，，，能使的充分条件是（ ） （A）， （B），， （C）， （D）， 3．如下页图，平面，， 你能发现哪些平面互相垂直，为什么? 4．如图，在正三棱柱中，为棱的中点．求证：平面平面． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 8.6.3 平面与平面垂直(第1课时)平面与平面垂直的判定 导学案 1、 学习目标 1.从相关定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中平面与平面的垂直关系． 2.理解二面角及其平面角的概念并掌握二面角的平面角的一般作法，会求简单的二面角的平面角. 3.掌握两个平面互相垂直的概念，能用定义和定理判定面面垂直. 2、 重点难点 重点：平面与平面垂直的判定定理及应用； 难点：平面与平面垂直的判定定理的形成过程。 3、 导入新知 像研究直线与平面垂直一样，我们首先应给出平面与平面垂直的定义．那么，该如何定义呢?不妨回顾一下直线与平面垂直、 直线与直线垂直的定义过程． 在定义直线与平面垂直时，我们利用了直线与直线的垂直．所以，直线与直线垂直是研究直线、平面垂直问题的基础． 在平面几何中，我们先定义了角的概念，利用角刻画两条相交直线的位置关系，进而研究直线与直线互相垂直这种特殊情况．类似地，我们需要先引进二面角的概念，用以刻画两个相交平面的位置关系，进而研究两个平面互相垂直． 如图8.6-21，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角(dihedral angle)．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为，面分别为，的二面角记作二面角．有时为了方便，也可在，内(棱以外的半平面部分)分别取点，，将这个二面角记作二面角． 如果棱记作，那么这个二面角记作二面角或． 平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面． 思考 如图8.6-22，在日常生活中，我们常说“把门开大一些”， 是指哪个角大一些？受此启发，你认为应该怎样刻画二面角的大小呢？ 如图8.6-23，在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱的射线和，则射线和构成的叫做二面角的平面角． 的大小与点在上的位置有关吗？为什么？ 二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角，二面角的平面角的取值范围是． 观察 教室相邻的两个墙面与地面可以构成几个二面角?分别指出构成这些二面角的面、棱、平面角及其度数． 教室里的墙面所在平面与地面所在平面相交，它们所成的二面角是直二面角，我们常说墙面直立于地面上． 一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．平面与垂直，记作． 如图8.6-24，画两个互相垂直的平面时，通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成垂直． 在明确了两个平面互相垂直的定义的基础上，我们研究两个平面垂直的判定和性质．先研究平面与平面垂直的判定． 观察 如图8.6-25，建筑工人在砌墙时，常用铅锤来检测所砌的墙面与地面是否垂直．如果系有铅锤的细线紧贴墙面，工人师傅就认为墙面垂直于地面，否则他就认为墙面不垂直于地面．这种方法说明了什么道理？ 这种方法告诉我们，如果墙面经过地面的垂线，那么墙面与地面垂直．类似的结论也可以在长方体中发现．如图8. 6-26，在长方体中，平面经过平面的一条垂线，此时，平面垂直于平面． 一般地，我们有下面判定两个平面互相垂直的定理： 定理 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直． 这个定理说明，可以由直线与平面垂直证明平面与平面垂直． 4、 应用新知 例7 如图8.6-27所示，在正方体中，求证：平面平面． 分析：要证平面⊥平面，根据两个平面垂直的判定定理，只需证明平面经过平面的一条垂线即可．这需要利用，是正方形的对角线． 证明：是正方体， 平面， ． 又，， 平面， 又平面， 平面平面． 【变式】如图，在正方体中，判断平面与平面是否垂直，并说明你的理由． 【答案】见详解. 【知识点】证明面面垂直 【分析】根据面面垂直的判定，只要证明一个平面内的一条直线垂直于另一个平面即可得解. 【详解】平面与平面垂直. 如连接，根据是正方体， 所以，又底面， 所以，又和相交， 所以平面， 所以，同理，， 所以平面，又平面， 所以平面平面. 证明平面与平面垂直的两个常用方法 (1)利用定义：证明二面角的平面角为直角，其判定的方法是： ①找出两相交平面的平面角； ②证明这个平面角是直角； ③根据定义，这两个相交平面互相垂直． (2)利用面面垂直的判定定理：要证面面垂直，只要证线面垂直．即在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直．这是证明面面垂直的常用方法，其基本步骤是： 例8 如图8.6-28，是的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于，的任意一点．求证：平面平面． 分析：要证明两个平面垂直，根据两个平面垂直的判定定理，只需证明其中一个平面内的一条直线垂直于另一个平面．而由直线和平面垂直的判定定理，还需证明这条直线和另一个平面内的两条相交直线垂直．在本题中，由题意可知，，，从而平面，进而平面平面． 证明：平面，平面，． 点是圆周上不同于的任意一点，是的直径，，即． 又，平面，平面，平面． 又平面，平面平面． 【变式】如图AB为圆O的直径，点C在圆周上（异于A，B点），直线PA垂直于圆所在的平面，点M为线段PB的中点，则以下四个命题正确的是（　　） A．PB⊥AC B．OC⊥平面PAB C．MO∥平面PAC D．平面PAC⊥平面PBC 【答案】CD 【知识点】线面垂直证明线线垂直、证明面面垂直、证明线面垂直、证明线面平行 【详解】利用反证法思想说明AB错误；由直线与平面平行的判定判断C；由平面与平面垂直的判定判断D． 【解答】解：对于A，假设PB⊥AC，由已知可得AC⊥PA， 又PA∩PB＝P，平面，∴AC⊥平面PAB，而平面，则AC⊥AB，与∠CAB是锐角矛盾，故A错误； 对于B，∵点C是圆周上的任意一点，∴OC与AB不一定垂直， 若OC⊥平面PAB，则OC一定与AB垂直，故B错误； 对于C，∵点M为线段PB的中点，点O为AB的中点，∴OM∥PA， 而OM⊄平面PAC，PA⊂平面PAC，∴MO∥平面PAC，故C正确； 对于D，∵PA垂直于圆所在的平面，∴PA⊥BC，由已知得BC⊥AC， 且PA∩AC＝A，平面，∴BC⊥平面PAC，而BC⊂平面PBC，则平面PAC⊥平面PBC，故D正确． 故选：CD． 5、 能力提升 题型一　求二面角 【练习1】如图，在三棱锥中，，平面． （1）求证：平面平面 （2）若，求二面角的正切值 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【知识点】求二面角、证明面面垂直 【分析】（1）要证线面垂直，只要证明其中一个面内的一条直线垂直于另一个平面即可； （2）利用垂直关系，先求得二面角的平面角，解三角形即可得解. 【详解】（1）平面 ，平面 平面 平面平面， 平面平面. （2）设是的中点，过于，连接 在中 平面平面平面， 平面 又平面 是二面角的平面角． 设，则在中， ， 所以. 【感悟提升】1.求二面角的平面角的大小的步骤 (1)作：作出平面角，一般在交线上找一特殊点，分别在两个半平面内向交线作垂线． (2)证：证明所作的角满足定义，并指出二面角的平面角． (3)求：将作出的角放到三角形中，利用解三角形求出角的大小． (4)结论． 2.确定二面角的平面角的方法 题型二　用定义法证明平面与平面垂直 【练习2】在四棱锥中，已知底面，且底面为矩形，则下列结论中错误的是（    ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 【答案】D 【知识点】面面垂直证线面垂直、证明面面垂直、线面平行的性质 【分析】由面面垂直的判定定理和性质定理对选项逐一判断可得答案. 【详解】对于A中，由已知底面，且底面为矩形， 所以，且,平面， 所以平面，又由平面，所以平面平面，所以A正确； 对于B中，由已知底面，且底面为矩形， 所以，且,平面， 所以平面，又由平面，所以平面平面，所以B正确； 对于C中，由已知底面，且底面为矩形， 所以，且,平面， 所以平面，又由平面，所以平面平面， 所以C正确； 对于D中，设为平面与平面的交线，因为，平面， 平面，所以平面，因为为平面与平面的交线， 所以，又，所以，因为平面，平面， 所以，所以，又底面，所以，所以， 所以为平面与平面的二面角，若平面平面， 则，而底面，所以，此时三角形内角和大于，所以平面与平面不垂直，所以D错误. 故选：D. 【感悟提升】　用定义证明两个平面垂直的步骤 利用两个平面互相垂直的定义可以直接证明两个平面垂直，证明的步骤是： ①找出两个相交平面的二面角的平面角； ②证明这个二面角的平面角是直角； ③根据定义，这两个平面互相垂直． 题型三 平面与平面垂直的定义和判定 【练习3】在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，E是PD中点，下列叙述正确的是（　　） A．CE∥平面PAB B．CE⊥平面PAD C．平面PBC⊥平面PAB D．平面PBD⊥平面PAC 【答案】D 【知识点】判断线面平行、判断线面是否垂直、判断面面是否垂直 【分析】根据线面平行，线面垂直，以及面面垂直的定义，逐个选项进行判断即可. 【详解】对于A，∵四边形ABCD是菱形，则CD∥AB，∵CD平面PAB，AB⊂平面PAB， ∴CD∥平面PAB，若CE∥平面PAB， ∵CE∩CD＝C，则平面PCD∥平面PAB， 事实上平面PCD与平面PAB相交，假设不成立，故A错误； 对于B，过点C在平面ABCD内作CF⊥AD，垂足为点F， ∵PA⊥平面ABCD，CF⊂平面ABCD， ∴CF⊥PA，∵CF⊥AD，PA∩AD＝A， ∴CF⊥平面PAD，∵过C作平面PAD的垂线有且只有一条， ∴CE与平面PAD不垂直，故B错误； 对于C，过点C在平面ABCD内作CM⊥AB，垂足为点M， ∵PA⊥平面ABCD，CM⊂平面ABCD，则CM⊥PA， ∵CM⊥AB，PA∩AB＝A，则CM⊥平面PAB， 若平面PBC⊥平面PAB，过点C在平面PBC内作CN⊥PB，垂足为点N， ∵平面PBC⊥平面PAB，平面PAB∩平面PAB＝PB，CN⊂平面PBC， ∴CN⊥平面PAB，∵过点C作平面PAB的垂线有且只有一条，∴CM，CN重合， ∴平面ABCD∩平面PBC＝BC，∴CM，CN，CB重合，BC⊥AB， ∵四边形ABCD是菱形，BC与AB不一定垂直，故C错误； 对于D，∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC， ∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PA， ∵PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC，∵BD⊂平面PBD， ∴平面PBD⊥平面PAC，故D正确． 故选：D． 反思感悟　证明平面与平面垂直的方法 (1)利用定义：证明二面角的平面角为直角． (2)利用面面垂直的判定定理，其实质归根结底还是找一条直线与平面内的两条相交直线垂直，一定要把定理用符号语言叙述完整． 题型四　利用判定定理证明面面垂直 【练习4】如图所示，在三棱锥中，且，，，则下列命题不正确的是（    ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 【答案】C 【知识点】证明面面垂直、线面垂直证明线线垂直、面面垂直证线面垂直、反证法证明 【分析】根据条件推出线面垂直，再根据面面垂直的判定定理判断ABD，利用反证法证明判断C. 【详解】，， 在中，， ， 又且, 平面, 又平面，平面 平面平面，平面平面， 故AB正确； 在中，， ， ， 平面, 又平面, 平面平面，故D正确； 对于C选项，若假设平面平面，则过作于，如图 由平面平面, 平面，可得，又，, 平面， , 这与中矛盾，故假设不正确，故C选项错误. 故选：C 【点睛】关键点点睛：先利用勾股定理证明线线垂直，再得线面垂直，最后推出面面垂直是关键，要证明平面不垂直时，可考虑反证法. 【感悟提升】　证明面面垂直的方法 6、 课堂总结 1．知识清单： (1)二面角以及二面角的平面角． (2)平面与平面垂直的定义和判定定理． (3)平面与平面垂直的性质定理． 2．方法归纳：转化法． 3．常见误区：面面垂直性质定理中在其中一个面内作交线的垂线，与另一个平面垂直． 练习（第158页） 1．如图，检查工件的相邻两个(平)面是否垂直时，只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上，另一边在工件的另一个面上转动，观察尺边和这个面是否密合就可以了．这是为什么？ 1．解：当曲尺的另一边在工件的另一个面上转动时，如果和另一个面密合，曲尺紧靠工件一个面的边就与另一个面内无 数条相交直线都垂直，从而这边就与另一个面垂直. 同时， 这边紧靠工件的一个面，可看成这边在这个面内，故这两个面垂直． 2．已知直线，与平面，，，能使的充分条件是（ ） （A）， （B），， （C）， （D）， 2．答案：D 3．如下页图，平面，， 你能发现哪些平面互相垂直，为什么? 3．解析：平面平面，平面平面，平面平面．理由如下： 平面，平面，平面， ∴平面平面，平面平面， 由平面，得．又，，平面，又平面， 平面平面． 4．如图，在正三棱柱中，为棱的中点．求证：平面平面． 4．证明：三棱柱为正三棱柱，则为正三角形．又为棱中点，． 又底面，．又，平面， ∴平面平面． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$