重难点02 二次根式化简求值的五大重难点题型-2024-2025学年八年级数学下册【重难点考点】专练（人教版）

重难点02二次根式化简求值的五大重难点题型 ◆一、二次根式的性质与化简 1、二次根式的基本性质： ①0； a≥0（双重非负性）． ②（）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． ③|a|（算术平方根的意义） 2、二次根式的化简： ①利用二次根式的基本性质进行化简； ②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． •（a≥0，b≥0）（a≥0，b＞0） 3、 化简二次根式的步骤： ①把被开方数分解因式； ②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来； ③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2． 【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法 1．常见题型：与分式的化简求值相结合；运用乘法公式等； 2．解题方法： （1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简． （2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果． （3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式． ◆二、二次根式的化简求值 二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰． 【题型1 利用二次根式的非负性化简求值】 1．（2024秋•西山区校级期末）若2＜a＜3，则（　　） A．5﹣2a B．1﹣2a C．2a﹣1 D．2a﹣5 2．（2024秋•二道区校级期末）已知实数a在数轴上的对应点位置如图，则化简|1﹣a|的结果为（　　） A．1 B．﹣1 C．2a﹣3 D．3﹣2a 3．（2024秋•城关区校级期中）实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简得（　　） A．﹣2a﹣b﹣2c B．﹣2a﹣b C．b D．﹣2a+b 4．（2024秋•鼓楼区校级期末）实数a在数轴上的位置如图所示，则化简结果为（　　） A．7 B．﹣7 C．2a﹣15 D．无法确定 5．（2024秋•成华区期末）已知1＜x＜2，则式子|x﹣2|化简的结果为　 ． 6．若0＜x＜1，化简　 　． 7．（2024秋•丰城市校级期中）已知﹣3＜x＜2，化简|x﹣2|． 8．（2024秋•雁塔区校级期中）是二次根式的一条重要性质，请利用该性质解答下列问题． （1）化简： 　 　， 　 　． （2）已知实数a，b在数轴上的对应点如图所示，化简． 【题型2 利用先化简再直接代入求值】 1．（2024秋•通许县期中）已知x1，则代数式x2﹣2x+1的值为（　　） A．2 B．4 C． D． 2．（2024•河北模拟）设，其中a＝﹣3，b＝﹣2，则M的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1 3．（2024秋•澧县期末）先化简，后求值：，其中a，b＝2． 4．（2024春•宁明县期中）先化简，再求值：（3x+1）（3x﹣1）+（x﹣3）2﹣3x（x﹣2），其中． 5．（2024春•藁城区校级月考）先化简，再求值：，其中． 6．（2024春•朝阳区校级期中）先化简，再求值：，其中：a＝3，b＝2． 7．先化简，再求值：，其中x，y＝4． 8．已知a，求代数式的值． 9．（2024秋•原阳县月考）化简求值： 已知a，b，求的值． 【题型3 利用先化简整体代入求值】 1．（2024秋•玉环市期末）已知a+b＝4，ab＝2，则的值为（　　） A． B．2 C． D．1 2．（2024秋•市中区校级期中）已知x+y＝﹣9，xy＝9，则值是（　　） A．6 B．﹣6 C．3 D．﹣3 3．（2024春•西安区校级期末）已知x，y为实数，xy＝3，那么的值为（　　） A． B．± C．2 D．±2 4．（2024春•陇西县校级月考）已知x＝2，y＝2，求的值． 5．（2024秋•浦东新区校级月考）化简并求值：，其中，． 6．（2024秋•雨花区期末）已知，求下列各式的值． （1）； （2）． 【题型4 利用乘法公式进行计算】 1．（2024秋•澧县期末）已知，则代数式x2﹣2xy+y2的值为（　　） 2．（2024•昌黎县一模）已知x，y，则x2+xy+y2的值为（　　） A．2 B．4 C．5 D．7 3．（2024秋•隆昌市校级月考）已知a＞b＞0，，则的值为（　　） A． B．2 C． D． 4．（2024•安徽模拟）若a2﹣3ab+b2＝0，且a＞b＞0，则的值为（　　） A． B． C． D． 5．（2024春•老河口市期中）已知，，求a2﹣2ab+b2的值． 6．（2024春•长兴县月考）已知：，，分别求下列代数式的值： （1）a2﹣b2； （2）a2﹣3ab+b2． 7．（2024春•绥江县月考）已知，，求下列代数式的值： （1）（x﹣y）2+4xy； （2）x2﹣y2． 8．（2023秋•郴州期末）设，． （1）求的值； （2）求b2+2b+1，a2﹣2ab+b2的值． 【题型5 利用二次根式的整数部分和小数部分求值】 1．若m为的小数部分，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2024春•丹江口市期中）已知a是的小数部分，则的值为（　　） A．5 B．6 C．7 D． 3．（2025•泗洪县一模）已知m是的小数部分，则的值为　 　． 4．已知a，b为实数，m，n分别表示5的整数部分和小数部分，且am+bn＝0，求代数式的值． 5．（2024秋•西湖区校级期末）已知； （1）求x2﹣xy+y2的值； （2）若x的小数部分为a，y的小数部分为b，求的值． 6．（2024秋•洛阳期末）我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而23，所以的整数部分是2，将减去其整数部分2，所得的差2就是的小数部分．根据以上信息回答下列问题： （1）的整数部分是 　　 ，小数部分是 　 　； （2）如果3的小数部分为a，5的整数部分为b，求a的值． 7．（2024春•越秀区校级期中）数学张老师在课堂上提出一个问题：“通过探究知道：，它是个无限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是1，那么有谁能说出它的小数部分是多少”，小明举手回答：它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用来表示它的小数部分，张老师夸奖小明真聪明，肯定了他的说法．现请你根据小明的说法解答： （1）的小数部分是多少，请表示出来； （2）a为的小数部分，b为的整数部分，求的值； （3）已知，其中x是一个正整数，0＜y＜1，求的值． 1．（2024春•赵县期中）若a＜b（a，b为非零实数），化简的结果为（　　） A． B． C． D． 2．（2024春•漳平市期中）已知x，y两个实数在数轴上位置如图所示，则化简的结果是（　　） A．2x B．2y C．2x﹣2y D．2y﹣2x 3．（2024秋•徐汇区校级期中）当0＜a＜1时，化简（　　） A．a B．﹣a C．a D．a 4．（2024秋•陵川县期中）已知3＜x＜5，化简的正确结果为（　　） A．2 B．﹣2 C．2x﹣8 D．8﹣2x 5．（2024春•西华县月考）已知，，则m2+2mn+n2的值为（　　） A． B．12 C．10 D．6 6．（2023春•武昌区校级期中）已知3，且0＜m＜1，则的值是（　　） A． B．± C． D． 7．（2024•山海关区一模）已知，，则代数式的值为　 ． 8．（2024秋•北京校级期末）若的整数部分为x，小数部分为y，则（2x）y的值是　 ． 9．已知|a|＝4，（）2＝3，且|a+b|＝﹣a﹣b，则a﹣b的值为　 ． 10．（2024秋•台江区期末）若x满足（x+2024）（2025+x）＝4，则代数式的值为　 　． 11．（2024秋•青山区期末）先化简，再求值：（a）（a）﹣（a）2，其中a＝21． 12．先化简，再求值：，其中x． 13．（2024秋•静安区校级期中）已知，，求的值． 14．已知． （1）求a2﹣b2的值． （2）若m为a的整数部分，n为b的小数部分，求的值． 15．观察：因为，即23，所以的整数部分为2，小数部分为2． 请你观察上述规律后解决下面的问题： （1）规定用符号[m]表示实数m的整数部分，例如：[]＝0，[]＝2．按此规定，那么[1]的值为 　　． （2）若的整数部分为a，小数部分为b，|c|，求c（a﹣b﹣6）+12的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点02二次根式化简求值的五大重难点题型 ◆一、二次根式的性质与化简 1、二次根式的基本性质： ①0； a≥0（双重非负性）． ②（）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． ③|a|（算术平方根的意义） 2、二次根式的化简： ①利用二次根式的基本性质进行化简； ②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． •（a≥0，b≥0）（a≥0，b＞0） 3、 化简二次根式的步骤： ①把被开方数分解因式； ②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来； ③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2． 【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法 1．常见题型：与分式的化简求值相结合；运用乘法公式等； 2．解题方法： （1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简． （2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果． （3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式． ◆二、二次根式的化简求值 二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰． 【题型1 利用二次根式的非负性化简求值】 1．（2024秋•西山区校级期末）若2＜a＜3，则（　　） A．5﹣2a B．1﹣2a C．2a﹣1 D．2a﹣5 【分析】根据二次根式的性质解答即可． 【解答】解：因为2＜a＜3， 所以a﹣2﹣（3﹣a）＝a﹣2﹣3+a＝2a﹣5， 故选：D． 【点评】此题考查二次根式的性质，关键是根据二次根式的性质解答． 2．（2024秋•二道区校级期末）已知实数a在数轴上的对应点位置如图，则化简|1﹣a|的结果为（　　） A．1 B．﹣1 C．2a﹣3 D．3﹣2a 【分析】根据二次根式的基本性质，先把二次根式写成绝对值的形式，再用绝对值的性质化简，最后计算． 【解答】解：由图知：1＜a＜2， ∴2﹣a＞0，1﹣a＜0， ∴原式＝|2﹣a|+（a﹣1） ＝2﹣a+a﹣1 ＝1． 故选：A． 【点评】本题考查二次根式的性质与化简、实数与数轴，掌握二次根式的基本性质是解题关键． 3．（2024秋•城关区校级期中）实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简得（　　） A．﹣2a﹣b﹣2c B．﹣2a﹣b C．b D．﹣2a+b 【分析】先根据数轴得到b＜c＜0＜a，|a|＜|b|，则a+b＜0，a﹣c＞0，据此化简绝对值和计算算术平方根，再根据整式的加减计算法则求解即可． 【解答】解：由数轴可知a+b＜0，a﹣c＞0， ∴原式＝﹣c﹣a﹣b﹣（a﹣c） ＝﹣c﹣a﹣b﹣a+c ＝﹣2a﹣b， 故选：B． 【点评】本题主要考查了实数与数轴，化简绝对值和求一个数的算术平方根，熟练掌握以上知识点是关键． 4．（2024秋•鼓楼区校级期末）实数a在数轴上的位置如图所示，则化简结果为（　　） A．7 B．﹣7 C．2a﹣15 D．无法确定 【分析】先根据点a在数轴上的位置判断出a﹣4及a﹣11的符号，再把原式进行化简即可． 【解答】解：∵由图可知：4＜a＜10， ∴a﹣4＞0，a﹣11＜0， ∴原式 ＝a﹣4+11﹣a＝7． 故选：A． 【点评】本题考查的是二次根式的性质与化简，先根据题意得出a的取值范围是解答此题的关键． 5．（2024秋•成华区期末）已知1＜x＜2，则式子|x﹣2|化简的结果为　 ． 【分析】首先根据x的范围确定x﹣1与x﹣2的符号，然后根据|a|，以及绝对值的性质即可化简求值． 【解答】解：∵1＜x＜2， ∴x﹣1＞0，x﹣2＜0， ∴原式＝x﹣1﹣（x﹣2）＝x﹣1﹣x+2＝1． 故答案为：1． 【点评】本题考查了二次根式以及绝对值的性质，正确理解|a|是关键． 6．若0＜x＜1，化简　 　． 【分析】由，，又0＜x＜1，则有x＞0，通过变形化简原式即可得出最终结果． 【解答】解：原式 ＝x（x）＝2x． 【点评】本题考查的是对完全平方公式的灵活使用和对二次根式的化简应用． 7．（2024秋•丰城市校级期中）已知﹣3＜x＜2，化简|x﹣2|． 【分析】根据题意得到x﹣2＜0，x﹣3＜0，2x﹣5＜0，根据二次根式的性质、绝对值的性质化简即可． 【解答】解：∵﹣3＜x＜2， ∴x﹣2＜0，x﹣3＜0，2x﹣5＜0， ∴|x﹣2|2﹣x﹣（3﹣x）+（5﹣2x）＝2﹣x﹣3+x+5﹣2x＝4﹣2x． 【点评】本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质：|a|是解题的关键． 8．（2024秋•雁塔区校级期中）是二次根式的一条重要性质，请利用该性质解答下列问题． （1）化简： 　 　， 　 　． （2）已知实数a，b在数轴上的对应点如图所示，化简． 【分析】（1）根据，，再去掉绝对值即可； （2）先根据数轴的位置判断a＜0＜1＜b，则1﹣a＞0，1﹣b＜0，再根据二次根式的性质化简，并去掉绝对值即可． 【解答】解：（1）根据题意可知；． 故答案为：4；π﹣3． （2）由数轴可知a＜0＜1＜b，则1﹣a＞0，1﹣b＜0， ∴|a|＝﹣a，|1﹣a|＝1﹣a，|1﹣b|＝﹣（1﹣b）． 原式＝|a|﹣|1﹣a|+|1﹣b| ＝﹣a﹣（1﹣a）﹣（1﹣b） ＝﹣a﹣1+a﹣1+b ＝b﹣2． 【点评】本题主要考查了二次根式的化简，理解二次根式与绝对值的关系是解题的关键． 【题型2 利用先化简再直接代入求值】 1．（2024秋•通许县期中）已知x1，则代数式x2﹣2x+1的值为（　　） A．2 B．4 C． D． 【分析】先把x2﹣2x+1化成（x﹣1）2，再把代入计算即可． 【解答】解：当时， x2﹣2x+1 ＝（x﹣1）2， ． 故选：A． 【点评】此题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握完全平方公式，二次根式的运算法则是解题的关键． 2．（2024•河北模拟）设，其中a＝﹣3，b＝﹣2，则M的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1 【分析】先利用乘法分配律展开，再利用二次根式乘法法则进行运算． 【解答】解： ＝1﹣|a|， 当a＝﹣3，b＝﹣2时， M＝1﹣|﹣3| ＝﹣2， 故选：B． 【点评】本题考查了二次根式的化简求值，掌握（a≥0，b≥0）是解题的关键． 3．（2024秋•澧县期末）先化简，后求值：，其中a，b＝2． 【分析】先分别将分子、分母进行因式分解，再约分、合并同类项得到最简结果，最后将a，b的值代入计算即可． 【解答】解：原式 ． 当a，b＝2时，原式． 【点评】本题考查二次根式的化简求值、分式的化简求值、分母有理化，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 4．（2024春•宁明县期中）先化简，再求值：（3x+1）（3x﹣1）+（x﹣3）2﹣3x（x﹣2），其中． 【分析】先展开，再合并同类项，化简后将x的值代入计算即可． 【解答】解：原式＝9x2﹣1+x2﹣6x+9﹣3x2+6x ＝7x2+8； 当x时， 原式＝7×（）2+8 ＝7×2+8 ＝14+8 ＝22． 【点评】本题考查整式化简求值，解题的关键是掌握平方差公式，完全平方公式等，把所求式子化简． 5．（2024春•藁城区校级月考）先化简，再求值：，其中． 【分析】利用二次根式的相应的运算法则对式子进行化简，再代入相应的值运算即可． 【解答】解： ＝2﹣|a﹣2|+a2﹣1 ＝a2+1﹣|a﹣2|， 当时， 原式＝（）2+1﹣（2） ＝2+1﹣2 ＝1． 【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 6．（2024春•朝阳区校级期中）先化简，再求值：，其中：a＝3，b＝2． 【分析】根据二次根式的性质、二次根式的加减混合运算法则把原式化简，把a、b的值代入计算即可． 【解答】解：原式•aa﹣b a﹣b ＝a﹣b， 当a＝3，b＝2时，原式＝3﹣2＝1． 【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的加减混合运算法则是解题的关键． 7．先化简，再求值：，其中x，y＝4． 【分析】先把各二次根式化为最简二次根式，再合并得到原式，然后把x、y的值代入计算． 【解答】解：∵x0，y＝4＞0， ∴原式＝54 ， 当x，y＝4时，原式． 【点评】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值． 8．已知a，求代数式的值． 【分析】先将原式利用因式分解变形，根据分式的基本性质进行化简，然后将a代入计算即可． 【解答】解： （a﹣1） ＝1a+1 ＝2a， ∵a， ∴原式＝2﹣（2） ＝2﹣2（2） 2 ＝﹣2． 【点评】本题考查了二次根式和分式的化简求值，熟练掌握二次根式和分式的运算法则是解题的关键． 9．（2024秋•原阳县月考）化简求值： 已知a，b，求的值． 【分析】利用二次根式的性质化简a，b，利用分式的混合运算的法则化简式子，最后将a，b的值代入运算即可． 【解答】解：a，b， 原式＝（） ． 【点评】本题主要考查了二次根式的化简求值，分母有理化，分式的化简求值，熟练掌握分母有理化的法则与分式的混合运算的法则是解题的关键． 【题型3 利用先化简整体代入求值】 1．（2024秋•玉环市期末）已知a+b＝4，ab＝2，则的值为（　　） A． B．2 C． D．1 【分析】将所求式子变形，然后将a+b＝4，ab＝2代入计算即可． 【解答】解：∵a+b＝4，ab＝2， ∴ ＝2， 故选：A． 【点评】本题考查二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 2．（2024秋•市中区校级期中）已知x+y＝﹣9，xy＝9，则值是（　　） A．6 B．﹣6 C．3 D．﹣3 【分析】先根据x+y＝﹣9，xy＝9可得x＜0，y＜0，再根据二次根式的性质可得，，再利用二次根式的运算法则进行计算即可． 【解答】解：∵x+y＝﹣9，xy＝9， ∴x＜0，y＜0， ∴，， ∴原式 ＝﹣6， 故选：B． 【点评】本题考查了二次根式的性质、二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是关键． 3．（2024春•西安区校级期末）已知x，y为实数，xy＝3，那么的值为（　　） A． B．± C．2 D．±2 【分析】根据x，y为实数，xy＝3，可知x、y同号，同时为正或同时为负，然后分别计算所求式子即可． 【解答】解：∵x，y为实数，xy＝3， ∴x、y同号，同时为正或同时为负， 当x、y同时为正时， ＝2 ＝2； 当x、y同时为负时， ＝﹣（） ＝﹣2 ＝﹣2； 由上可得，的值为±2， 故选：D． 【点评】本题考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是明确二次根式的性质，利用分类讨论的方法解答． 4．（2024春•陇西县校级月考）已知x＝2，y＝2，求的值． 【分析】由题意可得：x﹣y＝2，xy＝1，再把所求的式子进行整理，代入相应的值运算即可． 【解答】解：∵x＝2，y＝2， ∴x﹣y＝2，xy＝1， ∴ ． 【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 5．（2024秋•浦东新区校级月考）化简并求值：，其中，． 【分析】由题意易得xy＝1，x+y＝4，然后代入进行求解即可． 【解答】解：∵，， ∴xy1，， ∴ ＝4． 【点评】本题主要考查二次根式的运算，分式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键． 6．（2024秋•雨花区期末）已知，求下列各式的值． （1）； （2）． 【分析】（1）先根据题意得出x+y与xy的值，代入代数式进行计算即可； （2）根据（1）中出x+y与xy的值，代入代数式进行计算即可． 【解答】解：（1）∵， ∴xy•；x+y， ∴原式2； （2）由（1）知，xy，x+y， ∴原式12． 【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，分式的加减法，分母有理化，熟知以上运算法则是解题的关键． 【题型4 利用乘法公式进行计算】 1．（2024秋•澧县期末）已知，则代数式x2﹣2xy+y2的值为（　　） A．28 B．20 C． D． 【分析】求出x﹣y的值，再运用完全平方公式得出x2﹣2xy+y2＝（x﹣y）2，代入计算即可． 【解答】解：∵，， ∴， ∴． 故选：B． 【点评】本题考查了二次根式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． 2．（2024•昌黎县一模）已知x，y，则x2+xy+y2的值为（　　） A．2 B．4 C．5 D．7 【分析】先把x、y的值代入原式，再根据二次根式的性质把原式进行化简即可． 【解答】解：原式＝（x+y）2﹣xy ＝（）2 ＝（）2 ＝5﹣1 ＝4． 故选：B． 【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，熟知二次根式混合运算的法则是解答此题的关键． 3．（2024秋•隆昌市校级月考）已知a＞b＞0，，则的值为（　　） A． B．2 C． D． 【分析】先根据完全平方公式得到，，则，再由a＞b＞0得到，则． 【解答】解：由题意可知：， ， 2， 由题意可知：， ∴， 故选：A． 【点评】本题主要考查了二次根式的化简求值，分母有理化，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 4．（2024•安徽模拟）若a2﹣3ab+b2＝0，且a＞b＞0，则的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】变形已知，用ab表示出b﹣a、b+a，再计算它们的商得结论． 【解答】解：∵a2﹣3ab+b2＝0， ∴a2﹣2ab+b2＝ab，a2+2ab+b2＝5ab． ∴（b﹣a）2＝ab，（a+b）2＝5ab． ∴b﹣a＝±，b+a＝±． ∵a＞b＞0， ∴b﹣a，b+a． ∴． 故选：C． 【点评】本题考查了二次根式的运算和整式的变形，掌握二次根式的运算和完全平方公式是解决本题的关键． 5．（2024春•老河口市期中）已知，，求a2﹣2ab+b2的值． 【分析】将a2﹣2ab+b2变为（a﹣b）2，把a、b的值代入计算即可． 【解答】解：∵，， ∴a2﹣2ab+b2 ＝（a﹣b）2 ＝8． 【点评】本题主要考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算的法则，准确计算． 6．（2024春•长兴县月考）已知：，，分别求下列代数式的值： （1）a2﹣b2； （2）a2﹣3ab+b2． 【分析】（1）先求出，a﹣b＝2，再由a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）进行计算求解即可； （2）先求出，ab＝4，再由a2﹣3ab+b2＝（a+b）2﹣5ab进行计算求解即可． 【解答】解：（1）∵，， ∴，， ∴； （2）∵，， ∴，， ∴a2﹣3ab+b2 ＝（a2+2ab+b2）﹣5ab ＝（a+b）2﹣5ab ＝0． 【点评】本题主要考查了二次根式的化简求值，能利用公式是解题的关键． 7．（2024春•绥江县月考）已知，，求下列代数式的值： （1）（x﹣y）2+4xy； （2）x2﹣y2． 【分析】（1）得到x+y＝2，将（x﹣y）2+4xy变形后代入，即可求解， （2）得到x+y＝2，，将x2﹣y2变形后代入，即可求解． 【解答】解：（1）∵，， ∴x+y＝2， ∴（x﹣y）2+4xy ＝x2﹣2xy+y2+4xy ＝（x+y）2 ＝22 ＝4； （2）∵，， ∴x+y＝2，， ∴x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y） ． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，代数式求值，解题的关键是熟练掌握完全平方公式，平方差公式． 8．（2023秋•郴州期末）设，． （1）求的值； （2）求b2+2b+1，a2﹣2ab+b2的值． 【分析】（1）把a，b的值代入计算即可； （2）先把所求式子变形，再代入计算即可． 【解答】解：（1）∵，b＝﹣1 ∴a+b ＝﹣1（﹣1） ＝﹣2； ； （2）b2+2b+1 ＝（b+1）2 ＝（﹣11）2 ＝（）2 ＝5； a2﹣2ab+b2 ＝（a﹣b）2 ＝（﹣11）2 ＝（2）2 ＝20． 【点评】本题考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式相关运算的法则． 【题型5 利用二次根式的整数部分和小数部分求值】 1．若m为的小数部分，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】先表示出的小数部分，再把m1代入计算即可． 【解答】解：∵若m为的小数部分， ∴m1， ∴ ＝（1）21 ＝2﹣211 ＝2， 故选：B． 【点评】此题考查了二次根式的化简求值，关键是能表示出的小数部分，用到的知识点是二次根式的加减和乘法，要注意乘法公式的应用． 2．（2024春•丹江口市期中）已知a是的小数部分，则的值为（　　） A．5 B．6 C．7 D． 【分析】根据a是的小数部分，可以得到a2，然后代入所求式子计算即可． 【解答】解：∵a是的小数部分， ∴a2， ∴ ＝5 ＝5 ＝5+1 ＝6， 故选：B． 【点评】本题考查无理数的估算，二次根式的化简求值．熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 3．（2025•泗洪县一模）已知m是的小数部分，则的值为　 　． 【分析】先估算得到m2，则2，即m，利用完全平方公式得到原式，再根据二次根式的性质得到原式＝|m|，去绝对值得原式＝﹣m，然后把m和的值代入计算即可． 【解答】解：∵m是的小数部分， ∴m2， 原式|m| ∵m2， ∴2，即m， ∴原式＝﹣（m） ＝﹣m ＝﹣（2）2 ＝4． 故答案为：4． 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，估算无理数的大小，完全平方公式，熟知以上知识是解题的关键． 4．已知a，b为实数，m，n分别表示5的整数部分和小数部分，且am+bn＝0，求代数式的值． 【分析】根据已知首先求出m，n的值，进而化简原式得出2a+3b＝0，b＝0，求出即可． 【解答】解：∵m，n分别表示5的整数部分和小数部分， ∴m＝2，n＝52＝3， ∴am+bn＝a×2+（3）b＝2a+（3）b＝0， ∴ ∴． 【点评】本题考查了估算无理数的大小，解决本题的根据是求出m，n的值． 5．（2024秋•西湖区校级期末）已知； （1）求x2﹣xy+y2的值； （2）若x的小数部分为a，y的小数部分为b，求的值． 【分析】（1）先求出x、y的值，再代入代数式进行计算即可； （2）先求出a，b的值，进而可得出结论． 【解答】解：（1）∵x2，y2， ∴x2﹣xy+y2 ＝（x+y）2﹣3xy ＝（22）2﹣3×（2）（2） ＝42﹣3×1 ＝16﹣3 ＝13； （2）由（1）知，x＝2，y＝2， ∵1＜3＜4， ∴12， ∴﹣21，3＜24， ∴0＜21， ∵x的小数部分为a，y的小数部分为b， ∴a＝2，b＝231， ∴原式＝（21）2 ＝1 ＝1+23 ＝22． 【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，估算无理数的大小，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键． 6．（2024秋•洛阳期末）我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而23，所以的整数部分是2，将减去其整数部分2，所得的差2就是的小数部分．根据以上信息回答下列问题： （1）的整数部分是 　　 ，小数部分是 　 　； （2）如果3的小数部分为a，5的整数部分为b，求a的值． 【分析】（1）根据45求出的整数部分和小数部分； （2）先求出a、b，再根据算术平方根计算，得到答案． 【解答】解：（1）∵45， ∴的整数部分是4，小数部分是4， 故答案为：4，4； （2）∵23， ∴2+3＜33+3，即5＜36， ∴3的整数部分是5，小数部分a2， ∵12， ∴﹣21， ∴5﹣2＜55﹣1，即3＜54， ∴5的整数部分b＝3， ∴a21． 【点评】本题考查的是二次根式的化简求值、估算无理数的大小，根据算术平方根的定义进行无理数的估算是解题的关键． 7．（2024春•越秀区校级期中）数学张老师在课堂上提出一个问题：“通过探究知道：，它是个无限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是1，那么有谁能说出它的小数部分是多少”，小明举手回答：它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用来表示它的小数部分，张老师夸奖小明真聪明，肯定了他的说法．现请你根据小明的说法解答： （1）的小数部分是多少，请表示出来； （2）a为的小数部分，b为的整数部分，求的值； （3）已知，其中x是一个正整数，0＜y＜1，求的值． 【分析】（1）根据所给的方法进行求解即可； （2）由题意可得a，b＝2，再代入求解即可； （3）由题意可得x＝9，y，再代入所求的式子运算即可． 【解答】解：（1）∵， ∴， ∴的整数部分为1，小数部分为：1； （2）∵a为的小数部分，b为的整数部分， ∴a，b＝2， ∴ ＝1； （3）∵，其中x是一个正整数，0＜y＜1， ∴x＝8+1＝9，y1， ∴ ＝2×9+（）2023 ＝18+（﹣1）2023 ＝18﹣1 ＝17． 【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 1．（2024春•赵县期中）若a＜b（a，b为非零实数），化简的结果为（　　） A． B． C． D． 【分析】直接利用二次根式的性质分别化简，进而得出答案． 【解答】解：∵a＜b（a，b为非零实数），有意义， ∴﹣a3b＞0， ∴ab＜0， ∴a＜0，b＞0， ∴a． 故选：A． 【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出a，b的符号是解题关键． 2．（2024春•漳平市期中）已知x，y两个实数在数轴上位置如图所示，则化简的结果是（　　） A．2x B．2y C．2x﹣2y D．2y﹣2x 【分析】根据点在数轴的位置判断式子的正负，然后化简． 【解答】解：由数轴可得， x＜y＜0， ∴y﹣x＞0，x﹣y＜0， ∴ ＝y﹣x+（y﹣x） ＝y﹣x+y﹣x ＝2y﹣2x， 故选：D． 【点评】此题的考查了二次根式的性质与化简、数轴、绝对值的性质、合并同类项法则，解题的关键是根据点在数轴的位置判断式子的正负． 3．（2024秋•徐汇区校级期中）当0＜a＜1时，化简（　　） A．a B．﹣a C．a D．a 【分析】首先根据已知确定a，再利用绝对值以及二次根式的性质化简求出即可． 【解答】解：∵0＜a＜1， ∴a， ∴|a|a， 故选：B． 【点评】此题主要考查了二次根式与绝对值的性质，正确化简二次根式是解题关键． 4．（2024秋•陵川县期中）已知3＜x＜5，化简的正确结果为（　　） A．2 B．﹣2 C．2x﹣8 D．8﹣2x 【分析】由已知得出x﹣5＜0，x﹣3＞0，再根据二次根式的性质、绝对值的性质化简即可． 【解答】解：∵3＜x＜5， ∴x﹣5＜0，x﹣3＞0， ∴ ＝|x﹣5|+x﹣3 ＝5﹣x+x﹣3 ＝2， 故选：A． 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，绝对值，熟练掌握二次根式的性质以及绝对值的性质是解题的关键． 5．（2024春•西华县月考）已知，，则m2+2mn+n2的值为（　　） A． B．12 C．10 D．6 【分析】据（m+n）2＝m2+2mn+n2，代入计算即可． 【解答】解：∵，， ∴m2+2mn+n2＝（m+n）2＝（2）2＝12． 故选：B． 【点评】本题考查了二次根式的化简求值、完全平方公式，掌握完全平方公式（m+n）2＝m2+2mn+n2是解题的关键． 6．（2023春•武昌区校级期中）已知3，且0＜m＜1，则的值是（　　） A． B．± C． D． 【分析】根据完全平方公式变形，计算即可． 【解答】解：∵0＜m＜1， ∴， ∴0， ∵3， ∴（）2＝9， ∴m+29， ∴m﹣25， ∴（）2＝5， ∵0， ∴， 故选：A． 【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握完全平方公式是解题的关键． 7．（2024•山海关区一模）已知，，则代数式的值为　 ． 【分析】先根据已知条件，求出x+y和xy的值，再把所求代数式分解因式，最后整体代入求值即可 【解答】解：∵，， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 【点评】本题考查了二次根式的化简求值，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键． 8．（2024秋•北京校级期末）若的整数部分为x，小数部分为y，则（2x）y的值是　 ． 【分析】首先根据的整数部分，确定的整数部分x的值，则y即可确定，然后代入所求解析式计算即可求解． 【解答】解：∵9＜13＜16 ∴34， ∴的整数部分x＝2， 则小数部分是：62＝4， ∴y＝4， 则（2x）y＝（4）（4） ＝16﹣13 ＝3． 故答案为：3． 【点评】本题考查了二次根式的运算，正确确定6的整数部分x与小数部分y的值是关键． 9．已知|a|＝4，（）2＝3，且|a+b|＝﹣a﹣b，则a﹣b的值为　 ． 【分析】先利用二次根式的被开方数的非负性及平方运算，得出b的值；再利用绝对值的含义得出a的可能值；然后利用关系式|a+b|＝﹣a﹣b得出a+b＜0，从而可确定a的值，进而可求得a﹣b的值． 【解答】解：∵（）2＝3， ∴b＝3， ∵|a|＝4， ∴a＝﹣4或a＝4； ∵|a+b|＝﹣a﹣b， ∴a+b＜0， ∵3+（﹣4）＜0，3+4＞0， ∴a＝﹣4，a＝4（舍）； ∴a﹣b＝﹣4﹣3＝﹣7． 故答案为：﹣7． 【点评】本题考查了二次根式与绝对值的化简与求值，牢固掌握相关运算法则是解题的关键． 10．（2024秋•台江区期末）若x满足（x+2024）（2025+x）＝4，则代数式的值为　 　． 【分析】设x+2024＝a，2025+x＝b，则a﹣b＝﹣1，ab＝4，然后求出a2+b2的值，再根据算术平方根的定义即可得出结果． 【解答】解：设x+2024＝a，2025+x＝b， 则a﹣b＝﹣1， ∵（x+2024）（2025+x）＝4， ∴ab＝4， ∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝（﹣1）2+2×4＝9， ∴3， 故答案为：3． 【点评】本题考查了完全平方公式，二次根式的性质与化简，正确计算是解题的关键． 11．（2024秋•青山区期末）先化简，再求值：（a）（a）﹣（a）2，其中a＝21． 【分析】先利用平方差公式和完全平方公式展开，再合并同类项即可化简二次根式，最后将a的值代入计算可得． 【解答】解：原式＝a2﹣5﹣3﹣a2+2a ＝2a﹣8． ∵a＝21， ∴原式＝2（21）﹣8 ＝4﹣2． 【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和二次根式的性质． 12．先化简，再求值：，其中x． 【分析】先化简二次根式，利用分式的基本性质对分式进行约分，利用完全平方公式计算乘方，再算加减，最后将x进行分母有理化化简，代入求值． 【解答】解：原式 ＝4x+（x﹣2）2﹣2x ＝4x+x2﹣4x+4﹣2x ＝x2﹣2x+4， x， ∴原式＝（1）2﹣2（1）+4 ＝5+21﹣22+4 ＝8． 【点评】本题考查分式的化简求值，二次根式的化简求值，掌握运算顺序和计算法则，理解利用平方差公式进行二次根式分母有理化的方法是解题关键． 13．（2024秋•静安区校级期中）已知，，求的值． 【分析】先分母有理化求出a、b的值，再求出a+b和ab的值，求出，最后将化简后的条件代入变形后的式子就可以求出其值． 【解答】解：∵2，2， ∴ab＝（2）×（2）＝5﹣4＝1，a+b22＝2， ∴ ＝（2）2﹣2 ＝20﹣2 ＝18． 【点评】本题主要考查了二次根式混合运算，分式的化简求值，分母有理化，完全平方公式等知识点，能正确求出，是解答本题的关键． 14．已知． （1）求a2﹣b2的值． （2）若m为a的整数部分，n为b的小数部分，求的值． 【分析】（1）首先求出a+b＝14，，然后利用平方差公式求解即可； （2）首先利用无理数的估算求出m＝2，，然后代入求解即可． 【解答】解：（1）∵， ∴，， ∴； （2）∵， ∵， ∴ ∴， ∴即， ∵m为a的整数部分， ∴m＝2， ∵， 即， ∵n为b的小数部分， ∴， ∴． 【点评】此题考查了二次根式的化简求值，无理数的估算，正确记忆相关知识点是解题关键． 15．观察：因为，即23，所以的整数部分为2，小数部分为2． 请你观察上述规律后解决下面的问题： （1）规定用符号[m]表示实数m的整数部分，例如：[]＝0，[]＝2．按此规定，那么[1]的值为 　　． （2）若的整数部分为a，小数部分为b，|c|，求c（a﹣b﹣6）+12的值． 【分析】（1）根据算术平方根的定义，估算无理数的大小，进而确定1的大小即可； （2）估算无理数的大小，确定a、b的值，再根据绝对值的定义得出c的值，再代入计算即可． 【解答】解：（1）∵，即34， ∴41＜5， ∴1的整数部分为4， 即[1]＝4， 故答案为：4； （2）∵，即34， ∴的整数部分a＝3，小数部分b3， ∵|c|， ∴c＝±， 当a＝3，b3，c时， c（a﹣b﹣6）+12（33﹣6）+12 ＝﹣11+12 ＝1； 当a＝3，b3，c时， c（a﹣b﹣6）+12（33﹣6）+12 ＝11+12 ＝23； 答：c（a﹣b﹣6）+12的值为1或23． 【点评】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义估算无理数的大小，进而确定整数部分、小数部分是正确解答的前提． 学科网（北京）股份有限公司 $$