湖南省长沙市2024-2025学年湘教版八年级上册数学期中考试试卷

湘教版八年级上册数学期中考试试题 一、单选题 1．在，，，，中，分式的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 2．若把分式中的x和y都扩大到原来的2倍，那么分式的值（　　） A．不变 B．缩小2倍 C．扩大2倍 D．扩大4倍 3．计算结果为（　　） A．0 B． C． D． 4．下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　） A．1，1，2 B．4，4，9 C．3，4，5 D．6，16，8 5．下列语句中是命题的有（　　）个 （1）三角形的内角和等于；（2）如果，那么；（3）1月份有30天； （4）作一条线段等于已知线段； （5）一个锐角与一个钝角互补吗？ A．2 B．3 C．4 D．5 6．如图，且，，，则（　　） A．4 B．5 C．9 D．10 7．如图，，，与相交于点O，经过点O，且与边、分别交于E、F两点，若，则图中的全等三角形有（　　） A．2对 B．3对 C．4对 D．6对 8．一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？设江水的流速为千米/时，则可列方程（       ） A． B． C． D． 9．如图，在△ABC中，∠B=∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，∠AFD=158°，则∠EDF等于（ ） A．58° B．68° C．78° D．32° 10．如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是AC边上的高，则∠DBC的度数是（） A．18° B．24° C．30° D．36° 二、填空题 11．已知时，分式无意义，时，此分式的值为0，________． 12．化简： __________． 13．方程：的解是__________． 14．等腰三角形的两边长分别是2和5，则这个等腰三角形的周长为_______． 15．若关于x的分式方程有增根，则a的值为__________． 16．一个三角形的三个内角度数之比为，那这个三角形一定是三角形__________． 17．如图的周长为18，且，于D，的周长为12，那么的长为__________． 18．如图，△ABC中，边AB的中垂线分别交BC、AB于点D、E，AE＝3cm，△ADC的周长为9cm，则△ABC的周长是_____cm． 三、解答题 19．解分式方程： （1）                           （2） 20．先化简，再求值：，其中，． 21．在中，，垂直平分斜边，分别交、于．若，求． 22．甲、乙两单位为爱心基金捐款，其中甲单位捐款4800元，乙单位捐款6000元．已知乙单位捐款人数比甲单位多50人，且两单位人均捐款数相等，问这两单位共有多少人捐款？人均捐款额是多少？ 23．如图，点D为码头，A，B两个灯塔与码头的距离相等，DA，DB为海岸线，一轮船离开码头，计划沿∠ADB的平分线航行，在航行途中C点处，测得轮船与灯塔A和灯塔B的距离相等．试问：轮船航行是否偏离指定航线？请说明理由． 24．观察下面的计算： ，； ，； ，； ，﹔ 根据上面的计算，你能作出什么猜测？你将用什么方法来判断你的猜想是正确的？ 25．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在BC，AB上，且BD＝AE，AD与CE交于点F （1）求证：AD＝CE； （2）求∠DFC的度数． 26．如图，有一块直角三角板置在上，恰好三角板的两条直角边、分别经过点B、C．中，．　 （1）________． （2）________．（说明理由） 参考答案 1．B 【分析】 根据分式的概念进行求解即可． 【详解】 解：∵的分母中含有字母， ∴它们都是分式， 而的分母中不含有字母， ∴它们不是分式， 故选：B ． 【点睛】 本题考查分式的概念，熟练掌握分式的定义是解题关键． 2．D 【解析】 【分析】 直接利用分式的性质化简得出答案． 【详解】 解：将分式中的x和y都扩大到原来的2倍得： ∴=×4，即分式的值扩大4倍 故选：D 【点睛】 此题主要考查了分式的基本性质，正确化简分式是解题关键． 3．C 【解析】 【分析】 根据分式的混合运算法则计算． 【详解】 解：原式= = =， 故选C ． 【点睛】 本题考查分式的运算，熟练掌握分式的除法法则是解题关键． 4．C 【解析】 【分析】 组成三角形的三条线段长度，必须满足“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”．根据逐一判断即可 【详解】 A．1+l=2，不能组成三角形，故该选项错误； B．4+4＜9，不能组成三角形，故该选项错误； C．3+4＞5，5－4＜3能组成三角形，故该选项正确； D．6+8=14＜16不能组成三角形，故该选项错误. 故选：C 【点睛】 本题考查三角形三边关系：解题的关键是掌握三角形“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”． 5．B 【解析】 【分析】 判断一件事情的语句叫命题，命题都由题设和结论两部分组成，依此对四个选项进行逐一分析即可． 【详解】 解：（1）三角形的内角和等于，是命题； （2）如果，那么，是命题； （3）1月份有30天，是命题； （4）作一条线段等于已知线段，不是命题； （5）一个锐角与一个钝角互补吗？不是命题， ∴是命题的有3个， 故选：B． 【点睛】 本题考查了命题的概念：一般的，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．注意命题是一个能够判断真假的陈述句． 6．C 【解析】 【分析】 根据三角形全等的性质可以得到解答． 【详解】 解：∵△ABC≌△EFD， ∴AC=DE=CD+CE=5+4=9， 故选C． 【点睛】 本题考查三角形全等的应用，熟练掌握三角形全等的性质是解题关键． 7．D 【解析】 【分析】 先证明四边形ABCD是平行四边形，再根据平行四边形的性质及全等三角形的判定可得图中全等的三角形． 【详解】 解：∵，， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AD=BC，∠ABC=∠ADC，∠BAD=∠BCD，AO=OC，BO=OD， ∵BF=DE， ∴CF=AE， ∵， ∴∠EAO=∠FCO，∠EDO=∠FBO， ①∵AB=CD，AO=OC，BO=OD， ∴△AOB≌△COD(SSS)； ②∵AD=BC，AO=OC，OD=OB， ∴△AOD≌△COB(SSS)； ③∵AB=CD，∠ABC=∠ADC，AD=BC， ∴△ABC≌△CDA(SAS)； ④∵AB=CD，∠BAD=∠BCD，AD=BC， ∴△BAD≌△DCB(SAS)； ⑤∵AE=CF，∠EAO=∠FCO，AO=OC， ∴△AOE≌△COF(SAS)； ⑥∵DE=BF，∠EDO=∠FBO，BO=OD， ∴△FOB≌△EOD(SAS)， 综上，一共6对全等三角形， 故选：D． 【点睛】 本题考查了平行四边形的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定，熟练掌握平行四边形的性质和全等三角形的判定是解答的关键． 8．A 【解析】 【分析】 根据题目中的等量关系列出分式方程即可． 【详解】 解：设江水的流速为x千米/时， ． 故选：A． 【点睛】 本题主要考查分式方程的实际问题的应用，解题的关键是读懂题目的意思，根据题目给出的条件，设出未知数，分别找出顺水和溺水对应的时间，找出合适的等量关系，列出方程即可． 9．B 【详解】 ∵FD⊥BC，∠AFD=158°， ∴∠CFD=180°﹣∠AFD=180°﹣158°=22°， 则∠C=180°﹣∠FDC﹣∠CFD=180°﹣90°﹣22°=68°． ∵∠B=∠C，DE⊥AB， ∴∠EDB=180°﹣∠B﹣∠DEB=180°﹣68°﹣90°=22°， 则∠EDC=∠B+∠DEB=∠B+90°． ∵∠EDC=∠EDF+90°， ∴∠EDF=∠B=68°． 故选B． 10．A 【解析】 【分析】 先根据等腰三角形的性质求得∠C的度数，再根据三角形的内角和定理求解即可． 【详解】 解：∵AB＝AC，∠A＝36° ∴∠C＝72° ∵BD是AC边上的高 ∴∠DBC＝180°-90°-72°＝18° 故选A． 【点睛】 题目主要考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 11．7 【解析】 【分析】 根据分式无意义和分式的值为零的条件得出a和b的值，代入a+b即可 【详解】 解：因为x=﹣3时，分式无意义， 所以﹣3＋a=0，所以a=3， 又因为x=﹣4时，此分式的值为0， 所以﹣4＋b=0，所以b=4， 所以a＋b=3+4=7． 故答案为7 【点睛】 本题考查分式有意义的条件和分式为0的条件，解题的关键是掌握分式分母的值为0时分式无意义，要使分式的值为0，必须使分式分子的值为0并且分母的值不为0． 12． 【解析】 【分析】 先通分，然后再计算即可． 【详解】 解：． 故答案为． 【点睛】 本题考查了异分母分式加法，正确的通分是解答本题的关键． 13． 【解析】 【分析】 根据解分式方程的方法和步骤求解． 【详解】 解：原方程两边同时乘以（x-4）（x-8）得： 2（x-8）=3（x-4）， 解之得：x=-4， 经检验，x=-4是原方程的解． 故答案为：x=-4． 【点睛】 本题考查分式方程的求解，熟练掌握分式方程的解法是解题关键． 14．12 【解析】 【分析】 题目给出等腰三角形有两条边长为2和5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【详解】 解：分两种情况： 当腰为2时，2＋2＜5，所以不能构成三角形； 当腰为5时，2＋5＞5，所以能构成三角形，周长是：2＋5＋5＝12． 故答案是：12． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 15．5 【解析】 【分析】 根据分式方程增根的定义可以得解． 【详解】 解：原方程两边同时乘以（x-5）得： x-3（x-5）=a， 由题意，x=5， ∴a=5， 故答案为：5 ． 【点睛】 本题考查分式方程无解的问题，熟练掌握分式方程增根的意义及产生根源是解题关键． 16．直角 【解析】 【分析】 若三角形三个内角的度数之比为2：3：5，利用三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°，可求出三个内角分别是36°，54°，90°．则这个三角形一定是直角三角形． 【详解】 解：设三角分别为2x，3x，5x， 依题意得2x+3x+5x＝180°， 解得x＝18°． 故三个角的度数分别为36°，54°，90°． 故答案为：直角． 【点睛】 此题主要考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°，熟练掌握三角形内角和定理是解决本题的关键． 17．3 【解析】 【分析】 由已知条件根据等腰三角形三线合一的性质可得到BD＝DC，再根据三角形的周长定义求解． 【详解】 解：∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BD＝DC． ∵AB+AC+BC＝18， 即AB+BD+CD+AC＝18， ∴AC+DC＝9 ∴AC+DC+AD＝12， ∴AD＝3． 故答案为：3． 【点睛】 本题考查等腰三角形的性质；由已知条件结合图形发现并利用AC+CD是△ABC的周长的一半是正确解答本题的关键． 18．15 【解析】 【分析】 根据题意得在△ABC中，边AB的中垂线分别交BC、AB于点D、E，AE=3cm，根据线段垂直平分线的性质，即可求得AD=BD，AB=2AE，又由△ADC的周长为9cm，即可求得AC+BC的值，继而求得△ABC的周长． 【详解】 解：∵△ABC中，边AB的中垂线分别交BC、AB于点D、E，AE=3cm， ∴BD=AD，AB=2AE=6cm， ∵△ADC的周长为9cm， ∴AC+AD+CD=AC+BD+CD=AC+BC=9cm， ∴△ABC的周长为：AB+AC+BC=15cm． 故答案为：15． 【点睛】 本题考查线段垂直平分线的性质．解题的关键是注意数形结合思想的应用以及等量代换思想的应用． 19．（1）     （2）无解 【解析】 【分析】 （1）方程两边同时乘以 （x-2）可以去掉分母变成整式方程，解出整式方程后再把解代入x-2检验即可得到解答； （2）方程两边同时乘以 x（x+1）可以去掉分母变成整式方程，解出整式方程后再把解代入x（x+1）检验即可得到解答． 【详解】 解：（1）方程两边同时乘以，则 解得： 又∵， ∴此方程的解： （2）方程两边同时乘以，则 解得： 又∵， ∴是此方程的增根， 此方程无解. 【点睛】 本题考查分式方程的求解，熟练掌握分式方程的解法和步骤并检验是解题关键． 20．； 【解析】 【分析】 先将原式进行化简，然后将x，y代入即可． 【详解】 解：先化简； 求值：当，时 【点睛】 本题考查了整式的加减−化简求值问题，解题的关键是原式化简． 21．120° 【解析】 【分析】 已知DE垂直平分斜边AB可求得AE＝BE，∠EAB＝∠EBA．易求出∠AEB． 【详解】 解：∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵垂直平分 ∴ ∴ ∴ ． 【点睛】 本题考查的是线段垂直平分线的性质（垂直平分线上任意一点，和线段两端点的距离相等）有关知识，三角形内角和定理，解题的关键是注意角与角之间的转换． 22．450人；24元 【解析】 【分析】 设甲单位捐款人数为x人，由题意列出分式方程并解出分式方程后可以得到问题解答 ． 【详解】 解：设甲单位捐款人数为x人，则乙单位捐款人数为人 由题意可得： 解方程得： 经检验，x=200是原方程的解且符合实际情况， 所以甲单位捐款人数为200人， 从而乙单位捐款人数为250人，人均捐款额为元 答：这两单位有450人捐款，人均捐款额为24元. 【点睛】 本题考查分式方程的应用，设定合适的未知数并根据题目的数量关系列出方程求解是解题关键． 23．轮船航行没有偏离指定航线．理由见解析. 【解析】 【分析】 只要证明轮船与D点的连线平分∠ADB就说明轮船没有偏离航线，也就是∠ADC=∠BDC，证角相等，常常通过把角放到两个三角形中，利用题目条件证明这两个三角形全等，从而得出对应角相等． 【详解】 解：轮船航行没有偏离指定航线． 理由是：在△ADC与△BDC中， ∵， ∴， ∴， ∴轮船航线DC即为∠ADB的角平分线 故答案为：轮船航行没有偏离指定航线． 【点睛】 本题考查了全等三角形的实际应用，解题的关键是读懂题意，建立数学模型. 24．（n为大于1的正整数）；见解析． 【解析】 【分析】 通过观察题目的几个算式可以得到如下猜测：（n为大于1的正整数），然后根据分式的运算法则可以对得到的猜测作出证明 ． 【详解】 解：能作出如下的猜测：（n为大于1的正整数） 证明猜测： ∴（n为大于1的正整数） 【点睛】 本题考查与实数运算相关的规律探索，在阅读题目所给算式的基础上作出猜测并利用所学知识对得到的猜测给予证明是解题关键． 25．（1）见解析；（2）60° 【解析】 【分析】 （1）根据等边三角形的性质，利用SAS证得△AEC≌△BDA，所以AD＝CE， （2）根据全等三角形的性质得到∠ACE＝∠BAD，再根据三角形的外角与内角的关系得到∠DFC＝∠FAC＋∠ACF＝∠FAC＋∠BAD＝∠BAC＝60°． 【详解】 （1） 证明： ∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠BAC＝60°，AB＝AC． 又∵BD＝AE ∴△ABD≌△CAE（SAS） ∴AD＝CE （2）解：由（1）得△ABD≌△CAE ∴∠ACE＝∠BAD． ∴∠DFC＝ ∠FAC＋ ∠ACE＝ ∠FAC ＋ ∠BAD＝∠BAC＝60°． 【点睛】 本题利用了等边三角形的性质和三角形外角定理，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理及三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 26．（1）     （2）；理由见解析 【解析】 【分析】 （1）根据三角形的内角和定理即可求得答案； （2）先求得90°，再根据即可求得答案． 【详解】 解：（1）∵，， ∴ ， 故答案为：150°； （2）， 理由如下：∵，， ∴ ， ∴ ， 故答案为：60°． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$