10.3.2随机模拟导学案-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

10．3.2　随机模拟 学案 学习目标 1．理解概率的意义以及频率与概率的区别与联系． 2.能初步利用概率知识解释现实生活中的概率问题． 3.了解随机模拟的含义，会利用随机模拟估计概率． 情境导入 对于任何一位篮球运动员，在一次投篮中，命中与否是一个随机事件．但是，我们经常能够听到球迷说某某球员投篮很准，这个“很准”是怎么得来的？是否有一个量化的标准？此外，我们经常能够看到在篮球比赛决定胜负的一投时，往往会将这决定胜负的一投交给“最有把握”的球员．既然能否投中是一个随机事件，那么最后一投交给谁都应该一样，不都是听天由命吗？这里的“最有把握”是怎么得来的呢？事实上，在篮球比赛的统计中有一项技术指标叫“投篮命中率”，是用来衡量运动员投篮准确性的．“投篮命中率”往往用一个比值表示，其中n表示投篮的总次数，m表示在这n次投篮中命中的次数．在一般情况下，称m为投篮命中的频数，称为投篮命中的频率，简称投篮命中率．显然，频率的值位于区间[0，1]之间，的值可以反映运动员投篮的准确度，的值越大，说明其投篮越准． 新知探究 知识点一　频率的稳定性 问题引导 　1.利用计算机模拟抛掷两枚质地均匀的硬币的试验，在重复试验次数为20，100，500时各做5组试验，得到事件A＝“一个正面朝上，一个反面朝上”发生的频数nA和频率fn(A)，结果如表所示： 序号 n＝20 n＝100 n＝500 频数 频率 频数 频率 频数 频率 1 12 0.6 56 0.56 261 0.522 2 9 0.45 50 0.5 241 0.482 3 13 0.65 48 0.48 250 0.5 4 7 0.35 55 0.55 258 0.516 5 12 0.6 52 0.52 253 0.506 你能计算出事件A发生的概率吗？频率与概率有什么关系？ 提示：(1)试验次数n相同，频率fn(A)可能不同，这说明随机事件发生的频率具有随机性． (2)从整体来看，频率在概率0.5附近波动．当试验次数较少时，波动幅度较大；当试验次数较多时，波动幅度较小，但试验次数多的波动幅度并不全都比次数少的小，只是波动幅度小的可能性更大． 知识点总结 1．一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)．我们称频率的这个性质为频率的稳定性．因此，我们可以用频率fn(A)估计概率P(A)． 2．概率是一个确定的数，与每次的试验无关． 典例探究 例1(链接教材P256例1)某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次击中10环，有3次击中9环，有4次击中8环，有1次未中靶． (1)试求此人中靶的频率； (2)试估计此人中靶的概率． [延伸探究] 1．(变设问)本例条件不变，若此人射击1次，求中靶的概率约为多大？ 2．(变设问)本例条件不变，试求击中10环的概率． 变式训练 1．下表是某品牌乒乓球的质量检查统计表： 抽取球数 50 100 200 500 1000 2000 优等品数 45 92 194 470 954 1902 优等品频率 (1)计算各组优等品频率，填入上表； (2)根据频率的稳定性估计事件“抽取的是优等品”的概率． 知识点二　用随机模拟估计概率 问题引导 　2.用频率估计概率，需要做大量的重复试验，有没有其他方法可以替代试验呢？ 知识点总结 1．随机数的定义 随机数就是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内的每一个数的机会相等． 2．产生随机数的方法 (1)利用计算器或计算机软件产生随机数． (2)构建模拟试验产生随机数． 3．随机模拟方法(蒙特卡洛方法) 利用计算机或计算器产生的随机数来做模拟试验，通过模拟试验得到的频率来估计概率，这种用计算机或计算器模拟试验的方法称为随机模拟方法或蒙特卡洛方法． 1．利用随机模拟试验，只适用于试验结果是有限个的情形． 2．利用随机模拟试验，关键是建立好适当的模型． 3．利用随机模拟的方法估算概率的步骤：一是建立概率模型；二是进行模拟试验；三是统计计算，随着模拟的数量的不断增加，模拟结果就越来越接近概率． 典例探究 例2　(1)通过模拟试验，产生了20组随机数： 6830　3013　7055　7430　7740　4422　7884 2604　3346　0952　6807　9706　5774　5725 6576　5929　9768　6071　9138　6754 如果恰有三个数在1，2，3，4，5，6中，表示恰有三次击中目标，那么四次射击中恰有三次击中目标的概率约为________； (2)在一个不透明的盒子中装有4个大小、形状、手感完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，4.现有放回地每次从中任意取出一个小球，若标有偶数的球都取到过，则停止摸球．小明用随机模拟的方法估计恰好在第3次停止摸球的概率，利用计算机软件产生1～4之间(包括1和4)取整数值的随机数，每1组中有3个数字，分别表示每次摸球的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数： 131　432　123　233　234　122　332　141　312 241　122　214　431　241　141　433　223　442 由此估计恰好在第3次停止摸球的概率． 变式训练 2．一个袋中有大小、形状相同的6个白球、1个红球，现任取1个，若为红球就停止，若为白球就放回，搅拌均匀后再接着取，试设计一个模拟试验计算恰好第三次摸到红球的概率． 思维提升 　游戏的公平性 例3(链接教材P256例2)某校高二年级(1)(2)班准备联合举行晚会，组织者欲使晚会气氛热烈、有趣，策划整场晚会以转盘游戏的方式进行，每个节目开始时，两班各派一人先进行转盘游戏，胜者获得一件奖品，负者表演一个节目．(1)班的文娱委员利用分别标有数字1，2，3，4，5，6，7的两个转盘(如图所示)，设计了一种游戏方案：两人同时各转动一个转盘一次，将转到的数字相加，和为偶数时(1)班代表获胜，否则(2)班代表获胜．该方案对双方是否公平？为什么？ 变式训练 3．甲、乙二人用4张扑克牌(分别是红桃2、红桃3、红桃4、方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张． (1)设(i，j)分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出甲、乙二人抽到的牌的所有情况； (2)若甲抽到红桃3，则乙抽出的牌的牌面数字比3大的概率是多少？ (3)甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜；若甲抽到的牌的牌面数字比乙小，则乙胜．你认为此游戏是否公平？说明你的理由． 课堂小结 1．知识网络 2．方法归纳 用计算机或计算器产生的随机数估计随机事件的概率． 3．易错提醒 频率与概率易混淆． 课堂练习 1．下列说法正确的是(　　) A．在一次抽奖活动中，“中奖的概率是”表示抽奖100次就一定会中奖 B．随机掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面一定朝上 C．同时掷两枚质地均匀的骰子，朝上一面的点数和一定为6 D．从一幅没有大、小王的52张扑克牌中任意抽一张，抽到的牌是6的概率是 2．用随机模拟方法估计概率时，其准确程度取决于(　　) A．产生的随机数的大小 B．产生的随机数的个数 C．随机数对应的结果 D．产生随机数的方法 3．在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了1000次试验，发现正面朝上出现了560次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为(　　) A．0.56，0.56 B．0.56，0.5 C．0.5，0.5 D．0.5，0.56 4．一个袋子中有红球3个，白球5个，还有黄球若干个，某人随意有放回地摸100次，其摸到红球的频数为30，那么袋子中的黄球约有________个．每次摸球，摸到白球的概率为________． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 10．3.2　随机模拟 学案 学习目标 1．理解概率的意义以及频率与概率的区别与联系． 2.能初步利用概率知识解释现实生活中的概率问题． 3.了解随机模拟的含义，会利用随机模拟估计概率． 情境导入 对于任何一位篮球运动员，在一次投篮中，命中与否是一个随机事件．但是，我们经常能够听到球迷说某某球员投篮很准，这个“很准”是怎么得来的？是否有一个量化的标准？此外，我们经常能够看到在篮球比赛决定胜负的一投时，往往会将这决定胜负的一投交给“最有把握”的球员．既然能否投中是一个随机事件，那么最后一投交给谁都应该一样，不都是听天由命吗？这里的“最有把握”是怎么得来的呢？事实上，在篮球比赛的统计中有一项技术指标叫“投篮命中率”，是用来衡量运动员投篮准确性的．“投篮命中率”往往用一个比值表示，其中n表示投篮的总次数，m表示在这n次投篮中命中的次数．在一般情况下，称m为投篮命中的频数，称为投篮命中的频率，简称投篮命中率．显然，频率的值位于区间[0，1]之间，的值可以反映运动员投篮的准确度，的值越大，说明其投篮越准． 新知探究 知识点一　频率的稳定性 问题引导 　1.利用计算机模拟抛掷两枚质地均匀的硬币的试验，在重复试验次数为20，100，500时各做5组试验，得到事件A＝“一个正面朝上，一个反面朝上”发生的频数nA和频率fn(A)，结果如表所示： 序号 n＝20 n＝100 n＝500 频数 频率 频数 频率 频数 频率 1 12 0.6 56 0.56 261 0.522 2 9 0.45 50 0.5 241 0.482 3 13 0.65 48 0.48 250 0.5 4 7 0.35 55 0.55 258 0.516 5 12 0.6 52 0.52 253 0.506 你能计算出事件A发生的概率吗？频率与概率有什么关系？ 提示：(1)试验次数n相同，频率fn(A)可能不同，这说明随机事件发生的频率具有随机性． (2)从整体来看，频率在概率0.5附近波动．当试验次数较少时，波动幅度较大；当试验次数较多时，波动幅度较小，但试验次数多的波动幅度并不全都比次数少的小，只是波动幅度小的可能性更大． 知识点总结 1．一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)．我们称频率的这个性质为频率的稳定性．因此，我们可以用频率fn(A)估计概率P(A)． 2．概率是一个确定的数，与每次的试验无关． 典例探究 例1(链接教材P256例1)某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次击中10环，有3次击中9环，有4次击中8环，有1次未中靶． (1)试求此人中靶的频率； (2)试估计此人中靶的概率． 解：(1)因为中靶的频数为9，试验次数为10，所以中靶的频率为＝0.9，故此人中靶的频率为0.9. (2)此人中靶的概率约为0.9. [延伸探究] 1．(变设问)本例条件不变，若此人射击1次，求中靶的概率约为多大？ 解：若此人射击1次，中靶的概率约为0.9. 2．(变设问)本例条件不变，试求击中10环的概率． 解：击中10环的概率约为0.2. 1．频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率． 2．频率本身是随机的，在试验前不能确定． 3．概率是一个确定的常数，是客观存在的，在试验前已经确定，与试验次数无关． 变式训练 1．下表是某品牌乒乓球的质量检查统计表： 抽取球数 50 100 200 500 1000 2000 优等品数 45 92 194 470 954 1902 优等品频率 (1)计算各组优等品频率，填入上表； (2)根据频率的稳定性估计事件“抽取的是优等品”的概率． 解：(1)根据优等品频率＝，可得优等品的频率从左到右依次为：0.9，0.92，0.97，0.94，0.954，0.951. (2)由(1)可知乒乓球抽取的优等品频率逐渐稳定在0.95附近，故估计“抽取的是优等品”的概率约为0.95. 知识点二　用随机模拟估计概率 问题引导 　2.用频率估计概率，需要做大量的重复试验，有没有其他方法可以替代试验呢？ 提示：利用计算器或计算机软件可以产生随机数．实际上，我们也可以根据不同的随机试验构建相应的随机数模拟试验，这样就可以快速地进行大量重复试验了． 知识点总结 1．随机数的定义 随机数就是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内的每一个数的机会相等． 2．产生随机数的方法 (1)利用计算器或计算机软件产生随机数． (2)构建模拟试验产生随机数． 3．随机模拟方法(蒙特卡洛方法) 利用计算机或计算器产生的随机数来做模拟试验，通过模拟试验得到的频率来估计概率，这种用计算机或计算器模拟试验的方法称为随机模拟方法或蒙特卡洛方法． 1．利用随机模拟试验，只适用于试验结果是有限个的情形． 2．利用随机模拟试验，关键是建立好适当的模型． 3．利用随机模拟的方法估算概率的步骤：一是建立概率模型；二是进行模拟试验；三是统计计算，随着模拟的数量的不断增加，模拟结果就越来越接近概率． 典例探究 例2　(1)通过模拟试验，产生了20组随机数： 6830　3013　7055　7430　7740　4422　7884 2604　3346　0952　6807　9706　5774　5725 6576　5929　9768　6071　9138　6754 如果恰有三个数在1，2，3，4，5，6中，表示恰有三次击中目标，那么四次射击中恰有三次击中目标的概率约为________； (2)在一个不透明的盒子中装有4个大小、形状、手感完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，4.现有放回地每次从中任意取出一个小球，若标有偶数的球都取到过，则停止摸球．小明用随机模拟的方法估计恰好在第3次停止摸球的概率，利用计算机软件产生1～4之间(包括1和4)取整数值的随机数，每1组中有3个数字，分别表示每次摸球的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数： 131　432　123　233　234　122　332　141　312 241　122　214　431　241　141　433　223　442 由此估计恰好在第3次停止摸球的概率． 解析：(1)表示三次击中目标的随机数分别是3013，2604，5725，6576，6754，共5组，而随机数总共20组，所以所求的概率约为＝. (2)在18组随机数中，表示恰好在第3次停止摸球的是432，234，214，442，共4组，则估计恰好在第3次停止摸球的概率约为＝. 答案：(1) 用随机模拟法求事件概率的方法 在使用整数随机数进行模拟试验时，首先要确定随机数的范围和用哪个代表试验结果． (1)试验的基本结果是等可能时，样本空间即为产生随机数的范围，每个随机数代表一个样本点． (2)研究等可能事件的概率时，用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及总个数． 变式训练 2．一个袋中有大小、形状相同的6个白球、1个红球，现任取1个，若为红球就停止，若为白球就放回，搅拌均匀后再接着取，试设计一个模拟试验计算恰好第三次摸到红球的概率． 解：用1，2，3，4，5，6表示白球，7表示红球，利用计算器或计算机产生1～7的整数随机数，因为要求恰好第三次摸到红球的概率，所以每三个随机数作为一组，产生20组随机数如下： 666　743　671　464　571 561　156　567　732　375 716　116　614　445　117 573　552　274　114　662 就相当于做了20次试验，在这些数组中，前两个数字不是7，第三个数字恰好是7就表示第一次、第二次摸到的是白球，第三次摸到的是红球，它们分别是567和117，共两组，因此恰好第三次摸到红球的概率约为＝0.1. 思维提升 　游戏的公平性 例3(链接教材P256例2)某校高二年级(1)(2)班准备联合举行晚会，组织者欲使晚会气氛热烈、有趣，策划整场晚会以转盘游戏的方式进行，每个节目开始时，两班各派一人先进行转盘游戏，胜者获得一件奖品，负者表演一个节目．(1)班的文娱委员利用分别标有数字1，2，3，4，5，6，7的两个转盘(如图所示)，设计了一种游戏方案：两人同时各转动一个转盘一次，将转到的数字相加，和为偶数时(1)班代表获胜，否则(2)班代表获胜．该方案对双方是否公平？为什么？ 解：该方案是公平的，理由如下： 各种情况如表所示： 和 4 5 6 7 1 5 6 7 8 2 6 7 8 9 3 7 8 9 10 由表可知该游戏可能出现的情况共有12种，其中两数字之和为偶数的有6种，为奇数的也有6种，所以(1)班代表获胜的概率P1＝＝，(2)班代表获胜的概率P2＝＝，即P1＝P2，机会是均等的，所以该方案对双方是公平的． 游戏公平性的标准及判断方法 (1)游戏规则是否公平，要看对游戏的双方来说，获胜的可能性或概率是否相同．若相同，则规则公平，否则就是不公平的． (2)具体判断时，可以按所给规则，求出双方的获胜概率，再进行比较． 变式训练 3．甲、乙二人用4张扑克牌(分别是红桃2、红桃3、红桃4、方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张． (1)设(i，j)分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出甲、乙二人抽到的牌的所有情况； (2)若甲抽到红桃3，则乙抽出的牌的牌面数字比3大的概率是多少？ (3)甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜；若甲抽到的牌的牌面数字比乙小，则乙胜．你认为此游戏是否公平？说明你的理由． 解：(1)甲、乙二人抽到的牌的所有情况(红桃2、红桃3、红桃4分别用2，3，4表示，方片4用4′表示)为(2，3)，(2，4)，(2，4′)，(3，2)，(3，4)，(3，4′)，(4，2)，(4，3)，(4，4′)，(4′，2)，(4′，3)，(4′，4)，共12种． (2)甲抽到红桃3，乙抽到的牌的牌面数字只能是2，4，4′，因此乙抽到的牌面数字大于3的概率为. (3)甲抽到的牌的牌面数字比乙大的情况有5种：(3，2)，(4，2)，(4，3)，(4′，2)，(4′，3)，数字相等的情况有2种：(4，4′)，(4′，4)． 故甲胜的概率P1＝，乙胜的概率P2＝.所以此游戏公平． 课堂小结 1．知识网络 2．方法归纳 用计算机或计算器产生的随机数估计随机事件的概率． 3．易错提醒 频率与概率易混淆． 课堂练习 1．下列说法正确的是(　　) A．在一次抽奖活动中，“中奖的概率是”表示抽奖100次就一定会中奖 B．随机掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面一定朝上 C．同时掷两枚质地均匀的骰子，朝上一面的点数和一定为6 D．从一幅没有大、小王的52张扑克牌中任意抽一张，抽到的牌是6的概率是 解析：D　概率是随着试验次数的增加，事件发生的频率趋近的一个数，所以“中奖的概率是”不能说明抽奖100次就一定会中奖，故A不正确；随机掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面可能朝上，也可能不朝上，故B不正确；同时掷两枚质地均匀的骰子，朝上一面的点数和有多种可能，故C不正确；由古典概型的概率计算公式易知D正确． 2．用随机模拟方法估计概率时，其准确程度取决于(　　) A．产生的随机数的大小 B．产生的随机数的个数 C．随机数对应的结果 D．产生随机数的方法 解析：B　随机数容量越大，所估计的概率越接近实际值． 3．在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了1000次试验，发现正面朝上出现了560次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为(　　) A．0.56，0.56 B．0.56，0.5 C．0.5，0.5 D．0.5，0.56 解析：B　由题意得，出现正面朝上的频率为＝0.56；由于每次抛硬币时，正面朝上和反面朝上的机会相等，都是，故出现正面朝上的概率为＝0.5，故选B． 4．一个袋子中有红球3个，白球5个，还有黄球若干个，某人随意有放回地摸100次，其摸到红球的频数为30，那么袋子中的黄球约有________个．每次摸球，摸到白球的概率为________． 解析：设x为袋子中黄球的个数，则由＝，解得x＝2.每次摸球，摸到白球的概率为＝. 答案：2　 学科网（北京）股份有限公司 $$