专题2.3 根与系数的关系（压轴题专项讲练）-2024-2025学年八年级数学下册压轴题专项讲练系列（浙教版）

专题2.3 根与系数的关系 · 典例分析 【典例1】阅读下面材料：已知，是一元二次方程的两实数根，若满足，则此类方程称为“差根方程”．在学习了求根公式法解方程后，小聪同学发现： ．最后得到“差根方程”中a，b，c之间的关系是． （1）请通过计算判断方程是否是“差根方程”． （2）若方程是“差根方程”，请求出k的值以及方程的两个根． （3）若关于x的“差根方程”的一个根是（a，m，b均为常数，），则方程是“差根方程”吗?若是，请求出它的根；若不是，请说明理由． 【思路点拨】 本题考查了解一元二次方程、一元二次方程根与系数的关系，理解“差根方程”的定义是解此题的关键． （1）利用因式分解法求出方程的解，再结合“差根方程”的定义判断即可得解； （2）由题意可得，从而可得，由一元二次方程根与系数的关系可得，，再利用完全平方公式的变形计算可得，最后解方程即可得解； （3）由“差根方程”的定义计算可得，从而可得，，，求解并判断即可得解． 【解题过程】 （1）解：∵， ∴， ∴或， ∴，， ∴， ∴方程是“差根方程”； （2）解：∵方程是“差根方程”， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∴方程为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，； （3）解：∵关于x的“差根方程”的一个根是（a，m，b均为常数，）， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∵关于x的“差根方程”的一个根是（a，m，b均为常数，）， ∴， ∴，. 将代入方程可得：， 解得：，， ∴， ∴方程是“差根方程”，它的根为，． 即，或，． ∴方程是“差根方程”.它的根是，或，． · 学霸必刷 1．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）关于x的方程有两个不相等的实根，，若，则的最大值是（   ） A．1 B．4 C．6 D．8 2．（24-25九年级上·四川内江·阶段练习）已知方程的两个实数根，满足，则实数的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（24-25九年级上·河北沧州·期中）关于的方程的两个根，满足，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．（2024九年级上·内蒙古·专题练习）若关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根、，满足，则k的值是（     ） A．2或0 B．0 C．2 D．1 5．（24-25九年级下·全国·期末）已知关于x得一元二次方程有两个不相等的实数根x1，x2，若，则m的值是（　　） A．2 B． C．2或 D．不存在 6．（2024九年级·全国·竞赛）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，且，那么的值为（    ） A．13或 B．13 C． D．11 7．（24-25九年级上·四川眉山·期末）关于的方程有两个实数根为，，若，则为（   ） A．或 B．或 C． D． 8．（23-24九年级上·湖北襄阳·自主招生）设方程有两个根和，且，那么方程的较小根的范围为　　 A． B． C． D． 9．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）在解一元二次方程时，小马同学粗心地将项的系数与常数项对换了，使得方程也变了．他正确地解出了这个不同的方程，得到一个根是2，另一根等于原方程的一个根．则原方程两根的平方和是（   ） A． B． C． D． 10．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）关于的方程的两个实数根，满足，则的取值范围是 11．（2025九年级下·江苏·学业考试）已知为方程的两根，则的最小值为 ． 12．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）已知：，是关于的方程的两个实数根，，则的值为 ． 13．（2024九年级上·全国·专题练习）下列命题：①若是一元二次方程的根，则也是方程的根；②若，则一元二次方程一定有两个不相等的实数根；③若一元二次方程的两根为，则一元二次方程的两根为；④一元二次方程的两根为，若．则． 其中正确的是 （填序号）． 14．（24-25九年级上·福建福州·期中）关于x的一元二次方程有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；②③；④，其中正确结论的结论是 ． 15．（24-25九年级上·广东江门·期中）已知关于x的一元二次方程有两个实数根和． （1）求实数m的取值范围； （2）当时，求和的值． 16．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）已知关于x的一元二次方程（p为常数）有两个不相等的实数根和． （1）求下列代数式的值：①，②； （2）已知，求p的值． 17．（24-25九年级上·河北张家口·期末）已知关于的方程有两个实数根，． （1）求实数的取值范围； （2）若方程的两个实数根满足，求的值． 18．（24-25九年级上·广西百色·期中）已知关于的一元方程有两个实数根． （1）求实数根的取值范围； （2）是否存在实数，使方程的两个实数根的平方和与两个实数根的积相等？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 19．（24-25九年级上·福建泉州·期中）关于x的方程：①和关于x的一元二次方程：②（k、m、n均为实数），且方程①的解为非正数． （1）求k的取值范围； （2）若，，且方程②的解、满足代数式的值为整数，求整数m的值． 20．（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）若关于的一元二次方程． （1）若和分别是该方程的两个根，且，求的值； （2）当，，，，时，相应的一元二次方程的两个根分别记为、，、，，、，求的值． 21．（24-25九年级上·福建宁德·期中）已知：实数满足． （1）求证：； （2）若，都是奇数，关于的方程是否有整数根？并说明理由； （3）若，，，求的值． 22．（24-25九年级上·福建厦门·期中）已知关于x的一元二次方程（k为常数）的两个实数根分别为． （1）若方程的两根相等，求k的值． （2）是否存在满足条件的常数k，使得成立，若存在，求k的值；若不存在，说明理由． 23．（24-25九年级上·全国·期末）已知关于的一元二次方程． （1）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； （2）当取满足（1）中条件的最小整数时，设方程的两根为和，求代数式的值． 24．（2025九年级下·福建福州·学业考试）已知关于的方程有两个不相等的正实数根，． （1）求实数的取值范围； （2）求的最大值． 25．（2024九年级上·江苏·专题练习）已知在关于的分式方程①和一元二次方程②中，、、均为实数，方程①的根为非负数． （1）求k的取值范围； （2）当方程②有两个实数根，，且满足，为负整数时，试判断是否成立，并说明理由． 26．（24-25九年级上·四川内江·期中）我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于x的方程的两个根是，，那么由求根公式可推出，，请根据这一结论，解决下列问题： （1）若，是方程的两根，则________，________；若2，3是方程的两根，则________，________； （2）已知两个不相等的实数m，n满足，且，求的值． （3）已知a，b，c，满足，，则正整数c的最小值为________． 27．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）定义：设是方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“同步方程”．例如，方程是“同步方程”． （1）下列方程是“同步方程”的是________（填序号）； ①，②，③； （2）若方程是“同步方程”，求的值； （3）若方程为“同步方程”，直接写出满足的数量关系． 28．（23-24九年级上·湖南常德·期中）阅读材料： 材料1：若关于的一元二次方程的两个根为，，则，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：∵一元二次方程的两个实数根分别为m，n， ∴，，则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）材料理解：一元二次方程的两个根为，，则___________，___________． （2）类比应用：已知一元二次方程的两根分别为m、n，求的值． （3）思维拓展：已知实数s、t满足，，且，求的值． 29．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． （1）请根据上述结论解决问题：方程①；方程②；方程③．这几个方程中，是倍根方程的是 ；（填序号即可） （2）一般规律探究：我们知道，若一元二次方程的两根为，，则有，，请你根据以上关系探究：若一元二次方程是“倍根方程”，则，，满足什么数量关系？ （3）若是倍根方程，求的值． 30．（24-25九年级上·福建泉州·期中）阅读材料，解答问题：已知实数m，n满足，，且，则m，n是方程的两个不相等的实数根，由根与系数的关系可知，． 根据上述材料，解决以下问题： （1）直接应用： 已知实数a，b满足：，且，则________，________； （2）间接应用： 已知实数m，n满足：，且，求的值； （3）拓展应用： 已知实数p，q满足：，且，求的取值范围． 31．（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）阅读材料： 材料1：法国数学家弗朗索瓦·书达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出一元二次方程（，）的两根x1，x2有如下的关系（韦达定理）：，； 材料2：如果实数m、n满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，然后将m、n看作是此方程的两个不相等实数根去解决相关问题． 请根据上述材料解决下面问题： （1）若实数a，b满足：，则_______，_______； （2）若是方程两个不等实数根，且满足，求k的值； （3）已知实数m、n、t满足：，，且，求的取值范围． 32．（23-24九年级上·四川资阳·期末）定义：已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程的两根为，因，，所以一元二次方程为“限根方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： （1）判断一元二次方程是否为“限根方程”，并说明理由； （2）若关于x的一元二次方程是“限根方程”，且两根满足，求k的值； （3）若关于x的一元二次方程是“限根方程”，求m的取值范围． 第 1 页 共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.3 根与系数的关系 · 典例分析 【典例1】阅读下面材料：已知，是一元二次方程的两实数根，若满足，则此类方程称为“差根方程”．在学习了求根公式法解方程后，小聪同学发现： ．最后得到“差根方程”中a，b，c之间的关系是． （1）请通过计算判断方程是否是“差根方程”． （2）若方程是“差根方程”，请求出k的值以及方程的两个根． （3）若关于x的“差根方程”的一个根是（a，m，b均为常数，），则方程是“差根方程”吗?若是，请求出它的根；若不是，请说明理由． 【思路点拨】 本题考查了解一元二次方程、一元二次方程根与系数的关系，理解“差根方程”的定义是解此题的关键． （1）利用因式分解法求出方程的解，再结合“差根方程”的定义判断即可得解； （2）由题意可得，从而可得，由一元二次方程根与系数的关系可得，，再利用完全平方公式的变形计算可得，最后解方程即可得解； （3）由“差根方程”的定义计算可得，从而可得，，，求解并判断即可得解． 【解题过程】 （1）解：∵， ∴， ∴或， ∴，， ∴， ∴方程是“差根方程”； （2）解：∵方程是“差根方程”， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∴方程为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，； （3）解：∵关于x的“差根方程”的一个根是（a，m，b均为常数，）， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∵关于x的“差根方程”的一个根是（a，m，b均为常数，）， ∴， ∴，. 将代入方程可得：， 解得：，， ∴， ∴方程是“差根方程”，它的根为，． 即，或，． ∴方程是“差根方程”.它的根是，或，． · 学霸必刷 1．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）关于x的方程有两个不相等的实根，，若，则的最大值是（   ） A．1 B．4 C．6 D．8 【思路点拨】 根据根与系数的关系得到，根据得到，推出，根据推出，代入，推出的最大值是6． 此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌两根之和与两根之积与系数的关系，解方程组，运用配方法求最值． 【解题过程】 解：∵关于x的方程有两个不相等的实根、， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值6． 故选：C． 2．（24-25九年级上·四川内江·阶段练习）已知方程的两个实数根，满足，则实数的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 【思路点拨】 本题考查一元二次方程的根与系数关系即韦达定理，两根之和是，两根之积是．同时考查代数式的变形．由根与系数关系可得：，；而与可用关系式联系起来． 【解题过程】 解：方程的两个实数根为，； 则，． ， ， 即， ， ， 解得或． 故选：D． 3．（24-25九年级上·河北沧州·期中）关于的方程的两个根，满足，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程．根据根与系数的关系得到，，进而根据已知条件式推出，，则可得方程，解方程后根据验证结果即可． 【解题过程】 解： ，是关于的方程的两个根， ，， ， ， ， ， ， ， 整理得：， 解得：或， ， ， ， ， 故选：C． 4．（2024九年级上·内蒙古·专题练习）若关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根、，满足，则k的值是（     ） A．2或0 B．0 C．2 D．1 【思路点拨】 本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，若是该方程的两个实数根，则，据此先利用判别式求出，再由根与系数的关系得到，，进而得到，解方程即可得到答案． 【解题过程】 解：∵关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根、， ∴， 解得， 由根与系数的关系可得，，， ∵， ∴， 解得：， ∵， ∴k的值为2． 故选：C． 5．（24-25九年级下·全国·期末）已知关于x得一元二次方程有两个不相等的实数根x1，x2，若，则m的值是（　　） A．2 B． C．2或 D．不存在 【思路点拨】 本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的定义以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据二次项系数非零及根的判别式，找出关于的不等式组；（2）牢记，．先由二次项系数非零及根的判别式，得出关于的不等式组，解之得出的取值范围，再根据根与系数的关系可得出，，结合，即可求出的值． 【解题过程】 解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根、， ， 解得：且． 、是方程的两个实数根， ，， ， ， 或， ， ． 故选：A． 6．（2024九年级·全国·竞赛）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，且，那么的值为（    ） A．13或 B．13 C． D．11 【思路点拨】 本题主要考查一元二次方程根的判别式以及一元二次方程根与系数的关系，首先根据一元二次方程根与系数的关系结合求出，再根据根的判别式得出，从而得出 ，再把变形为，然后再代入计算即可． 【解题过程】 解：∵一元二次方程的两个实数根分别为， ∴ ， 又， ∴， 解得，，， 又， 当时，， 当时，， ∴， ∴， ． 故选：B 7．（24-25九年级上·四川眉山·期末）关于的方程有两个实数根为，，若，则为（   ） A．或 B．或 C． D． 【思路点拨】 本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，利用根与系数的关系结合，求出的值是解题的关键．由根与系数的关系可得出，，结合可求出的可能值，根据方程的系数结合根的判别式可确定的值，此题得解． 【解题过程】 解：关于的方程有两个实数根为，， ，， ，即， ， 解得：， 关于的方程有两个实数根， ， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； ． 故选：D． 8．（23-24九年级上·湖北襄阳·自主招生）设方程有两个根和，且，那么方程的较小根的范围为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】 由根与系数的关系得出，，再设方程的为，，根据根与系数的关系得出，，从而得出方程的两根为，，然后由，求出，的取值范围，从而得出结论． 【解题过程】 解：方程有两个根和， ，， 设方程的两根为，， 则，， ，， ， 方程的两根为，， ，， ，， ，， ， 方程的较小根的范围为． 故选：D． 9．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）在解一元二次方程时，小马同学粗心地将项的系数与常数项对换了，使得方程也变了．他正确地解出了这个不同的方程，得到一个根是2，另一根等于原方程的一个根．则原方程两根的平方和是（   ） A． B． C． D． 【思路点拨】 设原方程为，两个根为和．新方程为，两个根为2和．则可得，，．将①②联立可解得．则可得或，再与联立可得a、b、c之间的关系．由根与系数的关系可求出与的值，进而可求出的值． 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，推导出a、b、c之间的关系是解题的关键． 【解题过程】 解：设原方程为，两个根为和． 新方程为，两个根为2和． 则，，， 得， 由题意得， ∴， ∴， ∴． 当时，， 联立，得， 则，， 则． 当时，， 联立，得， 则，， 则． 综上，原方程两根的平方和是． 故选：D． 10．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）关于的方程的两个实数根，满足，则的取值范围是 【思路点拨】 本题考查了一元二次方程根与系数关系的应用，解题的关键是求出． 根据一元二次方程有两个不同的实数根，可得，从而得出，则，即可求出，再根据即可求出的取值范围． 【解题过程】 解：由题意可知：， ∵， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 11．（2025九年级下·江苏·学业考试）已知为方程的两根，则的最小值为 ． 【思路点拨】 此题考查一元二次方程根与系数的关系，方程的解． 利用根与系数的关系及方程的解得到，，，求出原式，再根据根的判别式求出，代入计算即可． 【解题过程】 解：为方程的两根， ， ． ， 把代入，得原式， ∵方程有两个根， ， ， 当时，有最小值，为． 故答案为：． 12．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）已知：，是关于的方程的两个实数根，，则的值为 ． 【思路点拨】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系、解一元二次方程等知识点，掌握一元二次方程根与系数的关系、成为解题的关键． 根据根与系数的关系可得，根据题意可知，即，然后将代入得到关于a的一元二次方程求解，再检验即可得解． 【解题过程】 解∶∵，是关于的方程的两个实数根， ∴， ∵，即， ∴，整理得：， 解得：或5． 当时，， ，符合题意； 当时，， ，不符合题意； 故答案为：． 13．（2024九年级上·全国·专题练习）下列命题：①若是一元二次方程的根，则也是方程的根；②若，则一元二次方程一定有两个不相等的实数根；③若一元二次方程的两根为，则一元二次方程的两根为；④一元二次方程的两根为，若．则． 其中正确的是 （填序号）． 【思路点拨】 本题主要考查了一元二次方程的解，根的判别式，根与系数的关系，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．一元二次方程的两个根，，满足，．①把分别代入方程和进行判断即可；②根据根的判别式进行判断即可；③根据根与系数的关系进行判断即可；④根据时，满足，由，，得出，即可判断此项错误． 【解题过程】 解：①把分别代入方程和得： ，， ∴， ∴若是一元二次方程的根，则也是方程的根，故①正确； ②设，满足， 但， ∴一元二次方程没有实数根，故②错误； ③∵， ∴， ， ∴是一元二次方程的两根，故③正确； ④当时，满足， 此时，， ∴，故④错误； 综上分析可知：正确的是①③． 故答案为：①③． 14．（24-25九年级上·福建福州·期中）关于x的一元二次方程有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；②③；④，其中正确结论的结论是 ． 【思路点拨】 根据根与系数的关系可得，，进而得到，，再根据有理数的加法法则判断①正确；利用根的判断式可得，即可判断②③；利用根与系数的关系可得，，再根据，，即可判断④． 【解题过程】 解：设关于x的方程的两个根分别为、，关于y的方程的两个根分别为、， ∵关于x的方程的两个根的乘积为正，关于y的方程的两个根的乘积为正， ∴，， ∴，， ∴这两个方程的根都负根，故①正确； ∵关于x的一元二次方程有两个整数根， ∴， ∴，即， ∴，故②错误； ∵关于x的一元二次方程有两个整数根，关于y的一元二次方程有两个整数根， ∴，即，， ∴，， ∴，即，故③正确； 由根与系数的关系得， ∵、均为负整数， ∴， ∴， 同理可得，， ∵、均为负整数， ∴， ∴，即， ∴，故④正确； 故答案为：①③④． 15．（24-25九年级上·广东江门·期中）已知关于x的一元二次方程有两个实数根和． （1）求实数m的取值范围； （2）当时，求和的值． 【思路点拨】 本题考查了根的判别式，根与系数的关系，方程的解法，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．一元二次方程的两个根，，满足，． （1）根据根的判别式得出，再求出答案即可； （2）根据根与系数的关系得出，，根据得出，再求出原方程的解即可． 【解题过程】 （1）解：， ∵关于x的一元二次方程有两个实数根和， ∴， 解得：， 即实数m的取值范围是； （2）解：， 由根与系数的关系得：，， ∵， ∴，即， 解得：，， ∵， ∴， ∴方程为：． ∴， ∴， ∴，． 16．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）已知关于x的一元二次方程（p为常数）有两个不相等的实数根和． （1）求下列代数式的值：①，②； （2）已知，求p的值． 【思路点拨】 本题考查了一元二次方程根和系数的关系，根的判别式，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键． （1）①变形为，再把根和系数的关系代入计算即可求解；②由变形为，再把根和系数的关系代入计算即可求解； （2）把方程变形为，再把根和系数的关系代入得，可得或，再根据根的判别式进行判断即可求解． 【解题过程】 （1）解：由根与系数的关系得，，， ∴①， ② ； （2）解：由根与系数的关系得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∴一元二次方程为或， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意； ∴． 17．（24-25九年级上·河北张家口·期末）已知关于的方程有两个实数根，． （1）求实数的取值范围； （2）若方程的两个实数根满足，求的值． 【思路点拨】 （1）先整理方程得整理得，计算一元二次方程根的判别式，进而即可求解； （2）利用根与系数的关系，，然后代入求解即可； 此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，；正确理解熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【解题过程】 （1）解：由整理得：， ∵关于的方程有两个实数根，， ∴， 解得：， ∴的取值范围是； （2）解：由（）得， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，整理得：， 解得：或， ∵， ∴的值为． 18．（24-25九年级上·广西百色·期中）已知关于的一元方程有两个实数根． （1）求实数根的取值范围； （2）是否存在实数，使方程的两个实数根的平方和与两个实数根的积相等？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【思路点拨】 （1）计算一元二次方程根的判别式进而即可求解； （2）利用根与系数的关系，，然后由题意列出方程求解即可； 此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根，正确理解熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【解题过程】 （1）解：∵关于的一元方程有两个实数根， ∴ ， 解得：； （2）解：不存在实数使方程的两个实数根的平方和与两个实数根的积相等，理由： 设关于的一元方程有两个实数根为，， ∴，， 由题意得：， ∴， ∴，整理得：， 解得：， 由（）得：，则不在此范围，不符合题意， ∴不存在实数使方程的两个实数根的平方和与两个实数根的积相等． 19．（24-25九年级上·福建泉州·期中）关于x的方程：①和关于x的一元二次方程：②（k、m、n均为实数），且方程①的解为非正数． （1）求k的取值范围； （2）若，，且方程②的解、满足代数式的值为整数，求整数m的值． 【思路点拨】 本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程方程的定义，以及一元二次方程根与系数的关系等知识． （1）先解一次方程得出，然后根据解为非正数以及一元二次方程的定义即可得出k的取值范围． （2）把，代入原方程得：，由，两根与系数之间的关系可得出，的值为整数可得出m可能得值，再结合（1）k的取值范围即可得出m的取值范围，进而可得出m的值． 【解题过程】 （1）解：关于x的方程：， 解得：， ∵关于x的方程的解为非正数， ∴， 解得：， ∵由一元二次方程②，可知， ∴且； （2）解：把，代入原方程得：， ∵ ∴由根与系数关系得及 ∴ ∵的值为整数 ∴、、2、、4、 ∴、、1、、3、 ∵由（1）得且，， ∴且 ∴且 ∴、、、 20．（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）若关于的一元二次方程． （1）若和分别是该方程的两个根，且，求的值； （2）当，，，，时，相应的一元二次方程的两个根分别记为、，、，，、，求的值． 【思路点拨】 （1）根据一元二次方程的根与系数的关系进行求解即可； （2）根据一元二次方程的根与系数的关系可得：，进一步可寻找的规律，即可求解． 【解题过程】 （1）解：∵关于的一元二次方程，和分别是该方程的两个根， ∴ ∵， ∴ ∴或； （2）解：设方程的两个根为： 则， ∴ ∴，， …．． ∴ 21．（24-25九年级上·福建宁德·期中）已知：实数满足． （1）求证：； （2）若，都是奇数，关于的方程是否有整数根？并说明理由； （3）若，，，求的值． 【思路点拨】 本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程的根的判别式、一元二次方程根与系数的关系． （1）根据一元二次方程根的判别式可得，即可得证； （2）利用反证法求解即可； （3）先证明出m、是方程的两根，再由一元二次方程根与系数的关系得出，，代入计算即可得解． 【解题过程】 （1）解：∵实数m满足， ∴关于m的方程有解， ∴， ∴ （2）解：无整数根，理由如下： 假设有整数根， 若m为奇数时， ∵a，b都是奇数， ∴为奇数，与相矛盾； 若m为偶数时， ∵a，b都是奇数， ∴为奇数，与相矛盾； ∴假设错误， 综上所述，方程无整数根； （3）解：若，，则， ∵， ∴， ∴m、是方程的两根，    ∴，， ∴． 22．（24-25九年级上·福建厦门·期中）已知关于x的一元二次方程（k为常数）的两个实数根分别为． （1）若方程的两根相等，求k的值． （2）是否存在满足条件的常数k，使得成立，若存在，求k的值；若不存在，说明理由． 【思路点拨】 本题主要考查根和系数的关系，和根的判别式，掌握根和系数的关系与是解题的关键． （1）根据方程的两根相等，可得，由此列方程求解即可； （2）由根与系数的关系求出两根之和、两根之积，再由，将两根之和、两根之积代入中，求出k的值即可． 【解题过程】 （1）已知关于x的一元二次方程， 为方程的两个实数根， 若方程的两根相等， 则， 即， 整理得， 解得． （2）存在，理由如下， 已知关于x的一元二次方程， 为方程的两个实数根， 则，， ， 若成立， 则有， 即， ， 整理得， 解得， 当时，成立． 23．（24-25九年级上·全国·期末）已知关于的一元二次方程． （1）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； （2）当取满足（1）中条件的最小整数时，设方程的两根为和，求代数式的值． 【思路点拨】 本题考查一元二次方程的定义、根的判别式以及根与系数的关系， （1）根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求得两个不等式的公共部分即可； （2）确定，方程变为，利用根与系数的关系得到，，利用一元二次方程的定义得到，，则，，然后利用整体代入法计算的值； 解题的关键是掌握：①一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，；②式子是一元二次方程根的判别式，方程有两个不等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程无实数根． 【解题过程】 （1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且， 解得：且， ∴的取值范围是且； （2）∵取满足（1）中条件的最小整数， ∴， 此时方程变为， ∴，，， ∴，， ∴， ∴ ， ∴代数式的值为． 24．（2025九年级下·福建福州·学业考试）已知关于的方程有两个不相等的正实数根，． （1）求实数的取值范围； （2）求的最大值． 【思路点拨】 此题考查了一元二次方程根与系数的关系、根的判别式的应用，分式的加法运算．掌握相关知识是解题的关键． （1）由方程有两个不相等的正实数根，，根据根的判别式以及根与系数的关系可得到关于的不等式，则可求得的取值范围； （2）将原式整理得：，利用根与系数的关系可分别表示出与的值，再代入化简的式子可得：，即可求解． 【解题过程】 （1）解：方程有两个不相等的正实数根，， ①，②，③． 由①得， 整理得：， 取任意实数均成立． 由②得：， 解得：． 由③：得， 解得：． 综上，； （2） ． ，， 原式 ， ， 当时，取得最大值，最大值为． 25．（2024九年级上·江苏·专题练习）已知在关于的分式方程①和一元二次方程②中，、、均为实数，方程①的根为非负数． （1）求k的取值范围； （2）当方程②有两个实数根，，且满足，为负整数时，试判断是否成立，并说明理由． 【思路点拨】 本题考查解分式方程，一元二次方程的根与系数的关系、一元二次方程根的判别式． （1）分式方程的根是非负数，即，得到，再利用一元二次方程的定义得到，据此求解即可； （2）一元二次方程的二次项系数的值不为0，一元二次方程的两根为、，则，，本题中是，是，是．利用根与系数的关系和判别式大于等于0，列出方程和不等式组，进行运算即可． 【解题过程】 （1）解：解分式方程①得． 方程①的根为非负数， ，解得且． 又一元二次方程中，，所以． 综上所述可知且，； （2）解：成立．理由如下： 是负整数，且，2， ． 方程②有两个实数根，， ． 化简，得， 将代入，得， ，③， △④， 把③代入④得， 整理，可得． 26．（24-25九年级上·四川内江·期中）我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于x的方程的两个根是，，那么由求根公式可推出，，请根据这一结论，解决下列问题： （1）若，是方程的两根，则________，________；若2，3是方程的两根，则________，________； （2）已知两个不相等的实数m，n满足，且，求的值． （3）已知a，b，c，满足，，则正整数c的最小值为________． 【思路点拨】 本题主要考查了根与系数的关系、根的判别式等知识点：若一元二次方程的两个根是，那么，． （1）直接利用根与系数的关系可得和的值，根据根与系数的关系得到，即可得到p、q的值； （2）等式变形为，m、可看作方程的两根，利用根与系数的关系即可解答； （3）利用已知条件变形得到，，根据根与系数的关系，则a、b为一元二次方程的两根，再根据根的判别式的意义得到，然后确定c的最小整数值． 【解题过程】 （1）解：∵，是方程的两根， ∴，； ∵2，3是方程的两根， ∴，解得． 故答案为：，，，6； （2）解：∵， ∴，即， ∵两个不相等的实数m，n满足，， ∴m、可看作方程的两根， ∵， ∴； （3）解：∵，， ∴，， ∴a、b为一元二次方程的两根， ∵，而， ∴，即． ∴c的最小整数为3． 故答案为：3． 27．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）定义：设是方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“同步方程”．例如，方程是“同步方程”． （1）下列方程是“同步方程”的是________（填序号）； ①，②，③； （2）若方程是“同步方程”，求的值； （3）若方程为“同步方程”，直接写出满足的数量关系． 【思路点拨】 本题考查了新定义，一元二次方程根与系数的关系的应用，熟练掌握新定义，正确应用一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）根据新定义同步方程的概念，逐一验证三个方程，得到结果； （2）根据同步方程的定义，结合一元二次方程根与系数的关系，得到，从而得到a的值； （3）根据同步方程的定义，结合一元二次方程根与系数的关系，得到结果． 【解题过程】 （1）解：①∵， ∴， ∴， ∴是“同步方程”； ②∵， ∴， ∴， ∴是“同步方程”； ③∵， ∴， ∴， ∴， ∴不是“同步方程”， 故答案为：①②； （2）解：∵是“同步方程”， ∴， ∴， ∴当时，， 当时，， 故或； （3）解：∵为“同步方程”， ∴，， ∴， ∴． 28．（23-24九年级上·湖南常德·期中）阅读材料： 材料1：若关于的一元二次方程的两个根为，，则，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：∵一元二次方程的两个实数根分别为m，n， ∴，，则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）材料理解：一元二次方程的两个根为，，则___________，___________． （2）类比应用：已知一元二次方程的两根分别为m、n，求的值． （3）思维拓展：已知实数s、t满足，，且，求的值． 【思路点拨】 （1）直接利用一元二次方程根与系数的关系求解即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可求出，，再根据，最后代入求值即可； （3）由题意可将s、t可以看作方程的两个根，即得出，，从而可求出，即或，最后分类讨论分别代入求值即可． 【解题过程】 （1）解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴，． 故答案为：，； （2）∵一元二次方程的两根分别为m、n， ∴，， ∴ ； （3）∵实数s、t满足，， ∴s、t可以看作方程的两个根， ∴，， ∵ ∴或， 当时， ， 当时， ， 综上分析可知，的值为或． 29．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． （1）请根据上述结论解决问题：方程①；方程②；方程③．这几个方程中，是倍根方程的是 ；（填序号即可） （2）一般规律探究：我们知道，若一元二次方程的两根为，，则有，，请你根据以上关系探究：若一元二次方程是“倍根方程”，则，，满足什么数量关系？ （3）若是倍根方程，求的值． 【思路点拨】 本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，因式分解法解一元二次方程等知识点，读懂题意，正确理解“倍根方程”的定义是解题的关键． （1）先解方程，然后根据“倍根方程”的定义进行判断即可； （2）由于一元二次方程是“倍根方程”，因而可设方程的两根为和，由一元二次方程的根与系数的关系可得，，进而可得，，于是可得，化简即可得出，，之间的数量关系； （3）求解方程可得，，由“是倍根方程”可得或，然后分和两种情况即可求出的值． 【解题过程】 （1）解：方程①， 解得：，， ， 方程①是倍根方程； 方程②， 解得：，， 且， 方程②不是倍根方程； 方程③， 解得：，， ， 方程③是倍根方程； 故答案为：； （2）解：一元二次方程是“倍根方程”， 可设方程的两根为和， 则，， ，， ， 整理，得：， 答：，，之间的数量关系是； （3）解：， 解得：，， 是倍根方程， 或， 当时，，即， 当时，，即， 的值为或． 30．（24-25九年级上·福建泉州·期中）阅读材料，解答问题： 已知实数m，n满足，，且，则m，n是方程的两个不相等的实数根，由根与系数的关系可知，． 根据上述材料，解决以下问题： （1）直接应用： 已知实数a，b满足：，且，则________，________； （2）间接应用： 已知实数m，n满足：，且，求的值； （3）拓展应用： 已知实数p，q满足：，且，求的取值范围． 【思路点拨】 本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系、一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键． （1）先判断出是方程的两个不相等的实数根，再根据一元二次方程的根与系数的关系求解即可得； （2）先判断出是方程的两个不相等的实数根，再根据一元二次方程的根与系数的关系可得，，从而可得，代入计算即可得； （3）先判断出是方程的两个不相等的实数根，再根据一元二次方程的根与系数的关系可得，，代入化简，利用一元二次方程根的判别式求出的取值范围，由此即可得． 【解题过程】 （1）解：∵实数满足：，且， ∴是方程的两个不相等的实数根， ∴，， 故答案为：5，3． （2）解：当时，， ∴不是方程的解， 将方程两边同除以得：， ∵实数满足：，且， ∴实数满足：，且， ∴是方程的两个不相等的实数根， ∴，， ∴，， ∴． （3）解：将方程两边同乘以2得：， ∵实数满足：，且， ∴是方程的两个不相等的实数根， ∴，， ∴ ， 又∵是方程的两个不相等的实数根， ∴方程根的判别式， 解得， ∴， 即． 31．（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）阅读材料： 材料1：法国数学家弗朗索瓦·书达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出一元二次方程（，）的两根x1，x2有如下的关系（韦达定理）：，； 材料2：如果实数m、n满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，然后将m、n看作是此方程的两个不相等实数根去解决相关问题． 请根据上述材料解决下面问题： （1）若实数a，b满足：，则_______，_______； （2）若是方程两个不等实数根，且满足，求k的值； （3）已知实数m、n、t满足：，，且，求的取值范围． 【思路点拨】 本题考查根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系，是解题的关键： （1）根据题意，得到实数a，b是方程的两个根，根据根与系数的关系进行求解即可； （2）根据根与系数的关系，得到，进而得到，代入，求出的值，再根据根与系数的关系，进行求解即可； （3）构造一元二次方程，得到是它的两个实数根，得到，将进行配方，求解即可． 【解题过程】 （1）解：由题意，得a，b是方程的两个根， ∴； 故答案为：； （2）由题意，得：，， ∴， ∴， 当时，，解得：， ∴， ∴， ∴； 当时，，解得：， ∴， ∴， ∴； 综上：或； （3）∵， ∴， 又∵， ∴是一元二次方程的两个实数根，， ∴， ∴ ； ∵， ∴， ∴， ∴； ∴． 32．（22-23九年级上·四川资阳·期末）定义：已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程的两根为，因，，所以一元二次方程为“限根方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： （1）判断一元二次方程是否为“限根方程”，并说明理由； （2）若关于x的一元二次方程是“限根方程”，且两根满足，求k的值； （3）若关于x的一元二次方程是“限根方程”，求m的取值范围． 【思路点拨】 （1）解该一元二次方程，得出，再根据“限根方程”的定义判断即可； （2）由一元二次方程根与系数的关系可得出，，代入，即可求出，．再结合“限根方程”的定义分类讨论舍去不合题意的值即可； （3）解该一元二次方程，得出或．再根据此方程为“限根方程”，即得出此方程有两个不相等的实数根，结合一元二次方程根的判别式即可得出，且，可求出m的取值范围．最后分类讨论即可求解． 【解题过程】 （1）解：， ， ∴或， ∴． ∵，， ∴此方程为“限根方程”； （2）∵方程的两个根分比为， ∴， ． ∵， ∴， 解得：，． 分类讨论：①当时，原方程为， ∴，， ∴，， ∴此时方程是“限根方程”， ∴符合题意； ②当时，原方程为， ∴，， ∴，， ∴此时方程不是“限根方程”， ∴不符合题意． 综上可知k的值为2； （3）， ， ∴或， ∴或． ∵此方程为“限根方程”， ∴此方程有两个不相等的实数根， ∴，且， ∴，即， ∴且． 分类讨论：①当时， ∴， ∵， ∴， 解得：； ②当时， ∴， ∵， ∴， 解得：． 综上所述，m的取值范围为或． 第 1 页 共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 $$