精品解析：江苏省宿迁市沭阳县怀文中学2024-2025学年九年级下学期数学第一次月考考试试卷

2024－2025学年度第二学期九年级 数学试卷 （总分：150分，时长：120分钟） 一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分，每个小题只有一个选项是正确的，请把正确选项的字母涂在答题卡相应的位置） 1. 在、0、、这四个数中，为无理数的是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，（每两个1之间依次多1个0）等形式．无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】解：A、是整数，属于有理数，故本选项不符合题意； B、0是整数，属于有理数，故本选项不符合题意； C、是分数，属于有理数，故本选项不符合题意； D、是无理数，故本选项符合题意． 故选：D． 2. 下列计算正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别根据合并同类项的法则、同底数幂的除法法则、幂的乘方法则以及完全平方公式解答即可． 【详解】A、3a与2b不是同类项，故不能合并，故选项A不合题意； B、（a3）2=a6，故选项B符合题意； C、a6÷a3=a3，故选项C不符合题意； D、（a+b）2=a2+2ab+b2，故选项D不合题意． 故选B． 【点睛】本题主要考查了幂的运算性质、合并同类项的法则以及完全平方公式，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 3. 在“庆五四·展风采”的演讲比赛中，七位评委给某同学打出的成绩依次为：9.3，9.0，8.7，8.7，9.3，8.9，9.4．若去掉一个最高分和一个最低分，则下列统计量不变的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中位数的定义．根据中位数的定义即可得． 【详解】解：将该同学的分数按从小到大进行排序为8.7，8.7，8.9，9.0，9.3，9.3，94， 则去掉前其中位数为9.0分， 去掉一个最高分和一个最低分，该歌手的分数为8.7，8.9，9.0，9.3，9.3， 则去掉后其中位数为9.0分， 因此，去掉前与去掉后没有改变的一个统计量是中位数， 故选：B． 4. 实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（　　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得，然后根据数的乘法和加法法则以及不等式的性质进行判断即可. 【详解】解：由题意可得：，所以， ∴， 观察四个选项可知：只有选项D的结论是正确的； 故选：D. 【点睛】本题考查了实数与数轴以及不等式性质，正确理解题意、得出是解题的关键. 5. 二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴为直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，随的增大而减小 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．根据解析式得出开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，随的增大而增大，即可求解． 【详解】解：关于二次函数， ，开口向下，A不符合题意； 对称轴为直线，B符合题意； 顶点坐标为，C不符合题意； 当时，随的增大而增大，D不符合题意； 故选：B 6. 中国古代《孙子算经》中有个问题：今有四人共车，一车空；二人共车，八人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每4人乘一车，恰好剩余1辆车无人坐；若每2人共乘一车，最终剩余8个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？如果设有辆车，则总人数可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查列代数式，由4人乘一车，恰好剩余1辆车无人坐，求总人数为；若每2人共乘一车，最终剩余8个人无车可乘，求总人数为；依此即可求解． 【详解】解：∵有x辆车， ∴总人数为或． 故选：A． 7. 如图，四边形内接于，是直径，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆内接四边形的性质可知，然后根据等腰三角形的性质可进行求解． 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选B． 【点睛】本题主要考查圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内四边形的性质是解题的关键． 8. 如图1，在菱形中，，M是的中点，N是对角线上一动点，设长为x，线段与长度的和为y，图2是y关于x的函数图象，图象右端点F的坐标为，则图象最低点E的坐标为（　　） A. （2，3） B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查动点问题函数图象、菱形的性质、等边三角形的判定与性质、解直角三角形， 根据点F的坐标可得，连接，连接交于点，连接，由两点之间线段最短可知，当点N在点时，取得最小值为，根据菱形的性质易得为等边三角形，再利用等边三角形的性质即可求出，由平行线和菱形的性质易得，进而求出，以此即可求解． 【详解】解：∵图象右端点F的坐标为，M是的中点， ∴， ∴， 如图，连接，连接，交于点N′，连接， ∴当点N在点时，取得最小值为， ∵四边形为菱形，， ∴为等边三角形，， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴点E的坐标为． 故选：C． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 若二次根式有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】x≥1 【解析】 【分析】根据二次根式的性质可知，被开方数大于等于0，列出不等式即可求出x的取值范围． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件，x﹣1≥0， ∴x≥1， 故答案为：x≥1． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握被开方数大于等于0． 10. 分解因式：_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：先提取公因式2后继续应用完全平方公式分解即可： 原式， 故答案为：． 11. 2024年6月2日6时23分，“嫦娥六号”着陆器在月球背面预定着陆区域成功着陆．月球与地球之间的距离约为380000千米，将380000用科学记数法表示为_____ 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数． 【详解】解：用科学记数法表示是， 故答案为： 12. 已知，，则______． 【答案】24 【解析】 【分析】根据平方差公式计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：24． 【点睛】本题考查因式分解的应用，先根据平方差公式进行因式分解再整体代入求值是解题的关键． 13. 已知圆锥的母线长为高为则该圆锥侧面展开图的圆心角是________________________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据勾股定理算出圆锥底面圆的半径，然后算出弧长，再根据弧长公式反推出圆心角． 【详解】解：根据母线和高，用勾股定理可以算出圆锥底面圆的半径， 则展开之后扇形的弧长就等于底面圆的周长， 再根据弧长公式，得到，算出． 故答案是：． 【点睛】本题考查扇形和圆锥有关的计算，解题的关键是要熟悉扇形和圆锥之间的关系以及有关的计算公式． 14. 已知a和b是方程的两个解，则的值为________． 【答案】2029 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解和根与系数关系、代数式求值，熟练掌握一元二次方程的解和根与系数关系是关键． 先根据方程的解满足方程以及根与系数关系求得，，再将变形为，然后整体代入计算即可． 【详解】解：∵a和b是方程的两个解， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：2029． 15. 根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是，当飞行时间t为___________s时，小球达到最高点． 【答案】2 【解析】 【分析】将函数关系式转化为顶点式即可求解． 【详解】根据题意，有， 当时，有最大值． 故答案为：2． 【点睛】本题考查二次函数解析式相互转化及应用，解决本题的关键是熟练二次函数解析式的特点及应用． 16. 如图，在中，，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，作射线交于点F．已知，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了作图基本作图：作角平分线，角平分线的性质定理，勾股定理及全等三角形的判定与性质等知识．根据基本作图可判断平分，过F作于G，再利用角平分线的性质得到，根据勾股定理求出，证明，得出，设，则，，根据勾股定理得出，求出，根据勾股定理求出． 【详解】解：过F作于G， 由作图得：平分，，， ∴， 在中根据勾股定理得：， ，， ， ， 设，则，， 在中，根据勾股定理得： ， 即：， 解得：， ， 在中根据勾股定理得：． 故答案为：． 17. 如图，已知点，，，在平行四边形中，它的对角线与反比例函数的图象相交于点，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与平行四边形综合，相似三角形的性质与判定，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为，根据平行四边形的性质得出，证明得出，，进而可得，即可求解． 【详解】如图所示，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为， ∵四边形是平行四边形，点，，， ∴， ∴，即，则， ∵轴，轴， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴ ∴ 故答案为：． 18. 如图，，为轴上一动点，将线段绕点顺时针旋转得．连接、，则当取最小值时，点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查直线与图形的变化，绕原点顺时针旋转等知识，熟练掌握是解题的关键．如图，设点坐标为，将线段和线段向左平移，得到点、、，此时点与点重合，点，根据线段绕点顺时针旋转得，可得点，即点，则，显然当时，取最小值，此时点． 【详解】解：如图，设点坐标为，将线段和线段向左平移，得到点、、，作轴于点E，作轴于点F， 将线段绕点顺时针旋转得， ， ， ， 坐标为， 点坐标为，即点， 则， 当时取最小值时， 此时点坐标为， 故答案为． 三、解答题（本題10小题，共96分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算：； 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，先运算零指数次幂、负整数指数次幂、绝对值和二次根式的化简以及特殊角的三角函数值，然后进行合并即可． 【详解】解：原式 ． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】此题考查了分式的化简求值和二次根式的混合运算．先利用分式的减法和除法法则化简分式，把字母的值代入化简计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式. 21. 如图，在中，于点E，于点F．求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】只需要证明，得到，即可证明． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，证明，得到是解题的关键． 22. 某校决定加强羽毛球、篮球、乒乓球、排球、足球五项球类运动，每位同学必须且只能选择一项球类运动，对该校随机抽取部分学生进行调查，根据调查结果绘制了不完整的频数分布表和扇形统计图： 运动项目 频数（人数） 羽毛球 30 篮球 a 乒乓球 m 排球 b 足球 12 请根据图表信息解答下列问题： （1）频数分布表中的 ， ； （2）在扇形统计图中，“排球”所在的扇形的圆心角为 度； （3）若全校有1200名学生，求选择参加乒乓球运动的学生有多少名？ 【答案】（1）24，18 （2）54 （3）选择参加乒乓球运动的人数是人 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图，解题关键是根据图表求出总人数和每个部分的人数和占比，各部分所在的扇形的圆心角将百分比乘即可． （1）先求总人数，再求出每个部分的人数； （2）求出“排球”人数百分比，再乘即可； （3）学校总人数乘“乒乓球”人数的百分比即可． 【小问1详解】 解：总人数：（人， 篮球人数：（人， 乒乓球人数：（人， 排球人数：（人． 故答案为：24，18； 【小问2详解】 解：“排球”所在的扇形的圆心角为：． 故答案为：54； 【小问3详解】 解：（人． 答：选择参加乒乓球运动的人数是人． 23. 在项目化学习中，“水是生命之源”项目组为了解本地区人均淡水消耗量，需要从四名同学（两名男生，两名女生）中随机抽取若干人，组成调查小组进行社会调查． （1）随机抽取一人，恰好是男生的概率是 ； （2）随机抽取两人，请用画树状图或者列表法求恰好抽到一名男生和一名女生的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用简单地概率计算公式求解即可； （2）利用画树状图法计算概率． 本题考查了概率的计算，画树状图，熟练运用公式，画树状图法求概率是解题的关键． 小问1详解】 4名同学报名（2名男生和2名女生），分配1个名额，则抽到男生的概率是， 故答案为：． 【小问2详解】 根据题意，画树状图如下： 共有12个等可能的结果，其中抽到一名男生和一名女生的等可能性有8个， 故抽到一名男生和一名女生的概率， 故答案为：． 24. 为了增强学生体质、锤炼学生意志，某校组织一次定向越野拉练活动．如图，A点为出发点，途中设置两个检查点，分别为点和点，行进路线为．点在点的南偏东方向处，点在A点的北偏东方向，行进路线和所在直线的夹角为． （1）求行进路线和所在直线的夹角的度数； （2）求检查点和之间的距离（结果保留根号）． 【答案】（1）行进路线和所在直线的夹角为 （2）检查点和之间的距离为 【解析】 【分析】（1）根据题意得，，，再由各角之间的关系求解即可； （2）过点A作，垂足为，由等角对等边得出，再由正弦函数及正切函数求解即可． 【小问1详解】 解：如图，根据题意得，，， ， ． 在中，， ． 答：行进路线和所在直线的夹角为． 【小问2详解】 过点A作，垂足为． ， ， ． , 在中， ， ． , 在中，， ， ． 答：检查点和之间的距离为． 【点睛】题目主要考查解三角形的应用，理解题意，作出相应辅助线求解是解题关键． 25. 如图，在中，O为上一点，以点O为圆心，为半径作圆，与相切于点C，过点A作交BO的延长线于点D，且． （1）若，则　 　°； （2）求证：为的切线； （3）若，，求的长． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据切线的性质、垂线的定义以及三角形内角和定理进行计算即可； （2）过点O作的垂线，证明即可； （3）根据锐角三角函数的定义以及勾股定理可求出，，，进而求出，再由相似三角形的性质可得答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 即， ∴， ∵为的切线，点是切点， ∴， 即， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：30； 【小问2详解】 证明：如图，过点O作于点E， 由（1）可得， ∵， ∴， 即，， ∵， ∴， ∴， 即是的平分线， 又∵，， ∴， ∵是半径， ∴点到的距离等于半径， ∴为的切线； 【小问3详解】 解：∵，， ∴， 在中，由于， 设，则， ∴， ∵， ∴， 即，， 在中， ， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴． 【点睛】本题考查切线的判定和性质，直角三角形的边角关系以及相似三角形的判定和性质，掌握切线的判定方法以及直角三角形的边角关系是正确解答的前提． 26. 2023年5月30日上午9点31分，神舟十六号载人飞船在酒泉发射中心发射升空，某中学组织毕业班的同学到当地电视台演播大厅观看现场直播，学校准备为同学们购进A，B两款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫多10元，用500元购进A款和用400元购进B款的文化衫的数量相同． （1）求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？ （2）已知毕业班的同学一共有300人，学校计划用不多于14800元，不少于14750元购买文化衫，求有几种购买方案？ （3）在实际购买时，由于数量较多，商家让利销售，A款七折优惠，B款每件让利m元，采购人员发现（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同，试求m值． 【答案】（1）A款文化衫每件50元，则B款文化衫每件40元， （2）一共有六种购买方案 （3） 【解析】 【分析】（1）设A款文化衫每件x元，则B款文化衫每件元，然后根据用500元购进A款和用400元购进B款的文化衫的数量相同列出方程求解即可； （2）设购买A款文化衫a件，则购买B款文化衫件，然后根据，学校计划用不多于14800元，不少于14750元购买文化衫列出不等式组求解即可； （3）设购买资金为W元，购买A款文化衫a件，则购买B款文化衫件，求出，根据（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同，可得W的取值与a的值无关，由此即可求出． 【小问1详解】 解：设A款文化衫每件x元，则B款文化衫每件元， 由题意得，， 解得， 检验，当时，， ∴是原方程的解， ∴， ∴A款文化衫每件50元，则B款文化衫每件40元， 答：A款文化衫每件50元，则B款文化衫每件40元； 【小问2详解】 解：设购买A款文化衫a件，则购买B款文化衫件， 由题意得，， 解得， ∵a是正整数， ∴a的取值可以为275，276，277，278，279，280， ∴一共有六种购买方案； 【小问3详解】 解：设购买资金为W元，购买A款文化衫a件，则购买B款文化衫件， 由题意得， ， ∵（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同， ∴W的取值与a的值无关， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用，分式方程的实际应用，整式的加减的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式组是解题的关键． 27. 某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究： （1）问题发现：如图1，在等边中，点是边上任意一点，连接，以为边作等边，连接，与的数量关系是 ； （2）变式探究：如图2，在等腰中，，点是边上任意一点，以为腰作等腰，使，，连接，判断和的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图3，在正方形中，点是边上一点，以为边作正方形，是正方形的中心，连接．若正方形的边长为10，，求正方形的边长． 【答案】（1） （2），理由见解析 （3） 【解析】 【分析】本题是四边形综合题，主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形相似是解题的关键． （1）利用定理证明，根据全等三角形的性质解答； （2）先证明，得到，再证明，根据相似三角形的性质解答即可； （3）连接、，证明，由相似三角形的性质得出，可求出，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案． 【小问1详解】 解：． 证明：与都是等边三角形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ； 故答案为：； 【小问2详解】 解：和的数量关系为：；理由如下： 在等腰中，， ， 在等腰中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：连接、，如图3所示： 四边形是正方形， ，， 是正方形的中心， ，， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，， 即， 解得：（负值舍去）， 正方形的边长． 28. 定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“倍值函数"．该点称为“倍值点”．例如：“倍值函数”，其“倍值点”为． （1）下列函数：①②③是“倍值函数”的有 ；（填序号） （2）直接写出函数的图象上的“倍值点” ； （3）若关于x函数的图象上有两个“倍值点”，求m的取值范围； （4）若关于x的函数的图象上存在唯一的“倍值点”，且当时，n的最小值为k，求出k的值． 【答案】（1）③ （2）和 （3）且 （4）0或 【解析】 【分析】本题属于函数背景下新定义问题，主要考查二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系，分类讨论思想等，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系． （1）根据“倍值函数”的定义直接判断即可导出结论； （2）根据“倍值函数”的定义直接计算即可导出结论； （2）根据题意得出关于的一元二次方程，再判断根的判别式即可得出结论； （3）根据题意得出关于的一元二次方程，再判断根的判别式即可得出结论． 【小问1详解】 解：①令，方程无解， 函数不是“倍值函数”； ②令，方程无解， 函数不是“倍值函数”； ②令，解得， 是“倍值函数”，其“倍值点”为和； 故答案为：③； 【小问2详解】 解：令，解得， 经检验是原方程的解， 其“倍值点”为和， 故答案为：和： 【小问3详解】 解：由题意可知，， 整理得，， 抛物线上有两个“倍值点”， 且， 解得且； 【小问4详解】 解：由题意可知，， 整理得，， ， 整理得，， 对称轴为直线，此时的最小值为； 根据题意需要分类讨论： ①， ； ②，无解； ③， 或（舍去）． 综上，的值为0或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年度第二学期九年级 数学试卷 （总分：150分，时长：120分钟） 一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分，每个小题只有一个选项是正确的，请把正确选项的字母涂在答题卡相应的位置） 1. 在、0、、这四个数中，为无理数的是（ ） A. B. 0 C. D. 2. 下列计算正确的是( ) A. B. C. D. 3. 在“庆五四·展风采”演讲比赛中，七位评委给某同学打出的成绩依次为：9.3，9.0，8.7，8.7，9.3，8.9，9.4．若去掉一个最高分和一个最低分，则下列统计量不变的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 4. 实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（　　　） A. B. C. D. 5. 二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴为直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，随的增大而减小 6. 中国古代《孙子算经》中有个问题：今有四人共车，一车空；二人共车，八人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每4人乘一车，恰好剩余1辆车无人坐；若每2人共乘一车，最终剩余8个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？如果设有辆车，则总人数可表示为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，四边形内接于，是直径，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图1，在菱形中，，M是的中点，N是对角线上一动点，设长为x，线段与长度的和为y，图2是y关于x的函数图象，图象右端点F的坐标为，则图象最低点E的坐标为（　　） A. （2，3） B. C. D. 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 若二次根式有意义，则x取值范围是_____． 10. 分解因式：_____． 11. 2024年6月2日6时23分，“嫦娥六号”着陆器在月球背面预定着陆区域成功着陆．月球与地球之间的距离约为380000千米，将380000用科学记数法表示为_____ 12. 已知，，则______． 13. 已知圆锥的母线长为高为则该圆锥侧面展开图的圆心角是________________________． 14. 已知a和b是方程的两个解，则的值为________． 15. 根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以速度将小球沿与地面成角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是，当飞行时间t为___________s时，小球达到最高点． 16. 如图，在中，，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，作射线交于点F．已知，，则的长为________． 17. 如图，已知点，，，在平行四边形中，它的对角线与反比例函数的图象相交于点，且，则______． 18. 如图，，为轴上一动点，将线段绕点顺时针旋转得．连接、，则当取最小值时，点坐标是________． 三、解答题（本題10小题，共96分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算：； 20 先化简，再求值：，其中． 21. 如图，在中，于点E，于点F．求证：． 22. 某校决定加强羽毛球、篮球、乒乓球、排球、足球五项球类运动，每位同学必须且只能选择一项球类运动，对该校随机抽取部分学生进行调查，根据调查结果绘制了不完整的频数分布表和扇形统计图： 运动项目 频数（人数） 羽毛球 30 篮球 a 乒乓球 m 排球 b 足球 12 请根据图表信息解答下列问题： （1）频数分布表中的 ， ； （2）在扇形统计图中，“排球”所在的扇形的圆心角为 度； （3）若全校有1200名学生，求选择参加乒乓球运动的学生有多少名？ 23. 在项目化学习中，“水是生命之源”项目组为了解本地区人均淡水消耗量，需要从四名同学（两名男生，两名女生）中随机抽取若干人，组成调查小组进行社会调查． （1）随机抽取一人，恰好是男生的概率是 ； （2）随机抽取两人，请用画树状图或者列表法求恰好抽到一名男生和一名女生的概率． 24. 为了增强学生体质、锤炼学生意志，某校组织一次定向越野拉练活动．如图，A点为出发点，途中设置两个检查点，分别为点和点，行进路线为．点在点的南偏东方向处，点在A点的北偏东方向，行进路线和所在直线的夹角为． （1）求行进路线和所在直线的夹角的度数； （2）求检查点和之间的距离（结果保留根号）． 25. 如图，在中，O为上一点，以点O为圆心，为半径作圆，与相切于点C，过点A作交BO的延长线于点D，且． （1）若，则　 　°； （2）求证：为的切线； （3）若，，求的长． 26. 2023年5月30日上午9点31分，神舟十六号载人飞船在酒泉发射中心发射升空，某中学组织毕业班的同学到当地电视台演播大厅观看现场直播，学校准备为同学们购进A，B两款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫多10元，用500元购进A款和用400元购进B款的文化衫的数量相同． （1）求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？ （2）已知毕业班的同学一共有300人，学校计划用不多于14800元，不少于14750元购买文化衫，求有几种购买方案？ （3）在实际购买时，由于数量较多，商家让利销售，A款七折优惠，B款每件让利m元，采购人员发现（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同，试求m值． 27. 某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究： （1）问题发现：如图1，在等边中，点是边上任意一点，连接，以为边作等边，连接，与的数量关系是 ； （2）变式探究：如图2，在等腰中，，点是边上任意一点，以为腰作等腰，使，，连接，判断和的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图3，在正方形中，点是边上一点，以为边作正方形，是正方形的中心，连接．若正方形的边长为10，，求正方形的边长． 28. 定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“倍值函数"．该点称为“倍值点”．例如：“倍值函数”，其“倍值点”为． （1）下列函数：①②③是“倍值函数”的有 ；（填序号） （2）直接写出函数的图象上的“倍值点” ； （3）若关于x的函数的图象上有两个“倍值点”，求m的取值范围； （4）若关于x的函数的图象上存在唯一的“倍值点”，且当时，n的最小值为k，求出k的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $