专题7.4 二项分布与超几何分布【九大题型】-2024-2025学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第三册）

专题7.4 二项分布与超几何分布【九大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 利用二项分布求分布列】 1 【题型2 服从二项分布的随机变量概率最大问题】 2 【题型3 二项分布的均值与方差】 3 【题型4 二项分布的实际应用】 4 【题型5 超几何分布的判断】 6 【题型6 求超几何分布的概率】 7 【题型7 超几何分布的均值】 7 【题型8 超几何分布的方差】 8 【题型9 二项分布与超几何分布的综合应用】 9 【知识点1 二项分布】 1．伯努利试验 (1)伯努利试验的概念 把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验. (2)n重伯努利试验的两个特征 ①同一个伯努利试验重复做n次； ②各次试验的结果相互独立. 2．二项分布 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的 次数，则X的分布列为P(X=k)=，k=0，1，2，，n.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作(n，p). 3．二项分布的期望与方差 一般地，如果XB(n，p)，那么E(X)=np，D(X)=np(1-p). 4．判断某随机变量是否服从二项分布的关键点 (1)在每一次试验中，事件发生的概率相同. (2)各次试验中的事件是相互独立的. (3)在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生. 【题型1 利用二项分布求分布列】 【例1】（23-24高二下·江苏淮安·期末）已知随机变量，若，则（    ） A． B．或 C． D．或 【变式1-1】（2024高三·全国·专题练习）已知随机变量，其中，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2024·山西吕梁·三模）如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为.若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于的位置，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（23-24高二下·河南濮阳·期末）已知随机变量.若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型2 服从二项分布的随机变量概率最大问题】 【例2】（23-24高二下·吉林白山·期末）已知随机变量，当且仅当时，取得最大值，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式2-1】（23-24高二下·重庆·期末）某学校在假期组织30位学生前往北京､上海､广州､深圳､杭州､苏州､成都､重庆8个城市参加研学活动.每个学生可自由选择8个城市中的任意1个（不要求每个城市必须要有学生选择）.若每位学生选择去每个城市的概率都相等且互不影响，则有（    ）个学生选择前往北京或上海研学的概率最大. A．6 B．7 C．8 D．9 【变式2-2】（24-25高二上·山东德州·阶段练习）高三某班有的学生数学成绩优秀，若从班中随机找出名学生，那么其中数学成绩优秀的学生数，则取最大值时的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2024·江苏苏州·模拟预测）如图是一块高尔顿板的示意图，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．记格子从左到右的编号分别为，用表示小球最后落入格子的号码，若，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【题型3 二项分布的均值与方差】 【例3】（2024高三·全国·专题练习）已知随机变量，下列表达式正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24高二上·江西·期末）设随机变量，若，则的最大值为（    ） A．4 B．3 C． D． 【变式3-2】（24-25高三上·福建莆田·开学考试）下图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为用表示小球落入格子的号码，则下面计算错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（23-24高二下·上海·期末）一只小虫从数轴上的原点出发爬行，若一次爬行过程中，小虫等概率地向前或向后爬行1个单位，设爬行次后小虫所在位置对应的数为随机变量，则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【题型4 二项分布的实际应用】 【例4】（23-24高二下·北京延庆·期中）已知某计算机网络的服务器有三台设备，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉．如果三台设备各自能正常工作的概率都为0.8，它们之间互相不影响．设能正常工作的设备数为． (1)求的分布列； (2)求和； (3)求计算机网络不会断掉的概率． 【变式4-1】（24-25高三上·福建·开学考试）某工厂生产的产品分为一等品、二等品和三等品.已知生产一件产品为一等品、二等品、三等品的概率分别为，且.从该工厂生产的产品中随机抽取n件，设其中一等品的数量为X，二等品的数量为Y. (1)已知X的数学期望，X的方差，求的值. (2)若，且，求的值. (3)已知，，在抽取的n件商品中，一等品和二等品的数量之和为M. M的数学期望是否有最大值，若有，求出最大值；若没有，说明理由. 【变式4-2】（24-25高三上·北京·阶段练习）某批产品由一等品､二等品､三等品及次品构成.随机抽取20件，统计情况如下表： 等级 一等品 二等品 三等品 次品 件数 10 6 3 1 以频率估计概率. (1)若从这批产品中任取一件，试估计“其为一等品或二等品”的概率； (2)在抽取的20件产品中，随机抽取3件，求其中“既有一等品又有二等品”的概率； (3)若改进技术后，产品为一等品的概率提升为.从这批产品中随机抽取10件产品，其中恰好有5件一等品的概率记为，恰好有7件一等品的概率记为，请直接写出与的大小关系. 【变式4-3】（2024·全国·模拟预测）一次课外活动举行篮球投篮趣味比赛，选手在连续投篮时，第一次投进得1分，并规定：若某次投进，则下一次投进的得分是本次得分的两倍；若某次未投进，则该次得0分，且下一次投进得1分．已知某同学连续投篮n次，总得分为X，每次投进的概率为，且每次投篮相互独立． (1)当时，判断与10的大小，并说明理由； (2)当时，求X的概率分布列和数学期望； (3)记的概率为，求的表达式． 【知识点2 超几何分布】 1．超几何分布 (1)定义 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽 取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X=k)=，k=m，m+1，m+2，，r.其中n,N,M∈N*，M≤N，n≤N，m={0，n-N+M}，r=.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布. 若随机变量X服从超几何分布，则其均值E(X)==np. (2)求超几何分布的分布列 ①判断随机变量是不是服从超几何分布； ②套用超几何分布中的概率公式，注意理解公式中各量的意义. 2．超几何分布与二项分布的关系 (1)超几何分布与二项分布都是随机变量取非负整数值的离散分布，表面上看，两种分布的概率求解有 截然不同的表达式，但看它们的概率分布列，会发现其相似点.超几何分布与二项分布是两个非常重要的概率模型，许多实际问题都可以利用这两个概率模型来求解.在实际应用中，理解并辨别这两个概率模型是至关重要的. (2)事实上，在次品件数为确定数M的足够多的产品中，任意抽取n件(由于产品件数N无限多，无放回与有放回无区别，故可看作n重伯努利试验)，其中含有次品的件数服从二项分布. 3．超几何分布的应用 (1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布的特征是：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的分布列. (2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其本质是古典概型. 【题型5 超几何分布的判断】 【例5】（2025高三·全国·专题练习）下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是（   ） A．将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X B．从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，取得的次品数为X C．某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数 【变式5-1】（24-25高二上·全国·课后作业）一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10.现从中任取4个球，有如下几种变量： ①X表示取出的最大号码； ②X表示取出的最小号码； ③X表示取出的白球个数； ④取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X表示取出的4个球的总得分减去4的差. 这四种变量中服从超几何分布的是（　　） A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④ 【变式5-2】（24-25高二下·全国·课后作业）盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个白球，这些球除颜色外完全相同，若用随机变量表示任选4个球中红球的个数，则服从超几何分布，其参数为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式5-3】（24-25高二下·江西抚州·阶段练习）下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是（    ） A．将一枚硬币连抛次，记正面向上的次数为 B．某射手的射击命中率为，现对目标射击次，记命中的次数为 C．从男女共名学生干部中选出名学生干部，记选出女生的人数为 D．盒中有个白球和个黑球，每次从中摸出个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数为 【题型6 求超几何分布的概率】 【例6】（23-24高二下·山东青岛·期中）数学老师从6道题中随机抽3道让同学检测，规定至少要解答正确2道题才能及格．某同学只能正确求解其中的4道题，则该同学能及格的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25高二下·全国·课后作业）设袋中有8个红球，4个白球，若从袋中任取4个球，则其中至多3个红球的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）某学习小组共12人，其中有5名是“三好学生”，现从该小组中任选5人参加竞赛，用ξ表示这5人中“三好学生”的人数，则下列概率中等于的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（23-24高二下·新疆省直辖县级单位·阶段练习）一个班级共有30名学生，其中有10名女生，现从中任选三人代表班级参加学校开展的某项活动，假设选出的3名代表中的女生人数为变量，男生的人数为变量，则等于（    ） A． B． C． D． 【题型7 超几何分布的均值】 【例7】（23-24高二下·河南信阳·期末）2024年5月中国邮政发行了《巢湖》特种邮票3枚，巢湖是继《太湖》（5枚）、《鄱阳湖》（3枚）、《洞庭湖》（4枚）后，第四个登上特种邮票的五大淡水湖.现从15枚邮票中随机抽取2枚，记抽取邮票《巢湖》的枚数为，则（    ） A． B． C．1 D． 【变式7-1】（23-24高二下·吉林长春·阶段练习）2024年“与辉同行”直播间开播，董宇辉领衔7位主播从“心”出发，其中男性5人，女性3人，现需排班晚8：00黄金档，随机抽取两人，则男生人数的期望为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2024高三·全国·专题练习）一个袋子中装有6个红球和4个白球，假设每个球被摸到的可能性是相等的．从袋子中摸出2个球，其中白球的个数为X，则X的数学期望是（    ）． A． B． C． D． 【变式7-3】（23-24高三上·四川成都·开学考试）某地盛行糕点有n种，该地的糕点店从中准备了m（）种糕点供顾客选购．已知某顾客喜好的糕点有k（）种，则当其随机进入一家糕点店时，会发现该店中有若干种糕点符合其喜好．记随机变量X为该顾客发现符合其喜好的糕点的种数，则（    ） A． B． C． D． 【题型8 超几何分布的方差】 【例8】（24-25高二下·江苏连云港·阶段练习）已知6件产品中有2件次品，4件正品，检验员从中随机抽取3件进行检测，记取到的正品数为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（2024·浙江金华·二模）口袋中有相同的黑色小球n个，红、白、蓝色的小球各一个，从中任取4个小球．ξ表示当n＝3时取出黑球的数目，η表示当n＝4时取出黑球的数目．则下列结论成立的是（　　） A．E（ξ）＜E（η），D（ξ）＜D（η） B．E（ξ）＞E（η），D（ξ）＜D（η） C．E（ξ）＜E（η），D（ξ）＞D（η） D．E（ξ）＞E（η），D（ξ）＞D（η） 【变式8-2】（24-25高二下·山东枣庄·阶段练习）为营造浓厚的全国文明城市创建氛围，积极响应创建全国文明城市号召，提高对创城行动的责任感和参与度，学校号召师生利用周末参与创城志愿活动.高二（1）班某小组有男生4人，女生2人，现从中随机选取2人作为志愿者参加活动. (1)求在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生参加活动的概率； (2)记参加活动的女生人数为X，求X的分布列及期望、方差. 【变式8-3】（23-24高二下·广东湛江·阶段练习）某大学的武术协会有10名同学，成员构成如下表所示.表中部分数据不清楚，只知道从这10名同学中随机抽取1名同学，该名同学的专业为数学的概率为. 性别 中文 数学 英语 体育 男 1 1 女 1 1 1 1 现从这10名同学中随机选取3名同学参加该市的武术比赛（每名同学被选到的可能性相等）. (1)求、的值； (2)求选出的3名同学恰为专业互不相同的男生的概率； (3)设为选出的3名同学中是女生或专业为数学的人数，求随机变量的分布列、均值及方差. 【题型9 二项分布与超几何分布的综合应用】 【例9】（23-24高二下·江苏泰州·期末）已知20条试题中有8条选择题，甲无放回地依次从中抽取5条题，乙有放回地依次从中抽取5条题，甲、乙每次均抽取一条试题，抽出的5条题中选择题的条数分别为，的期望分别为，方差分别为，则（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（23-24高二下·浙江·期中）一个不透明的袋子有10个除颜色不同外，大小、质地完全相同的球，其中有6个黑球，4个白球．现进行如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望方差分别为；试验二：逐个有放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望和方差分别为，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（23-24高三上·北京西城·期中）某校设计了一个实验学科的实验考查方案；考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作，规定：至少正确完成两题便可通过，已知6道备选题中甲生有4题能正确完成，2题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是，求： (1)分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望； (2)试用统计知识分析比较两考生的实验操作能力． 【变式9-3】（23-24高二下·山西太原·期末）某市为了解党员对党史知识的掌握情况，在该市随机选取100名党员进行调查，其中不同年龄段的人数分布如下表： 年龄 小于30 大于等于70 人数 5 10 25 35 15 10 (1)已知年龄在的女性党员有3人，现从该年龄段这10人中随机选择3人进行座谈，用表示这3人中女性党员的人数，求的分布列和数学期望； (2)若用样本的频率近似代替概率，现从该市党员中随机抽取20名党员进行调查，用表示其中年龄在内的人数，求当取最大值时的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题7.4 二项分布与超几何分布【九大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 利用二项分布求分布列】 1 【题型2 服从二项分布的随机变量概率最大问题】 3 【题型3 二项分布的均值与方差】 6 【题型4 二项分布的实际应用】 8 【题型5 超几何分布的判断】 13 【题型6 求超几何分布的概率】 15 【题型7 超几何分布的均值】 16 【题型8 超几何分布的方差】 17 【题型9 二项分布与超几何分布的综合应用】 20 【知识点1 二项分布】 1．伯努利试验 (1)伯努利试验的概念 把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验. (2)n重伯努利试验的两个特征 ①同一个伯努利试验重复做n次； ②各次试验的结果相互独立. 2．二项分布 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的 次数，则X的分布列为P(X=k)=，k=0，1，2，，n.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作(n，p). 3．二项分布的期望与方差 一般地，如果XB(n，p)，那么E(X)=np，D(X)=np(1-p). 4．判断某随机变量是否服从二项分布的关键点 (1)在每一次试验中，事件发生的概率相同. (2)各次试验中的事件是相互独立的. (3)在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生. 【题型1 利用二项分布求分布列】 【例1】（23-24高二下·江苏淮安·期末）已知随机变量，若，则（    ） A． B．或 C． D．或 【解题思路】根据题意结合二项分布的概率公式列式求解即可. 【解答过程】因为，则， 且，整理可得，解得 或. 故选：D. 【变式1-1】（2024高三·全国·专题练习）已知随机变量，其中，若，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由二项分布的概率公式可得，可求，进而可求. 【解答过程】由二项分布的知识得， 得，又，所以， 所以． 故选：D． 【变式1-2】（2024·山西吕梁·三模）如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为.若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于的位置，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，由条件可得的可能取值为，且，结合二项分布的概率计算公式代入计算，即可求解. 【解答过程】由题意可知，当时，的可能取值为，且， 所以 . 故选：C. 【变式1-3】（23-24高二下·河南濮阳·期末）已知随机变量.若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用二项分布的概率公式探讨的取值，再将等价为求解即得. 【解答过程】由，则， ， 且， 构造函数，其导函数为， 由于，，故函数在区间上单调递增； 当时，取最小值；当时，函数值为； 所以 ； 故选：B. 【题型2 服从二项分布的随机变量概率最大问题】 【例2】（23-24高二下·吉林白山·期末）已知随机变量，当且仅当时，取得最大值，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【解题思路】由二项分布的概念，根据二项式系数的对称性即可求解. 【解答过程】由题得， 由题知在中，最大值只有， 即在中，最大值只有，由二项式系数的对称性可知. 故选：B. 【变式2-1】（23-24高二下·重庆·期末）某学校在假期组织30位学生前往北京､上海､广州､深圳､杭州､苏州､成都､重庆8个城市参加研学活动.每个学生可自由选择8个城市中的任意1个（不要求每个城市必须要有学生选择）.若每位学生选择去每个城市的概率都相等且互不影响，则有（    ）个学生选择前往北京或上海研学的概率最大. A．6 B．7 C．8 D．9 【解题思路】设有个学生选择前往北京或上海研学，由题意可得服从二项分布，再根据二项分布的概率公式结合不等式组法求解即可. 【解答过程】设有个学生选择前往北京或上海研学， 由题意可得每个学生选择前往北京或上海研学的概率， 则， 设有个学生选择前往北京或上海研学的概率最大， 则， 即， 即， 解得， 又，所以， 所以有个学生选择前往北京或上海研学的概率最大. 故选：B. 【变式2-2】（24-25高二上·山东德州·阶段练习）高三某班有的学生数学成绩优秀，若从班中随机找出名学生，那么其中数学成绩优秀的学生数，则取最大值时的值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据概率公式应用最大值列不等式组计算求出的值. 【解答过程】由已知，，，，，，， 所以由 得： 解得，又因为，所以． 故选:B． 【变式2-3】（2024·江苏苏州·模拟预测）如图是一块高尔顿板的示意图，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．记格子从左到右的编号分别为，用表示小球最后落入格子的号码，若，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【解题思路】由题意，服从二项分布，，代入公式可得结果． 【解答过程】每下落一层向左或向右落下等可能，概率均为， 每一层均要乘以，共做10次选择， 故服从二项分布，， 又， 令最大， 则， 即, 解得，又因为，所以, 所以， ，且． 故选：B． 【题型3 二项分布的均值与方差】 【例3】（2024高三·全国·专题练习）已知随机变量，下列表达式正确的是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据二项分布的性质，结合数学期望和方差的性质进行逐一判断即可. 【解答过程】因为，所以，， 因此， ， 因此选项B、D不正确，选项C正确； 又因为，所以选项A不正确， 故选：C． 【变式3-1】（23-24高二上·江西·期末）设随机变量，若，则的最大值为（    ） A．4 B．3 C． D． 【解题思路】根据二项分布的数学期望得的范围，再根据二项分布方差运算公式结合二次函数的单调性求得的最大值. 【解答过程】随机变量，由得，解得. ， 易知二次函数的开口向下，对称轴为，所以在上单调递增， 于是时取得最大值，即最大值为. 故选：C. 【变式3-2】（24-25高三上·福建莆田·开学考试）下图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为用表示小球落入格子的号码，则下面计算错误的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】分析可知，利用独立重复试验的概率公式可判断AB选项；利用二项分布的期望和方差的公式可判断CD选项． 【解答过程】设“向右下落”，则“向左下落”，， 因为小球最后落入格子的号码等于事件发生的次数， 而小球下落的过程中共碰撞小木钉5次，所以， 对于A：，故A正确； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D：，故D正确； 故选：B． 【变式3-3】（23-24高二下·上海·期末）一只小虫从数轴上的原点出发爬行，若一次爬行过程中，小虫等概率地向前或向后爬行1个单位，设爬行次后小虫所在位置对应的数为随机变量，则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意可知，且小虫向前或向后爬行1个单位的概率均为，结合二项分布求概率，然后逐个分析判断即可. 【解答过程】由题意可知，爬行次后小虫所在位置对应的数为随机变量，且小虫向前或向后爬行1个单位的概率均为， 所以设爬行后小虫一共向前爬行次，则向后爬行， 所以， 所以， 对于AB，的分布列为 … … … … 所以，所以A正确， 因为 ， 所以 ，所以B正确， 对于C，因为， 所以，所以，所以C错误， 对于D，因为， 所以， 所以，所以D正确， 故选：C. 【题型4 二项分布的实际应用】 【例4】（23-24高二下·北京延庆·期中）已知某计算机网络的服务器有三台设备，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉．如果三台设备各自能正常工作的概率都为0.8，它们之间互相不影响．设能正常工作的设备数为． (1)求的分布列； (2)求和； (3)求计算机网络不会断掉的概率． 【解题思路】（1）的可能取值为0，1，2，3，结合二项分布的概率即可求解； （2）根据二项分布的期望和方差公式计算即可； （3）要使得计算机网络不会断掉，也就是要求能正常工作的设备至少有一台，结合（1）及对立事件求解即可． 【解答过程】（1）由题意得的可能取值为0，1，2，3，且， ， ， ， ， 所以的分布列如下． 0 1 2 3 0.008 0.096 0.384 0.512 （2）因为，所以，． （3）要使得计算机网络不会断掉，也就是要求能正常工作的设备至少有一台，即， 因此所求概率为． 【变式4-1】（24-25高三上·福建·开学考试）某工厂生产的产品分为一等品、二等品和三等品.已知生产一件产品为一等品、二等品、三等品的概率分别为，且.从该工厂生产的产品中随机抽取n件，设其中一等品的数量为X，二等品的数量为Y. (1)已知X的数学期望，X的方差，求的值. (2)若，且，求的值. (3)已知，，在抽取的n件商品中，一等品和二等品的数量之和为M. M的数学期望是否有最大值，若有，求出最大值；若没有，说明理由. 【解题思路】（1）由，利用二项分布的期望方差公式解方程组可得； （2）由，利用公式代入解方程可得； （3）由，利用期望公式可得，结合函数单调性可知最值情况. 【解答过程】（1）由题意知，则， 解得； （2）由，则， 由得，， 化简可得，即，解得； （3）由题意知，，又，， 所以，则，当增大时，也增大. 所以，当，，故的数学期望没有最大值. ‌但在实际情境中，‌的取值是有限的，比如取工厂的总产量时，取最大值. 【变式4-2】（24-25高三上·北京·阶段练习）某批产品由一等品､二等品､三等品及次品构成.随机抽取20件，统计情况如下表： 等级 一等品 二等品 三等品 次品 件数 10 6 3 1 以频率估计概率. (1)若从这批产品中任取一件，试估计“其为一等品或二等品”的概率； (2)在抽取的20件产品中，随机抽取3件，求其中“既有一等品又有二等品”的概率； (3)若改进技术后，产品为一等品的概率提升为.从这批产品中随机抽取10件产品，其中恰好有5件一等品的概率记为，恰好有7件一等品的概率记为，请直接写出与的大小关系. 【解题思路】（1）利用频率来估计概率可得答案； （2）利用组合数公式计算所有可能的抽取情况数以及满足既有一等品又有二等品的情况数，再根据概率公式求解； （3）根据二项分布概率公式分别计算改进技术前后的概率，再比较大小. 【解答过程】（1）设“若从这批产品中任取一件，其为一等品或二等品”， ； （2）设“在抽取的20件产品中，随机抽取3件，既有一等品又有二等品”， ； （3）， 因为， 所以. 【变式4-3】（2024·全国·模拟预测）一次课外活动举行篮球投篮趣味比赛，选手在连续投篮时，第一次投进得1分，并规定：若某次投进，则下一次投进的得分是本次得分的两倍；若某次未投进，则该次得0分，且下一次投进得1分．已知某同学连续投篮n次，总得分为X，每次投进的概率为，且每次投篮相互独立． (1)当时，判断与10的大小，并说明理由； (2)当时，求X的概率分布列和数学期望； (3)记的概率为，求的表达式． 【解题思路】（1）依题意可知，若每次投进都得1分，利用二项分布可知，再结合比赛规则可得； （2）易知X的可能取值为0，1，2，3，7，求出对应概率可得分布列和期望； （3）将的所有可能情况进行分类讨论，再由比赛规则和积分方式，利用类二项分布与插空法即可求得的表达式． 【解答过程】（1）．理由如下： 记该同学投篮30次投进次数为，则． 若每次投进都得1分，则得分的期望为． 由题中比赛规则可知连续投进时，得分翻倍， 故实际总得分的期望必大于每次都得1分的数学期望． 所以． （2）X的可能取值为0，1，2，3，7，其中 ，， ，， ， 所以X的概率分布列为 X 0 1 2 3 7 P 所以． （3）投篮n次得分为3分，有如下两种情形： 情形一，恰好两次投进，且两次相邻； 情形二，恰好三次投进，且任意两次都不相邻． 当时，情形二不可能发生，所以； 当时，情形一发生的概率为， 情形二发生是指，将次未投进的投篮排成一列，共有个空位，选择其中3个空位作为投进的投篮， 所以概率为， 所以． 综上所述，. 【知识点2 超几何分布】 1．超几何分布 (1)定义 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽 取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X=k)=，k=m，m+1，m+2，，r.其中n,N,M∈N*，M≤N，n≤N，m={0，n-N+M}，r=.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布. 若随机变量X服从超几何分布，则其均值E(X)==np. (2)求超几何分布的分布列 ①判断随机变量是不是服从超几何分布； ②套用超几何分布中的概率公式，注意理解公式中各量的意义. 2．超几何分布与二项分布的关系 (1)超几何分布与二项分布都是随机变量取非负整数值的离散分布，表面上看，两种分布的概率求解有 截然不同的表达式，但看它们的概率分布列，会发现其相似点.超几何分布与二项分布是两个非常重要的概率模型，许多实际问题都可以利用这两个概率模型来求解.在实际应用中，理解并辨别这两个概率模型是至关重要的. (2)事实上，在次品件数为确定数M的足够多的产品中，任意抽取n件(由于产品件数N无限多，无放回与有放回无区别，故可看作n重伯努利试验)，其中含有次品的件数服从二项分布. 3．超几何分布的应用 (1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布的特征是：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的分布列. (2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其本质是古典概型. 【题型5 超几何分布的判断】 【例5】（2025高三·全国·专题练习）下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是（   ） A．将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X B．从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，取得的次品数为X C．某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数 【解题思路】由超几何分布的定义分别判断各个选项即可． 【解答过程】对于A:将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X,是二项分布，A选项错误； 对于B:从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，取得的次品数为X,是超几何分布，B选项正确； 对于C:某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X,是两点分布，C选项错误； 对于D:盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数,不是超几何分布，D选项错误. 故选：B. 【变式5-1】（24-25高二上·全国·课后作业）一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10.现从中任取4个球，有如下几种变量： ①X表示取出的最大号码； ②X表示取出的最小号码； ③X表示取出的白球个数； ④取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X表示取出的4个球的总得分减去4的差. 这四种变量中服从超几何分布的是（　　） A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④ 【解题思路】根据超几何分布的定义，判断四个选项，即可得到答案． 【解答过程】超几何分布定义：设有总数为N件的甲乙两类物品，其中甲类有M件，从所有物品中任取n件，则中所含甲类物品件数X是一个离散型随机变量，它取值m时的概率为，我们称离散型随机变量X的这种形式的概率分布为超几何分布. ①②中的变量不符合超几何分布的定义，无法用超几何分布的数学模型计算概率，故①②错误； ③中的变量符合超几何分布的定义选项，将白球视作甲类物品，黑球视作乙类物品，则可以用超几何分布的数学模型计算概率，故③正确； ④中的变量可以对应取出的白球个数，符合超几何分布的定义选项，可以用超几何分布的数学模型计算概率，故④正确. 故选：B． 【变式5-2】（24-25高二下·全国·课后作业）盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个白球，这些球除颜色外完全相同，若用随机变量表示任选4个球中红球的个数，则服从超几何分布，其参数为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【解题思路】根据超几何分布的定义求解即可. 【解答过程】在产品质量的不放回抽检中，若件产品中有件次品， 抽检件时所得次品数，则， ， 此时称随机变量服从超几何分布. 根据超几何分布的定义可知，，，. 故选：A. 【变式5-3】（24-25高二下·江西抚州·阶段练习）下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是（    ） A．将一枚硬币连抛次，记正面向上的次数为 B．某射手的射击命中率为，现对目标射击次，记命中的次数为 C．从男女共名学生干部中选出名学生干部，记选出女生的人数为 D．盒中有个白球和个黑球，每次从中摸出个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数为 【解题思路】根据超几何分布的定义逐项判断可得出合适的选项. 【解答过程】对于A选项，将一枚硬币连抛次，记正面向上的次数为， 则服从二项分布，A不满足； 对于B选项，某射手的射击命中率为，现对目标射击次，记命中的次数为，则服从两点分布，B不满足； 对于C选项，从男女共名学生干部中选出名学生干部，记选出女生的人数为， 则服从超几何分布，C满足； 对于D选项，盒中有个白球和个黑球，每次从中摸出个球且不放回， 记第一次摸出黑球时摸取的次数为，则不服从超几何分布，D不满足. 故选：C. 【题型6 求超几何分布的概率】 【例6】（23-24高二下·山东青岛·期中）数学老师从6道题中随机抽3道让同学检测，规定至少要解答正确2道题才能及格．某同学只能正确求解其中的4道题，则该同学能及格的概率为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用超几何分布的概率公式计算即可. 【解答过程】由题意知抽取3道题该同学不及格的情况只有：只对一道题一种情况， 则只答对一道题的概率为，所以该同学及格的概率为. 故选：A. 【变式6-1】（24-25高二下·全国·课后作业）设袋中有8个红球，4个白球，若从袋中任取4个球，则其中至多3个红球的概率为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，摸出的红球个数服从超几何分布，根据超几何分布的概率分布列计算即可. 【解答过程】从袋中任取4个球，其中红球的个数服从参数为的超几何分布， 故至多有3个红球的概率为. 故选：D. 【变式6-2】（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）某学习小组共12人，其中有5名是“三好学生”，现从该小组中任选5人参加竞赛，用ξ表示这5人中“三好学生”的人数，则下列概率中等于的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】分别求出，，即可得到等于的概率 【解答过程】解：由题意可得 ∵，，， ∴， ， 故选：B. 【变式6-3】（23-24高二下·新疆省直辖县级单位·阶段练习）一个班级共有30名学生，其中有10名女生，现从中任选三人代表班级参加学校开展的某项活动，假设选出的3名代表中的女生人数为变量，男生的人数为变量，则等于（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意结合超几何分布运算求解即可. 【解答过程】因为， 所以. 故选：C. 【题型7 超几何分布的均值】 【例7】（23-24高二下·河南信阳·期末）2024年5月中国邮政发行了《巢湖》特种邮票3枚，巢湖是继《太湖》（5枚）、《鄱阳湖》（3枚）、《洞庭湖》（4枚）后，第四个登上特种邮票的五大淡水湖.现从15枚邮票中随机抽取2枚，记抽取邮票《巢湖》的枚数为，则（    ） A． B． C．1 D． 【解题思路】利用超几何分布概率公式，分别求出，再求. 【解答过程】依题意，的可能取值有0，1，2. 则，，， 则. 故选:A. 【变式7-1】（23-24高二下·吉林长春·阶段练习）2024年“与辉同行”直播间开播，董宇辉领衔7位主播从“心”出发，其中男性5人，女性3人，现需排班晚8：00黄金档，随机抽取两人，则男生人数的期望为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】首先将男生人数设为随机变量，再求得概率，代入期望公式，即可求解. 【解答过程】设男生人数为，且， ，，, 则. 故选：C. 【变式7-2】（2024高三·全国·专题练习）一个袋子中装有6个红球和4个白球，假设每个球被摸到的可能性是相等的．从袋子中摸出2个球，其中白球的个数为X，则X的数学期望是（    ）． A． B． C． D． 【解题思路】由题意可知可取，然后利用超几何分布公式求出相应的概率，从而求解出期望. 【解答过程】由题意知， 则，，． 所以．故A正确. 故选：A. 【变式7-3】（23-24高三上·四川成都·开学考试）某地盛行糕点有n种，该地的糕点店从中准备了m（）种糕点供顾客选购．已知某顾客喜好的糕点有k（）种，则当其随机进入一家糕点店时，会发现该店中有若干种糕点符合其喜好．记随机变量X为该顾客发现符合其喜好的糕点的种数，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意可知服从超几何分布，然后利用超几何分布的期望公式求解即可. 【解答过程】由题意可知从含有顾客喜好的k（）种糕点的n种糕点中，任取m（）种糕点，其中恰有种顾客喜好的糕点，则服从超几何分布， 所以，其中， 所以， 故选：A. 【题型8 超几何分布的方差】 【例8】（24-25高二下·江苏连云港·阶段练习）已知6件产品中有2件次品，4件正品，检验员从中随机抽取3件进行检测，记取到的正品数为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意可知，X可能取1，2，3，且服从超几何分布，求出对应的概率，根据数学期望，方差的公式及性质计算即可． 【解答过程】根据题意可知，X可能取1，2，3，且服从超几何分布， 故 所以 ， ， 故选：D． 【变式8-1】（2024·浙江金华·二模）口袋中有相同的黑色小球n个，红、白、蓝色的小球各一个，从中任取4个小球．ξ表示当n＝3时取出黑球的数目，η表示当n＝4时取出黑球的数目．则下列结论成立的是（　　） A．E（ξ）＜E（η），D（ξ）＜D（η） B．E（ξ）＞E（η），D（ξ）＜D（η） C．E（ξ）＜E（η），D（ξ）＞D（η） D．E（ξ）＞E（η），D（ξ）＞D（η） 【解题思路】当时，的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出， ；当时，η可取1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出， ，即可得解． 【解答过程】当时，ξ的可能取值为1，2，3， ，，， ∴，； 当时，η可取1，2，3，4， ，， ，， ∴， ； ∴，． 故选：A． 【变式8-2】（24-25高二下·山东枣庄·阶段练习）为营造浓厚的全国文明城市创建氛围，积极响应创建全国文明城市号召，提高对创城行动的责任感和参与度，学校号召师生利用周末参与创城志愿活动.高二（1）班某小组有男生4人，女生2人，现从中随机选取2人作为志愿者参加活动. (1)求在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生参加活动的概率； (2)记参加活动的女生人数为X，求X的分布列及期望、方差. 【解题思路】（1）根据条件概率公式即可求解. （2）根据超几何分布，即可求出分布列，利用公式求解期望与方差. 【解答过程】（1）设“有女生参加活动”为事件，“恰有一名女生参加活动”为事件． 则，所以； （2）依题意知服从超几何分布，且， 所以的分布列为： 0 1 2 . 【变式8-3】（23-24高二下·广东湛江·阶段练习）某大学的武术协会有10名同学，成员构成如下表所示.表中部分数据不清楚，只知道从这10名同学中随机抽取1名同学，该名同学的专业为数学的概率为. 性别 中文 数学 英语 体育 男 1 1 女 1 1 1 1 现从这10名同学中随机选取3名同学参加该市的武术比赛（每名同学被选到的可能性相等）. (1)求、的值； (2)求选出的3名同学恰为专业互不相同的男生的概率； (3)设为选出的3名同学中是女生或专业为数学的人数，求随机变量的分布列、均值及方差. 【解题思路】（1）先根据已知列方程算出，进一步可得； （2）根据古典概型概率计算公式即可求解； （3）由超几何分步的概率公式，可得分布列，进一步得均值、方差公式. 【解答过程】（1）由题意得  解得. 由，得解得. （2）所求的概率为 . （3）由已知，这10名同学中是女生或者专业为数学的人数为7，Y的可能取值为0，1，2，3. ，， ，， 所以Y的分布列为 Y 0 1 2 3 P 均值为， 方差为. 【题型9 二项分布与超几何分布的综合应用】 【例9】（23-24高二下·江苏泰州·期末）已知20条试题中有8条选择题，甲无放回地依次从中抽取5条题，乙有放回地依次从中抽取5条题，甲、乙每次均抽取一条试题，抽出的5条题中选择题的条数分别为，的期望分别为，方差分别为，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】随机变量服从超几何分布, 随机变量服从二项分布，根据超几何分布和二项分布的均值、方差公式计算即可. 【解答过程】由题意可知，的可能取值为，的可能取值为， 随机变量服从超几何分布，随机变量服从二项分布， 根据超几何分布的均值方差公式得： ，即， . 根据超二项分布的均值方差公式得： ，即 ， 所以，. 故选：A. 【变式9-1】（23-24高二下·浙江·期中）一个不透明的袋子有10个除颜色不同外，大小、质地完全相同的球，其中有6个黑球，4个白球．现进行如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望方差分别为；试验二：逐个有放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望和方差分别为，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用超几何分布和二项分布知识分别计算从中随机地无放回摸出3个球、从中随机地有放回摸出3个球的期望、方差，再做比较可得答案． 【解答过程】试验一：从中随机地无放回摸出3个球，记白球的个数为， 则的可能取值是0，1，2，3， 则， ，， 故随机变量的概率分布列为： 0 1 2 3 则数学期望为：， 方差为：； 试验二：从中随机地有放回摸出3个球，则每次摸到白球的概率为， 则， 故，， 故，． 故选：A． 【变式9-2】（23-24高三上·北京西城·期中）某校设计了一个实验学科的实验考查方案；考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作，规定：至少正确完成两题便可通过，已知6道备选题中甲生有4题能正确完成，2题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是，求： (1)分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望； (2)试用统计知识分析比较两考生的实验操作能力． 【解题思路】(1)由题意知，甲乙两位考生正确完成实验操作的题数分别服从超几何和二次项分布，分别列出分布列，计算均值即可； (2)结合分布列中数据，分别计算对应的均值，方差以及至少正确两题的概率比较大小即可. 【解答过程】（1）设考生甲正确完成实验操作的题数为ξ，则ξ的可能取值是1，2，3， ， 所以ξ的分布列为： ξ 1 2 2 P 则； 设考生乙正确完成实验操作的题数为η，易知， 所以， ， 所以η的分布列为： η 0 1 2 3 P 所以． （2）由(1)知， ， ， ， 所以，， 故从正确完成实验操作的题数的均值方面分析，两人水平相当； 从正确完成实验操作的题数的方差方面分析，甲的水平更稳定； 从至少正确完成2题的概率方面分析，甲通过的可能性更大． 【变式9-3】（23-24高二下·山西太原·期末）某市为了解党员对党史知识的掌握情况，在该市随机选取100名党员进行调查，其中不同年龄段的人数分布如下表： 年龄 小于30 大于等于70 人数 5 10 25 35 15 10 (1)已知年龄在的女性党员有3人，现从该年龄段这10人中随机选择3人进行座谈，用表示这3人中女性党员的人数，求的分布列和数学期望； (2)若用样本的频率近似代替概率，现从该市党员中随机抽取20名党员进行调查，用表示其中年龄在内的人数，求当取最大值时的值. 【解题思路】（1）由题意可得服从超几何分布，其中，然后根据超几何分布的概率公式求出相应的概率，从而可求出的分布列和数学期望； （2）由题意求出从该市党员中随机抽取1名党员，其年龄在的概率为，则，然后利用二项分布的概率公式列不等式求解即可. 【解答过程】（1）由题意得服从超几何分布，其中， 所以，， ，， 所以的分布列为 0 1 2 3 所以； （2）由题意可得从该市党员中随机抽取1名党员，其年龄在的概率为， 则，即， 所以， 令，得， 令，得， 所以， 因为，所以当时，最大. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$