专题7.5 正态分布【八大题型】-2024-2025学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第三册）

专题7.5 正态分布【八大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 正态密度函数】 2 【题型2 正态曲线的特点】 3 【题型3 利用正态曲线的对称性求概率】 6 【题型4 根据正态曲线的对称性求参数】 7 【题型5 利用3σ原则求概率】 8 【题型6 标准正态分布的应用】 10 【题型7 正态分布的实际应用】 12 【题型8 正态分布与其他知识综合】 15 【知识点1 正态分布】 1．连续型随机变量 随机变量的取值充满某个区间甚至整个数轴，但取一点的概率为0，称这类随机变量为连续型随机变量. 2．正态分布 (1)正态曲线 函数f(x)=，x∈R.其中μ∈R，σ>0为参数.我们称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正 态密度曲线，简称正态曲线. (2)正态分布 若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为.特别地， 当μ=0，σ=1时，称随机变量X服从标准正态分布. (3)正态分布的均值和方差 若，则E(X)=μ，D(X)=σ2. 3．正态曲线的特点 (1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交； (2)曲线是单峰的，它关于直线x=μ对称； (3)曲线在x=μ处达到峰值； (4)当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴； (5)对任意的σ>0，曲线与x轴围成的面积总为1； (6)在参数σ取固定值时，正态曲线的位置由μ确定，且随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示； (7)当μ取定值时，正态曲线的形状由σ确定，当σ较小时，峰值高，曲线“瘦高”，表示随机变量X的分 布比较集中；当σ较大时，峰值低，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图乙所示. 4．3σ原则 (1)正态总体在三个特殊区间内取值的概率 P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827； P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545； P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973. (2)3σ原则 在实际应用中，通常认为服从正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取[μ-3σ，μ+3σ]中的值，这在统计学 中称为3σ原则. 5．正态分布问题的解题策略 解决正态分布问题有三个关键点： (1)对称轴x=μ； (2)标准差σ； (3)分布区间.利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率.注意只有在标准正态分布下对称轴才为x=0. 【题型1 正态密度函数】 【例1】（23-24高二上·全国·课后作业）设随机变量X服从正态分布，且相应的概率密度函数为，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，结合正态分布密度函数的解析式，即可求解. 【解答过程】由正态分布密度函数，可得. 故选：C. 【变式1-1】（2025高二·全国·课后作业）给出下列函数：①；②；③；④，其中，，则可以作为正态分布密度函数的个数有（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】根据正态分布密度函数的定义逐个分析判断. 【解答过程】对于①，，由于，所以，故它可以作为正态分布密度函数； 对于②，若，则应为，若，则应为，均与所给函数不相符，故它不能作为正态分布密度函数； 对于③，它就是当，时的正态分布密度函数； 对于④，它是当时的正态分布密度函数． 所以一共有3个函数可以作为正态分布密度函数． 故选：C. 【变式1-2】（24-25高二·全国·课后作业）设随机变量的正态分布密度函数为，，则参数，的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【解题思路】由正态分布密度函数的概念即得. 【解答过程】由正态分布密度函数表达式知，. 故选：D. 【变式1-3】（24-25高二·全国·课后作业）已知随机变量的正态密度函数为，则其均值和标准差分别是（    ） A．0和8 B．0和4 C．0和2 D．0和1 【解题思路】根据正态总体的概率密度函数的意义直接求解即可. 【解答过程】由的形式，知的均值和标准差分别为0和2. 正态总体的概率密度函数为, 根据，可得其均值为0，标准差为2， 故选：C. 【题型2 正态曲线的特点】 【例2】（2025高三·全国·专题练习）已知三个随机变量的正态密度函数的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据正态密度函数的对称轴的位置可得的大小关系，根据正态密度函数的扁平程度可得的大小关系. 【解答过程】因为正态密度函数和的图象关于同一条直线对称，所以. 又的图象的对称轴在的图象的对称轴的右边，所以. 因为越大，曲线越“矮胖”.越小，曲线越“瘦高”， 由图可知，正态密度函数和的图象一样“瘦高”，的图象明显“矮胖”， 所以. 故选：D. 【变式2-1】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）某市高中数学统考中，甲、乙、丙三所学校的数学成绩分别服从正态分布，，，其正态分布的密度曲线如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据给定的曲线，利用正态分布的密度曲线的特征判断即得. 【解答过程】观察曲线知，. 故选：D. 【变式2-2】（2024高二下·全国·专题练习）已知正态分布的正态密度曲线如图所示，，则下列选项中，不能表示图中阴影部分面积的是（　　）    A． B． C． D． 【解题思路】借助正态密度曲线的对称性逐项判断即可得. 【解答过程】正态分布的正态密度曲线关于直线对称， 可得图中阴影部分可表示为，故选项A，B正确； 对C：由对称性可得，故选项C错误； 对D：由对称性可得， 所以图中阴影部分面积可表示为，故选项D正确． 故选：C． 【变式2-3】（23-24高二下·山东聊城·期末）设随机变量，，这两个正态分布密度曲线如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由密度曲线结合正态分布性质求解即可. 【解答过程】的密度曲线的对称轴在的密度曲线的对称轴的左边，即. 的密度曲线较为分散， 的密度曲线较为集中，即，故AB错误； 因为，所以C错误； 因为，所以D正确； 故选：D. 【题型3 利用正态曲线的对称性求概率】 【例3】（23-24高二下·山东滨州·期末）若随机变量，且，则（    ） A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 【解题思路】由对称性先得出，进而得出. 【解答过程】因为，所以，所以. 故选：D. 【变式3-1】（24-25高二上·河南南阳·期末）已知随机变量服从正态分布，则（    ） A．0.16 B．0.32 C．0.68 D．0.84 【解题思路】根据正态曲线的对称性计算即可求解. 【解答过程】由题意得， 由正态曲线的对称性知， 所以． 故选：C. 【变式3-2】（24-25高三·上海·课堂例题）若随机变量，且，，则等于（   ） A． B． C． D． 【解题思路】利用正态密度曲线的对称性，即可求解. 【解答过程】随机变量，且，， 由正态密度曲线的对称性可知，， 所以． 故选：B. 【变式3-3】（24-25高三上·四川成都·阶段练习）已知随机变量，若其对应的正态密度函数满足，且，则（    ） A．0.8 B．0.5 C．0.4 D．0.1 【解题思路】由可得对应的正态曲线的对称轴为，根据正态曲线的对称性可得结果. 【解答过程】由，则正态密度函数关于对称，即， 则. 故选：C. 【题型4 根据正态曲线的对称性求参数】 【例4】（2025·福建厦门·一模）已知随机变量X服从正态分布，若，且，则（   ） A．-1 B． C．0 D． 【解题思路】根据正态分布的对称性，即可求得答案. 【解答过程】由题意知随机变量X服从正态分布，， 如图所示，结合，得， 可知关于对称，所以，解得， 故选：C． 【变式4-1】（24-25高二下·全国·课后作业）设随机变量，且，则实数的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【解题思路】由已知结合正太分布密度曲线性质即可得解. 【解答过程】因为，所以正态分布密度曲线的对称轴为， 因为，所以. 故选：B. 【变式4-2】（24-25高二下·河北张家口·阶段练习）已知随机变量服从正态分布，若，则（    ） A． B．0 C．2 D．6 【解题思路】由正态分布性质可得答案. 【解答过程】因为，所以 ，因为随机变量服从正态分布，所以，解得：. 故选：D. 【变式4-3】（23-24高二下·广西玉林·期末）已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由正态密度曲线的对称性求出的值，然后将与相乘，展开后可求得的最小值. 【解答过程】因为，且，则，解得， 因为，则， 所以， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为. 故选：C. 【题型5 利用3σ原则求概率】 【例5】（24-25高二上·江西南昌·期末）学校有1000名学生生参加了“希望杯”数学竞赛，此次竞赛成绩服从正态分布，估计竞赛成绩在分到分之间的人数约为（    ）人. （参考数据，，） A． B． C．954 D．477 【解题思路】由正态分布概率模型求出竞赛成绩在分到分的概率，然后估计人数即可. 【解答过程】由于竞赛成绩服从正态分布， 所以，， 所以， 故该校1000名学生竞赛成绩在分到分之间的人数约为：， 故选：A. 【变式5-1】（23-24高二下·福建三明·期末）现实世界中的很多随机变量服从正态分布，例如反复测量某一个物理量，其测量误差通常被认为服从正态分布.若某物理量做次测量，测量结果的误差，要控制的概率不大于0.0027，至少要测量的次数为（    ） （参考数据： A．288 B．188 C．72 D．12 【解题思路】根据题意得，可得，然后根据正态分布的概率求法可求得结果. 【解答过程】因为，所以， 根据题意得，则， 即， 因为，所以， 所以，所以，解得， 所以至少要测量的次数为72次， 故选：C. 【变式5-2】（23-24高二下·广东江门·期末）某校高二级学生参加期末调研考试的数学成绩X服从正态分布，将考试成绩从高到低，按照16%，34%，34%，16%的比例分为A，B，C，D四个等级．若小明的数学成绩为105分，则属于等级（    ） （附：，，） A．A B．B C．C D．D 【解题思路】根据正态分布的性质即可求解. 【解答过程】数学测试成绩服从正态分布，则，， 由于等级的概率之和为， 所以 ，而即 故为A等级，为B等级，为C等级， 为D等级， 故105分为A等级． 故选：A. 【变式5-3】（23-24高二下·重庆·期末）某次高二质量抽测中，学生的数学成绩服从正态分布．已知参加本次考试的学生约有10000人，如果小明在这次考试中数学成绩为120分，则小明的数学成绩在本次抽测的名次大约是（　　） 附：若，则， A．第228名 B．第455名 C．第1587名 D．第3173名 【解题思路】借助正态分布定义及正态曲线的性质计算可得，即可得解. 【解答过程】由，，， 则，故， ， 故小明的数学成绩在本次抽测的名次大约是第228名. 故选：A. 【题型6 标准正态分布的应用】 【例6】（2024·江苏徐州·模拟预测）随机变量服从正态分布，随机变量服从标准正态分布，若，则 ．（用字母表示） 【解题思路】根据随机变量服从标准正态分布，得到，再结合随机变量服从正态分布可得答案. 【解答过程】随机变量服从标准正态分布，根据对称性可知， 因为，所以，即， 随机变量服从正态分布，根据对称性可知， ，则，即. 故答案为：. 【变式6-1】（2024·山东潍坊·二模）设随机变量X服从标准正态分布，那么对于任意a，记，已知，则= 0.4 ． 【解题思路】根据正太分布密度曲线的对称性即可求解. 【解答过程】由题可知， . 故答案为：0.4. 【变式6-2】（23-24高二下·广东广州·期末）小明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他记录多次数据，分析得到：坐公交车平均用时30min，样本方差为36；骑自行车平均用时34min，样本方差为4，假设坐公交车用时，骑自行车用时，则（    ） A． B． C．如果有38分钟可用，小明应选择坐公交车 D．如果有34分钟可用，小明应选择自行车 【解题思路】利用正态分布曲线的意义以及对称性，对四个选项逐一分析判断即可． 【解答过程】因为，， 将化为标准正态分布，则， 因为，所以，故A错误； 又，，故B正确； 因为，所以如果有38分钟可用，小明应选择自行车，故C错误； 因为，所以如果有34分钟可用，小明应选择坐公交车，故D错误. 故选：B． 【变式6-3】（2024高三·全国·专题练习）某省高考改革试点方案规定：2023年高考总成绩由语文、数学、外语三门统考科目和思想政治、历史、地理、物理、化学、生物六门选考科目组成，将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为共8个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%，7%，16%，24%，24%，16%，7%，3%，选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到八个分数区间，得到考生的等级成绩，如果该省某次高考模拟考试物理科目的原始成绩，那么等级的原始分最低大约为（　　） （参考数据：① 若，则；② 当时，） A．57 B．64 C．71 D．77 【解题思路】首先计算排在等级最低分后面的学生约为学生总数的90%，结合，以及当时，，可得到，计算即可得到答案． 【解答过程】由题意可得，将学生成绩从高到低排名，排在等级最低分后面的学生约为学生总数的90%. 因为原始成绩，所以. 令，则；又当时，， 所以，解得，所以B＋等级的原始分最低大约为71. 故选：C. 【题型7 正态分布的实际应用】 【例7】（24-25高三上·湖南·阶段练习）某校高二年级下学期期末考试数学试卷满分为150分，90分以上（含90分）为及格．阅卷结果显示，全年级1200名学生的数学成绩近似服从正态分布，试卷的难度系数（难度系数平均分/满分）为0.49，标准差为22，则该次数学考试及格的人数约为（    ）附：若，记，则． A．136人 B．272人 C．328人 D．820人 【解题思路】首先求出平均数，即可得到学生的数学成绩，再根据所给条件求出，即可求出，即可估计人数． 【解答过程】由题得， ， ， ， 该校及格人数为（人）， 故选：B． 【变式7-1】（24-25高三下·广东·开学考试）李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他记录了100次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30min，样本标准差为6；骑自行车平均用时，样本方差为4.假设坐公交车用时和骑自行车用时都服从正态分布，则下列说法正确的是（参考数值：随机变量服从正态分布，则，，）（   ） A． B． C．若某天只有可用，则李明上学应该选择坐公交车 D．若某天只有可用，则李明上学应该选择坐公交车 【解题思路】根据正态分布的定义及性质判断A，B，结合正态分布的对称性及概率计算判断C，D. 【解答过程】由题意可设，， 由题意可得，，，，所以A，B错误； 因为 ， ， 所以，故C错误； 因为， ，所以，故D正确. 故选：D. 【变式7-2】（24-25高二下·全国·单元测试）在某次数学考试中，考生的成绩X服从正态分布. (1)试求考试成绩X位于区间内的概率； (2)若这次考试共有3000名考生，试估计考试成绩位于区间内的考生人数. （参考数据：，） 【解题思路】（1）由题意可知，进而根据参考数据求事件的概率； （2）根据正态分布性质求事件的概率，结合频数频率关系求结论. 【解答过程】（1）∵， ∴. ∵， . 且， ∴. （2）∵， ， 且， ∴， ∴考试成绩位于区间内的考生人数为（人）. 【变式7-3】（24-25高三上·上海·单元测试）辽宁、广东、河北、湖北、湖南、江苏、福建、重庆等八省市从2021年起全部采用“3＋1＋2”的新高考模式．“3”指的是语文、数学、外语，这三门科目考试参加统一高考，由教育部考试中心统一命题，以原始成绩计入考生总成绩；“1”指的是物理和历史中的一科，考生必须从物理和历史两个科目中选择一科，由各省自主命题，以原始成绩计入考生总成绩．为了让考生更好的适应新高考模式，某省几个地市进行了统一的高考适应性考试．在所有入考考生中有30000人选考物理，考后物理成绩X（满分100分）服从正态分布． (1)分别估计成绩在和75分以上者的人数；（运算过程中精确到0.0001，最后结果保留为整数） 附1：，，； (2)本次考试物理成绩X服从正态分布．令，则η～N（0，1），若本次考试物理成绩的前25％划定为优秀等级，试估计物理优秀等级划线分大约为多少分？（结果保留为整数） 附2：若η～N（0，1），则． 【解题思路】（1）由题意可得，则可得，从而可估算出成绩在的人数，根据正态分布曲线的对称性求出，从而可估算出成绩在75分以上的人数； （2）设该划线分为m，由题意可得，，则，从而可求出. 【解答过程】（1）因为，所以， 又，所以， 所以成绩在的人数约为人， 由正态分布曲线的对称性可得：， 则， 所以估计75分以上的人数约为人； （2）设该划线分为m，由，得，， 令， 由题意因为η～N（0，1），， 所以，所以， 所以． 【题型8 正态分布与其他知识综合】 【例8】（24-25高二下·全国·课后作业）为加大自然生态系统和环境保护力度，加强企业对尊重自然、顺应自然、保护自然的生态文明理念，某市对化工企业的排污情况进行调查，并出台相应的整治措施．相关部门对1000家化工企业所排污水的质量及周围空气质量进行了综合检测，得分情况如频率分布直方图所示． (1)计算该市化工企业的平均得分（同一组中的数据以这组数据的中间值为代表）； (2)已知化工企业的得分情况近似服从正态分布，其中，则得分在内的企业大约有多少家； (3)按照（2）中概率分布随机抽取100家化工企业，分数不低于19分的企业有多少家时概率最大． 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，． 【解题思路】（1）利用平均数的定义求解； （2）由（1）知化工企业的得分情况，，再利用正态分布曲线的对称性求解； （3）由（2）可知得分不低于19分的企业数，再利用二项分布的概率公式求解． 【解答过程】（1）该市被调查的化工企业的污染情况得分的平均值为． （2）由（1）知化工企业的得分情况．因为， 所以 ． 可得所求企业大约有家． （3）由（2）得， 所以每家企业得分不低于19分的概率为0.9772， 则得分不低于19分的企业数． 其中恰有家企业得分不低于19分的概率为， 令，， 可得，解得， 故在走访的100家化工企业中，分数不低于19分的企业有98家时概率最大． 【变式8-1】（23-24高二下·山东临沂·期中）某试点高校校考过程中笔试通过后才能进入面试环节.2022年报考该试点高校的学生的笔试成绩近似服从正态分布.其中，近似为样本平均数，近似为样本方差.已知的近似值为76.5，s的近似值为5.5，以样本估计总体. (1)假设有84.135%的学生的笔试成绩高于该校预期的平均成绩，求该校预期的平均成绩大约是多少? (2)若笔试成绩高于76.5进入面试，若从报考该试点高校的学生中随机抽取10人，设其中进入面试学生数为，求随机变量的期望. (3)现有甲、乙、丙、丁四名学生进入了面试，且他们通过面试的概率分别为、、、.设这4名学生中通过面试的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望. 参考数据：若，则：；；. 【解题思路】（1）利用正态分布的对称性和正态曲线的原则，即可求得该校预期的平均成绩； （2）利用二项分布即可求得随机变量的期望； （3）先求得随机变量X的各个可能取值对应的概率，进而得到随机变量X的分布列，再利用数学期望的定义即可求得随机变量X的数学期望. 【解答过程】（1）由， 又的近似值为76.5，的近似值为5.5， 所以该校预期的平均成绩大约是（分） （2）由，可得， 即从所有报考该试点高校的学生中随机抽取1人， 该学生笔试成绩高于76.5的概率为 所以随机变量服从二项分布，故 （3）X的可能取值为， ， ， ， ， ， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 所以. 【变式8-2】（23-24高二下·湖南邵阳·期中）某小区开展了两会知识问答活动，现将该小区参与该活动的240位居民的得分（满分100分）进行了统计，得到如下的频率分布直方图. (1)若此次知识问答的得分X服从，其中近似为参与本次活动的240位居民的平均得分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），求的值； (2)本次活动，制定了如下奖励方案：参与本次活动得分低于的居民获得一次抽奖机会，参与本次活动得分不低于的居民获得两次抽奖机会，每位居民每次有的机会抽中一张10元的话费充值卡，有的机会抽中一张20元的话费充值卡，假设每次抽奖相互独立，假设该小区居民王先生参与本次活动，求王先生获得的话费充值卡的总金额Y的概率分布列，并估计本次活动需要准备的话费充值卡的总金额. 参考数据：，，. 【解题思路】（1）由频率分布直方图中平均数的计算公式求出，再由正态分布对称性即可求得的值； （2）求出Y的所有可能取值及其对应概率，即可得出分布列，求得，即可求出本次活动中需要准备的话费充值卡的总金额. 【解答过程】（1）依题意，， 所以， 故 ． （2）参与活动的每位居民得分低于74分的概率为， 得分不低于74分的概率为． Y的所有可能取值分别为10，20，30，40． ，， ，， 所以Y的概率分布为 Y 10 20 30 40 P 所以， 所以本次活动需要准备的话费充值卡的总金额为元． 【变式8-3】（23-24高二下·吉林长春·期末）目前，教师职业越来越受青睐，考取教师资格证成为不少人的就业规划之一. 当前，中小学教师资格考试分笔试和面试两部分，笔试通过后才能进入面试环节. 已知某市2024年共有10000名考生参加了中小学教师资格考试的笔试，笔试成绩，只有笔试成绩高于70分的考生才能进入面试环节. (1)利用正态分布的知识，估计该市报考中小学教师资格的10000名笔试考生中，进入面试的人数（结果只保留整数）； (2)现有甲、乙、丙3名考生进入了面试，且他们通过面试的概率分别为，设这3名考生中通过面试的人数为，求随机变量的分布列和数学期望. 参考数据：若，则，，. 【解题思路】（1）由题意可知，根据正态分布的性质即可求出概率； （2）分析可知随机变量的可能取值有，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进一步可求得的值. 【解答过程】（1）由题意可知， 则 ， 则共，即人进入面试. （2）由题意可知，随机变量的可能取值有， 甲、乙、丙3名考生没通过面试的概率分别为， 则， ， ， ， 故随机变量的分布列为： X 0 1 2 3 P 故. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题7.5 正态分布【八大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 正态密度函数】 2 【题型2 正态曲线的特点】 3 【题型3 利用正态曲线的对称性求概率】 4 【题型4 根据正态曲线的对称性求参数】 4 【题型5 利用3σ原则求概率】 5 【题型6 标准正态分布的应用】 6 【题型7 正态分布的实际应用】 6 【题型8 正态分布与其他知识综合】 8 【知识点1 正态分布】 1．连续型随机变量 随机变量的取值充满某个区间甚至整个数轴，但取一点的概率为0，称这类随机变量为连续型随机变量. 2．正态分布 (1)正态曲线 函数f(x)=，x∈R.其中μ∈R，σ>0为参数.我们称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正 态密度曲线，简称正态曲线. (2)正态分布 若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为.特别地， 当μ=0，σ=1时，称随机变量X服从标准正态分布. (3)正态分布的均值和方差 若，则E(X)=μ，D(X)=σ2. 3．正态曲线的特点 (1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交； (2)曲线是单峰的，它关于直线x=μ对称； (3)曲线在x=μ处达到峰值； (4)当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴； (5)对任意的σ>0，曲线与x轴围成的面积总为1； (6)在参数σ取固定值时，正态曲线的位置由μ确定，且随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示； (7)当μ取定值时，正态曲线的形状由σ确定，当σ较小时，峰值高，曲线“瘦高”，表示随机变量X的分 布比较集中；当σ较大时，峰值低，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图乙所示. 4．3σ原则 (1)正态总体在三个特殊区间内取值的概率 P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827； P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545； P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973. (2)3σ原则 在实际应用中，通常认为服从正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取[μ-3σ，μ+3σ]中的值，这在统计学 中称为3σ原则. 5．正态分布问题的解题策略 解决正态分布问题有三个关键点： (1)对称轴x=μ； (2)标准差σ； (3)分布区间.利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率.注意只有在标准正态分布下对称轴才为x=0. 【题型1 正态密度函数】 【例1】（23-24高二上·全国·课后作业）设随机变量X服从正态分布，且相应的概率密度函数为，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2025高二·全国·课后作业）给出下列函数：①；②；③；④，其中，，则可以作为正态分布密度函数的个数有（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-2】（24-25高二·全国·课后作业）设随机变量的正态分布密度函数为，，则参数，的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式1-3】（24-25高二·全国·课后作业）已知随机变量的正态密度函数为，则其均值和标准差分别是（    ） A．0和8 B．0和4 C．0和2 D．0和1 【题型2 正态曲线的特点】 【例2】（2025高三·全国·专题练习）已知三个随机变量的正态密度函数的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）某市高中数学统考中，甲、乙、丙三所学校的数学成绩分别服从正态分布，，，其正态分布的密度曲线如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2024高二下·全国·专题练习）已知正态分布的正态密度曲线如图所示，，则下列选项中，不能表示图中阴影部分面积的是（　　）    A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24高二下·山东聊城·期末）设随机变量，，这两个正态分布密度曲线如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【题型3 利用正态曲线的对称性求概率】 【例3】（23-24高二下·山东滨州·期末）若随机变量，且，则（    ） A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 【变式3-1】（24-25高二上·河南南阳·期末）已知随机变量服从正态分布，则（    ） A．0.16 B．0.32 C．0.68 D．0.84 【变式3-2】（24-25高三·上海·课堂例题）若随机变量，且，，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25高三上·四川成都·阶段练习）已知随机变量，若其对应的正态密度函数满足，且，则（    ） A．0.8 B．0.5 C．0.4 D．0.1 【题型4 根据正态曲线的对称性求参数】 【例4】（2025·福建厦门·一模）已知随机变量X服从正态分布，若，且，则（   ） A．-1 B． C．0 D． 【变式4-1】（24-25高二下·全国·课后作业）设随机变量，且，则实数的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式4-2】（24-25高二下·河北张家口·阶段练习）已知随机变量服从正态分布，若，则（    ） A． B．0 C．2 D．6 【变式4-3】（23-24高二下·广西玉林·期末）已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【题型5 利用3σ原则求概率】 【例5】（24-25高二上·江西南昌·期末）学校有1000名学生生参加了“希望杯”数学竞赛，此次竞赛成绩服从正态分布，估计竞赛成绩在分到分之间的人数约为（    ）人. （参考数据，，） A． B． C．954 D．477 【变式5-1】（23-24高二下·福建三明·期末）现实世界中的很多随机变量服从正态分布，例如反复测量某一个物理量，其测量误差通常被认为服从正态分布.若某物理量做次测量，测量结果的误差，要控制的概率不大于0.0027，至少要测量的次数为（    ） （参考数据： A．288 B．188 C．72 D．12 【变式5-2】（23-24高二下·广东江门·期末）某校高二级学生参加期末调研考试的数学成绩X服从正态分布，将考试成绩从高到低，按照16%，34%，34%，16%的比例分为A，B，C，D四个等级．若小明的数学成绩为105分，则属于等级（    ） （附：，，） A．A B．B C．C D．D 【变式5-3】（23-24高二下·重庆·期末）某次高二质量抽测中，学生的数学成绩服从正态分布．已知参加本次考试的学生约有10000人，如果小明在这次考试中数学成绩为120分，则小明的数学成绩在本次抽测的名次大约是（　　） 附：若，则， A．第228名 B．第455名 C．第1587名 D．第3173名 【题型6 标准正态分布的应用】 【例6】（2024·江苏徐州·模拟预测）随机变量服从正态分布，随机变量服从标准正态分布，若，则 ．（用字母表示） 【变式6-1】（2024·山东潍坊·二模）设随机变量X服从标准正态分布，那么对于任意a，记，已知，则= ． 【变式6-2】（23-24高二下·广东广州·期末）小明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他记录多次数据，分析得到：坐公交车平均用时30min，样本方差为36；骑自行车平均用时34min，样本方差为4，假设坐公交车用时，骑自行车用时，则（    ） A． B． C．如果有38分钟可用，小明应选择坐公交车 D．如果有34分钟可用，小明应选择自行车 【变式6-3】（2024高三·全国·专题练习）某省高考改革试点方案规定：2023年高考总成绩由语文、数学、外语三门统考科目和思想政治、历史、地理、物理、化学、生物六门选考科目组成，将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为共8个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%，7%，16%，24%，24%，16%，7%，3%，选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到八个分数区间，得到考生的等级成绩，如果该省某次高考模拟考试物理科目的原始成绩，那么等级的原始分最低大约为（　　） （参考数据：① 若，则；② 当时，） A．57 B．64 C．71 D．77 【题型7 正态分布的实际应用】 【例7】（24-25高三上·湖南·阶段练习）某校高二年级下学期期末考试数学试卷满分为150分，90分以上（含90分）为及格．阅卷结果显示，全年级1200名学生的数学成绩近似服从正态分布，试卷的难度系数（难度系数平均分/满分）为0.49，标准差为22，则该次数学考试及格的人数约为（    ）附：若，记，则． A．136人 B．272人 C．328人 D．820人 【变式7-1】（24-25高三下·广东·开学考试）李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他记录了100次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30min，样本标准差为6；骑自行车平均用时，样本方差为4.假设坐公交车用时和骑自行车用时都服从正态分布，则下列说法正确的是（参考数值：随机变量服从正态分布，则，，）（   ） A． B． C．若某天只有可用，则李明上学应该选择坐公交车 D．若某天只有可用，则李明上学应该选择坐公交车 【变式7-2】（24-25高二下·全国·单元测试）在某次数学考试中，考生的成绩X服从正态分布. (1)试求考试成绩X位于区间内的概率； (2)若这次考试共有3000名考生，试估计考试成绩位于区间内的考生人数. （参考数据：，） 【变式7-3】（24-25高三上·上海·单元测试）辽宁、广东、河北、湖北、湖南、江苏、福建、重庆等八省市从2021年起全部采用“3＋1＋2”的新高考模式．“3”指的是语文、数学、外语，这三门科目考试参加统一高考，由教育部考试中心统一命题，以原始成绩计入考生总成绩；“1”指的是物理和历史中的一科，考生必须从物理和历史两个科目中选择一科，由各省自主命题，以原始成绩计入考生总成绩．为了让考生更好的适应新高考模式，某省几个地市进行了统一的高考适应性考试．在所有入考考生中有30000人选考物理，考后物理成绩X（满分100分）服从正态分布． (1)分别估计成绩在和75分以上者的人数；（运算过程中精确到0.0001，最后结果保留为整数） 附1：，，； (2)本次考试物理成绩X服从正态分布．令，则η～N（0，1），若本次考试物理成绩的前25％划定为优秀等级，试估计物理优秀等级划线分大约为多少分？（结果保留为整数） 附2：若η～N（0，1），则． 【题型8 正态分布与其他知识综合】 【例8】（24-25高二下·全国·课后作业）为加大自然生态系统和环境保护力度，加强企业对尊重自然、顺应自然、保护自然的生态文明理念，某市对化工企业的排污情况进行调查，并出台相应的整治措施．相关部门对1000家化工企业所排污水的质量及周围空气质量进行了综合检测，得分情况如频率分布直方图所示． (1)计算该市化工企业的平均得分（同一组中的数据以这组数据的中间值为代表）； (2)已知化工企业的得分情况近似服从正态分布，其中，则得分在内的企业大约有多少家； (3)按照（2）中概率分布随机抽取100家化工企业，分数不低于19分的企业有多少家时概率最大． 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，． 【变式8-1】（23-24高二下·山东临沂·期中）某试点高校校考过程中笔试通过后才能进入面试环节.2022年报考该试点高校的学生的笔试成绩近似服从正态分布.其中，近似为样本平均数，近似为样本方差.已知的近似值为76.5，s的近似值为5.5，以样本估计总体. (1)假设有84.135%的学生的笔试成绩高于该校预期的平均成绩，求该校预期的平均成绩大约是多少? (2)若笔试成绩高于76.5进入面试，若从报考该试点高校的学生中随机抽取10人，设其中进入面试学生数为，求随机变量的期望. (3)现有甲、乙、丙、丁四名学生进入了面试，且他们通过面试的概率分别为、、、.设这4名学生中通过面试的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望. 参考数据：若，则：；；. 【变式8-2】（23-24高二下·湖南邵阳·期中）某小区开展了两会知识问答活动，现将该小区参与该活动的240位居民的得分（满分100分）进行了统计，得到如下的频率分布直方图. (1)若此次知识问答的得分X服从，其中近似为参与本次活动的240位居民的平均得分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），求的值； (2)本次活动，制定了如下奖励方案：参与本次活动得分低于的居民获得一次抽奖机会，参与本次活动得分不低于的居民获得两次抽奖机会，每位居民每次有的机会抽中一张10元的话费充值卡，有的机会抽中一张20元的话费充值卡，假设每次抽奖相互独立，假设该小区居民王先生参与本次活动，求王先生获得的话费充值卡的总金额Y的概率分布列，并估计本次活动需要准备的话费充值卡的总金额. 参考数据：，，. 【变式8-3】（23-24高二下·吉林长春·期末）目前，教师职业越来越受青睐，考取教师资格证成为不少人的就业规划之一. 当前，中小学教师资格考试分笔试和面试两部分，笔试通过后才能进入面试环节. 已知某市2024年共有10000名考生参加了中小学教师资格考试的笔试，笔试成绩，只有笔试成绩高于70分的考生才能进入面试环节. (1)利用正态分布的知识，估计该市报考中小学教师资格的10000名笔试考生中，进入面试的人数（结果只保留整数）； (2)现有甲、乙、丙3名考生进入了面试，且他们通过面试的概率分别为，设这3名考生中通过面试的人数为，求随机变量的分布列和数学期望. 参考数据：若，则，，. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$