15.2平行四边形和特殊的平行四边形巩固练习 2024-2025学年北京版数学八年级下学期

15.2平行四边形和特殊的平行四边形 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图，矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm．现将其沿AE对折，使得点B落在边AD上的点B1处，折痕与边BC交于点E，则CE的长为（　　） A．6cm B．4cm C．3cm D．2cm 2．下列说法中错误的是（　　） A．平行四边形的对角线互相平分 B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C．矩形的对角线相等 D．有一组邻边相等且有一个角是直角的四边形是正方形 3．图1的长方形ABCD中，E点在AD上，且BE=2AE．今分别以BE、CE为折线，将A、D向BC的方向折过去，图2为对折后A、B、C、D、E五点均在同一平面上的位置图．若图2中，∠AED=15°，则∠BCE的度数为何？（　　）    A．30 B．32.5 C．35 D．37.5 4．如图，在矩形ABCD中BC=8，CD=6，将△ABE沿BE折叠，使点A恰好落在对角线BD上F处，则DE的长是（ ） A．3 B． C．5 D． 5．矩形ABCD的对角线AC､BD交于点O，以下结论不一定成立的是（    ） A．∠BCD=90° B．AC=BD C．OA=OB D．OC=CD 6．如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AD、BC于点E、F已知AB=3，BC=4，则图中阴影部分的面积是（　　） A．3 B．4 C．6 D．12 7．平行四边形的两邻边分别为3、4，那么其对角线必（   ） A．大于1 B．小于7 C．大于1且小于7 D．小于7或大于1 8．已知一矩形的周长是24cm，相邻两边之比是1：2，那么这个矩形的面积是（　　） A．24cm2 B．32cm2 C．48cm2 D．128cm2 9．如图，将一张长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，打开．如果要剪出一个正方形，那么剪口线与折痕成（　　） A．22.5°角 B．30°角 C．45°角 D．60°角 10．下列性质矩形不一定具备的是（  ）． A．对角线相等 B．四个内角都相等 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直 11．一矩形两对角线之间的夹角有一个是60°，且这角所对的边长5cm，则对角线长为（　　） A．5cm B．10cm C．5cm D．无法确定 12．如图，在矩形ABCD中，EF∥AB，GH∥BC，EF、GH的交点P在BD上，图中面积相等的四边形有（　　） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 二、填空题 13．如图，将长方形 ABCD 沿 AE 折叠，使点 D 落在 BC 边上的点 F，若∠BFA=34°，则∠DAE= 度． 14．如果矩形的一边长为6，一条对角线的长为10，那么这个矩形的另一边长是 ． 15．将长方形纸片ABCD的一角沿AE折叠，使点D落在点D′处，得到如图所示的图形，若∠CED′＝56°，则∠D′AB＝ 度． 16．如图，长方形ABCD是篮球场地的简图，长是28m，宽是15m，�则它的对角线长约为 m．（精确到1m） 17．如图，四边形是矩形，点的坐标为，点的坐标为，把矩形沿折叠，点落在点处，则点的坐标为 ． 三、解答题 18．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠AOD=120°，BD=6，求矩形ABCD的面积． 19．如图，在矩形ABCD中，连接对角线AC，BD，延长BC至点E，使BC=CE，连接DE． 求证：DE=AC． 20．如图,将四边形纸片ABCD沿AE向上折叠,使点B落在DC边上的点F处.若△AFD的周长为24 cm,△ECF的周长为8 cm,求四边形纸片ABCD的周长. 21．如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD的面积是多少？ 22．如图所示，已知矩形的两条对角线相交于点，求的长． 23．已知矩形ABCD和点P，当点P在图1中的位置时，则有结论：S△PBC=S△PAC+S△PCD 理由：过点P作EF垂直BC，分别交AD、BC于E、F两点． ∵S△PBC+S△PAD=BC•PF+AD•PE=BC（PF+PE）=BC•EF=S矩形ABCD． （1）请补全以上证明过程． （2）请你参考上述信息，当点P分别在图1、图2中的位置时，S△PBC、S△PAC、SPCD又有怎样的数量关系？请写出你对上述两种情况的猜想，并选择其中一种情况的猜想给予证明． 24．如图，在矩形ABCD中．点E在边AB上，∠CDE=∠DCE． 求证：AE=BE． 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 《15.2平行四边形和特殊的平行四边形》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D D C D A C B C D 题号 11 12 答案 B C 1．D 【详解】分析：根据翻折的性质可得∠B=∠AB1E=90°，AB=AB1，然后求出四边形ABEB1是正方形，再根据正方形的性质可得BE=AB，然后根据CE=BC-BE，代入数据进行计算即可得解． 详解：∵沿AE对折点B落在边AD上的点B1处， ∴∠B=∠AB1E=90°，AB=AB1， 又∵∠BAD=90°， ∴四边形ABEB1是正方形， ∴BE=AB=6cm， ∴CE=BC-BE=8-6=2cm． 故选D． 点睛：本题考查了矩形的性质，正方形的判定与性质，翻折变换的性质，判断出四边形ABEB1是正方形是解题的关键． 2．D 【详解】根据平行四边形的性质可知，A，B正确；根据矩形的性质，C正确；有一组邻边相等且有一个角是直角的四边形不一定是正方形，所以D错误. 故选D. 3．D 【分析】根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得△ABE、△A′BE皆为30°、60°、90° 的三角形，所以∠AEB=60°，再根据平角等于180°求出∠AED′=60°，即可求得∠DED′=75°，然后根据翻折变换的性质求出∠2=37.5°，再根据两直线平行，内错角相等解答． 【详解】如图，    根据题意得：∵BE=2AE=2A′E，∠A=∠A′=90°， ∴△ABE、△A′BE皆为30°、60°、90° 的三角形， ∴∠1=∠AEB=60°， ∴∠AED′=180°﹣∠1﹣∠AEB=180°﹣60°﹣60°=60°， ∴∠DED′=∠AED+∠AED′=15°+60°=75°， ∴∠2=∠DED′=37.5°， ∵A′D′∥BC， ∴∠BCE=∠2=37.5°． 故选D． 【点睛】本题考查了矩形的面积，翻折变换的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键． 4．C 【分析】由折叠可得△BEF≌△BAE，得出AE=EF，然后根据勾股定理列方程即可. 【详解】∵矩形ABCD， ∴∠BAD=90°， 由折叠可得△BEF≌△BAE， ∴EF⊥BD，AE=EF，AB=BF， 在Rt△ABD中，AB=CD=6，BC=AD=8， 根据勾股定理得：BD=10，即FD=10﹣6=4， 设EF=AE=x，则有ED=8﹣x， 根据勾股定理得：x2+42=（8﹣x）2， 解得：x=3（负值舍去）， 则DE=8﹣3=5， 故选C. 【点睛】本题考查翻折变换（折叠问题）和矩形的性质．根据勾股定理列方程是解决本题的关键. 5．D 【分析】根据矩形的性质进行分析判断即可． 【详解】解：如下图 ∵四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O， ∴∠BCD=90°，AC=BD，OA=OB，但OC=CD不一定成立， ∴上述四个结论中选项A、B、C中的结论是正确的，选项D的结论不一定成立． 故选D． 【点睛】本题考查矩形的性质．熟记“矩形的相关性质”是正确解答本题的关键． 6．A 【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴OB=OD，AD∥BC，∴∠CBD=∠ADB. ∵∠BOF=∠DOE，∴△BOF≌△DOE，∴S△DOE=S△BOF. ∴阴影部分的面积为S△BOF+S△COF=S△OBC=S矩形ABCD=×4×3=3. 故选A. 7．C 【分析】根据题意画出图形，已知的两边和对角线正好组成三角形，根据三角形的三边关系，可确定对角线的范围． 【详解】如图： 在△ABC中，AB=3，BC=4，则1＜AC＜7， 所以此平行四边形的对角线必大于1且小于7． 故选C． 【点睛】本题考查的是平行四边形的性质三角形的三边关系．解答本题的关键是熟练掌握三角形的三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 8．B 【分析】根据矩形的性质，两对边相等，可以求出相邻两边的和，进而求出各边的长度，根据面积公式求解即可． 【详解】设长为xcm，宽为ycm． ∵一矩形的周长是24cm， ∴2（x+y）=24， ∴x+y=12， ∵相邻两边之比是1：2， ∴x=8cm、y=4cm， ∴面积S=xy=8×4=32cm2． 故选B． 【点睛】本题考查矩形的性质，由很多个小的知识点组合而成，求解长宽即可求得面积． 9．C 【详解】一张长方形纸片对折两次后，剪下一个角，是菱形，而出现的四边形的两条对角线分别是两组对角的平分线，所以当剪口线与折痕成45°角，菱形就变成了正方形．故选C． 10．D 【详解】A.矩形的对角线相等，正确；B. 矩形的四个内角都相等，正确；C.矩形的对角线互相平分，正确；D. 对角线互相平分、相等，但不一定垂直， 故选D. 【点睛】本题考查矩形的性质：对边平行且相等，矩形的对角线平分、相等，四个角都是直角． 11．B 【详解】因为矩形的对角线相等且互相平分，又两对角线之间的夹角有一个是60°，所以对角线的一半与矩形的边所构成的三角形是等边三角形，所以对角线长为2×5=10（cm）. 故选B. 12．C 【详解】在矩形ABCD中， ∵EF∥AB,AB∥DC， ∴EF∥DC,则EP∥DH；故∠PED=∠DHP； 同理∠DPH=∠PDE;又PD=DP;所以△EPD≌△HDP;则S△EPD=S△HDP； 同理,S△GBP=S△FPB； 则(1)=− =−= (2)=  −=−= (3) =+=+= (4)=+=+ = (5)=+=+= 故选C. 13．17 【详解】分析：首先根据平行线的性质得到∠DAF的度数，再根据对折的知识即可求出∠DAE的度数． 详解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC. ∴∠BFA=∠DAF， ∵∠BFA=34°， ∴∠DAF=34°， ∵△AFE是△ADE沿直线AE对折得到， ∴∠DAE=∠FAE， ∴∠DAE=∠DAF=17°， 故答案为17. 点睛：本题考查了平行线的性质：两直线平行内错角相等；矩形的折叠问题：折叠属于对称变化，它的对应角相等.理解折叠后对应角相等是本题的重点. 14．8 【详解】试题解析：∵矩形的一边长为6，一条对角线长为10， ∴矩形的另一边长为=8. 故答案为8. 15．34 【分析】由题意知△DEA≌△D′EA，根据全等三角形的性质可得∠DEA＝∠D′EA，∠D＝∠D′＝90°，∠DAE＝∠D′AE，由∠CED′＝56°，可求得∠D′EA＝62°，即可求得∠EAD′＝28°，所以∠D′AB＝34°. 【详解】由题意知△DEA≌△D′EA， ∴∠DEA＝∠D′EA，∠D＝∠D′＝90°，∠DAE＝∠D′AE， 又∵∠CED′＝56°， ∴∠D′EA＝(180°－56°)÷2＝62°， ∴∠EAD′＝90°－62°＝28°， ∴∠D′AB＝90°－2×28°＝34°. 故答案为34. 【点睛】本题考查了图形的折叠，理解折叠的性质是关键． 16．32 【详解】根据题意得，AB=15，BD=28，由勾股定理得，≈32，故答案为32. 17． 【详解】分析：由折叠的性质得到一对角相等，再由矩形对边平行得到一对内错角相等，等量代换及等角对等边得到BE=OE，利用AAS得到三角形OED与三角形BEA全等，由全等三角形对应边相等得到DE=AE，过D作DF垂直于OE，利用勾股定理及面积法求出DF与OF的长，即可确定出D坐标． 详解：由折叠得：∠CBO=∠DBO， ∵矩形ABCO， ∴BC∥OA， ∴∠CBO=∠BOA， ∴∠DBO=∠BOA， ∴BE=OE， 在△ODE和△BAE中， ， ∴△ODE≌△BAE（AAS）， ∴AE=DE， 设DE=AE=x，则有OE=BE=8-x， 在Rt△ODE中，根据勾股定理得：42+（8-x）2=x2， 解得：x=5，即OE=5，DE=3， 过D作DF⊥OA， ∵S△OED=OD•DE=OE•DF， ∴DF=，OF=， 则D（，-）． 故答案为（，-）． 点睛：此题考查了翻折变化（折叠问题），坐标与图形变换，以及矩形的性质，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键． 18．矩形ABCD的面积是9． 【分析】首先根据矩形的性质可得AO=DO，然后再计算出∠ADB的度数，再根据直角三角形的性质可得AD的长，再利用勾股定理计算出AD长，然后再根据矩形的面积公式可得矩形ABCD的面积． 【详解】∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD=90°，AC=BD，OA=AC，OD=BD， ∴OA=OD， ∵∠AOD=120°， ∴∠ADO=30° ∴AB=BD． 在直角三角形ABD中，由勾股定理，得 AD=, ∴S矩形ABCD=AB•AD=3×3=9． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，以及矩形的性质和直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半． 19．证明见解析 【详解】试题分析： 证明CD是线段BE的垂直平分线，得到DB=DE，又因为DB=AC，则得证. 试题解析： ∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，∠BCD=90°， ∵BC=CE，∴DC是BE的中垂线，∴BD=DE， ∴DE=AC． 20．32(cm) 【详解】根据轴对称的性质可以得到AB=AF,BE=FE，再利用等量代换即可求出四边形纸片ABCD的周长. 解：由题意可知,△ABE和△AFE关于直线AE成轴对称, 所以AB=AF,BE=FE. 因为△AFD的周长为24 cm,△ECF的周长为8 cm, 即AD+DF+AF=24 cm,FC+CE+FE=8 cm, 所以四边形纸片ABCD的周长为： AD+DC+BC+AB=AD+DF+FC+CE+BE+AB=(AD+DF+AF)+(FC+CE+FE)=24+8=32(cm). 21． 【详解】分析：根据矩形的性质推出OA=OC，AB∥CD，证△AOE≌△COF，得出阴影部分的面积等于△DOC的面积，求出△DAO的面积和△DOC的面积相等，△DAB和△DCB的面积相等即可． 本题解析：∵四边形为矩形， ∴OB＝OD＝OA＝OC， 在△EBO与△FDO中，∠EOB＝∠DOF，OB＝OD，∠EBO＝∠FDO，△EBO≌△FDO， ∴阴影部分的面积＝S△AEO+S△EBO＝S△AOB， ∵△AOB与△ABC同底且△AOB的高是△ABC高的， ∴S△AOB＝S△OBC＝S矩形ABCD． 22． 【分析】由矩形的性质得出∠ABC=90°，OA=OB，再证明△AOB是等边三角形，得出OA=AB，求出AC，然后根据勾股定理即可求出BC． 【详解】∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=90°，OA=AC，OB=BD，AC=BD，               ∴OA=OB， ∵∠AOD=120°， ∴∠AOB=60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴OA=AB=1， ∴AC=2OA=2， ∴BC= ； 【点睛】考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键． 23．（1）证明见解析；（2）猜想结果：图2结论S△PBC=S△PAC+S△PCD； 图3结论S△PBC=S△PAC﹣S△PCD，证明见解析. 【分析】分析图2，先过点P作EF垂直AD，分别交AD、BC于E、F两点，利用三角形的面积公式可知，经过化简，等量代换，可以得到S△PBC=S△PAD+S矩形ABCD，而S△PAC+S△PCD=S△PAD+S矩形ABCD，故有S△PBC=S△PAC+S△PCD． 【详解】（1）证明：∵S△PAC+S△PCD+S△PAD=S矩形ABCD, ∴S△PBC+S△PAD=S△PAC+S△PCD+S△PAD， ∴S△PBC=S△PAC+S△PCD； （2）猜想结果：图2结论S△PBC=S△PAC+S△PCD； 图3结论S△PBC=S△PAC﹣S△PCD． 证明：如图，过点P作EF垂直AD，分别交AD、BC于E、F两点． ∵S△PBC=BC•PF=BC•PE+BC•EF =AD•PE+BC•EF=S△PAD+S矩形ABCD S△PAC+S△PCD=S△PAD+S△ADC=S△PAD+S矩形ABCD ∴S△PBC=S△PAC+S△PCD． 【点睛】本题利用了三角形的面积公式，以及图形面积的整合等知识． 24．证明见解析 【详解】试题分析： 因为∠CDE=∠DCE，所以ED=EC，则可用HL证明Rt△DAE≌Rt△CBE，从而得AE=BE. 试题解析： ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=∠B=90°，AD=BC， ∵∠CDE=∠DCE， ∴DE=CE， 在Rt△DAE和Rt△CBE中，， ∴Rt△DAE≌Rt△CBE（HL）， ∴AE=BE． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$