27.2.3相似三角形的应用举例（2）同步练习2024-2025学年人教版数学九年级下学期

27.2.3相似三角形的应用举例（2） 一、选择题 1.如图，为了测量一池塘的宽DE，在岸边找到一点C，测得CD＝30 m，在DC的延长线上找一点A，测得AC＝5 m，过点A作AB∥DE交EC的延长线于B，测出AB＝6 m，则池塘的宽DE为(　　) A．25 m B．30 m C．36 m D．40 m 2..如图,一位同学借助镜子测量一棵树的高度,他与树的距离为20 m,当他在镜子中看到树的顶端时,该同学与镜子的距离是5 m远,已知这位同学眼睛到地面的距离是1.7 m,则树高为( ) A.3.4 m B.5.1 m C.6.8 m D.8.5 m 3.如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2 m的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿顶端、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时竹竿与这一点相距6 m，与树相距15 m，则树的高度为(       ) A．5 B．6 C．7 D．8 4.)如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE＝20 m，EC＝10 m，CD＝20 m，则河的宽度AB等于(　　) A．60 m B．40 m C．30 m D．20 m 5.如图,某超市在一楼至二楼之间安装有电梯,天花板与地面平行.张强扛着箱子(人与箱子的总高度约为2.2 m)乘电梯刚好安全通过,请你根据图中数据回答,两层楼之间的高约为 ( ) A.5.5 m B.6.2 m C.11 m D.2.2 m 6.《九章算术》是我国数学经典，上面记载：“今有邑方不知大小，各中开门．出北门三十步有木，出西门七百五十步见木．问邑方几何？”其意思是：如图，已知正方形小城ABCD，点E，G分别为CD，AD的中点，EF⊥CD，GH⊥AD，点F，D，H在一条直线上，EF＝30步，GH＝750步．正方形小城ABCD的边长是（　　） A．150步 B．200步 C．250步 D．300步 7.如图，铁道口的栏杆短臂OA长1 m，长臂OB长8 m．当短臂外端A下降0.5 m时，长臂外端B升高(　　) A．2 m B．4 m C．4.5 m D．8 m 8.如图1，某温室屋顶结构外框为△ABC，立柱AD垂直平分横梁BC，AD=2 m，斜梁AC=4 m．为增大向阳面的面积，将立柱增高并改变位置，使屋顶结构外框变为△EBC（点E在BA的延长线上），立柱EF⊥BC，如图2所示．若EF=3 m，则斜梁增加部分AE的长为（ ） A．0.5 m B．1 m C．1.5 m D．2 m 二、填空题 9.如图，小明用长为3 m的竹竿CD做测量工具，测量学校旗杆AB的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离DB＝12 m，则旗杆AB的高为________m. 10.如图,李明用自制的直角三角形纸板去测量“步云阁”的高度,他调整自己的位置,设法使斜边DF保持水平,边DE与点B在同一直线上.在直角三角形纸板中,DE=16 cm,EF=12 cm,测得眼睛D离地面的高度为1.8 m,他与“步云阁”的水平距离CD为104 m,则“步云阁”的高度AB为　 .  11.如图，身高1.5米的人站在两棵树之间，距较高的树5米，距较矮的树3米，若此人观察的树梢所成的视线的夹角是90°，且较矮的树高4米，那么较高的树 米. 12.如图是一束平行的阳光从教室窗户射入的平面示意图，光线与地面所成角∠AMC＝30°，在教室地面的影长MN＝2米．若窗户的下檐到教室地面的距离BC＝1米，则窗户的上檐到教室地面的距离AC为________米． 13.如图，一条小河的两岸有一段是平行的，在河的一岸每隔6 m有一棵树，在河的对岸每隔60 m有一根电线杆，在有树的一岸离岸边30 m处可看到对岸相邻的两根电线杆恰好被这岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，河的宽度是 ． 三、解答题 14.如图，长梯AB斜靠在墙壁上，梯脚B距墙80 cm，梯上点D距墙70 cm，量得BD长55 cm，求梯子的长． 15.如图,小明为了测量大树AB的高度,在离B点21米的N处放了一个平面镜,小明沿BN方向后退1.4米到D点,此时从镜子中恰好看到树顶的A点,已知小明的眼睛(点C)到地面的高度CD是1.6米,求大树AB的高度. 16.小明利用灯光下的影子来测量路灯高度，如图，当小明走到A点时，他直立时身高AM与影子AE恰好相等；他沿着AC方向继续向前，走到B处时，他直立的身高BN的影子恰好是线段AB，此时测得AB＝1.2m．已知小明的直立身高是1.6m，求路灯的高度CD． 17.课本中有一道作业题： 有一块三角形余料ABC，它的边BC＝120 mm，高AD＝80 mm.要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．问加工成的正方形零件的边长是多少mm? 小颖解得此题的答案为48 mm，小颖善于反思，她又提出了如下的问题． (1)如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少mm？ (2)如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长． 18.△ABC是一块直角三角形余料,∠C=90°,AC=8 cm,BC=6 cm,如图1,图2,将它加工成正方形零件,试说明哪种方法利用率高?(得到的正方形的面积较大) 参考答案： 1．C 2．B 3．C 4．B 5．A 6．D 7．B 8．D 9.9 10.79.8 11.7.5 12.3 13.45 14.设梯子的长AB为x cm. ∵DE⊥AC，BC⊥AC， ∴Rt△ADE∽Rt△ABC.∴＝.∴＝. 解得x＝440.答：梯子的长是440 cm.　 15.【解析】∵AB⊥DB,DC⊥DB,∴∠CDN=∠ABN=90°. ∵∠CND=∠ANB,∴△CDN∽△ABN, ∴=,即=, ∴AB=1.6×21÷1.4=24米. 答:大树AB的高度为24米. 16.6.4 m 【解析】根据AM⊥EC，CD⊥EC，BN⊥EC，MA∥CD∥BN，得到△ABN∽△ACD，根据EA=MA，D得到∠E=45°，故△ECD为等腰直角三角形，得EC=CD，利用相似三角形对应边成比例列出比例式求解即可． 【详解】 解：设CD长为x m， ∵AM⊥EC，CD⊥EC，BN⊥EC，EA=MA， ∴MA∥CD∥BN，且△AME为等腰直角三角形， ∴∠E=45°， ∴△ECD为等腰直角三角形， ∴EC=CD=x m，AC=EC-AE=EC-AM=（x-1.6）m， ∵BN∥CD， ∴∠ANB=∠ADC，∠ABN=∠ACD=90°， ∴△ABN∽△ACD， ∴， ∴， 解得：x=6.4， ∴路灯CD的高度为6.4 m． 17.(1)设矩形的边长PN＝2y mm，则PQ＝y mm， 由条件可得△APN∽△ABC，∴＝， 即＝.解得y＝. ∴PN＝×2＝(mm)． 答：这个矩形零件的两条边长分别为mm， mm. (2) 设PN＝x mm，由条件可得△APN∽△ABC，∴＝. 即＝. 解得PQ＝80－x. ∴S＝PN·PQ＝x(80－x)＝－x2＋80x＝－(x－60)2＋2 400. ∴S的最大值为2 400 mm2，此时PN＝60 mm，PQ＝80－×60＝40(mm)． 18.【解析】方案一:当所截的正方形的边在△ABC的直角边上,设正方形CDEF边长为x, 则DE=CD=x cm,BD=BC-CD=(6-x)cm. ∵DE∥AC,∴△BDE∽△BCA, ∴=,即=,解得x=(cm), 即正方形CDEF边长为 cm. 方案二:当所截的正方形的边在△ABC的斜边上,如图,作CH⊥AB于点H,交MQ于点J,则MN∥CH. ∵AB===10, ∴CH·AB=AC·BC, ∴CH==(cm). 设正方形MNPQ边长为y,则QM=y, CJ=-y. ∵QM∥AB,∴△CMQ∽△CBA, ∴=,即=,解得y=(cm). 即正方形MNPQ边长为(cm). ∵=>,∴方案一利用率高. 学科网（北京）股份有限公司 $$