精品解析：贵州省黔南州2025年九年级中考一模考试数学试题

黔南州2025年初中学业水平模拟考试（一） 数学 注意事项： 1.本试卷共8页，满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前将姓名、准考证号、座位号准确填写在答题卡指定的位置上. 3.选择题须使用2B铅笔将答题卡相应题号对应选项涂黑，若需改动，须擦净另涂；非选择题在答题卡上对应位置用黑色墨水笔或黑色签字笔书写，在试卷、草稿纸上答题无效. 一、选择题（本大题共12题，每题3分，共36分.每题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂.） 1. 2025的相反数是（　　） A B. C. D. 2. 如图所示的几何体，从正面看到的平面图形是（ ） A. B. C. D. 3. 的值是（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 我国独立自主研发的口径球面射电望远镜（）有“中国天眼”之称，它的反射面面积约为．将数据250000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 6. 将一个含角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 小明在处理一组数据“12，12，28，35，■”时，不小心将其中一个数据污染了，只记得该数据在30~40之间．则“■”在范围内无论为何值都不影响这组数据的（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 8. 实数，，在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 若关于的一元二次方程有两个实数根，则的值可能是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 如图，在等腰三角形中，，，以为直径作半圆，与，分别相交于点，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 11. 化学实验小组查阅资料了解到：某种絮凝剂溶于水后能够吸附水中悬浮物并发生沉降，从而达到净水的目的．实验得出加入絮凝剂的体积与净水率之间的关系如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 加入絮凝剂的体积越大，净水率越高 B. 未加入絮凝剂时，净水率为 C. 絮凝剂的体积每增加，净水率的增加量相等 D. 加入絮凝剂的体积是时，净水率达到 12. 《九章算术》中有一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：如图，一根竹子原高1丈（1丈=10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？若设折断处离地面x尺，则下面所列方程正确是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4题，每题4分，共16分） 13. 函数y=中，自变量x的取值范围是____________． 14. 七（1）班将在3月5日开展“学雷锋”活动，需将全班同学分为“社区服务”“雷锋精神宣传”“爱心义卖”“线上公益”四个小组．每位同学被分到每个小组的可能性相等，则小星被分到“爱心义卖”小组的概率是___________． 15. 如图，在锐角三角形中，是边上的高，在，上分别截取线段，，使；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点P，作射线，交于点M，过点M作于点N．若，，则________． 16. 如图，在中，，，是边上的任意一点，连接，是上一点，连接，使得，连接，则的最小值是_______________． 三、解答题（本大题共9题，共98分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）解方程：． 18. 《国家学生体质健康标准（2014年修订）》将九年级男生立定跳远测试成绩分为四个等级：优秀，良好，及格，不及格，其中表示测试成绩（单位：）．某校为了解本校九年级全体男生立定跳远测试成绩的相关情况，便于精准找出差距，进行合理的训练规划，特整理了本校及所在区县九年级全体男生近期一次测试成绩的相关数据，信息如下： a本校测试成绩频数（人数）分布表： 等级 优秀 良好 及格 不及格 频数（人数） 40 70 60 30 b.本校测试成绩统计表： 平均数 中位数 优秀率 及格率 222.5 228 c.本校所在区县测试成绩统计表： 平均数 中位数 优秀率 及格率 2187 223 请根据所给信息，解答下列问题： （1）求的值； （2）本校甲、乙两名同学本次测试成绩在本校排名（从高到低）分别是第100名、第101名，甲同学的测试成绩是，请你计算出乙同学的测试成绩； （3）请你结合该校所在区县的测试成绩，为该校提出一条合理化建议． 19. 定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：，． （1）填空：___________；（直接写出结果） （2）已知，求的取值范围． 20. 如图，矩形的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线，相交于点（点恰好在格点上），反比例函数的图象经过点． （1）求这个反比例函数的解析式； （2）将矩形向左平移，当点落在这个反比例函数的图象上时，求出此时点的坐标． 21. 如图，在四边形中，，点E在边上， ．请从“①；②，”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题： （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，，求线段的长． 22. 如图①，在中，，是上两定点，是上一动点，且，的平分线交于点． （1）求证：为上一定点； （2）如图②，当弦经过圆心时，过点作的切线，交的延长线于点，求证：． 23. 请根据以下素材，完成探究任务． 制定加工方案 生产背景 背景1 ◆某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装，有“风”“雅”“正”三种样式． ◆因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工“风”服装2件，或“雅”服装1件，或“正”服装1件． ◆要求全厂每天加工“雅”服装至少10件，“正”服装总件数和“风”服装相等. 背景2 每天加工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情况为： ①“风”服装：24元/件； ②“正”服装：48元/件； ③“雅”服装：当每天加工10件时，每件获利100元；如果每天多加工1件，那么平均每件获利将减少2元． 信息整理 现安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，列表如下： 服装种类 加工人数（人） 每人每天加工量（件） 平均每件获利（元） 风 y 2 24 雅 x 1 正 1 48 探究任务 任务1 探寻变量关系 求x、y之间的数量关系． 任务2 建立数学模型 设该工厂每天的总利润为w元，求w关于x的函数表达式． 任务3 拟定加工方案 制定使每天总利润最大的加工方案． 24. 小星利用一次函数和二次函数的知识，设计了一个计算程序，其程序框图如图①所示．当输入的值为时，输出的值为1；输入的值为2时，输出的值为3；输入的值为3时，输出的值为6． （1）写出的值是__________． （2）如图②，小星在平面直角坐标系中画出了关于的函数图象. ①当随的增大而增大时，求的取值范围； ②若关于的方程（为实数）在时无解，直接写出的取值范围． 25. 在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题： 【问题情境】 如图1，在中，，点D、E在边上，且，求DE的长． 解：如图2，将绕点A逆时针旋转得到，连结． 由旋转的特征得． ∵， ∴． ∵， ∴，即． ∴． 在和中， ， ∴①_____． ∴． 又∵， ∴在中，②_____． ∵， ∴③_____． 【问题解决】 （1）上述问题情境中，“①”处应填：_________；“②”处应填：_________；“③”处应填：_________． 刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以不变应万变． 【知识迁移】 （2）如图3，在正方形中，点E、F分别在边上，满足的周长等于正方形的周长的一半，连接，分别与对角线交于M、N两点．探究的数量关系并证明． 【拓展应用】 （3）如图4，在矩形中，点E、F分别在边上，且．探究的数量关系：_________（直接写出结论，不必证明）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 黔南州2025年初中学业水平模拟考试（一） 数学 注意事项： 1.本试卷共8页，满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前将姓名、准考证号、座位号准确填写在答题卡指定的位置上. 3.选择题须使用2B铅笔将答题卡相应题号对应选项涂黑，若需改动，须擦净另涂；非选择题在答题卡上对应位置用黑色墨水笔或黑色签字笔书写，在试卷、草稿纸上答题无效. 一、选择题（本大题共12题，每题3分，共36分.每题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂.） 1. 2025的相反数是（　　） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的相反数，熟悉掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键． 根据相反数的定义判断即可． 【详解】解：的相反数为， 故选：A． 2. 如图所示的几何体，从正面看到的平面图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，掌握从不同方向看几何体的特点是解题的关键． 根据立体图形的特点，数形结合分析即可求解． 【详解】解：从正面看到的平面图形是， 故选：C ． 3. 的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查单项式与单项式的乘法．运用单项式乘单项式运算法则求出结果即可判断． 【详解】解：， 故选：D． 4. 在平面直角坐标系中，点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据各象限内点的坐标特征解答即可． 【详解】解：因为点的横坐标是正数，纵坐标也是正数，所以点P在平面直角坐标系的第一象限． 故选：A． 【点睛】本题考查了点所在的象限，解决本题的关键是掌握好四个象限的点的坐标的符号特征：第一象限（正，正），第二象限（负，正），第三象限（负，负），第四象限（正，负）． 5. 我国独立自主研发的口径球面射电望远镜（）有“中国天眼”之称，它的反射面面积约为．将数据250000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故选：A． 6. 将一个含角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角板中角度的计算，直角三角形两锐角互余，理解图示，掌握角的和差计算是解题的关键． 根据题意，，中，，根据对顶角相等即可求解． 【详解】解：如图所示，， 根据题意，， 在中，， ∴， 故选：C ． 7. 小明在处理一组数据“12，12，28，35，■”时，不小心将其中一个数据污染了，只记得该数据在30~40之间．则“■”在范围内无论为何值都不影响这组数据的（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查数据平均数、众数、中位数方差的计算方法，根据中位数的定义求解可得． 【详解】解：依题意“■”该数据在30~40之间，则这组数据的中位数为， ∴“■”在范围内无论为何值都不影响这组数据的中位数． 故选：C． 8. 实数，，在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了数轴上点表示有理数，根据数轴上的点确定式子的符号，不等式的性质，理解并掌握数轴的特点是解题的关键． 根据数轴上点的特点得到，结合不等式的性质即可求解． 【详解】解：由数轴可知， ∴，故A选项错误，不符合题意； ，故B选项正确，符合题意； ，故C选项错误，不符合题意； ∵， ∴，故D选项错误，不符合题意； 故选：B ． 9. 若关于的一元二次方程有两个实数根，则的值可能是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式等知识点，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键． 根据方程有两个实数根，得出，建立关于的一元一次不等式，求出的取值范围即可． 【详解】解：由题意可知：， ， 实数值可能是1， 故选A． 10. 如图，在等腰三角形中，，，以为直径作半圆，与，分别相交于点，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求弧长．根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得的度数，证明，再由，再由等腰三角形的性质和平行线的性质求得的度数，利用弧长公式即可求解． 【详解】解：连接，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 在中，， ∴， 又， ∵ ∴， ∴的长度为， 故选：C． 11. 化学实验小组查阅资料了解到：某种絮凝剂溶于水后能够吸附水中悬浮物并发生沉降，从而达到净水的目的．实验得出加入絮凝剂的体积与净水率之间的关系如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 加入絮凝剂的体积越大，净水率越高 B. 未加入絮凝剂时，净水率为 C. 絮凝剂的体积每增加，净水率的增加量相等 D. 加入絮凝剂的体积是时，净水率达到 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查从图像上获取信息，能从图像上获得信息是解题的关键，根据图像信息对选项进行判断即可 【详解】A、从图像上可以看到，加入絮凝剂的体积在达到最大净水率，之后净水率开始降低，不符合题意，选项错误； B、未加入絮凝剂时，净水率为，故不符合题意，选项错误； C、当絮凝剂的体积为时，净水率增加量为，絮凝剂的体积为时，净水率增加量为；故絮凝剂的体积每增加，净水率的增加量不相等，不符合题意，选项错误； D、根据图像可得，加入絮凝剂的体积是时，净水率达到，符合题意，选项正确； 故选：D 12. 《九章算术》中有一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：如图，一根竹子原高1丈（1丈=10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？若设折断处离地面x尺，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意结合勾股定理列出方程即可． 【详解】解：设折断处离地面x尺， 根据题意可得：x2+32=（10-x）2， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用及由实际问题抽象出一元二次方程的知识，根据题意正确应用勾股定理是解题关键． 二、填空题（本大题共4题，每题4分，共16分） 13. 函数y=中，自变量x的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【详解】解：由题意得，， 解得． 14. 七（1）班将在3月5日开展“学雷锋”活动，需将全班同学分为“社区服务”“雷锋精神宣传”“爱心义卖”“线上公益”四个小组．每位同学被分到每个小组的可能性相等，则小星被分到“爱心义卖”小组的概率是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比．直接根据概率公式求解即可． 【详解】解：小星被分到“爱心义卖”小组的概率是． 故答案为：． 15. 如图，在锐角三角形中，是边上的高，在，上分别截取线段，，使；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点P，作射线，交于点M，过点M作于点N．若，，则________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，角平分线的性质等知识，根据作图可知平分，根据角平分线的性质可知，结合求出，． 【详解】解：作图可知平分， ∵是边上的高，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：6． 16. 如图，在中，，，是边上的任意一点，连接，是上一点，连接，使得，连接，则的最小值是_______________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，直角三角形的性质，取中点，连接、，由得到，即可得到，最后根据求解即可． 【详解】解：取中点，连接、，则， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵中，当在上时，， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故答案为：． 三、解答题（本大题共9题，共98分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）0；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，解分式方程，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）根据绝对值意义，零指数幂运算法则进行计算即可； （2）先去分母变分式方程为整式方程，然后再解整式方程，最后对方程的解进行检验即可． 【详解】解：（1） ； （2） 方程两边都乘，得： ， 解得： 检验，把代入得：， ∴是原方程的根． 18. 《国家学生体质健康标准（2014年修订）》将九年级男生的立定跳远测试成绩分为四个等级：优秀，良好，及格，不及格，其中表示测试成绩（单位：）．某校为了解本校九年级全体男生立定跳远测试成绩的相关情况，便于精准找出差距，进行合理的训练规划，特整理了本校及所在区县九年级全体男生近期一次测试成绩的相关数据，信息如下： a.本校测试成绩频数（人数）分布表： 等级 优秀 良好 及格 不及格 频数（人数） 40 70 60 30 b.本校测试成绩统计表： 平均数 中位数 优秀率 及格率 222.5 228 c.本校所在区县测试成绩统计表： 平均数 中位数 优秀率 及格率 218.7 223 请根据所给信息，解答下列问题： （1）求的值； （2）本校甲、乙两名同学本次测试成绩在本校排名（从高到低）分别是第100名、第101名，甲同学的测试成绩是，请你计算出乙同学的测试成绩； （3）请你结合该校所在区县的测试成绩，为该校提出一条合理化建议． 【答案】（1） （2）乙同学的测试成绩是 （3）加强训练强度，努力提高优秀率 【解析】 【分析】本题考查了频数（率）分布表，中位数，平均数． （1）利用优秀的人数除以总人数即可求出p的值； （2）根据中位数的定义即可求出答案； （3）从平均数和优秀率分析即可，答案不唯一，合理即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：设乙同学的测试成绩是， 中位数为228， ， 解得， 答：乙同学的测试成绩是； 【小问3详解】 解：从平均数来看，该校九年级全体男生立定跳远测试成绩高于全县的平均数：从优秀率来看，该校九年级全体男生立定跳远测试成绩低于全县的优秀率，所以要加强训练强度，努力提高优秀率，（写出一条合理化建议即可给分）． 19. 定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：，． （1）填空：___________；（直接写出结果） （2）已知，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了有理数的混合运算和解一元一次不等式组． （1）根据新定义进行计算即可； （2）分两种情况列出不等式组，解不等式组即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意可得，， 故答案为： 【小问2详解】 由题意，知，①或，② 由①，得； 由②，得该不等式组无解； 的取值范围为 20. 如图，矩形的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线，相交于点（点恰好在格点上），反比例函数的图象经过点． （1）求这个反比例函数的解析式； （2）将矩形向左平移，当点落在这个反比例函数的图象上时，求出此时点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数综合以及反比例函数的图象和性质． （1）将A点坐标代入即可求解； （2）平移后点的纵坐标为4，代入反比例函数的解析式，即可得平移后点的坐标，进而可得向左平移的距离，即可得出点平移后的坐标． 【小问1详解】 解：反比例函数的图象经过点， ， 解得， 这个反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：如图， 点向左平移后在反比例函数的图象上， 平移后点的纵坐标为4， ，即， 矩形向左平移了个单位长度， 点平移后的坐标为． 21. 如图，在四边形中，，点E在边上， ．请从“①；②，”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题： （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，，求线段的长． 【答案】（1）①或②，证明见解析； （2）6 【解析】 【分析】题目主要考查平行四边形的判定和性质，勾股定理解三角形，理解题意，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题关键． （1）选择①或②，利用平行四边形的判定证明即可； （2）根据平行四边形的性质得出，再由勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：选择①， 证明：∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； 选择②， 证明：∵，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； 【小问2详解】 解：由（1）得， ∵，， ∴． 22. 如图①，在中，，是上两定点，是上一动点，且，的平分线交于点． （1）求证：上一定点； （2）如图②，当弦经过圆心时，过点作的切线，交的延长线于点，求证：． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）连接，．证明，即可得到结论； （2）证明，则，即可证明结论成立． 小问1详解】 证明：如图，连接，． ，为的平分线， ， ， 、是上两定点， 点为的中点，是一定点； 【小问2详解】 如图，连接，，交于点 由题意，得， ， 是的切线，为半径， ， ， 是的直径，， ， ， ， ， ． 【点睛】此题考查了垂径定理、相似三角形的判定和性质、切线的性质、圆周角定理等知识，熟练掌握垂径定理和相似三角形的判定和性质是关键． 23. 请根据以下素材，完成探究任务． 制定加工方案 生产背景 背景1 ◆某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装，有“风”“雅”“正”三种样式． ◆因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工“风”服装2件，或“雅”服装1件，或“正”服装1件． ◆要求全厂每天加工“雅”服装至少10件，“正”服装总件数和“风”服装相等. 背景2 每天加工服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情况为： ①“风”服装：24元/件； ②“正”服装：48元/件； ③“雅”服装：当每天加工10件时，每件获利100元；如果每天多加工1件，那么平均每件获利将减少2元． 信息整理 现安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，列表如下： 服装种类 加工人数（人） 每人每天加工量（件） 平均每件获利（元） 风 y 2 24 雅 x 1 正 1 48 探究任务 任务1 探寻变量关系 求x、y之间的数量关系． 任务2 建立数学模型 设该工厂每天的总利润为w元，求w关于x的函数表达式． 任务3 拟定加工方案 制定使每天总利润最大的加工方案． 【答案】任务1：；任务2：；任务3：安排19名工人加工“雅”服装，17名工人加工“风”服装，34名工人加工“正”服装，即可获得最大利润 【解析】 【分析】题目主要考查一次函数及二次函数的应用，理解题意，根据二次函数的性质求解是解题关键． 任务1：根据题意安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，得出加工“正”服装的有人，然后利用“正”服装总件数和“风”服装相等，得出关系式即可得出结果； 任务2：根据题意得：“雅”服装每天获利为：，然后将2种服装的获利求和即可得出结果； 任务3：根据任务2结果化为顶点式，然后结合题意，求解即可． 【详解】解：任务1：根据题意安排70名工人加工一批夏季服装， ∵安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装， ∴加工“正”服装的有人， ∵“正”服装总件数和“风”服装相等， ∴， 整理得：； 任务2：根据题意得：“雅”服装每天获利为：， ∴， 整理得： ∴ 任务3：由任务2得， ∴当时，获得最大利润， ， ∴， ∵开口向下， ∴取或， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； ∴， 综上：安排19名工人加工“雅”服装，17名工人加工“风”服装，34名工人加工“正”服装，即可获得最大利润． 24. 小星利用一次函数和二次函数的知识，设计了一个计算程序，其程序框图如图①所示．当输入的值为时，输出的值为1；输入的值为2时，输出的值为3；输入的值为3时，输出的值为6． （1）写出的值是__________． （2）如图②，小星在平面直角坐标系中画出了关于的函数图象. ①当随的增大而增大时，求的取值范围； ②若关于的方程（为实数）在时无解，直接写出的取值范围． 【答案】（1）1 （2）①或；②或 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数、二次函数图形的性质，掌握待定系数法求解析式，二次函数图形的性质是解题的关键． （1）根据题意，把代入，即可求解； （2）①根据题意，可得二次函数解析式，由一次函数，二次函数图象的性质即可求解；②根据题意可得，问题转化为抛物线与直线在时无交点，由二次函数解析式得到顶点坐标为，所以当时，抛物线与直线在时正好有一个交点，当时，，则当时，抛物线与直线在时正好有一个交点，由此得到当或时，抛物线与直线在时没有交点，由此即可求解． 【小问1详解】 解：当输入的值为时，输出的值为1，即，此时，，解析式为， ∴， 解得，， 故答案为：； 【小问2详解】 解：①，且，， 将，；，代入， 得， 解得， 一次函数的解析式为，二次函数的解析式为， 当时，，对称轴为直线，开口向上， 时，随的增大而增大； 当时，，， 且当时，， 时，随的增大而增大， 综上，的取值范围为或； ②或， 在时无解，即在时无解， 问题转化为抛物线与直线在时无交点， 如图，对于，当时，， 顶点坐标为， 当时，抛物线与直线在时正好有一个交点， 当时，抛物线与直线在时没有交点， 当时，， 当时，抛物线与直线在时正好有一个交点， 当时，抛物线与直线在时没有交点， 当或时，抛物线与直线在时没有交点， 故答案为：或． 25. 在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题： 【问题情境】 如图1，在中，，点D、E在边上，且，求DE的长． 解：如图2，将绕点A逆时针旋转得到，连结． 由旋转的特征得． ∵， ∴． ∵， ∴，即． ∴． 在和中， ， ∴①_____． ∴． 又∵， ∴在中，②_____． ∵， ∴③_____． 【问题解决】 （1）上述问题情境中，“①”处应填：_________；“②”处应填：_________；“③”处应填：_________． 刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以不变应万变． 【知识迁移】 （2）如图3，在正方形中，点E、F分别在边上，满足的周长等于正方形的周长的一半，连接，分别与对角线交于M、N两点．探究的数量关系并证明． 【拓展应用】 （3）如图4，在矩形中，点E、F分别在边上，且．探究的数量关系：_________（直接写出结论，不必证明）． 【答案】（1），，5；（2），证明见解析；（3） 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质、正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键． （1）由旋转的性质可得，进而证明可得，再说明、，再运用勾股定理即可解答； （2）由旋转的性质以及题意可得，再证明可得，再结合正方形的性质可证得，易证可得，最后在中运用勾股定理即可解答； （3）如图4所示，延长交延长线于M点，交延长线于N点，将绕着点A顺时针旋转得到，连接．过点H作直线与O，则可得，再说明是等腰直角三角形，即；由（2）知，则；再根据勾股定理可得，最后运用等量代换即可证明结论． 【详解】解：（1）如图2，将绕点A逆时针旋转得到，连结． 由旋转的特征得． ∵， ∴． ∵， ∴，即． ∴． 在和中， ， ∴． ∴． 又∵， ∴在中，． ∵， ∴． 故答案为：，，5． （2），证明如下： 如图3，将绕点A逆时针旋转，得到，过点D作交边于点H，连接． 由旋转得：． 由题意得：， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 又∵为正方形的对角线， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 在中，， ∴； （3），证明如下： 如图4所示，延长交延长线于M点，交延长线于N点，将绕着点A顺时针旋转得到，连接．过点H作直线与O， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由（2）知，则， 则由勾股定理有：，即 又∵， ∴，即， ∴． 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $