精品解析：上海市建平中学2024-2025学年高一下学期开学摸底测试数学试题

2024~2025学年上海市建平中学高一下学期开学摸底测试 数学试卷 （考试时间120分钟 满分150分） 考生注意： 1.带2B铅笔､黑色签字笔､科学计算器､考试中途不得传借文具. 2.本试卷共3页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟 3.请将答案正确填写在答题纸上，作答在原卷上不予评分 一､填空题（12题共54分，1~6题每题4分，7~12题每题5分） 1. ___________.（小数化分数） 2. 方程的解集为______； 3. 函数的定义域为_____________________. 4. 若，则的最小值为 __________. 5. 若，则_________. 6. 若角终边上一点，则的值为___________. 7. 若函数是偶函数，则正数a的值为________． 8. 已知一次“45操作”的值为，2次“45”操作的值为，3次“45”操作的值为：，则2025次“45”操作的值为__________. 9. 已知角的终边上的点与关于轴对称，角的终边上的点与A关于直线对称，则的值为__________. 10. 已知则_____________. 11. 已知，若，则角的取值范围是__________. 12. 方程的实数根的个数是___________. 二､选择题（4题共18分，13~14每题4分，15~16每题5分） 13. 已知等差数列的公差为，前项和为．设甲：；乙：是递增数列，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 14. 如果的三个内角的余弦值分别等于的三个内角的正弦值，则 A. 和都是锐角三角形 B. 和都是钝角三角形 C. 是钝角三角形，是锐角三角形 D. 是锐角三角形，是钝角三角形 15. 设函数的定义域为，值域为，下列结论正确的是（ ） A. 当时，b的值不唯一 B. 当时，a的值不唯一 C. 的最大值为3 D. 的最小值为3 16. 设点的坐标为，是坐标原点，点绕着点顺时针旋转后得到，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 三､解答题（共78分，17~19每题14分，20~21每题18分） 17. 已知. （1）设是第三象限角，求的值； （2）求的值； （3）求的值. 18. 如图，有一个扇环形花圃，外圆弧的半径是内圆弧半径的两倍，周长为定值，圆心角的绝对值为． （1）当为多少弧度时，扇环面积最大，并求出最大面积； （2）当时，求弧的中点到弦的距离 19. 已知集合（，），对于集合的非空子集A，若中存在三个互不相同的元素，使得，，均属于A，则称集合A是集合的“期待子集”． （1）试判断集合，是否为集合的“期待子集”； （2）如果一个集合中含有三个元素，同时满足①，②，③为偶数．那么称该集合具有性质P．对于集合的非空子集A，证明：集合A是集合的“期待子集”的充要条件是集合A具有性质P． 20. 已知关于x的不等式(kx－k2－4)(x－4)＞0，其中k∈R. （1）当k变化时，试求不等式的解集A； （2）对于不等式的解集A，若满足A∩Z＝B(其中Z为整数集)．试探究集合B能否为有限集？若能，求出使得集合B中元素个数最少的k的所有取值，并用列举法表示集合B；若不能，请说明理由． 21. 新定义：若数列满足条件：存在正整数，使得对一切，都成立，则称数列为级等差数列. （1）若数列为1级等差数列，,,求数列的前项和； （2）已知数列为2级等差数列，且前四项分别为2,0,4,3，求数列的前2025项和； （3）若（为常数），且是3级等差数列，求所有可能值的集合. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年上海市建平中学高一下学期开学摸底测试 数学试卷 （考试时间120分钟 满分150分） 考生注意： 1.带2B铅笔､黑色签字笔､科学计算器､考试中途不得传借文具. 2.本试卷共3页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟 3.请将答案正确填写在答题纸上，作答在原卷上不予评分 一､填空题（12题共54分，1~6题每题4分，7~12题每题5分） 1. ___________.（小数化分数） 【答案】 【解析】 【分析】利用循环小数的定义化为分数即可得解. 【详解】设，则， 两式相减，得， 则，所以. 故答案为：. 2. 方程的解集为______； 【答案】 【解析】 【分析】根据余弦函数的性质求解即可. 【详解】由，得， 因为，所以或， 所以或， 所以方程的解集为. 故答案为：. 3. 函数的定义域为_____________________. 【答案】 【解析】 【分析】利用对数函数的定义与性质，结合三角函数的性质即可得解. 【详解】对于，有， 解，得且， 解，得， 综上，， 所以的定义域为. 故答案为：. 4. 若，则的最小值为 __________. 【答案】 【解析】 【详解】, 当且仅当时取等号. 5. 若，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用以及两角差的余弦公式可求出结果. 【详解】因为，所以， 又，所以， 所以 . 故答案为：. 【点睛】利用三角公式求三角函数值的关键： (1)角的范围的判断； (2)根据条件进行合理的拆角，如等． 6. 若角终边上一点，则的值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据诱导公式及三角函数的定义求解. 【详解】由诱导公式知， ， 因为角终边上一点， 所以， 所以原式 故答案为： 7. 若函数是偶函数，则正数a的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】由函数为偶函数可得，化简整理即可得解. 【详解】函数的定义域为， 因为函数是偶函数， 所以，即， 所以，所以，所以. 故答案为：. 8. 已知一次“45操作”的值为，2次“45”操作的值为，3次“45”操作的值为：，则2025次“45”操作的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用三角函数的诱导公式，结合题意即可得解. 【详解】因为， 所以， 注意到，， 所以， 同理， 所以2025次“45”操作的值为. 故答案为：. 9. 已知角的终边上的点与关于轴对称，角的终边上的点与A关于直线对称，则的值为__________. 【答案】0 【解析】 【分析】利用点关于轴与直线的对称点的坐标，结合三角函数的定义即可得解. 【详解】由可知，都存在， 因为角的终边上的点与关于轴对称， 所以，则， 而角的终边上的点与A关于直线对称， 所以，则，， 则 . 故答案为：0. 10. 已知则_____________. 【答案】； 【解析】 【分析】先用诱导公式，结合倍角公式将转化为，然后用平方关系将转化，再代入求解. 【详解】因为， ， ， =1， 所以 ， 所以，. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了诱导公式及同角三角函数关系式，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题. 11. 已知，若，则角的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据等式有意义先确定出的前提范围，然后根据等式左端的化简结果进行分类讨论：、，由此确定出满足等式成立的角的取值范围. 【详解】因为且，所以， 等式左端， 当时，即， 等式左端， 若等式成立，则有，所以，所以； 当时，则， 等式左端，等式成立； 综上可知，的取值范围是， 故答案为：. 12. 方程的实数根的个数是___________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据题意，构造函数，利用函数的单调性和零点存在定理判断函数只有一个零点即得. 【详解】由可得， 设， 因函数在单调递减，故在单调递减， 又，， 由零点存在定理可知，只存在一个，使得， 故方程的实数根的个数是1. 故答案为：1. 二､选择题（4题共18分，13~14每题4分，15~16每题5分） 13. 已知等差数列的公差为，前项和为．设甲：；乙：是递增数列，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】利用公差，如，，，，…，0，1，2，…与，可判断结论. 【详解】若公差，如数列，，，，…，0，1，2，…，则数列的前项和先减再增； 若是递增数列，如，则为常数列也为等差数列，且； 所以甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件，故D项正确. 故选：D. 14. 如果的三个内角的余弦值分别等于的三个内角的正弦值，则 A. 和都是锐角三角形 B. 和都是钝角三角形 C. 是钝角三角形，是锐角三角形 D. 是锐角三角形，是钝角三角形 【答案】D 【解析】 【详解】的三个内角的余弦值均大于0，则是锐角三角形，若是锐角三角形，由，得，那么，，矛盾，所以是钝角三角形，故选D. 15. 设函数的定义域为，值域为，下列结论正确的是（ ） A. 当时，b的值不唯一 B. 当时，a的值不唯一 C. 的最大值为3 D. 的最小值为3 【答案】D 【解析】 【分析】代入，得出函数解析式，求出值域，结合已知即可得出b的值唯一，则A项错误；代入，得出函数解析式，求出值域，结合已知即可得出a的值唯一，则B项错误；分、、三种情况，求出函数的解析式，得到函数的值域，分别求出的范围，即可判断C、D项. 【详解】对于A项，当时，显然，则.函数在上的值域为，在上的值域为，又函数在上的值域为，所以，，故A项错误； 对于B项，当时，函数，则此时函数的值域为，由已知可得，所以，故B错误； 对于C、D项， ①当时，函数，此时函数的值域为，由已知可得，解得，所以； ②当时，函数，则此时函数的值域为，由已知可得，解得，所以； ③当时，.此时函数在上的值域为，在上的值域为.由已知可得，或. 当时，即，此时有； 当时，即，则，此时有. 综上所述，. 故C项错误，D项正确. 故选：D. 16. 设点的坐标为，是坐标原点，点绕着点顺时针旋转后得到，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设点在角的终边上，求出，由题意可得，再根据两角差的正余弦公式即可得解. 【详解】设点在角的终边上，则， 将点绕着点顺时针旋转后得到， 则， 而， ， 所以的坐标为. 故选：B. 【点睛】关键点点点睛：注意旋转前与旋转后角的变化，利用长度不变，两角差的正余弦公式求解即可. 三､解答题（共78分，17~19每题14分，20~21每题18分） 17. 已知. （1）设是第三象限角，求的值； （2）求的值； （3）求的值. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）先求出，从而求出，再由是第三象限角，可求出的值； （2）利用诱导公式和同角三角函数的关系对化简，再代值求解即可； （3）直接利用诱导公式公简可得结果 【详解】（1）由，得 ， 因为是第三象限角，， 所以； （2） ； （3） 18. 如图，有一个扇环形花圃，外圆弧的半径是内圆弧半径的两倍，周长为定值，圆心角的绝对值为． （1）当为多少弧度时，扇环面积最大，并求出最大面积； （2）当时，求弧的中点到弦的距离 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）设半径为，由弧长公式及周长得，根据扇形面积公式结合基本不等式可求得扇环的最大值 （2）利用垂径定理结合解直角三角形可得． 【小问1详解】 设内圆弧半径为，则， 所以， 所以，则， 所以， ， 当且仅当，即，取得最大值 【小问2详解】 设交于，则由垂径定理得， ， 由（1）知，， 所以， 所以． 19. 已知集合（，），对于集合的非空子集A，若中存在三个互不相同的元素，使得，，均属于A，则称集合A是集合的“期待子集”． （1）试判断集合，是否为集合的“期待子集”； （2）如果一个集合中含有三个元素，同时满足①，②，③为偶数．那么称该集合具有性质P．对于集合的非空子集A，证明：集合A是集合的“期待子集”的充要条件是集合A具有性质P． 【答案】（1）是集合的“期待子集”，不是集合的“期待子集” （2） 当集合是集合的“期待子集”时，则存在互不相同的，使得， 不妨设，令，，，则， 又，则， 而，则为偶数， 因此集合满足性质； 当集合满足性质时，存在，满足①，②，③为偶数， 记，，， 由③得，由①得，由②得， 于是，而，，，则，，均属于， 因此集合是集合的“期待子集”， 所以集合A是集合的“期待子集”的充要条件是集合A具有性质P. 【解析】 【分析】（1）根据所给定义判断即可. （2）利用所给“期待子集”的定义及性质的定义先证明必要性，再证明充分性即可. 【小问1详解】 依题意，， 集合，令，解得，显然，，， 所以是集合的“期待子集”； 集合，令，则，由，得，矛盾， 所以不是集合的“期待子集”. 【小问2详解】 略 20. 已知关于x的不等式(kx－k2－4)(x－4)＞0，其中k∈R. （1）当k变化时，试求不等式的解集A； （2）对于不等式的解集A，若满足A∩Z＝B(其中Z为整数集)．试探究集合B能否为有限集？若能，求出使得集合B中元素个数最少的k的所有取值，并用列举法表示集合B；若不能，请说明理由． 【答案】（1）答案见解析 （2）能；，B＝{－3，－2，－1，0，1，2，3} 【解析】 【分析】（1）对进行分类讨论，结合一元二次不等式的解法求得不等式的解集. （2）结合（1）的结论进行分类讨论，结合基本不等式求得和正确答案. 【小问1详解】 当k＝0时，A＝{x|x<4}；当k>0且k≠2时，A＝{x|x<4或}； 当k＝2时，A＝{x|x≠4}；当k<0时，A＝{x|<x<4}． 【小问2详解】 由（1）知：当k≥0时，集合B中的元素的个数有无限个；当k<0时，集合B中的元素的个数有限，此时集合B为有限集． 因为＝－[(－k)＋]≤－4，当且仅当k＝－2时取等号， 所以当k＝－2时，集合B中的元素个数最少， 此时A＝{x|－4<x<4}，故集合B＝{－3，－2，－1，0，1，2，3}． 21. 新定义：若数列满足条件：存在正整数，使得对一切，都成立，则称数列为级等差数列. （1）若数列为1级等差数列，,,求数列的前项和； （2）已知数列为2级等差数列，且前四项分别为2,0,4,3，求数列的前2025项和； （3）若（为常数），且是3级等差数列，求所有可能值的集合. 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）当时，，数列为等差数列，根据条件，由等差数列前项和公式求解即可； （2）当时，，由条件求出，可得数列中奇数项是首项和公差均为2的等差数列，偶数项是首项为0、公差为3的等差数列，结合等差数列的求和公式分组求解即可； （3）由3级等差数列的定义和三角函数的和差化积公式，计算可得所求集合. 【小问1详解】 若数列为1级等差数列，即对一切，都成立， 则数列为等差数列，设其公差为，由，可得， 则. 【小问2详解】 数列为2级等差数列， 且前四项分别为2，0，4，3，可得对一切，都成立， 由，，，，， 可得数列的奇数项依次构成首项为2，公差为2的等差数列；偶数项构成首项为0，公差为3的等差数列， 则 . 【小问3详解】 因是3级等差数列，则对一切，都成立， 即， 化简得：， 故得或. 当对恒成立时，可得； 由时，可得，解得. 故. 【点睛】关键点点睛：本题考查了数列新定义，关键是对级等差数列概念的理解，通过特值代入发现规律，利用数列相关定义、公式等价转化，借助于函数的性质即可解决． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $