热点01 向量的概念与线性运算（8大热点+真题精炼）-2024-2025学年《高分引擎》高一数学热难点精讲与单元卷特训（人教A版2019必修第二册）

热点01 向量的概念与线性运算 考点一、向量的概念及表示 1.定义:既有大小又有方向的量叫做向量. 2.表示: （1）有向线段:具有方向的线段叫做有向线段.它包含三个要素:起点、方向、长度. （2）向量的表示： ①几何表示:用有向线段表示,记作向量.有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.向量的大小称为向量的长度(或称模),记作. ②字母表示:书写时用表示,还可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示,如以为起点,以为终点的向量记作. 3.两个特殊向量: （1）零向量与非零向量: 长度为0的向量叫做零向量.印刷时用加粗的阿拉伯数字零表示,即0;书写时,写为，长度不为0的向量称为非零向量. （2）单位向量:长度等于1个单位长度的向量,叫做单位向量. 4.向量间的关系 （1）平行向量（共线向量）:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,向量平行,记作.规定:零向量与任意向量平行,即对于任意向量,都有. （2）相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量;向量与相等,记作. 考点二、向量的加法 三角形法则：已知非零向量,在平面内任取一点,作,再作向量,则向量叫做与的和,记作 平行四边形法则：已知不共线的两个向量,在平面内任取一点,以同一点为起点的两个已知向量,以为邻边作,则就是与的和 , 规定：零向量与任意向量的和,都有 运算律：①交换律：；②结合律： 相反向量 1.定义:与向量长度相等、方向相反的向量,叫做的相反向量,记作,与互为相反向量, 3.性质：①；②若互为相反向量,则； ③的相反向量是 考点三、向量的减法 1.向量的减法的定义:向量加上的相反向量,叫做与的差,即,求两个向量差的运算叫做向量的减法. 2.运算法则:在平面内取一点O,作,则. 3.几何意义表示从向量的终点指向的终点的向量. 4.向量减法的两个重要结论: ①如果把两个向量的始点放在一起,则这两个向量的差是以减向量的终点为始点,被减向量的终点为终点的向量； ②一个向量等于它的终点相对于点的位置向量减去它的始点相对于点的位置向量或简记“终点向量减去始点向量”. 考点四、向量的数乘运算 1.定义:规定实数与向量的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作,它的长度和方向规定如下: ①; ②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时， 2.运算律:设为任意实数,则有①；②； ③ 特别地,有. (3)向量的线性运算:向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量以及任意实数恒有. 考点五、共线向量定理 1.共线向量定理的内容：向量与共线的充要条件是存在唯一一个实数,使. 2.三点共线向量表示的两个结论 结论1：如图1，点共线的充要条件是存在唯一实数，使得. 结论2：设是平面内的任意一点，点A，B，C共线的充要条件是存在唯一实数使得. 热点一 平面向量的概念 例1．（多选）下列说法错误的是（   ） A．向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上 B．若，则或 C．若向量满足，且与同向，则 D．向量与共线的充要条件是：存在唯一的实数，使 【答案】AC 【详解】对于A，向量与向量是共线向量，则可能平行，因此不一定在同一条直线上，即A错误； 对于B，若，则或，即B正确； 对于C，向量不能比较大小，因此错误，即C错误； 对于D，由平面向量的共线定理可知D正确. 故选：AC 例2．如图，四边形是边长为3的正方形，把各边三等分后，共有16个交点，从中选取两个交点作为向量的起点和终点，则与平行且长度为的向量有哪些？（在图中标出相应字母，写出这些向量） 【答案】，，，，，，， 【详解】如图所示，满足与平行且长度为的向量有，，，，，，，，共8个． 变式1-1．下列说法正确的是（    ） A．向量与向量的长度相等 B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C．若，，则 D．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 【答案】A 【详解】因为，所以向量与向量的长度相等，故A正确， 对于两个有共同起点，且长度相等的向量， 它们的方向不一定相同，终点也不一定相同，故B错误， 当时，与可能不共线，故C错误 两个单位向量平行也可能反向，则不相等，故D错误． 故选：A． 变式1-2．在如图的方格纸上，已知向量，每个小正方形的边长为1.      (1)试以B为终点画一个向量，使； (2)在图中画一个以A为起点的向量，使，并说出向量的终点的轨迹是什么？ 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析, 终点的轨迹是以A为圆心，半径为的圆 【详解】（1）根据相等向量的定义，所作向量与向量平行，且长度相等． 图如下所示：    （2）由平面几何知识可知所有这样的向量的终点的轨迹是以为圆心，半径为的圆．    变式1-3．如图，等腰梯形中，对角线与交于点，点、分别在两腰、上，过点，且，则下列等式中成立的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在等腰梯形中，、不平行，、不平行，AB均错； 因为，则，则，则， 即，即， ，则，，即为的中点， 所以，，C错，D对. 故选：D. 热点二 向量加、减法的几何意义 例3．如图，已知向量、、，作出下列向量； (1)，，； (2)和． 【答案】(1)答案见详解 (2)答案见详解 【详解】（1）根据向量加法的平行四边形法则可得，，分别如下图： （2）根据向量加法的平行四边形法则可得和分别如下图： 例4．已知为非零向量，则下列说法错误的是（    ） A．若，则与方向相同 B．若，则与方向相反 C．若，则与有相等的模 D．若，则与方向相同 【答案】C 【详解】由向量三角不等式可知，只有当非零向量同向时，有，，故A，D正确；只有当非零向量反向时，有，，故B正确，C错误． 故选：C． 变式2-1．已知边长为的正三角形的中心为，正方形的边长为，且线段与相交于点，则 . 【答案】 【详解】记中点为，连接，如图， 因为在正方形中，与相交于点，则是的中点， 所以，则， 在正中，，为的中心， 所以， 则. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛，本题解决的关键是充分用点的性质，利用向量的线性运算即可得解. 变式2-2．已知非零向量满足，且，则 . 【答案】4 【详解】如图所示，设，， 则， 以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则， 由于， 故， 所以是直角三角形，， 从而OA⊥OB，所以平行四边形OACB是矩形， 根据矩形的对角线相等得，即. 故答案为：4 变式2-3．已知是四边形所在平面上任一点，且．则四边形一定为（    ） A．菱形 B．梯形 C．平行四边形 D．矩形 【答案】C 【详解】因为，即， 又因为，故四边形一定为平行四边形. 故选：C. 热点三 向量的线性运算 例5．在中，点D为的中点，点O为的重心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 如图，连接，因为点O为的重心， 则为的三等分点，且， 所以， 故选：A. 例6．已知M是内部一点，且，则的面积与的面积之比为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【详解】取BC中点为D，延长AD至E，使AD=DE，则， 则M 为AD中点，过M，A做BC垂线，垂足为F，G，则. 则. 故选：B 变式3-1．如图，在中，， ，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵，， ∴，， ∴，故AB选项错误； ∴，故C选项正确，D选项错误. 故选：C 变式3-2．（多选）已知M为的重心（三角形三条中线的交点），D为BC的中点，则下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】如图，为的重心，D为BC的中点， 因三角形重心到三顶点的距离不一定相等，A不正确； ，则，B正确； ，C正确. ，D不正确； 故选：BC 变式3-3．设O是内部一点，且，则与面积之比为 . 【答案】 【详解】取中点，有，即有， 故为中点，则. 故答案为：. 热点四 根据向量线性运算求参数 例7．在中，若点满足，，则 . 【答案】2 【详解】易知， 又因为，所以. 故答案为：2. 例8．在中，已知是边上一点，若，则（    ） A．2 B．１ C．-2 D．－1 【答案】C 【详解】解：如图所示： 因为， 所以为线段的三等分点中靠近的点， 所以=, 所以， 所以. 故选：C. 变式4-1．“赵爽弦图”是中国古代数学的图腾，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如图，某人仿照赵爽弦图，用四个三角形和一个小的平行四边形拼成一个大平行四边形，其中E，F，G，H分别是DF，AG，BH，CE的中点，若，则 ． 【答案】/0.32 【详解】由题意可得．因为EFGH是平行四边形， 所以，所以，所以．因为， 所以，，则． 故答案为：. 变式4-2．已知为内一点，且满足，若的面积与的面积的比值为，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【详解】由，得， 如图，分别是的中点，    则， 所以在线段上，且， 得，设，则，所以， 因为，，， 所以，则，解得. 故选：B 变式4-3．已知是的重心，若，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【详解】连接并延长交于，如图，    因为是的重心，则是的中点， 所以 ， 又，所以，， 所以. 故选：B. 热点五 共线定理的应用 例9．若向量，，则下列向量中与向量共线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为向量，， 所以． 又，所以B选项与共线． 而ACD三个选项均和不存在倍数关系， 故选：B． 例10．向量在正方形网格中的位置如图所示. 若向量与共线，则实数 . 【答案】2 【详解】由图可知，， 因为向量与共线，所以根据共线向量基本定理可设：， 即，则， 所以，解得. 故答案为：2. 变式5-1．若非零向量，且设，则实数 ． 【答案】 【详解】因为， 所以，所以， 所以， 因为，所以， 故答案为： 变式5-2．已知是不共线的向量，且，若三点共线，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【详解】由向量， 可得， 因为三点共线，可得，即， 所以，解得. 故选：C. 变式5-3．已知向量，不共线，且向量，，若与方向相反，则实数的值为（    ） A．-1 B． C．1或 D．-1或 【答案】B 【详解】因为向量，不共线，且向量，，与方向相反， 所以存在实数使， 则，即， 所以，整理得，解得或， 又，所以. 故选：B. 热点六 平面向量共线定理的推论（一） 例11．已知三点共线，O为直线外一点，存在三个不全为零的实数，使，那么的值为 ． 【答案】0 【详解】因为三点共线， 则, 所以, 所以， 对比系数，所以， 故答案为：0 例12．已知是的重心，过点作一条直线与边，分别交于点，（点，与所在边的端点均不重合），设，，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】如图： 取中点，则，， ， 三点共线，，即， ， 当且仅当时，取等号. 故答案为：. 变式6-1．设 ， ， 在一条直线上， 在该直线外，已知 ，则 等于 . 【答案】/ 【详解】由 ， ， 三点共线，且，得 ， 所以. 故答案为： 变式6-2．在平行四边形中，，，与交于点．设，，请用表示 ；若，则 ． 【答案】 【详解】， 如图，三点共线， 设，则， 所以， 三点共线， 设，则， 所以， 所以，解得， 所以，又，即得. 故答案为：；. 变式6-3．如图所示，在中，为边上一点，且，若，，三点共线，且，. (1)用，表示； (2)求的最小值. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由，得， 所以. （2）由，，，， 得，又、、三点共线，因此， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以取最小值. 热点七 平面向量共线定理的推论（二） 例13．在中，点满足，直线与交于点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 设， 则， 因为，且，共线， 所以可设，即 所以， 所以，解得，所以，即， 故选：C. 例14．设为所在平面内一点，，为的中点，与交于点，设，则 ． 【答案】 【详解】由可知. 由于为的中点，故. 故，所以. 而根据题意，点在直线上，故，从而. 故答案为：. 变式7-1．在中，，，与交于点，且，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【详解】因为，则为的中点，可得， 注意到三点共线，可得， 又因为三点共线，则∥， 则存在实数，使得，即， 则，可得， 综上所述：，解得，可得. 故选：B. 变式7-2．在平行四边形中，分别为上的点，且，连接，与交于点，若，则的值为 . 【答案】 【详解】在中，不共线，因为， 则有， 又三点共线，于是得，解得， 所以的值为. 故答案为： 变式7-3．在平行四边形 中， 与 相交于 ，若 ， ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 因为三点共线，所以可设， 所以， 因为三点共线，所以可设， 因为 ，，所以， 所以， 所以， 即，解得，， 所以， 故选：A. 热点八 判断三角形的“四心” 例15．已知△ABC，向量满足条件，，则△ABC是（    ） A．等腰直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 【答案】C 【详解】如图，点是的中点，所以， 因为，即，即， 则点三点共线，且，所以点是的重心， 又，所以点是的外心，则，即， 所以，同理，则， 所以是等边三角形. 故选：C. 例16．已知点O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则点P的轨迹一定通过的（   ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【详解】，, 令， 则是以为始点，向量与为邻边的菱形的对角线上的向量， 即在的平分线上， ，共线， 故点P的轨迹一定通过△ABC的内心， 故选：B 变式8-1．已知点均在所在平面内，以下所有正确说法的序号是 ． ①若动点满足，则点为的重心； ②若动点满足，则动点的轨迹一定经过的内心； ③若动点满足，则动点的轨迹一定经过的重心； ④若动点满足，则动点的轨迹一定经过的垂心． 【答案】①②③④ 【详解】对于①，因为动点满足，所以，则点是的重心，①正确． 对于②，，所以， 所以点在的平分线所在直线上，所以动点的轨迹一定经过的内心，②正确． 对于③，，所以， 过点作，垂足为，如下图： 则，所以， 则点在边上的中线所在直线上，因此动点的轨迹一定经过的重心，③正确． 对于④，，所以， 所以， 所以，所以动点的轨迹一定经过的垂心，④正确． 故所有正确说法的序号是①②③④． 故答案为：①②③④. 变式8-2．已知是所在平面上一点，若，则是的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【答案】B 【详解】因为，则，所以，是的外心. 故选：B. 变式8-3．（多选）已知A，B，C是平面上不共线的三点，O是的重心，动点P满足，则点P一定不是（    ） A．边中线的中点 B．边中线的三等分点（非重心） C．的重心 D．边的中点 【答案】ACD 【详解】因为O是的重心，所以， 所以, 所以点P为OC的中点，即为边中线的三等分点（非重心） 故选：ACD 一、单选题 1．（2023·24高一下·江苏无锡·期中）在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，则（    ） A．与共线 B．与共线 C．与相等 D．与相等 【答案】B 【详解】因为与不平行，所以与不共线，A错 因为D，E分别是AB，AC的中点，则与平行，故与共线，B正确； 因为与不平行，所以与不相等，C错； 因为，则D错． 故选：B 2．（2023·24高一下·安徽芜湖·期末）如图，正六边形ABCDEF中，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：正六边形ABCDEF中，因为， 所以， 故选：B. 3．（2023·24高一下·山东济南·期末）已知m，n是实数，，是向量，则下列命题中正确的为（    ） ①；②； ③若，则；④若，则m＝n. A．①④ B．①② C．①③ D．③④ 【答案】B 【详解】对于①，，正确； 对于②，，正确； 对于③，当时，由，不能得到.判断错误； 对于④，当时，由，不能得到m＝n. 判断错误. 故选：B 4．（2023·24高三上·云南昆明·阶段练习）已知等边的边长为，D为中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：因为等边的边长为，D为中点，所以，， 所以； 故选：C 5．（2023·24高二上·湖北恩施·期中）已知点G是的重心，过点G作直线分别与两边交于两点（点与点不重合），设，，则的最小值为（ ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【详解】若是的中点，连接，点G是的重心，则必过，且， 由题设，又共线， 所以，即，注意，    由 ，当且仅当，即时等号成立， 故目标式最小值为1. 故选：A 6．（2023·24高一下·江苏盐城·期中）已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，点P满足，则与面积比为（    ） A．5:6 B．1:4 C．2:3 D．1:2 【答案】B 【详解】如图所示 是的重心， , , , , ，即， 点为的中点，即点为边中线的两个三等分点， ， ， 故选：B. 7．（2023·24高一下·河北唐山·期中）在△ABC中，点P在边BC上，且，过点P的直线l与射线AB，AC分别交于不同的两点M，N，若，，则下列关系式成立的是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 由题意知：，又，， 即，由三点共线，可得，即. 故选：D. 8．（2023·24高一下·福建厦门·期末）下列命题错误的是（    ） A．若与都是单位向量，则. B．“”是“”的必要不充分条件. C．若都为非零向量，则使成立的条件是与反向共线. D．若，则. 【答案】A 【详解】对A，都是单位向量，则模长相等，但方向不一定相同， 所以得不到，A错误； 对B，“”推不出“”，但 “”能推出 “”， 所以“”是“”的必要不充分条件，B正确； 对C，因为与反向共线， 且，都为单位向量，则，C正确； 对D，若，则，D正确， 故选：A. 二、多选题 9．（2023·24高一下·广东汕头·期中）下列说法正确的是（    ） A．零向量是没有方向的向量 B．零向量的长度为0 C．相等向量的方向相同 D．同向的两个向量可以比较大小 【答案】BC 【详解】对于选项A，因为零向量的方向是任意的，所以选项A错误， 对于选项B，因为零向量是方向任意，长度为0的向量，所以选项B正确， 对于选项C，因为相等向量是方向相同，长度相等的向量，所以选项C正确， 对于选项D，向量不能比较大小，向量的模长可以比较大小，所以选项D错误， 故选：BC. 10．（2023·24高一下·吉林延边·期中）下列说法正确的是（    ） A．与是非零向量，则与同向是的必要不充分条件 B．是互不重合的三点，若与共线，则三点在同一条直线上 C．与是非零向量，若与同向，则与反向 D．设为实数，若，则与共线 【答案】ABC 【详解】与同向，但不一定与相等，，若，则与同向， 且有=，与同向是的必要不充分条件，A正确. 与共线，则有=，故一定有三点在同一条直线上，B正确. 与同向，则与反向，C正确. 时，与不一定共线，D错误. 故选：ABC 11．（2023·24高一下·安徽芜湖·期中）在中，，以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】由，两边同时乘以，得， 令，则，即有， 因此，点在上，且，如图， 所以，则； 同理，两边同时乘以得：， 令，点在上，， 所以，则； ， 所以. 故选：ABD 三、填空题 12．（2023·24高一下·江苏徐州·阶段练习）已知，为非零不共线向量，向量与共线，则 ． 【答案】 【详解】因为向量与共线，且，为非零不共线向量， 所以， 故，解得， 故答案为： 13．（2016·17高一下·湖南邵阳·期末）如图，已知，若，则 ， . 【答案】 【详解】如图，, 故答案为: ,. 14．（2023·24高一下·山西临汾·阶段练习）已知是所在平面内一定点，动点满足，则动点的轨迹一定过的 .（选填：外心、内心、垂心、重心） 【答案】重心 【详解】过作，垂足为，取中点为，连接，如下所示： 则， 则，则， ，又为非负实数， 故共线，也即三点共线，又为三角形中线，故的轨迹过三角形的重心. 故答案为：重心. 四、解答题 15．（2023·24高一下·江苏南通·阶段练习）如图，中，AB边的中点为P，重心为G．在外任取一点O，作向量，，，，．    (1)试用，表示． (2)试用，，表示． 【答案】(1) (2) 【详解】（1） ． （2） ．    16．（2023·24高一下·四川南充·阶段练习）（1）化简：； （2）已知两个非零向量和不共线，．求证：三点共线 【答案】（1）；（2）证明见解析 【详解】（1）原式； （2）因为， ， 所以， 又因为有公共起点， 故三点共线． 17．（2023·24高一下·河北邢台·开学考试）如图，在中，，分别在，上，，，与交于点，，，求和的值． 【答案】， 【详解】解：因为， 所以， 因为且， 所以，即， 解得， 【点睛】本题考查平面向量的线性运算，属于基础题. 18．（2023·24高一上·辽宁大连·期末）如图所示，已知点是的重心，过点作直线分别与边、交于、两点（点、与点、不重合），设，． (1)求的值； (2)求的最小值，并求此时，的值． 【答案】(1) (2)，时，最小值为． 【详解】（1）如图所示， 因为G为重心，所以， 所以， 因为M，G，N三点共线，所以，即． （2）由题意可知，且， 所以 当且仅当，即时取等号， 又∵，∴，时，取得最小值为． 19．（2017·18高一下·福建厦门·阶段练习）如图，在中，、分别是、的中点，，若，. (1)用，表示； (2)若为线段上的点，且，用向量方法证明：、、三点共线. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【详解】（1）因为、分别是、的中点，， 所以， 又，，， 所以 ； （2）因为， 所以， ， ∴ ， ∴ 、、三点共线. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 热点01 向量的概念与线性运算 考点一、向量的概念及表示 1.定义:既有大小又有方向的量叫做向量. 2.表示: （1）有向线段:具有方向的线段叫做有向线段.它包含三个要素:起点、方向、长度. （2）向量的表示： ①几何表示:用有向线段表示,记作向量.有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.向量的大小称为向量的长度(或称模),记作. ②字母表示:书写时用表示,还可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示,如以为起点,以为终点的向量记作. 3.两个特殊向量: （1）零向量与非零向量: 长度为0的向量叫做零向量.印刷时用加粗的阿拉伯数字零表示,即0;书写时,写为，长度不为0的向量称为非零向量. （2）单位向量:长度等于1个单位长度的向量,叫做单位向量. 4.向量间的关系 （1）平行向量（共线向量）:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,向量平行,记作.规定:零向量与任意向量平行,即对于任意向量,都有. （2）相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量;向量与相等,记作. 考点二、向量的加法 三角形法则：已知非零向量,在平面内任取一点,作,再作向量,则向量叫做与的和,记作 平行四边形法则：已知不共线的两个向量,在平面内任取一点,以同一点为起点的两个已知向量,以为邻边作,则就是与的和 , 规定：零向量与任意向量的和,都有 运算律：①交换律：；②结合律： 相反向量 1.定义:与向量长度相等、方向相反的向量,叫做的相反向量,记作,与互为相反向量, 3.性质：①；②若互为相反向量,则； ③的相反向量是 考点三、向量的减法 1.向量的减法的定义:向量加上的相反向量,叫做与的差,即,求两个向量差的运算叫做向量的减法. 2.运算法则:在平面内取一点O,作,则. 3.几何意义表示从向量的终点指向的终点的向量. 4.向量减法的两个重要结论: ①如果把两个向量的始点放在一起,则这两个向量的差是以减向量的终点为始点,被减向量的终点为终点的向量； ②一个向量等于它的终点相对于点的位置向量减去它的始点相对于点的位置向量或简记“终点向量减去始点向量”. 考点四、向量的数乘运算 1.定义:规定实数与向量的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作,它的长度和方向规定如下: ①; ②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时， 2.运算律:设为任意实数,则有①；②； ③ 特别地,有. (3)向量的线性运算:向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量以及任意实数恒有. 考点五、共线向量定理 1.共线向量定理的内容：向量与共线的充要条件是存在唯一一个实数,使. 2.三点共线向量表示的两个结论 结论1：如图1，点共线的充要条件是存在唯一实数，使得. 结论2：设是平面内的任意一点，点A，B，C共线的充要条件是存在唯一实数使得. 热点一 平面向量的概念 例1．（多选）下列说法错误的是（   ） A．向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上 B．若，则或 C．若向量满足，且与同向，则 D．向量与共线的充要条件是：存在唯一的实数，使 例2．如图，四边形是边长为3的正方形，把各边三等分后，共有16个交点，从中选取两个交点作为向量的起点和终点，则与平行且长度为的向量有哪些？（在图中标出相应字母，写出这些向量） 变式1-1．下列说法正确的是（    ） A．向量与向量的长度相等 B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C．若，，则 D．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 变式1-2．在如图的方格纸上，已知向量，每个小正方形的边长为1.      (1)试以B为终点画一个向量，使； (2)在图中画一个以A为起点的向量，使，并说出向量的终点的轨迹是什么？ 变式1-3．如图，等腰梯形中，对角线与交于点，点、分别在两腰、上，过点，且，则下列等式中成立的是（　　）    A． B． C． D． 热点二 向量加、减法的几何意义 例3．如图，已知向量、、，作出下列向量； (1)，，； (2)和． 【答案】(1)答案见详解 (2)答案见详解 【详解】（1）根据向量加法的平行四边形法则可得，，分别如下图： （2）根据向量加法的平行四边形法则可得和分别如下图： 例4．已知为非零向量，则下列说法错误的是（    ） A．若，则与方向相同 B．若，则与方向相反 C．若，则与有相等的模 D．若，则与方向相同 变式2-1．已知边长为的正三角形的中心为，正方形的边长为，且线段与相交于点，则 . 变式2-2．已知非零向量满足，且，则 . 变式2-3．已知是四边形所在平面上任一点，且．则四边形一定为（    ） A．菱形 B．梯形 C．平行四边形 D．矩形 热点三 向量的线性运算 例5．在中，点D为的中点，点O为的重心，则（    ） A． B． C． D． 例6．已知M是内部一点，且，则的面积与的面积之比为（    ） A． B． C．2 D． 变式3-1．如图，在中，， ，则（   ）    A． B． C． D． 变式3-2．（多选）已知M为的重心（三角形三条中线的交点），D为BC的中点，则下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 变式3-3．设O是内部一点，且，则与面积之比为 . 热点四 根据向量线性运算求参数 例7．在中，若点满足，，则 . 例8．在中，已知是边上一点，若，则（    ） A．2 B．１ C．-2 D．－1 变式4-1．“赵爽弦图”是中国古代数学的图腾，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如图，某人仿照赵爽弦图，用四个三角形和一个小的平行四边形拼成一个大平行四边形，其中E，F，G，H分别是DF，AG，BH，CE的中点，若，则 ． 变式4-2．已知为内一点，且满足，若的面积与的面积的比值为，则的值为（    ） A． B． C． D．2 变式4-3．已知是的重心，若，则（    ） A．1 B． C． D． 热点五 共线定理的应用 例9．若向量，，则下列向量中与向量共线的是（   ） A． B． C． D． 例10．向量在正方形网格中的位置如图所示. 若向量与共线，则实数 . 变式5-1．若非零向量，且设，则实数 ． 变式5-2．已知是不共线的向量，且，若三点共线，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 变式5-3．已知向量，不共线，且向量，，若与方向相反，则实数的值为（    ） A．-1 B． C．1或 D．-1或 热点六 平面向量共线定理的推论（一） 例11．已知三点共线，O为直线外一点，存在三个不全为零的实数，使，那么的值为 ． 例12．已知是的重心，过点作一条直线与边，分别交于点，（点，与所在边的端点均不重合），设，，则的最小值是 ． 变式6-1．设 ， ， 在一条直线上， 在该直线外，已知 ，则 等于 . 变式6-2．在平行四边形中，，，与交于点．设，，请用表示 ；若，则 ． 变式6-3．如图所示，在中，为边上一点，且，若，，三点共线，且，. (1)用，表示； (2)求的最小值. 热点七 平面向量共线定理的推论（二） 例13．在中，点满足，直线与交于点，则的值为（   ） A． B． C． D． 例14．设为所在平面内一点，，为的中点，与交于点，设，则 ． 变式7-1．在中，，，与交于点，且，则（    ） A． B． C． D．1 变式7-2．在平行四边形中，分别为上的点，且，连接，与交于点，若，则的值为 . 变式7-3．在平行四边形 中， 与 相交于 ，若 ， ，则（    ） A． B． C． D． 热点八 判断三角形的“四心” 例15．已知△ABC，向量满足条件，，则△ABC是（    ） A．等腰直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 例16．已知点O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则点P的轨迹一定通过的（   ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 变式8-1．已知点均在所在平面内，以下所有正确说法的序号是 ． ①若动点满足，则点为的重心； ②若动点满足，则动点的轨迹一定经过的内心； ③若动点满足，则动点的轨迹一定经过的重心； ④若动点满足，则动点的轨迹一定经过的垂心． 变式8-2．已知是所在平面上一点，若，则是的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 变式8-3．（多选）已知A，B，C是平面上不共线的三点，O是的重心，动点P满足，则点P一定不是（    ） A．边中线的中点 B．边中线的三等分点（非重心） C．的重心 D．边的中点 一、单选题 1．（2023·24高一下·江苏无锡·期中）在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，则（    ） A．与共线 B．与共线 C．与相等 D．与相等 2．（2023·24高一下·安徽芜湖·期末）如图，正六边形ABCDEF中，（    ） A． B． C． D． 3．（2023·24高一下·山东济南·期末）已知m，n是实数，，是向量，则下列命题中正确的为（    ） ①；②； ③若，则；④若，则m＝n. A．①④ B．①② C．①③ D．③④ 4．（2023·24高三上·云南昆明·阶段练习）已知等边的边长为，D为中点，则（    ） A． B． C． D． 5．（2023·24高二上·湖北恩施·期中）已知点G是的重心，过点G作直线分别与两边交于两点（点与点不重合），设，，则的最小值为（ ） A．1 B． C．2 D． 6．（2023·24高一下·江苏盐城·期中）已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，点P满足，则与面积比为（    ） A．5:6 B．1:4 C．2:3 D．1:2 7．（2023·24高一下·河北唐山·期中）在△ABC中，点P在边BC上，且，过点P的直线l与射线AB，AC分别交于不同的两点M，N，若，，则下列关系式成立的是（      ） A． B． C． D． 8．（2023·24高一下·福建厦门·期末）下列命题错误的是（    ） A．若与都是单位向量，则. B．“”是“”的必要不充分条件. C．若都为非零向量，则使成立的条件是与反向共线. D．若，则. 二、多选题 9．（2023·24高一下·广东汕头·期中）下列说法正确的是（    ） A．零向量是没有方向的向量 B．零向量的长度为0 C．相等向量的方向相同 D．同向的两个向量可以比较大小 10．（2023·24高一下·吉林延边·期中）下列说法正确的是（    ） A．与是非零向量，则与同向是的必要不充分条件 B．是互不重合的三点，若与共线，则三点在同一条直线上 C．与是非零向量，若与同向，则与反向 D．设为实数，若，则与共线 11．（2023·24高一下·安徽芜湖·期中）在中，，以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（2023·24高一下·江苏徐州·阶段练习）已知，为非零不共线向量，向量与共线，则 ． 13．（2016·17高一下·湖南邵阳·期末）如图，已知，若，则 ， . 14．（2023·24高一下·山西临汾·阶段练习）已知是所在平面内一定点，动点满足，则动点的轨迹一定过的 .（选填：外心、内心、垂心、重心） 四、解答题 15．（2023·24高一下·江苏南通·阶段练习）如图，中，AB边的中点为P，重心为G．在外任取一点O，作向量，，，，．    (1)试用，表示． (2)试用，，表示． 16．（2023·24高一下·四川南充·阶段练习）（1）化简：； （2）已知两个非零向量和不共线，．求证：三点共线 17．（2023·24高一下·河北邢台·开学考试）如图，在中，，分别在，上，，，与交于点，，，求和的值． 18．（2023·24高一上·辽宁大连·期末）如图所示，已知点是的重心，过点作直线分别与边、交于、两点（点、与点、不重合），设，． (1)求的值； (2)求的最小值，并求此时，的值． 19．（2017·18高一下·福建厦门·阶段练习）如图，在中，、分别是、的中点，，若，. (1)用，表示； (2)若为线段上的点，且，用向量方法证明：、、三点共线. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$