22.1平行四边形的性质巩固练习 2024-2025学年冀教版数学八年级下学期

22.1平行四边形的性质 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图，在中，点E，F分别在边AB，AD上，将△AEF沿EF折叠，点A恰好落在BC边上的点G处，若，，，则AF长度为（    ） A． B．7 C．6 D．20 2．在中，的平分线交于点，若，则为（ ） A．10 B．16 C．6 D．13 3．已知的周长为28，若，则的长为（　　） A．14 B．10 C．8 D．6 4．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=5，DC=7，AB=13，点P从点A出发以3个单位/s的速度沿AD→DC向终点C运动，同时点Q从点B出发，以1个单位/s的速度沿BA向终点A运动．当四边形PQBC为平行四边形时，运动时间为（ ） A．4s B．3s C．2s D．1s 5．在中，， 则的周长为（       ） A． B． C． D． 6．如图，在▱ABCD中，AB=3，AD=5，∠BCD的平分线交BA的延长线于点E，则AE的长为(    )． A．3 B．2.5 C．2 D．1.5 7．如下图中，，cm，cm，若点P是上CD上任意一点，那么的面积是(   ) A． B． C． D． 8．将一张平行四边形纸片折一次，使得折痕平分这个平行四边形的面积，则这样的折纸方法有（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．无数种 9．如图，△ACE是以▱ABCD的对角线AC为边的等边三角形，点C与点E关于x轴对称．若E点的坐标是（7，﹣3 ），则D点的坐标为（　　） A．（3，0） B．（4，0） C．（5，0） D．（6，0） 10．平行四边形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC＝45°，OA＝OC＝，则点B的坐标为（　　） A．(，1) B．(1，) C．(＋1，1) D．(1，＋1) 11．如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB，CE平分∠BCD交AD边于点E，且AE=3，则AB的长为（   ） A．4 B．3 C． D．2 12．若□ABCD的周长为28，△ABC的周长为17cm，则AC的长为（     ） A．11cm B．5.5cm C．4cm D．3cm 二、填空题 13．如图，▱ABCD中，AC=8，BD=6，AD=a，则a的取值范围是 ． 14．如图，将沿对角线折叠，使点落在点处，若，，则 ． 15．如图，在□ABCD中，E、F分别为边AB、DC的中点，则图中共有 个平行四边形. 16．□ABCD中，AB、BC长分别为12和26，边AD与BC之间的距离为8，则AB与CD间的距离为 ． 17．如图，在平行四边形纸片ABCD中，，将纸片沿对角线AC对折至CF，交AD边于点E，此时恰为等边三角形，则图中折叠重合部分的面积是 ． 三、解答题 18．如图，在平行四边形ABCD中，AE是BC边上的高，将△ABE沿BC方向平移，使点E与点C重合，得△GFC． 求证：BE=DG 19．某同学要证明命题“平行四边形的对边相等．”是正确的，他画出了图形，并写出了如下已知和不完整的求证． 已知：如图，四边形ABCD是平行四边形． 求证：AB=CD，_________ （1）补全求证部分； （2）请你写出证明过程． 20．已知：如图，，是的对角线上的两点，，求证：． 21．如图，在中，的平分线交于点E，过点D作的平行线交于点F，求的度数． 22．背景知识：已知两直线，，若，则；若，则． 应用：在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，若于点，交轴于点，交轴于点． (1)求直线的表达式． (2)点在平面内，当以点，，，为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出点的坐标． (3)若将直线向下平移4个单位，得到新的直线，交轴于点，交直线于点，求． 23．如图，E，F是□ABCD对角线AC上的两点，且AE=CF．求证：∠1=∠2 24．如图，正方形网格中，的顶点均在格点上，请按要求画图： (1)以点为旋转中心，将绕点顺时针旋转得，画出； (2)作出关于坐标原点成中心对称的； (3)在第三象限找一点，使得构成平行四边形的点的坐标为_____． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《22.1平行四边形的性质》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C C B A C C D C C 题号 11 12 答案 B D 1．A 【分析】过点B作BM⊥AD于点M，过点F作FH⊥BC于点H，过点E作EN⊥CB延长线于点N，得矩形BHFM，可得△BEN和△ABM是等腰直角三角形，然后利用勾股定理即可解决问题． 【详解】 解：如图，过点B作BM⊥AD于点M，过点F作FH⊥BC于点H，过点E作EN⊥CB延长线于点N， 得矩形BHFM， ∴∠MBC＝90°，MB＝FH，FM＝BH， ∵AB＝6，5BE＝AE， ∴AE＝5，BE＝， 由折叠的性质可知：GE＝AE＝5，GF＝AF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABN＝∠A＝45°， ∴△BEN和△ABM是等腰直角三角形， ∴EN＝BN＝BE＝1，AM＝BM＝AB＝6， ∴FH＝BM＝6， 在Rt△GEN中，根据勾股定理，得 EN2+GN2＝GE2， ∴12+GN2＝（5）2， 解得GN＝±7（负值舍去）， ∴GN＝7， 设MF＝BH＝x， 则GH＝GN﹣BN﹣BH＝7﹣1﹣x＝6﹣x，GF＝AF＝AM+FM＝6+x， 在Rt△GFH中，根据勾股定理，得 GH2+FH2＝GF2， ∴（6﹣x）2+62＝（6+x）2， 解得x＝， ∴AF＝AM+FM＝6+＝ ． ∴AF长度为 ． 故答案为：A． 【点睛】本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握翻折的性质． 2．C 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，角平分线的性质解答本题的关键是熟练掌握平行四边形的两组对边分别平行且相等．先画出图形，根据平行四边形的性质可得，再结合的平分线可得，即可求得结果． 【详解】解：如图， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 3．C 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的对边相等是解题的关键． 根据平行四边形的性质可得，然后根据平行四边形的周长公式列式计算即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴． 又∵的周长为28， ∴，即， ∴． 故选：C． 4．B 【详解】解：设运动时间为t秒，则CP=12-3t，BQ=t， 根据题意得到12-3t=t， 解得：t=3， 故选B． 【点睛】本题考查一元一次方程及平行四边形的判定，难度不大． 5．A 【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的对边相等，得到平行四边形的周长等于两条邻边的和的2倍，求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴的周长为； 故选A． 6．C 【分析】由平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD，可证得△BCE是等腰三角形，继而利用AE=BE-AB，求得答案． 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC=5， ∴∠E=∠ECD， ∵CE平分∠BCD， ∴∠BCE=∠ECD， ∴∠E=∠BCE， ∴BE=BC=5， ∴AE=BE-AB=5-3=2． 故选C． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质．能证得△BCE是等腰三角形是解此题的关键． 7．C 【分析】过C作CH⊥AB于H，根据平行四边形的性质和含30°直角三角形的性质求得CH，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：过C作CH⊥AB于H， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABC=∠D=30°，CD∥AB， 在Rt△CHB中，BC=8cm，∠ABC=30°，则CH= BC=4cm， ∵AB=12cm， ∴的面积是×12×4=24cm2， 故选：C． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、含30°的直角三角形的性质、三角形的面积公式，熟练掌握含30°的直角三角形的性质是解答的关键． 8．D 【分析】根据平行四边形的性质即可得出答案． 【详解】解：因为平行四边形是中心对称图形，任意一条过平行四边形对角线交点的直线都平分四边形的面积，则这样的折纸方法共有无数种． 故选D． 【点睛】此题主要考查平行四边形是中心对称图形的性质．平行四边形的两条对角线交于一点，这个点是平行四边形的中心，也是两条对角线的中点，经过中心的任意一条直线可将平行四边形分成完全重合的两个图形． 9．C 【分析】作CE与x轴相交于F点，根据关于数轴对称点的坐标特点可得C（7，3），即CE=6，因为△ACE是等边三角形，利用勾股定理可求得AF的长，进而得到OA的长，再利用平行线的性质即可得到OD的长. 【详解】解： 作CE与x轴相交于F点， ∵C与点E关于x轴对称，E（7，﹣3 ）， ∴C（7，3），F（7，0），即CF=3，CE=6，OF=7， ∵△ACE是等边三角形， ∴AC= CE=6， 在Rt△ACF中，AF==9， ∴OA=AF﹣OF=9﹣7=2， 又∵四边形ABCD为平行四边形， ∴OD=AD﹣OA=BC﹣OA=5， 则D（5，0）. 故选C. 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，关于数轴对称的点的坐标，平行四边形的性质，勾股定理，解此题的关键在于熟练掌握其知识点. 10．C 【分析】作，求得、的长度，即可求解． 【详解】解：作，如下图： 则 在平行四边形中，， ∴ ∴为等腰直角三角形 则，解得 ∴ 故选：C 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质以及勾股定理，解题的关键是灵活运用相关性质进行求解． 11．B 【分析】根据平行四边形性质得出AB=DC，ADBC，推出∠DEC=∠BCE，求出∠DEC=∠DCE，推出DE=DC=AB，得出AD=2DE即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=DC，ADBC， ∴∠DEC=∠BCE， ∵CE平分∠DCB， ∴∠DCE=∠BCE， ∴∠DEC=∠DCE， ∴DE=DC=AB， ∵AD=2AB=2CD，CD=DE， ∴AD=2DE， ∴AE=DE=3， ∴DC=AB=DE=3， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形性质，平行线性质，角平分线定义，等腰三角形的性质和判定的应用，关键是求出DE=AE=DC． 12．D 【详解】试题解析：如图所示：∵平行四边形ABCD的周长为28cm， ∴AB+BC=14cm， ∵△ABC的周长为17cm， ∴AC=3cm． 故选D． 13．1＜a＜7 【分析】首先求出OA =4，OD =3，然后利用三角形三边关系得出结果． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=AC=4，OD=BD=3， 在△AOD中，由三角形的三边关系得：4﹣3＜AD＜4+3． 即1＜a＜7； 故答案为1＜a＜7． 【点睛】本题考查平行四边形的性质和三角形三边关系，利用三角形三边关系确定线段的取值范围是解决问题的关键． 14． 【分析】利用平行四边形的性质得，进而得出，利用折叠的性质得，进而求出，利用三角形内角和定理求出，即可求解． 【详解】解：在中，， ， 沿对角线折叠，使点落在点处， ， ， 在中，． ， 故答案为：． 【点睛】本题考查折叠的性质、平行四边形的性质、平行线的性质、三角形内角和定理等，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 15．4 【详解】∵ 在□ABCD中，E、F分别为边AB、DC的中点，∴ .又AB∥CD，∴ 四边形AEFD，CFEB，DFBE都是平行四边形，再加上□ABCD本身，共有4个平行四边形，故答案为4． 16． 【详解】如图，过点A作AE⊥BC于点E、AF⊥CD于F，则AE=8， 由平行四边形的面积公式=底×高，可得，解得AF=. 故答案为. 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质和面积公式，解答此题的关键是熟悉平行四边形的面积公式. 17． 【分析】为等边三角形，点A为BF的中点，可得，求得，再证明出点E为AD的中点，得到，可求出面积． 【详解】解：折叠至处， AB=AF=2cm，BC=BF=CF=4cm， 为等边三角形， ，， 又四边形ABCD为平行四边形， ， ， cm，CD=AB=2cm， =， 点A为BF的中点，， AE为的中位线， ， 点E为AD的中点， ==为折叠重合部分的面积， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠问题以及等边三角形和平行四边形的综合问题，还涉及勾股定理，需要有一定的推理论证能力，熟练掌握等边三角形和平行四边形的性质是解题的关键． 18．见解答过程． 【详解】试题分析：根据平移的性质，可得：BE=FC，再证明Rt△ABE≌Rt△CDG可得：DG=FC；即可得到BE=DG. 试题解析：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD． ∵AE是BC边上的高，且CG是由AE沿BC方向平移而成． ∴CG⊥AD． ∴∠AEB=∠CGD=90°． ∵AE=CG， ∴Rt△ABE≌Rt△CDG． ∴BE=DG； 点睛：此题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定，关键是熟练掌握平行四边形的性质与平移的基本性质（①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等）． 19．（1）BC=DA；（2）证明过程见解析 【分析】（1）根据题意容易得出结论； （2）连接AC，与平行四边形的性质得出AB∥CD，AD∥BC，证出∠BAC=∠DCA，∠BCA=∠DAC，由ASA证明△ABC≌△CDA，得出对应边相等即可． 【详解】（1）BC=DA； （2）连接AC，如图所示：          ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC， ∴∠BAC=∠DCA，∠BCA=∠DAC， 在△ABC和△CDA中，， ∴△ABC≌△CDA（ASA）， ∴AB=CD，BC=DA； 考点：平行四边形的性质 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形对边平行的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 20．见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据两条直线平行，内错角相等，即可得．先证明，即可得到． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 21． 【分析】先求解 再证明 再利用三角形的内角和定理可得答案. 【详解】解： ， 平分 【点睛】本题考查的是角平分线的定义，平行线的性质，三角形的内角和定理，平行四边形的性质，掌握“平行四边形的对角相等，邻角互补”是解题的关键. 22．(1) (2)点的坐标为：、、 (3) 【分析】（1）由题意易得的k值，然后可求出的斜率，然后把代入求解即可； （2）先求出，，，即有，当以点，，，为顶点的四边形为平行四边形时，画出图形，作出符合要求的的点、、，根据平行四边形的性质以及中点坐标公式即可求解； （3）由题意设的解析式为，得到E点坐标，然后联立与的解析式求出F的坐标，进而根据三角形面积公式列出方程求解即可． 【详解】（1）由，得， ∵， ∴， ∴， 设，把代入解析式得：， ∴； （2）∵， ∴令，则，令，则， ∴，， 同理可求出：， ∴， 当以点，，，为顶点的四边形为平行四边形时，如图， 当点在时，构成平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 当点在时，构成平行四边形， ∴，， ∵， ∴； 当点在时，构成平行四边形，设， ∵，， ∴中点的坐标为：， ∵平行四边形的对角线互相平分， ∴中点的坐标为：， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴点的坐标为：、、； （3）∵将直线向下平移4个单位，得到新的直线， ∴，即：， 令则， ∴， 同理可求出：， ∴， ∵交直线于点F， ∴，解得， ∴， ∴， 即所求面积为． 【点睛】本题主要考查一次函数的综合运用，还考查了平行四边形的性质以及中点坐标公式等知识，关键是根据题目所给的知识点进行求解，解答第二问时注意分类讨论思想． 23．详见解析. 【分析】根据平行四边形的对角线相互平分证明. 【详解】连接BD，如图所示： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB=OD，OA=OC， ∵AE=CF， ∴OE=OF， ∴四边形BFDE是平行四边形， ∴∠1=∠2. 24．(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查作图旋转变换，平移变换，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． （1）以A点为旋转中心，分别作出B，C两点绕点A顺时针旋转的对应点，即可； （2）分别作出A，B，C关于坐标原点O成中心对称的对应点，，即可； （3）根据平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）如图即为所求； （2）如图即为所求； （3）如图所示，点D即为所求． ∴点的坐标为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$