精品解析：黑龙江省哈尔滨市萧红中学2024-2025学年九年级下学期数学开学测试卷

2024—2025萧红中学九年级（下）·寒假阶梯作业验收·数学学科 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 在有理数－4，0，－1，3中，最小的数是（　　） A. －4 B. 0 C. －1 D. 3 2. 下列图形中，是轴对称的图形是（ ） A. B. C D. 3. 用科学记数法表示 234000 正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示的几何体是由一些小正方体组合而成的，则这个几何体的主视图是（　　） A. B. C. D. 5. 方程的解为（ ） A B. C. D. 6. 若函数的图象在每个象限内y的值随x值的增大而减小，则m的取值范围是（　 ）． A. B. C. D. 7. 抛物线顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，、分别为、边上的点，点为边上一点，连接交于点．则下列结论中一定正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，．分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，交于点，，作直线分别交，于点，，连接，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 在边长为4的正方形中，与相交于点，是同平面内的一动点，且，是中点，连接，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共30分） 11. 函数y=中，自变量x的取值范围是__________． 12. 把多项式分解因式的结果是___________. 13. 不等式组的解集为________． 14. 一个扇形的半径为3cm，面积为，则此扇形的圆心角为______． 15. 一个口袋中装有2个红球、2个白球，每个球除颜色外都相同，随机从中一次摸出两球，摸到都是红球的概率是 ________． 16. 如图，已知PA、PB是⊙O两条切线，A、B为切点．AC是⊙O 的直径，若∠P=80°，则∠BAC的度数为________． 17. 如图，每个图案均由边长相等的黑、白两色正方形按规律拼接而成，照此规律，第50个图案中白色正方形比黑色正方形多_____________个． 18. 对任意有理数，定义关于“”的一种运算如下：，例如：， ．若，则的值为_____________． 19. 等腰中，为一腰，、、都是锐角，为边上的高，．则边的长为_____________． 20. 如图，中，，分别是的中线、角平分线和高．下列结论∶①；②；③；④；⑤．其中结论正确的序号有_____________． 三、解答题（21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分，共60分） 21. 先化简，再求值：，其中 22. 下面有两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，请在方格纸中分别画出符合要求的图形，所画图形各顶点必须与方格纸中小正方形的顶点重合，具体要求如下： （1）在图（1）中，画一个面积为5的等腰直角三角形； （2）在图（2）中，画一个边长为2，面积为6的等腰三角形． 23. 为了参加市举办“科学发现杯”知识竞赛活动，我区开展了预赛，400名学生参加此次比赛，为了解此次竞赛情况：从中抽取一部分学生成绩统计如下（得分取整数，满分为100分） 分组 频数 频率 4 0.08 6 16 032 8 0.16 合计 1.00 （1）通过计算补全频数分布表． （2）补全频数分布直方图，这组数据的中位数落在第_____________组（填范围） （3）若90分以上成绩为优秀，估计我区获得优秀学生约有多少名？ 24. 如图，在中，是边的中点，分别过点、作射线的垂线，垂足分别为、，连接、． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，在不添加辅助线的条件下，直接写出与面积相等的所有三角形 25. 重百江津商场销售AB两种商品，售出1件A种商品和4件B种商品所得利润为600元，售出3件A商品和5件B种商品所得利润为1100元． （1）求每件A种商品和每件B种商品售出后所得利润分别为多少元？ （2）由于需求量大A、B两种商品很快售完，重百江津商场决定再次购进A、B两种商品共34件，如果将这34件商品全部售完后所得利润不低于4000元，那么重百江津商场至少购进多少件A种商品？ 26. 如图，四边形内接于，连接，，． （1）如图1，求证：是的直径； （2）如图2，点E在弧上，连接，过点E作的切线交的延长线于点F，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，若，，，求线段的长． 27. 在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴的正半轴交于点C，且． （1）如图1，求k的值； （2）如图2，点P在第一象限对称轴右侧的抛物线上，轴交射线于点E，设点P的横坐标为t，线段的长为d，求d关于t的函数解析式(不要求写自变量t的取值范围)； （3）如图3，在（2）的条件下，作轴交x轴于点Z，点F在线段上，且，，交直线于点Q，当时，R是线段上的一点，过点R作平行于x轴，与线段交于点G，连接、，恰好使，延长交抛物线于点H，连接，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025萧红中学九年级（下）·寒假阶梯作业验收·数学学科 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 在有理数－4，0，－1，3中，最小的数是（　　） A. －4 B. 0 C. －1 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据有理数大小比较的法则：①正数都大于0； ②负数都小于0； ③正数大于一切负数； ④两个负数，绝对值大的其值反而小可得答案． 【详解】解：在有理数−4，0，−1，3中，最小的数是−4， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了有理数的比较大小，关键是掌握有理数的比较大小的法则． 2. 下列图形中，是轴对称的图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形．解题关键是掌握一个图形沿一条直线对折，图形两部分能够完全重合，这样的图形叫轴对称图形，这条直线叫对称轴． 根据轴对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，故此选项符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C． 3. 用科学记数法表示 234000 正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数．据此求解即可． 详解】解：， 故选：B． 4. 如图所示的几何体是由一些小正方体组合而成的，则这个几何体的主视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据主视图是从正面看得到的图形，可得答案． 【详解】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层左边一个小正方形， 故选：D． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的视图是主视图． 5. 方程的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，去分母，将分式方程化为整式方程，再解整式方程，验根即可． 【详解】解：去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 经检验得，是该方程的解， 故选：C． 6. 若函数的图象在每个象限内y的值随x值的增大而减小，则m的取值范围是（　 ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质，可得m+2＞0，从而得出m的取值范围． 【详解】解：∵函数的图象在每个象限内y的值随x值的增大而减小 ∴m+2＞0， 解得： 故选A． 【点睛】此题考查反比例函数的性质．解题关键在于掌握反比例函数（k≠0），当k＞0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小；当k＜0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x增大而增大． 7. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据抛物线的顶点式确定答案即可． 【详解】解：根据题意可知的顶点坐标是． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了求抛物线的顶点坐标，掌握二次函数的顶点式是解题的关键．二次函数的顶点式为y=a(x-h)2+k，其顶点坐标是（h，k）． 8. 如图，在中，、分别为、边上的点，点为边上一点，连接交于点．则下列结论中一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理的推论，推论1：平行于三角形的一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例；推论2：平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．由此逐项判断即可得出答案． 【详解】解：在中，， ， 故选项A结论错误，不合题意； 在中，， ， 不一定等于， 不一定正确， 故选项B结论错误，不合题意； 在中，， ， 故选项C结论正确，符合题意； 在中，， ， 故选项D结论错误，不合题意； 故选C． 9. 如图，在中，．分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，交于点，，作直线分别交，于点，，连接，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查作图基本作图，线段垂直平分线性质、等边对等角等知识．利用三角形内角和定理求出，再求出，，可得结论． 【详解】解：， ， 垂直平分， ， ， ， ， ， ，， ， ． 故选：D． 10. 在边长为4的正方形中，与相交于点，是同平面内的一动点，且，是中点，连接，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由是同平面内的一动点，，可得点为正方形外接圆上一点，延长至H，使，由是中点，可得为的中位线，即，由三角形两边之和大于第三边可知，当点O，E，H三点共线时，最小，利用勾股定理即可求出最小值，进而求解． 【详解】解：∵是同平面内的一动点，， ∴点为正方形外接圆上一点， 延长至H，使， ∵是中点， ∴为的中位线， ∴， 由三角形两边之和大于第三边可知，当点O，E，H三点共线时，最小， 过点O作于M， ∵为正方形，边长为4， ， ， ， ， ∴的最小值， 故选C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，正方形的外接圆，三角形中位线的性质，勾股定理，最短线段问题，画出图形，正确找到取最小值时点的位置是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共30分） 11. 函数y=中，自变量x的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件：分母不为0进行解答即可． 【详解】解：由题意得x−2≠0，即x≠2， 故答案为x≠2． 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围问题，掌握分式有意义的条件：分母不为0是解题的关键． 12. 把多项式分解因式的结果是___________. 【答案】a（2x+3y）（2x-3y） 【解析】 【详解】分析：原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可． 详解：原式=()=（2x+3y）（2x-3y）, 故答案为（2x+3y）（2x-3y）. 点睛：本题主要考查了提取公因式和平方差公式. 13. 不等式组的解集为________． 【答案】-2≤x≤1 【解析】 【分析】 【详解】解：由2x+1≤3得：x≤1， 由5≥3-x得：x≥－2． 故原不等式组的解集是：-2≤x≤1． 故答案为-2≤x≤1． 14. 一个扇形的半径为3cm，面积为，则此扇形的圆心角为______． 【答案】40°##40度 【解析】 【详解】解：根据题意得：=π， 解得：n=40°， 即圆心角的度数为40°． 故答案为∶40° 15. 一个口袋中装有2个红球、2个白球，每个球除颜色外都相同，随机从中一次摸出两球，摸到都是红球的概率是 ________． 【答案】 【解析】 【详解】解：列表如下： 红 红 白 白 红 （红，红） （红，白） （红，白） 红 （红，红） （红，白） （红，白） 白 （白，红） （白，红） （白，白） 白 （白，红） （白，红） （白，白） 一共有12种情况，从中一次摸出两球，摸到都是红球的概率是：．故答案为． 16. 如图，已知PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点．AC是⊙O 的直径，若∠P=80°，则∠BAC的度数为________． 【答案】40° 【解析】 【详解】解：∵PA、PB是⊙O的两条切线， ∴PA=PB， ∴∠PAB=∠PBA． ∵∠P=80°， ∴∠PAB=（180°-80°）÷2=50°． ∵AC是⊙O 的直径，A为切点， ∴∠PAC=90°， ∴∠BAC=90°－50°=40°． 故答案为40°． 17. 如图，每个图案均由边长相等的黑、白两色正方形按规律拼接而成，照此规律，第50个图案中白色正方形比黑色正方形多_____________个． 【答案】203 【解析】 【分析】本题考查了图形的变化规律探究，总结归纳出图的变化规律是解题的关键． 利用给出的三个图形寻找规律，发现白色正方形个数=总的正方形个数-黑色正方形个数，而黑色正方形个数第1个为1，第二个为2，由此寻找规律，总个数只要找到边与黑色正方形个数之间关系即可，依此类推，寻找规律为：第n个图案中白色正方形比黑色正方形多个，把代入规律计算即可． 【详解】解：第1个图形白色正方形共8个，黑色1个，白色比黑色多7个， 第2个图形比第1个图形白色比黑色又多了4个，即白色比黑色多个， 第3个图形比第2个图形白色比黑色又多了4个，即白色比黑色多个， … 类推，第n个图案中白色正方形比黑色正方形多个，即个， 故第n个图案中白色正方形比黑色正方形多个． ∴第50个图案中白色正方形比黑色正方形多：（个）． 故答案为：203． 18. 对任意有理数，定义关于“”的一种运算如下：，例如：， ．若，则的值为_____________． 【答案】2027 【解析】 【分析】本题考查新定义运算，解一元一次方程．已知等式利用已知新定义化简，得到关于x的方程，解方程即可求出x的值． 【详解】解：， ， 解得， 故答案为：2027． 19. 等腰中，为一腰，、、都是锐角，为边上的高，．则边的长为_____________． 【答案】5或 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的定义，勾股定理．分为腰，为底两种情况，当为腰时，；当为底时，，利用勾股定理先求出，再求出，最后再利用勾股定理即可求出边的长． 【详解】解：分两种情况： 当为腰时，； 当为底时，则， ， ， ， ， 综上可知，边长为5或． 故答案为：5或． 20. 如图，中，，分别是的中线、角平分线和高．下列结论∶①；②；③；④；⑤．其中结论正确的序号有_____________． 【答案】①②③⑤ 【解析】 【分析】在上截取，连接，利用等腰三角形的判定得到，从而求得，即可证得，则可得，可判断①；在上截取，连接，证明，得，，从而可得，继而可得到，即可判断②；根据中线定义得，，又由（1）知：，则，可判断③；利用举反例得到，即可判断④；利用勾股定理与①的结论，可得，即可判断⑤． 【详解】解：①如图，在上截取，连接， ，， ， ， ， ， ， ， ，故①正确． ②如图，在上截取，连接， 平分， ，即 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ，故②正确； ③∵分别是的中线， ∴， 由（1）知：， ∴，故③正确； ④∵，若设，则 ∴ ∵是的中线 ∴ ∵是角平分线， ∴ ∴ ∴ ∴，故④错误； ⑤∵是的高， ∴ ∴，， 由①知：，， ∴ ，故⑤正确． ∴正确的有①②③⑤ 故答案为：①②③⑤． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质、勾股定理是解题的关键． 三、解答题（21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分，共60分） 21. 先化简，再求值：，其中 【答案】， 【解析】 【分析】先对分式进行化简，计算括号里面的需进行通分，然后根据分式的乘除法进行计算；再代入特殊角的三角函数值求出x的值后代入进行计算，即可得出最后结果． 【详解】解：原式 ， 当时，原式； 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟记分式混合运算的运算法则以及特殊的三角函数值是解答本题的关键． 22. 下面有两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，请在方格纸中分别画出符合要求的图形，所画图形各顶点必须与方格纸中小正方形的顶点重合，具体要求如下： （1）在图（1）中，画一个面积为5的等腰直角三角形； （2）在图（2）中，画一个边长为2，面积为6的等腰三角形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据等腰直角三角形的定义画出图形即可． （2）作底为，高为的三角形即可． 【详解】解：（1）如图，△ABC即为所求． （2）如图，△ABC即为所求． 【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． 23. 为了参加市举办“科学发现杯”知识竞赛活动，我区开展了预赛，400名学生参加此次比赛，为了解此次竞赛情况：从中抽取一部分学生成绩统计如下（得分取整数，满分为100分） 分组 频数 频率 4 0.08 6 16 0.32 8 0.16 合计 1.00 （1）通过计算补全频数分布表． （2）补全频数分布直方图，这组数据的中位数落在第_____________组（填范围） （3）若90分以上成绩为优秀，估计我区获得优秀学生约有多少名？ 【答案】（1） 分组 频数 频率 4 0.08 6 0.12 16 0.32 16 0.32 8 0.16 合计 50 1.00 （2）图见解析，中位数落在这组 （3）64名 【解析】 【分析】（1）根据频数与频率定义求解即可； （2）根据（1）所填的第四组频数，可直接补全直方图即可；根据中位数的定义即可求解； （3）用样本的频率估计总体频数即可． 【小问1详解】 解：抽取的学生人数为：（名）， ∴这组的频率为， 这组的频数为：， 频率为． 故填表如下： 分组 频数 频率 4 0.08 6 0.12 16 0.32 16 0.32 8 0.16 合计 50 1.00 【小问2详解】 解：补全频数分布直方图如图， ∵共抽取的学生人数为50名， 中位数应为第25名与26名学生成绩的平均数， 由表可知前三组人数和为26， 故中位数落在第3组，即分数在范围内； 故答案为：； 【小问3详解】 解：（名）， 答：估计我区获得优秀学生约有64名． 24. 如图，在中，是边的中点，分别过点、作射线的垂线，垂足分别为、，连接、． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，在不添加辅助线的条件下，直接写出与面积相等的所有三角形 【答案】（1）见详解 （2）与面积相等的三角形有、、、、 【解析】 【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质得出，进而利用平行四边形的判定证明即可； （2）利用三角形的面积解答即可． 小问1详解】 证明：是中点， ， ，， ， 在与中， ， ， ， 四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：∵， ∴，， 由（1）可知四边形是平行四边形，则有， ∴与面积相等的三角形有、、、、． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及平行四边形的判定，关键是根据全等三角形的判定和性质得出． 25. 重百江津商场销售AB两种商品，售出1件A种商品和4件B种商品所得利润为600元，售出3件A商品和5件B种商品所得利润为1100元． （1）求每件A种商品和每件B种商品售出后所得利润分别为多少元？ （2）由于需求量大A、B两种商品很快售完，重百江津商场决定再次购进A、B两种商品共34件，如果将这34件商品全部售完后所得利润不低于4000元，那么重百江津商场至少购进多少件A种商品？ 【答案】（1）A种商品售出后所得利润为200元，B种商品售出后所得利润为100元；（2）重百商场至少需购进6件A种商品． 【解析】 【分析】（1）设A种商品售出后所得利润为x元，B种商品售出后所得利润为y元．由售出1件A种商品和4件B种商品所得利润为600元，售出3件A种商品和5件B种商品所得利润为1100元建立两个方程，构成方程组求出其解就可以； （2）设购进A种商品a件，则购进B种商品（34﹣a）件．根据获得的利润不低于4000元，建立不等式求出其解即可． 【详解】解：（1）设A种商品售出后所得利润为x元，B种商品售出后所得利润为y元．由题意， 得， 解得：， 答：A种商品售出后所得利润为200元，B种商品售出后所得利润为100元． （2）设购进A种商品a件，则购进B种商品（34﹣a）件．由题意，得 200a＋100（34﹣a）≥4000， 解得：a≥6 答：重百商场至少需购进6件A种商品． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，在解答过程中寻找能够反映整个题意的等量关系是解答本题的关键． 26. 如图，四边形内接于，连接，，． （1）如图1，求证：是的直径； （2）如图2，点E在弧上，连接，过点E作的切线交的延长线于点F，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，若，，，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）5 【解析】 【分析】（1）证明，得到，根据圆内接四边形对角互补求出，即可推出是的直径； （2）连接，根据切线的性质得到，结合圆周角定理推出，，再根据，得到，推出，即可求出； （3）先证明，得到，过点D作于点H， 证得，设，则，，根据勾股定理得，解得，求出，，，连接，证明，得到，即，即可求出． 【小问1详解】 ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是的直径； 【小问2详解】 连接， ∵是的切线， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 ∵， ∴， ∵ ∴ ∵，， ∴， ∵ ∴， ∴， 过点D作于点H，则， ∵， ∴， ∴ ∴， 设，则，， ∴， 解得， ∴， ∵ ∴， ∴， 连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得． 【点睛】此题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，切线的性质定理，全等三角形的判定和性质，（3）正确作出辅助线是此题的难点，熟练掌握各定理并综合运用是解题的关键． 27. 在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴的正半轴交于点C，且． （1）如图1，求k的值； （2）如图2，点P在第一象限对称轴右侧的抛物线上，轴交射线于点E，设点P的横坐标为t，线段的长为d，求d关于t的函数解析式(不要求写自变量t的取值范围)； （3）如图3，在（2）的条件下，作轴交x轴于点Z，点F在线段上，且，，交直线于点Q，当时，R是线段上的一点，过点R作平行于x轴，与线段交于点G，连接、，恰好使，延长交抛物线于点H，连接，求线段的长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）设，过点作轴于，交于点，根据三角函数可以得到，根据求出值，然后由求出解析式即可； （3）连接、、，则四边形为正方形，然后证明，求出，过点作轴交轴于点，得以证明，，进而得到结果即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴抛物线对称轴， 设点，， ， ， 解得， ，， 把代入抛物线解析式为， 解得， ， ； 【小问2详解】 解：设，过点作轴于，交于点， 轴， ， ， 在中，， 设，， 在中，， ， ， 在中，， ， 即 【小问3详解】 解：如图3，连接、、， 由题意可知，四边形为正方形，， 过作于，交于， ， ， ，， ， 又， ， ，， ，即， ， 解得， 点是中点， ， ， 过点作轴交轴于点， ，， ， ，， 轴， ， ， ， ， ，， 坐标为， 由勾股定理知． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，割补法求动点产生的面积问题，相似三角形的判定及性质，求三角函数值，掌握二次函数的性质，不规则图形面积求法，三角函数值的求法是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $