精品解析：江苏省南通市如东县、通州区、启东市、崇川区2024-2025学年高一上学期期末数学试题

2024~2025学年度第一学期期末学情检测 高一数学 注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷共4页，包含选择题（1~11，共58分）、填空题（第12题~第14题，共15分）、解答题（第17~22题，共70分）．本次考试时间120分钟，满分150分、考试结束后，请将答题卡交回． 2．答题前，请考生务必将自己的姓名、学校、班级、座位号、考试证号用0.5毫米的黑色签字笔写在答题卡上相应的位置，并将考试证号用2B铅笔正确填涂在答题卡的相应位置． 3．答题时请用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡指定区域作答．在试卷或草稿纸上作答一律无效． 4．如有作图需要，可用2B铅笔作图，并请加黑加粗，描写清楚． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集含义即可得到答案. 详解】根据交集含义知. 故选：C. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据由能不能推出及由能不能推出即可得答案. 【详解】解：由，可得或； 由可得且， 所以由不能推出，但由能推出， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 3. 式子的值为（ ） A. B. 10 C. 11 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意利用指数与指数幂的运算法则及对数的运算法则即可得到结果. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以. 故选：C. 4. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据任意角的三角函数的定义求出，再化简可求得结果. 【详解】由题意得， 所以. 故选：B 5. 若将函数的图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，再将图象向右平移个长度单位，则所得到的曲线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数图象变换规律结合题意求解即可. 【详解】将函数的图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，得， 再将图象向右平移个长度单位，得. 故选：A 6. 设，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】将分子上的1用，然后分子分母同除以，化为只含的式子，再代值计算即可. 【详解】因为， 所以 . 故选：A 7. 已知函数在上满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由求出的范围，然后结合正弦函数的图象可得，从而可求出的取值范围. 【详解】因为，所以， 因， 所以由图象可得， 解得. 故选：D 8. 若函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性，分和时，结合对数函数的性质讨论即可. 【详解】因为函数的值域为， 可知在内单调递减，则，解得， 可得当时，，即在内值域为，符合题意； 且在内不单调递减， 若在内单调递增，则，解得， 此时，符合题意； 若在内为常函数，则，解得， 此时，符合题意； 综上所述：实数的取值范围是． 故选：A． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列四个函数中，周期为，且在区间上单调递增的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据正弦、余弦、正切函数的性质一一判断即可. 【详解】对于A：当时，，所以， 但是在上单调递减，所以在上单调递减，故A错误； 对于B：函数的最小正周期， 当时，，又在上单调递增， 所以在上单调递增，故B正确； 对于C：函数的最小正周期且在上单调递增，故C正确； 对于D：函数的最小正周期，故D错误. 故选：BC 10. 已知函数，则下列结论中正确的有（ ） A. 函数在区间上单调递增 B. 直线是函数的一条对称轴 C. 函数的图象关于点中心对称 D. 若函数的图像关于轴对称，则正数的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，由求出的范围，再结合正弦函数的性质分析判断即可，对于BC，代入验证即可，对于D，由题意可得为偶函数，则，从而可求出结果. 【详解】对于A，由，得，得， 因为在上不单调，所以在上不单调，所以A错误； 对于B，因为，所以直线是函数的一条对称轴，所以B正确； 对于C，因为，所以函数的图象关于点中心对称，所以C正确； 对于D，因为，所以， 因为的图像关于轴对称，所以为偶函数， 所以，得， 所以正数的最小值为，所以D正确. 故选：BCD 11. 若函数是上的奇函数，且，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 函数的最大值为1 D. 若正实数满足，则的最小值为6 【答案】AC 【解析】 【分析】根据奇函数求出即可判断A选项，根据即可求出，根据单调性及其性质即可求解B选项，根据基本不等式即可求解C选项，令，，找出和的关系，结合导数即可求解D选项. 【详解】奇函数满足， 则，比较分子得， 解得，故A正确； 代入，得 ，解得， 故，设， 则， 因为，所以，，， 所以，所以在单调递增， 所以在时单调递增， 因为，所以， 故，故B错误； 当时，， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以，当时， ，， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以，所以最大值为，故C正确； 因为， 所以，其中， 令，所以， 所以， 所以，所以或， 当时，此时且， 因为，在单调递增， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 当时，令，则，， 所以，故D错误. 故选：AC. 【点睛】关键点点睛：本题D选项关键在于令，，找出和的关系. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 12. 已知幂函数经过点，则的值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意得，求出，再把点的坐标代入函数中可求出，从而可求出的值. 【详解】因函数为幂函数， 所以，得，所以， 因为幂函数图象过点， 所以，则，得，解得， 所以. 故答案为： 13. 已知，则_______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用诱导公式及同角公式计算得解. 【详解】由，得 . 故答案为： 14. 对于任意实数，符号表示“不超过的最大整数”，如，则_______；若函数，则的值域为_______． 【答案】 ①. 208 ②. 【解析】 【分析】令，然后分，，，和求出对应的的范围，再根据的定义可求出的值，先判断为偶函数，然后化简时的解析式，再根据正弦函数的性质可求出的值域，从而可求出的值域. 【详解】令，则， 令，则时，；时，； 时，；时，；时，， 所以 ； 的定义域为， 因为， 所以为偶函数， 所以， 当时，， 当且时，， 当且时，， 所以， 所以当时，， 当时，， 当时，， 所以的值域为. 故答案为：208， 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知全集，集合 （1）当时，求； （2）若“”是“”成立的必要不充分条件，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出集合，再求出，然后由交集的定义可求出； （2）由题意得，然后列不等式组可求出的取值范围. 【小问1详解】 当时，， 由，得，所以， 所以， 所以． 【小问2详解】 因为“”是“”成立的必要不充分条件，则“”是“”的充分不必要条件， 所以是的真子集，为的真子集． 因为，， 所以，且等号不同时成立， 解得， 经检验，实数的取值范围是． 16. 已知不等式的解集为． （1）求的值； （2）若不等式对于均成立，求实数取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据不等式解集得1和2是方程的两根，然后根据韦达定理建立的方程求解即可. （2）分和两种情况讨论，时利用判别式法列不等式组求解范围，最后求并集即可. 【小问1详解】 由题意知，1和2是方程的两根，. 由韦达定理可得，解得； 【小问2详解】 由（1）可知，则不等式对于均成立， 则当时，不等式恒成立； 当时，不等式对于均成立， 等价于，解得， 综上，可得． 17. 某企业拥有一台大功率的耗电设备，每天至少运行1小时，但不超过20小时．假设该设备每天运行小时，且每小时的平均耗电量千瓦与每天的运行时间满足如下函数关系： （1）当时，若该设备每小时的平均耗电量不超过2千瓦，求的取值范围； （2）求该设备一天的耗电总量的最小值及设备当天的运行时间． 【答案】（1） （2）耗电总量最小值为8千瓦，设备当天运行6小时 【解析】 【分析】（1）由题意列不等式，然后利用一元二次不等式的解法求解即可. （2）当时，利用基本不等式求解最小值，当时，利用二次函数性质求解最小值，然后比较即可求解. 【小问1详解】 当时，， 由题意得，， 即，解得， 又，所以的取值范围为． 【小问2详解】 由题意得，设设备一天的耗电总量为 ， ①当时，， 当且仅当，即时，等号成立； ②当时，， 当时取得最小值15； 因为，所以最小值为． 答：设备一天的耗电总量最小值为8千瓦，设备当天运行6小时． 18. 意大利著名画家达芬奇将两端固定的项链在重力的作用下自然下垂所形成的曲线称为“悬链线”．双曲余弦函数是一种特殊的悬链线函数，其相应的双曲正弦函数为，记函数． （1）判断函数的奇偶性并予以证明； （2）讨论函数的单调性； （3）若对于任意的，不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）奇函数，证明见解析 （2）单调递增 （3） 【解析】 【分析】（1）整理可得，结合奇函数定义分析判断即可； （2）整理可得，利用函数单调性的定义证明即可； （3）换元令，可得，求出最大值可得答案. 【小问1详解】 由题意得，为奇函数． 任意，都有， ，即为奇函数； 【小问2详解】 ， 对于任意的，且，则： 因为在上单调递增，， 所以， 所以， 即， 所以在上单调递增； 【小问3详解】 在上单调递增，， ， 令，即， 有，当时，等号成立 综上，． 19. 已知函数，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且经过点． （1）求函数的解析式； （2）当，方程有解，求实数的取值范围； （3）若方程在区间上恰有三个实数根，且，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意得，求出周期，再利用周期公式可求出，然后将点代入中可求出的值，从而可求出函数解析； （2）求得，则将问题转化为有解，然后由求出的范围，从而可求出实数的取值范围； （3）设，则将问题转化为方程在区间上恰有三个实数根，然后结合正弦函数的图象可求出的范围，从而可求出，进而可求出的取值范围． 【小问1详解】 设的最小正周期为，由题意得，得周期， 所以，得， 因为，所以， 所以， 因为的图象过点，所以，得， 因为，所以， 故． 【小问2详解】 ， 即有解， 由，得， 所以，所以， 所以，即． 【小问3详解】 ，设，则， 由“方程在区间上恰有三个实数根”， 得“方程在区间上恰有三个实数根”， 则的图象如下： 即， 由图得，，， 即， 综上． 【点睛】关键点点睛：此题考查由正弦函数的性质求正弦函数的解析式，考查函数与方程的综合问题，考查正弦函数和余弦函数的图象与性质，第（3）问解题的关键是通过换元后，将问题转化为方程在区间上恰有三个实数根，再结合正弦函数的图象求解，考查数学转化思想和数形结合的思想，属于较难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度第一学期期末学情检测 高一数学 注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷共4页，包含选择题（1~11，共58分）、填空题（第12题~第14题，共15分）、解答题（第17~22题，共70分）．本次考试时间120分钟，满分150分、考试结束后，请将答题卡交回． 2．答题前，请考生务必将自己的姓名、学校、班级、座位号、考试证号用0.5毫米的黑色签字笔写在答题卡上相应的位置，并将考试证号用2B铅笔正确填涂在答题卡的相应位置． 3．答题时请用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡指定区域作答．在试卷或草稿纸上作答一律无效． 4．如有作图需要，可用2B铅笔作图，并请加黑加粗，描写清楚． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 式子的值为（ ） A. B. 10 C. 11 D. 12 4. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 5. 若将函数的图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，再将图象向右平移个长度单位，则所得到的曲线的解析式为（ ） A B. C. D. 6. 设，则（ ） A. B. C. D. 1 7. 已知函数在上满足，则取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列四个函数中，周期为，且在区间上单调递增的有（ ） A B. C. D. 10. 已知函数，则下列结论中正确的有（ ） A. 函数在区间上单调递增 B. 直线是函数的一条对称轴 C. 函数的图象关于点中心对称 D. 若函数的图像关于轴对称，则正数的最小值为 11. 若函数是上的奇函数，且，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 函数的最大值为1 D. 若正实数满足，则的最小值为6 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 12. 已知幂函数经过点，则的值是_______． 13. 已知，则_______． 14. 对于任意实数，符号表示“不超过的最大整数”，如，则_______；若函数，则的值域为_______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知全集，集合 （1）当时，求； （2）若“”是“”成立的必要不充分条件，求的取值范围． 16. 已知不等式的解集为． （1）求的值； （2）若不等式对于均成立，求实数取值范围． 17. 某企业拥有一台大功率的耗电设备，每天至少运行1小时，但不超过20小时．假设该设备每天运行小时，且每小时的平均耗电量千瓦与每天的运行时间满足如下函数关系： （1）当时，若该设备每小时的平均耗电量不超过2千瓦，求的取值范围； （2）求该设备一天的耗电总量的最小值及设备当天的运行时间． 18. 意大利著名画家达芬奇将两端固定的项链在重力的作用下自然下垂所形成的曲线称为“悬链线”．双曲余弦函数是一种特殊的悬链线函数，其相应的双曲正弦函数为，记函数． （1）判断函数的奇偶性并予以证明； （2）讨论函数的单调性； （3）若对于任意的，不等式成立，求实数的取值范围． 19. 已知函数，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且经过点． （1）求函数解析式； （2）当，方程有解，求实数的取值范围； （3）若方程在区间上恰有三个实数根，且，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $