精品解析：山东省济南市市中区2024-2025学年八年级上学期期末考试数学模拟试题

山东省济南市市中区2024-2025学年 八年级上学期期末考试数学模拟试题 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. 3.14 C. 0 D. 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列四点中，在函数的图象上的点是（　　） A. B. C. D. 5. 有9名同学参加歌咏比赛，他们的预赛成绩各不相同，现取其中前4名参加决赛，小红同学在知道自己成绩的情况下，要判断自己能否进入决赛，还需要知道这9名同学成绩的( ) A. 众数 B. 中位数 C. 平均数 D. 极差 6. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，有四个格点，，，，建立直角坐标系，使点点关于轴对称，且点与点的横坐标互为相反数，则点的坐标是（　　） A. B. C. D. 7. 下面的四个命题中，真命题的是（ ） A. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B. 过一点有且仅有一条直线和已知直线平行 C. 如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 D. 同一平面内，垂直于同一条直线的两直线互相平行 8. 如图，在中，的垂直平分线交于点，垂足为点，平分，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（    ） A. B. C. D. 10. 如图，已知是等边三角形，点、分别在边、上，、交于点，．为角平分线，点在的延长线上，，连接、．①；②；③；④；其中说法正确的是（ ） A ①②④ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③④ 二．填空题（每小题4分，共24分） 11. 如果某数的一个平方根是﹣5，那么这个数是_____． 12. 如图，在校园内有两棵树相距12米，一棵树高14米，另一棵树高9米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞______米． 13. 如图，中，，，点是斜边的中点，点在射线上运动，点在射线上运动，且，若，，则的长为__________． 14. 若关于的分式方程有正数解，求的取值范围_____． 15. 如图，，平分，于，，已知，则______． 16. 如图，四边形是长方形纸片，，对折长方形纸片．使与重合，折痕为．展平后再过点B折叠长方形纸片，使点A落在上的点N，折痕为，再次展平，连接，，延长交于点G．有如下结论：①；②；③是等边三角形；④P为线段上一动点，H是线段上的动点，则的最小值是．其中正确结论的序号是______． 三、解答题（本大题共9个小题，共86分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 计算： （1）： （2）． 18. 解方程组： （1）； （2）． 19. 已知：平行四边形中，E、F是对角线上两点，连接，若．求证：． 20. 先化简，再求值，其中． 21. 已知：如图，点为对角线的中点，过点的直线与，分别相交于点，． 求证：． 22. 在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系是格点三角形（顶点在网格线的交点上）； （1）作出关于原点成中心对称的，并写出三个顶点坐标（_____），（_____），（_____）； （2）把向上平移4个单位长度得到，画出． （3）与成中心对称，请直接写出对称中心的坐标（_____）． 23. 阅读理解： 为打造陶子河沿岸的风景带，有一段长为360米的河道整治任务由A、B两个工程队先后接力完成，A工程队每天整治24米，B工程队每天整治16米，共用20天. （1）根据题意，甲乙两个同学分别列出了尚不完整的方程组如下： 甲： 乙： 根据甲、乙两名同学所列方程组，请你分别指出未知数，表示的意义，并且补全甲、乙两名同学所列的方程组： 甲：表示___________________，表示_______________； 乙：表示___________________，表示_______________； （2）求出其中一个方程组解，并回答A、B两工程队分别整治河道多少米？ 24. 某校八年级开展了《哪一款手机资费套餐更合适》项目学习．以下是小明同学活动报告的部分内容． 项目主题 哪一款手机资费套餐更合适 调查方式 资料查阅，实际访谈 调查内容 套餐名称 套餐内容 超出套餐资费 月费 流量 语音 流量 语音 A 90元 30GB 500分钟 3元/GB 0.1元/分钟 B 150元 60GB 1000分钟 套餐说明： 1．月资费=月费+超出套餐资费（流量超出费+语音超时费）． 2．套餐内，流量和语音均免费，只收取月费，超出套餐内容额外计费． 访谈内容 收集并整理妈妈近六个月的话费账单，发现她语音通话很少，每月最多不超过300分钟． 建立模型 1．语音通话没有超出套餐内容，所以只需研究流量与手机资费的关系．设妈妈每月手机资费（元），每月使用流量（GB）． A套餐：当时，； B套餐：当时，__________； 2．为了直观比较，在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象（如下图）． 根据以上报告内容，解决下列问题： （1）当时，求B套餐每月手机资费（元）与每月使用流量（GB）之间关系式； （2）在给出的平面直角坐标系中，画出B套餐的大致图象； （3）根据图象可知：当__________时，选择A套餐更合适；当__________时，选择B套餐更合适． 25. 如图1，△ABC中，，，．动点E以每秒1个单位长度的速度从点C出发向点B运动．到达点B后，又以每秒2个单位长度的速度返回点C．点E回到点C时停止运动．连接，设运动时间为t秒，的面积为y． （1）请分别求出当时，当时y关于t的函数表达式； （2）在给定的平面直角坐标系（如图2）中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象，求出的面积为3时t的值． 26. 如图，直线和直线与轴分别相交于两点，且两直线相交于点，直线与轴相交于点． （1）求出直线的函数表达式； （2）是轴上一点，若，求点的坐标； （3）若是直线上方且位于轴上一点，，判断的形状并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 山东省济南市市中区2024-2025学年 八年级上学期期末考试数学模拟试题 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. 3.14 C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是无理数的识别，掌握无理数的定义是关键．根据无理数是无限不循环小数解答即可． 【详解】解：A．是整数，属于有理数，故本选项不符合题意； B．是有限小数，属于有理数，故本选项不符合题意； C．是整数，属于有理数，故本选项不符合题意； D．是无理数，故本选项符合题意； 故选：D． 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形和轴对称图形，难度较小，解题的关键是掌握中心对称图形与轴对称图形的概念．中心对称图形绕某一点旋转后的图形与原来的图形重合，轴对称图形被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合，据此逐一判断即可． 【详解】解：A．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； B．该图是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意； C．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； D．该图不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意； 故选：B． 3. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的加减法以及二次根式的乘法运算进行计算即可． 【详解】A. 与，不是同类二次根式不能合并，故A选项不正确； B. 与，不是同类二次根式不能合并，故B选项不正确； C. ,计算正确，故C选项正确 D. 与不是同类二次根式不能合并，故D选项不正确； 故选C 【点睛】本题考查了二次根式的加减法以及二次根式的乘法，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 4. 下列四点中，在函数的图象上的点是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查对一次函数图象上点的坐标特征的理解和掌握，能根据点的坐标判断是否在函数的图象上是解此题的关键． 只要把点坐标代入一次函数的解析式，若左边右边，则点在函数的图象上，反之就不在函数的图象上，代入检验即可． 【详解】解：A、把代入得：左边，右边，左边右边，故此选项不符合题意； B、把代入得：左边，右边，左边右边，故此选项符合题意； C、把代入得：左边，右边，左边右边，故此选项不符合题意； D、把代入得：左边，右边，左边右边，故此选项不符合题意． 故选：B． 5. 有9名同学参加歌咏比赛，他们的预赛成绩各不相同，现取其中前4名参加决赛，小红同学在知道自己成绩的情况下，要判断自己能否进入决赛，还需要知道这9名同学成绩的( ) A. 众数 B. 中位数 C. 平均数 D. 极差 【答案】B 【解析】 【详解】9人成绩的中位数是第5名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前4名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可． 解答：解：由于总共有9个人，且他们的分数互不相同，第5的成绩是中位数，要判断是否进入前5名，故应知道中位数的多少． 故选B． 6. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，有四个格点，，，，建立直角坐标系，使点点关于轴对称，且点与点的横坐标互为相反数，则点的坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据点关于轴对称，可确定轴的位置，根据点与点的横坐标互为相反数，可确定轴的位置，即可求解，本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标，解题的关键是：根据已知条件确定轴、轴的位置． 【详解】解：点点关于轴对称，点与点的横坐标互为相反数， 确定坐标系，如图： 由图可知，点坐标为：， 故选：． 7. 下面的四个命题中，真命题的是（ ） A. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B. 过一点有且仅有一条直线和已知直线平行 C. 如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 D. 同一平面内，垂直于同一条直线的两直线互相平行 【答案】D 【解析】 【分析】由对顶角的性质判断C，由平行线的性质和平行公理判断B、A、D． 【详解】解：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故选项A错误； 没有说明点在直线外，故选项B错误； 对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角，故选项C错误； 同一平面内，垂直于同一条直线的两直线互相平行，故选项D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了对顶角及平行线的性质、平行公理，掌握对顶角和平行线性质是解决本题的关键． 8. 如图，在中，的垂直平分线交于点，垂足为点，平分，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和的性质，解题的关键是灵活运用相关的性质进行求解．根据线段垂直平分线的性质可得，则，由平分可得，，再根据三角形内角和定理，求解即可． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴ 又∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 9. 在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】本题考查正比例函数的图象、一次函数的图象等知识点，明确题意、利用正比例函数和一次函数的性质是解题的关键． 根据正比例图象函数和一次函数图象的性质确定两函数a的取值范围，若矛盾则不符合题意，据此即可解答． 【分析】解：A．由函数得，与图像矛盾，故本选项不符合题意； B．函数所过象限错误，故本选项不符合题意； C．函数所过象限错误，故本选项不符合题意； D．由函数得，与图像的一致，故本选项符合题意． 故选：D． 10. 如图，已知是等边三角形，点、分别在边、上，、交于点，．为的角平分线，点在的延长线上，，连接、．①；②；③；④；其中说法正确的是（ ） A. ①②④ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． 证明，从而得出，即可判断①；作交的延长线于，作于，可证明，得到，，，即可证明得到，从而得出是等边三角形，即可判断②；由，若，则，从而，这与相矛盾，即可判断③；根据④，，，即可判断④． 【详解】解：①是等边三角形， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，故①正确，符合题意； ②如图，作交的延长线于，作于， ， ， 为的角平分线， ， ， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ，，， ， 由①知， ， ， ， ，即， 在和中， ， ， ，， ，即， 是等边三角形， ，故②正确，符合题意； ③由②知，， 若，则，从而，这与相矛盾，故③错误，不符合题意； ④，， ， 即， ， ，故④正确，符合题意； 综上所述，正确的有①②④， 故选：A． 二．填空题（每小题4分，共24分） 11. 如果某数的一个平方根是﹣5，那么这个数是_____． 【答案】25 【解析】 【分析】利用平方根定义即可求出这个数. 【详解】设这个数是x（x≥0），所以x＝（-5）2＝25. 【点睛】本题解题的关键是掌握平方根的定义. 12. 如图，在校园内有两棵树相距12米，一棵树高14米，另一棵树高9米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞______米． 【答案】13 【解析】 【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的顶端进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出． 【详解】如图所示， AB，CD为树，且AB＝14米，CD＝9米，BD为两树距离12米， 过C作CE⊥AB于E， 则CE＝BD＝12，AE＝AB−CD＝5， 在直角三角形AEC中， AC＝＝＝13． 答：小鸟至少要飞13米． 故答案为：13． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，关键是从实际问题中构建出数学模型，转化为数学知识，然后利用直角三角形的性质解题． 13. 如图，中，，，点是斜边的中点，点在射线上运动，点在射线上运动，且，若，，则的长为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定；分两种情况讨论，当点在线段上时，当点在的延长线上时，证明，得出，结合图形，即可求解． 【详解】解：当点在线段上时，如图所示，连接， ∵中，，，点是斜边的中点， ∴，， 又∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴ ∴， ∵，， ∴； 当点在的延长线上时，如图所示 同理可得， 则 ∴ 故答案为：或． 14. 若关于的分式方程有正数解，求的取值范围_____． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查分式方程；掌握分式方程的求解方法，切勿遗漏分式方程的增根情况是解题的关键．解分式方程得到，结合已知可得，同时注意，分式方程中，，所以，则可求的取值范围． 【详解】解：分式方程两边同时乘以，得 ， 整理，得， 解得， 方程有正数解， ， ， 解得， ，， ， ∴且， 的取值范围是且， 故答案为：且． 15. 如图，，平分，于，，已知，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】过点作于点，首先证明，易得，再结合角平分线的定义可得，可推导，由三角形外角的性质可得；根据直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半可知，在中由勾股定理可求得，即可求得；证明，由全等三角形的性质可得． 【详解】解：如下图，过点作于点， ∵，， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， ∵平分，，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、三角形外角的定义和性质、平行线的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半等知识，解题关键是熟练运用角平分线的性质、直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半． 16. 如图，四边形是长方形纸片，，对折长方形纸片．使与重合，折痕为．展平后再过点B折叠长方形纸片，使点A落在上的点N，折痕为，再次展平，连接，，延长交于点G．有如下结论：①；②；③是等边三角形；④P为线段上一动点，H是线段上的动点，则的最小值是．其中正确结论的序号是______． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】①连接，易得是等边三角形，得到，进而得到，推出，从而得到；②根据所对的直角边是斜边的一半，求出；③由①即可得到是等边三角形；④点与点关于对称，，当三点共线时，的值最小为的长，过点作，交于点，交于点，此时最小，进行求解即可． 【详解】解：①连接， ∵对折长方形纸片．使与重合，折痕为， ∴， ∵过点B折叠长方形纸片，使点A落在上的点N，折痕为， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴；故①正确； ②∵，， ∴；故②错误； ③∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形；故③正确； ④由题意，得：点与点关于对称， ∴， ∴当三点共线时，的值最小为的长， 过点作，交于点，交于点，此时最小， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴的值最小为；故④正确； 综上：正确的是①③④； 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查矩形的折叠问题，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定，含的直角三角形，利用轴对称解决线段和最小问题．本题的综合性较强，熟练掌握矩形的性质，折叠的性质，证明三角形全等，是解题的关键． 三、解答题（本大题共9个小题，共86分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 计算： （1）： （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了实数的运算、二次根式的混合运算： （1）利用平方差公式和二次根式的乘法计算，再合并即可； （2）先开方，计算零指数幂，负整数幂，化简绝对值，再计算加减即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 解方程组： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组，选择合适的方法是快速解题的关键． （1）方程组利用代入消元法求出解即可； （2）方程组利用加减消元法求出解即可． 【小问1详解】 解： 将代入，得：， 解得， 将代入，得：， 因此该方程组解为； 【小问2详解】 解： ，得：， 将代入，得：， 解得， 因此该方程组的解为． 19. 已知：平行四边形中，E、F是对角线上两点，连接，若．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】先根据平行四边形的性质得出，，再由平行线的性质得出，最后直接利用角边角证明即可． 【详解】∵四边形为平行四边形 ∴，， ∴， 在和中， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质和全等三角形的判定定理，熟练掌握知识点并能够灵活运用解题的关键． 20. 先化简，再求值，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， 当时，原式． 21. 已知：如图，点为对角线的中点，过点的直线与，分别相交于点，． 求证：． 【答案】详见解析 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得出，，进而得出，，再证明，根据全等三角形的性质得出，再利用线段的差得出，即可得出结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵点为对角线的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，正确理解题意是解题的关键． 22. 在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系是格点三角形（顶点在网格线的交点上）； （1）作出关于原点成中心对称的，并写出三个顶点坐标（_____），（_____），（_____）； （2）把向上平移4个单位长度得到，画出． （3）与成中心对称，请直接写出对称中心的坐标（_____）． 【答案】（1），， （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】此题考查中心对称图形的画法，平移图形的画法，中心对称的性质及平移的性质，对称中心的确定方法，正确掌握中心对称的性质及平移的性质是解题的关键. （1）根据中心对称的性质作出点A、B、C的对应点，，，然后顺次连接即可； （2）根据平移特点先作出点，，平移后的对应点，，，然后顺次连接即可； （3）连接两组对称点的交点即为对称中心，然后根据中点坐标公式求出此点的坐标即可． 【小问1详解】 解：如图，为所求作的三角形； 根据图可知，，，． 【小问2详解】 解：如图，为所求作的三角形； 【小问3详解】 解：连接、，则、的交点即为对称中心， ∵，， ∴对称中心的坐标为， 即对称中心的坐标为． 故答案为：． 23. 阅读理解： 为打造陶子河沿岸风景带，有一段长为360米的河道整治任务由A、B两个工程队先后接力完成，A工程队每天整治24米，B工程队每天整治16米，共用20天. （1）根据题意，甲乙两个同学分别列出了尚不完整的方程组如下： 甲： 乙： 根据甲、乙两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数，表示的意义，并且补全甲、乙两名同学所列的方程组： 甲：表示___________________，表示_______________； 乙：表示___________________，表示_______________； （2）求出其中一个方程组的解，并回答A、B两工程队分别整治河道多少米？ 【答案】（1）A队的工作时间，B队的工作时间；A队的工作量，B队的工作量；补全所列方程组见解析 （2）A队整治河道120米，B队整治河道240米 【解析】 【分析】（1）根据甲、乙两名同学所列的方程组可得，甲：x表示A队的工作时间，y表示B队的工作时间；乙：x表示A队的工作量，y表示B队的工作量，补全方程组即可； （2）根据二元一次方程组的解法求解方程组甲． 【小问1详解】 解：甲：， 乙：； 甲：x表示A队的工作时间，y表示B队的工作时间；乙：x表示A队的工作量，y表示B队的工作量； 故答案为：A队的工作时间，B队的工作时间；A队的工作量，B队的工作量． 【小问2详解】 解： 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴方程组的解为：， 则，， 答：A队整治河道120米，B队整治河道240米． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，正确找出题目中的相等关系，列方程组求解． 24. 某校八年级开展了《哪一款手机资费套餐更合适》项目学习．以下是小明同学活动报告的部分内容． 项目主题 哪一款手机资费套餐更合适 调查方式 资料查阅，实际访谈 调查内容 套餐名称 套餐内容 超出套餐资费 月费 流量 语音 流量 语音 A 90元 30GB 500分钟 3元/GB 0.1元/分钟 B 150元 60GB 1000分钟 套餐说明： 1．月资费=月费+超出套餐资费（流量超出费+语音超时费）． 2．套餐内，流量和语音均免费，只收取月费，超出套餐内容额外计费． 访谈内容 收集并整理妈妈近六个月的话费账单，发现她语音通话很少，每月最多不超过300分钟． 建立模型 1．语音通话没有超出套餐内容，所以只需研究流量与手机资费的关系．设妈妈每月手机资费（元），每月使用流量（GB）． A套餐：当时，； B套餐：当时，__________； 2．为了直观比较，在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象（如下图）． 根据以上报告内容，解决下列问题： （1）当时，求B套餐每月手机资费（元）与每月使用流量（GB）之间的关系式； （2）在给出的平面直角坐标系中，画出B套餐的大致图象； （3）根据图象可知：当__________时，选择A套餐更合适；当__________时，选择B套餐更合适． 【答案】（1） （2）见解析 （3）， 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用： （1）依据题意，当时，由题意代入计算可以得解； （2）依据题意，结合（1）进行分析即可作图； （3）依据题意，由（2）的图象进行判断可以得解． 【小问1详解】 由题意得，． 【小问2详解】 由题意，结合（1）当时，；当时，，进而作图如下． 【小问3详解】 由题意，当时，选择A套餐更合适；当时，选择B套餐更合适． 故答案为：，． 25. 如图1，△ABC中，，，．动点E以每秒1个单位长度的速度从点C出发向点B运动．到达点B后，又以每秒2个单位长度的速度返回点C．点E回到点C时停止运动．连接，设运动时间为t秒，的面积为y． （1）请分别求出当时，当时y关于t的函数表达式； （2）在给定的平面直角坐标系（如图2）中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象，求出的面积为3时t的值． 【答案】（1）①当时，y关于t的函数表达式是，②当时，y关于t的函数表达式是， （2）画图见解析，当时，函数有最大值为4 （3）t的值为3或 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，三角形面积，一次函数的图象及性质，会进行分类讨论时解本题的关键； （1）分两种情况讨论，由三角形面积公式可得出答案； （2）由题意画出图象，由一次函数的性质可得出结论； （3）令即可得出答案． 【小问1详解】 E以每秒1个单位长度的速度从点C出发向点B运动，设运动时间为t秒， ①当时，， ， 当时，y关于t的函数表达式是； ②当时， ， ， 当时，y关于t的函数表达式是， 【小问2详解】 由（1）得，， 函数图象如图： 该函数的一条性质：当时，函数有最大值为4．（答案不唯一） 【小问3详解】 的面积为3，即， 将代入中得： ，且符合要求． 将代入得，，且符合要求． 当t的值为3或时，的面积为3． 26. 如图，直线和直线与轴分别相交于两点，且两直线相交于点，直线与轴相交于点． （1）求出直线的函数表达式； （2）是轴上一点，若，求点的坐标； （3）若是直线上方且位于轴上一点，，判断的形状并说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）是等腰直角三角形 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积，一次函数的性质，勾股定理与逆定理，等腰直角三角形的判定等知识．解题的关键是： （1）先求点A的坐标，然后求点B的坐标，最后把B、D的坐标代入函数解析式求解即可； （2）把、函数解析式联立方程组，求出点C的坐标，然后国库三角形面积公式求解即可； （3）设直线与y轴交于点E，过点C作轴于点G，可证，求出点F的坐标，然后利用勾股定理的逆定理求解即可． 【小问1详解】 解：当时，，解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的函数表达式为， 把，代入， 得， 解得， ∴直线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：联立方程组， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴或； 【小问3详解】 解：是等腰直角三角形 理由：设设直线与y轴交于点E，过点C作轴于点G， ∵ ∴， 对于，当，则， ∴， ∴， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，，， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$