精品解析：重庆市第一中学2024-2025学年八年级下学期自主消化（二）数学试题

重庆一中初2026届初二下阶段性消化作业（二） 数学试题 （本试题共三个大题，26个小题，满分150分，时间120分钟） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请在答题卡中将正确答案所对应的方框涂黑． 1. 点P（－1，3）在 A 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 下列图标，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 函数中自变量的取值范围是（　　） A. B. C. D. 4. 甲、乙、丙三名男生进行跳远测试，每人10次跳远成绩平均数都是，方差分别是，则这三名同学跳远成绩最稳定的是（　　） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 无法比较 5. 下列各式从左到右变形正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，将三角形向右平移得到三角形，且点在同一条直线上，若，，则的长为（ ） A B. C. D. 7. 《孙子算经》中有一道题，大意为：今有若干人乘车，每4人共乘一车，最终剩余1辆车；若每3人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有人，辆车，可列方程组（　　） A. B. C. D. 8. 在中，，将绕点逆时针旋转得到．如图，在旋转过程中，连接，交于点，当时，为（　　） A. B. C. D. 9. 关于的方程的解是非负整数，且关于的不等式组有且仅有3个整数解，则满足条件的所有整数的和为（ ） A. 8 B. 12 C. 15 D. 18 10. 给定一列数，我们把这列数中第一个数记，第二个数记为，第三个数记为，以比类推，第n个数记为．已知，并规定：，．下列说法： ①； ②； ③对于任意正整数k，都有成立． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上． 11. 将多项式进行因式分解：______． 12. 若关于的方程是二元一次方程，则的值为______． 13. 一次函数与的图象如图所示，观察图象直接写出关于的方程组的解是______． 14. 如图，在中，，点在线段上，当时，的长度为_______． 15. 设是一个三角形三边长，则_______0．（填） 16. 如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，把直线AB绕点B顺时针旋转30°交x轴于点C，则线段AC长为______________． 17. 如图，，射线交线段于点于点于点平分交的延长线于点，连接并延长交的延长线于点．若将点沿翻折，点刚好落在点处，此时，连接，则的面积为_______． 18. 如果一个各数位上的数字均不为的四位自然数，满足，则称这个四位数为“倍差等和数”．例如：四位数，，，是“倍差等和数”；又如：四位数，，不是“倍差等和数”．最小的“倍差等和数”为_____；若“倍差等和数”能被整除，令，且为整数，则满足条件的数的最大值为_________． 三、解答题：（本大题8个小题，19题8分，20~26题每小题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 化简： （1） （2）． 20. 化简求值：，其中为不等式组的整数解． 21. 如图，在中，． （1）求作边的垂直平分线，交于点，交于点，连接．（要求：尺规作图，不写作法，保留作痕迹） （2）若，求的度数，请根据以下的思路完成下列填空． 解：∵， ∴① （等边对等角） 又∵是的垂直平分线 ∴② （中垂线的性质） ∴ ∵ ∴③ （等量代换） ∴ ∵ ∴ ∴④ （三角形的内角和为） ∴ 由上述证明可得：在等腰三角形（腰长大于底边长）中，作一条腰的中垂线交另一腰于一点，当此点与此等腰三角形顶点的距离与底边长度相等时，则这个等腰三角形的顶角为⑤ 度，人们称具有此特征的等腰三角形为“黄金三角形”． 22. 进入冬季，为增强师生安全意识，某校开展了全校师生参与的安全知识竞赛，现从七、八年级中各随机抽取了名学生的竞赛成绩进行分析，把成绩分成四个等级：；：；：；：，并将相关数据统计、整理如下： ①抽取七年级学生的竞赛成绩在：的分数是：，，，，，，，，，； ②抽取八年级学生的竞赛成绩中有人得分，27人得“优秀”，优秀率为． 七、八年级安全知识竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 中位数 众数 请根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： ， ， ，并补全频数分布直方图； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级的知识竞赛成绩更好？请说明理由(写出一条理由即可)； （3）若该校七、八年级各有名学生，请你估计七、八年级本次竞赛成绩达到“优秀”等级的学生总共有多少人其中成绩不低于的为优秀)？ 23. 如图1，在梯形中，，点E在边上且．动点P，Q同时从点E出发，点P以每秒1个单位长度沿折线方向运动到点D停止，点Q以每秒2个单位长度沿折线方向运动到点C停止．设运动时间为t秒，的面积为y． （1）请直接写出y关于t的函数表这式并注明自变量t的取值范围； （2）如图2，在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质 ； （3）结合函数图象，若直线与函数图象有1个交点，则t的取值范围是 ． 24. 新年将至，小宏记录了他家连续两天购买两种年货（两次购买年货时单价不变）的名目：第一天购买5个A种年货和4个B种年货共元；第二天购买3个A种年货和2个B种年货共元． （1）小宏的爸爸看了后，说他的记录错误，请帮他说明错误理由； （2）原来，小宏把第一天的费用元写成了元，修正后求出每个A种年货单价元，每个种年货单价元，小宏一家决定再次购买两种年货共个，设总费用元，且总费用低于元但不少于元，请问有几种购买方案？并请求出花费最高的购买方案． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于两点，点与点关于轴对称，为线段上一点，直线与交于点，且． （1）求直线的解析式； （2）为直线上一动点，当，求点坐标； （3）如图2，将绕点逆时针旋转，得到，直线与射线分别交于，则当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出的长度． 26. 在中，点D在上，连接，若，，将绕着点A顺时针旋转度得到线段． （1）如图1，点E在线段上，若，求的度数； （2）如图2，点E在线段的延长线上，连接、，点F在上，连接，若，，求证：； （3）如图3，若，，与交于点O，点P为线段上一动点，连接，将沿所在直线翻折到所在平面内得到，连接，在所在平面内将点M绕着点B逆时针旋转得到点N，连接、，当取得最大值时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆一中初2026届初二下阶段性消化作业（二） 数学试题 （本试题共三个大题，26个小题，满分150分，时间120分钟） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请在答题卡中将正确答案所对应的方框涂黑． 1. 点P（－1，3）在 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】平面直角坐标系内各个象限内的点的坐标的符号特征：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）. 【详解】点P（－1，3）在第二象限， 故选B. 【点睛】本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握各个象限内的点的坐标的符号特征，即可完成. 2. 下列图标，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的知识，掌握以上知识是解题的关键； 本题根据中心对称图形定义即可求解； 【详解】解：根据中心对称图形定义“在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形”，然后逐一分析选项，只有选项B能与原图形重合，选项A、C、D都不符合； 故选：B； 3. 函数中自变量的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的知识点为二次根式的被开方数是非负数，函数自变量取值范围，掌握以上知识点是解题的关键； 根据被开方数大于等于0列出不等式，解出不等式即可求解 【详解】解：∵被开方数大于等于0， ∴， 解得： 4. 甲、乙、丙三名男生进行跳远测试，每人10次跳远成绩的平均数都是，方差分别是，则这三名同学跳远成绩最稳定的是（　　） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 无法比较 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．根据方差的意义求解即可． 【详解】解：， 这三名同学跳远成绩最稳定的是丙， 故选：C． 5. 下列各式从左到右变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式的性质，利用分式的性质逐项判断即可． 【详解】解：A. ，原选项变形不正确，则A不符合题意； B. ，原选项变形错误，则B不符合题意； C. ，变形正确，故选项C符合题意； D. ，原选项变形错误，则D不符合题意； 故选：C． 6. 如图，将三角形向右平移得到三角形，且点在同一条直线上，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，由平移得，进而可得，据此即可求解，掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：由平移得，， ∴， ∴， ∴， 故选：． 7. 《孙子算经》中有一道题，大意为：今有若干人乘车，每4人共乘一车，最终剩余1辆车；若每3人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有人，辆车，可列方程组（　　） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键； 设共有人，辆车，根据“每4人共乘一车，最终剩余1辆车；若每3人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘”即可得到关于、二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设共有人，辆车， 根据每4人共乘一车，最终剩余1辆车，可列等式， 根据每3人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，可列等式， 故选：C； 8. 在中，，将绕点逆时针旋转得到．如图，在旋转过程中，连接，交于点，当时，为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查三角形内角和定理、旋转的性质、等腰三角形的判定和性质以及平行线的性质，根据三角形内角和定理求得，结合旋转的性质得，则，利用平行线的性质得，进一步利用三角形内角和定理即可求得． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得到 ∴， ∴， ∵ ∴， 则， 故选：B． 9. 关于的方程的解是非负整数，且关于的不等式组有且仅有3个整数解，则满足条件的所有整数的和为（ ） A. 8 B. 12 C. 15 D. 18 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解及一元一次方程的解．先根据所给方程的解为非负整数，得出的取值范围，再结合所给不等式组的整数解只有3个即可解决问题． 【详解】解：由方程得：， ∵关于的方程的解是非负整数， ∴， 解得， 解不等式组得：， ∵此不等式组有且仅有3个整数解， ∴， 解得：， ∴， ∵关于的方程的解是非负整数，， ∴符合条件的所有整数的和是：， 故选：A． 10. 给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以比类推，第n个数记为．已知，并规定：，．下列说法： ①； ②； ③对于任意正整数k，都有成立． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查与分式的运算有关的规律探究，熟练掌握分式的运算是解题的关键，根据题意，找到循环周期和规律，逐一计算判断即可得到答案． 详解】解：∵，， ∴，，，， 即：这列数以，，，，每四个为一个周期循环， ， ∴，，故①正确； ∵ ∴， ， ， ， ， ∴， 由此可得、都是以4个数为一周期的数列， ∵， ，故②正确； ∴，， ∴ ∵ ， ， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确； 综上所述：正确的有①②③，共3个． 故选：D． 二、填空题：（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上． 11. 将多项式进行因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等； 本题先提公因式，然后即可求解； 【详解】解：； 故答案为：； 12. 若关于的方程是二元一次方程，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的概念，含有两个未知数，并且未知数的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程，熟知二元一次方程的定义是解题的关键． 根据二元一次方程的定义可得，进一步即可求出结果． 【详解】解：根据题意，得，， 解得：， 故答案为： 13. 一次函数与的图象如图所示，观察图象直接写出关于的方程组的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了两直线的交点与二元一次方程组的解，数形结合是解题的关键．根据一次函数与的图象可知交点的横坐标和纵坐标即可知的值为方程组的解． 【详解】解：∵一次函数与的图象交点的横坐标为，纵坐标为， ∴是方程组的解 故答案为： 14. 如图，在中，，点在线段上，当时，的长度为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．先求得，设，则，再根据勾股定理得，列出方程得，求解即可． 【详解】解：在中，， ， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ， 故答案为： 15. 设是一个三角形的三边长，则_______0．（填） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系和完全平方公式、平方差公式．熟练掌握三角形的任意两边之和大于第三边是解题的关键．根据三边关系得到，，即，结合完全平方公式和平方差公式将，进行判断即可． 【详解】解：∵，，是三角形的三条边长， ∴，，即， ∴， 故答案为：． 16. 如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，把直线AB绕点B顺时针旋转30°交x轴于点C，则线段AC长为______________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据一次函数表达式求出点A和点B坐标，得到△OAB为等腰直角三角形和AB的长，过点C作，垂足为D，证明△ ACD为等腰直角三角形，设CD= AD=x，结合旋转的度数，用两种方法表示出BD，得到关于x的方程，解之即可． 【详解】解：一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A，B 令，则；令，则 则A（，0），B（0，） 则△OAB为等腰直角三角形， 过点C作，垂足为D △ ACD为等腰直角三角形，设CD= AD=x 由旋转的性质可知 解得 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算，知识点较多，解题的关键是作出辅助线，构造特殊三角形． 17. 如图，，射线交线段于点于点于点平分交的延长线于点，连接并延长交的延长线于点．若将点沿翻折，点刚好落在点处，此时，连接，则的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理、翻折性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质，利用等角对等边证明是解答的关键．先利用同角的余角相等得到，再证明得到，，然后证明，得到，进而利用等角对等边得到，设，，结合翻折性质得到，，，然后利用勾股定理求得，最后由求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵平分交的延长线于点， ∴，又，， ∴， ∴，又， ∴， ∴， ∵， ∴设，，则， ∵将点沿翻折，点刚好落在点处， ∴，则,， 中，，，， 由勾股定理得，则， 解得， ∴ ， 即的面积为． 故答案为：． 18. 如果一个各数位上的数字均不为的四位自然数，满足，则称这个四位数为“倍差等和数”．例如：四位数，，，是“倍差等和数”；又如：四位数，，不是“倍差等和数”．最小的“倍差等和数”为_____；若“倍差等和数”能被整除，令，且为整数，则满足条件的数的最大值为_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题是新定义型，主要考查整式的加减的应用，不等式性质，难度大，理解新定义， 当“倍差等和数”为最小时，从最高数位为1开始，依次增大，逐步分析讨论即可的结论；若为整数，根据已知条件分析讨论即可得到答案．根据题意找出数量关系，分析讨论确定、、、的值是解决问题的关键． 【详解】解：①当“倍差等和数”为最小时， 若最高位上，则时，，不符合各数位上的数字均不为的四位自然数要求； 若最高位上，设，由，由可知，此情况不成立； 若最高位上，设，则， 在，且“倍差等和数”为最小时，取，，则此时的四位数为； ②为整数， 或2或3或4或6或12， ， ， 为奇数， ①当时，，， ，，解得，不是自然数，不合题意舍去； ②当时，，， ，，解得，不是自然数，不合题意舍去， ③当时，，或，， 当，时，，，解得，不合题意舍去； 当，时，，，解得，不是自然数，不合题意舍去； ④当时，若，， ，，解得，不是自然数，不合题意舍去； ⑤时，，或，， 当，时，，，解得，不是自然数，不合题意舍去； 当，时，，，解得， 能被整除，，， 能被整除， 求满足条件的数的最大值， ，则， 此时的数为； ⑥当时，，或，， 当，时，，，解得，不是自然数，不合题意舍去； 当，时，，，解得， 能被整除，，， 能被整除， 求满足条件的数的最大值， ，则， 此时的数为； ， 满足条件的数的最大值为， 故答案为：；． 三、解答题：（本大题8个小题，19题8分，20~26题每小题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 化简： （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查分式的运算和整式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据平方差公式和单项式乘多项式法则计算即可； （2）根据分式的混合运算法则，平方差公式，完全平方公式计算即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 20. 化简求值：，其中为不等式组的整数解． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值、解一元一次不等式组，熟练掌握分式的化简和解一元一次不等式组的方法是解题的关键． 根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后从不等式的解集中选取使得原分式有意义的整数代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】解： ， 由不等式组得：， ∵，，，是整数， ∴， 当时，原式． 21. 如图，在中，． （1）求作边的垂直平分线，交于点，交于点，连接．（要求：尺规作图，不写作法，保留作痕迹） （2）若，求的度数，请根据以下的思路完成下列填空． 解：∵， ∴① （等边对等角） 又∵是的垂直平分线 ∴② （中垂线的性质） ∴ ∵ ∴③ （等量代换） ∴ ∵ ∴ ∴④ （三角形的内角和为） ∴ 由上述证明可得：在等腰三角形（腰长大于底边长）中，作一条腰的中垂线交另一腰于一点，当此点与此等腰三角形顶点的距离与底边长度相等时，则这个等腰三角形的顶角为⑤ 度，人们称具有此特征的等腰三角形为“黄金三角形”． 【答案】（1）见解析 （2）；；；； 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作线段垂直平分线、线段垂直平分线的性质、等边对等角、三角形内角和定理等知识，熟练掌握尺规作线段垂直平分线、线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）根据尺规作线段垂直平分线的作法，作出边的垂直平分线，交于点，交于点，连接即可； （2）根据线段垂直平分线的性质、等边对等角，推出，结合三角形内角和为，得出，求出的度数，根据证明得出结论即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求， ； 【小问2详解】 解：∵， ∴（等边对等角）， 又∵是的垂直平分线， ∴（中垂线的性质）， ∴， ∵， ∴（等量代换）， ∴， ∵， ∴， ∴（三角形的内角和为）， ∴， 由上述证明可得：在等腰三角形（腰长大于底边长）中，作一条腰的中垂线交另一腰于一点，当此点与此等腰三角形顶点的距离与底边长度相等时，则这个等腰三角形的顶角为度，人们称具有此特征的等腰三角形为“黄金三角形”． 故答案为：；；；；． 22. 进入冬季，为增强师生安全意识，某校开展了全校师生参与的安全知识竞赛，现从七、八年级中各随机抽取了名学生的竞赛成绩进行分析，把成绩分成四个等级：；：；：；：，并将相关数据统计、整理如下： ①抽取七年级学生的竞赛成绩在：的分数是：，，，，，，，，，； ②抽取八年级学生的竞赛成绩中有人得分，27人得“优秀”，优秀率为． 七、八年级安全知识竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 中位数 众数 请根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： ， ， ，并补全频数分布直方图； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级的知识竞赛成绩更好？请说明理由(写出一条理由即可)； （3）若该校七、八年级各有名学生，请你估计七、八年级本次竞赛成绩达到“优秀”等级的学生总共有多少人其中成绩不低于的为优秀)？ 【答案】（1），， （2）八年级的成绩好一些，理由见解析 （3）人 【解析】 【分析】（1）根据抽取八年级学生的竞赛成绩中27人得“优秀”，优秀率为计算a的值，根据中位数和众数的定义求出b和c的值，根据总人数求出七年级A等级的人数即可补全频数分布直方图； （2）根据表格中的数据，可以得到哪个年级的成绩好一些，并说明理由； （3）用样本估计总体可得结果． 【小问1详解】 ， 七年级A等级的人数为（人）， 七年级取的150名学生的竞赛成绩从小到大排在中间的两个数分别是85，86，所以中位数， 八年级学生的竞赛成绩中有76人得88分，故众数； 补全频数分布直方图如下： 故答案为：150，85.5，88； 【小问2详解】 八年级的成绩好一些，理由：八年级的中位数和众数都大于七年级，故八年级的成绩好一些； 【小问3详解】 （人）， 答：估计七、八年级本次竞赛成绩达到“优秀”等级的学生总共有612人． 【点睛】本题考查用样本估计总体、频数分布统计图、中位数、平均数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 23. 如图1，在梯形中，，点E在边上且．动点P，Q同时从点E出发，点P以每秒1个单位长度沿折线方向运动到点D停止，点Q以每秒2个单位长度沿折线方向运动到点C停止．设运动时间为t秒，的面积为y． （1）请直接写出y关于t的函数表这式并注明自变量t的取值范围； （2）如图2，在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质 ； （3）结合函数图象，若直线与函数图象有1个交点，则t的取值范围是 ． 【答案】（1） （2）作图见解析，函数y的最大值是24（答案不唯一） （3）或 【解析】 【分析】（1）分两种情形：当时，当时，分别求解即可； （2）利用描点法画出函数图象即可； （3）先求得直线经过特殊点时的t的值，结合图象即可求解． 【小问1详解】 解：在梯形中，， ，点在边上且. ，, 当时， 当时，如图， 综上所述：； 【小问2详解】 解：函数图象如图所示，函数的最大值是24； ． 故答案为：函数的最大值是24（答案不唯一）； 【小问3详解】 解：把代入得，，解得， 把代入得，，解得， 把代入得，，解得， 直线与y的图象有且只有一个交点， t的取值范围是或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了四边形综合题，一次函数的图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，函数的图象和性质等知识点．解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 24. 新年将至，小宏记录了他家连续两天购买两种年货（两次购买年货时单价不变）的名目：第一天购买5个A种年货和4个B种年货共元；第二天购买3个A种年货和2个B种年货共元． （1）小宏的爸爸看了后，说他的记录错误，请帮他说明错误理由； （2）原来，小宏把第一天的费用元写成了元，修正后求出每个A种年货单价元，每个种年货单价元，小宏一家决定再次购买两种年货共个，设总费用元，且总费用低于元但不少于元，请问有几种购买方案？并请求出花费最高的购买方案． 【答案】（1）见解析 （2）有5种购买方案，当时，，花费最高 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的实际问题和一元一次不等式的实际问题，正确理解题意，找出数量关系并列出方程组或不等式是解题的关键． （1）根据题意，设、两种年货单价分别为、元，列出方程组求解，然后结合实际说明即可； （2）设购买种年货个，列出不等式组求解，然后结合实际情况即可求解； 【小问1详解】 解：设、两种年货单价分别为、元， 即， 解得：， ∵种年货单价不应为负， ∴小宏记录错误． 【小问2详解】 解：设购买种年货个，则种年货个， 即：， 即， 解得：， ∵年货个数为正数， ∴可以取、、、、， ∴共有5种购买方案； ∵是关于的一次函数， ∴随的增大而减小， 即当时，取最大值，， ∴当时，花费最高； 25. 如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于两点，点与点关于轴对称，为线段上一点，直线与交于点，且． （1）求直线的解析式； （2）为直线上一动点，当，求点坐标； （3）如图2，将绕点逆时针旋转，得到，直线与射线分别交于，则当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出的长度． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）先求出两点的坐标，根据，求出点坐标，再根据点与点关于轴对称可得点坐标，利用待定系数法即可解答； （2）由（1）知直线的解析式，联立直线和直线的解析式求出点坐标，利用两坐标间距离公式求出，证明是直角三角形，且，易得是直角三角形，且，求出，由，求出的长，设，建立方程解答即可； （3）设，分，，两种情况讨论即可． 【小问1详解】 解：∵直线与轴，轴分别交于两点， 令，则；令，则，解得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点与点关于轴对称， ∴， 设直线的解析式为， 则， 解得：， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：由（1）知直线的解析式为， 联立， 解得： ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 设， 则，即， 解得：或， 当时，； 当时，； ∴点坐标为或； 【小问3详解】 解：如图，连接， 由（1）（2）知，，，，，，， ∴， ∵， ∴点是的中点， ∴是等腰三角形， ∴，， ∵点与点关于轴对称， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由旋转的性质得到， ∴， 设， 如图，当时， 则与x轴重合，即两点重合， ∴，即轴， ∴，则，即， ∴； 如图，当时， 则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴轴， 由旋转的性质得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，则， ∴， ∴； 综上，的长度为或． 【点睛】本题考查了一次函数综合运用，涉及到一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、三角形旋转变换、全等三角形的判定和性质及等腰三角形的存在性，解题的关键是将代数问题转化为几何的距离和分类讨论思想的应用． 26. 在中，点D在上，连接，若，，将绕着点A顺时针旋转度得到线段． （1）如图1，点E在线段上，若，求的度数； （2）如图2，点E在线段延长线上，连接、，点F在上，连接，若，，求证：； （3）如图3，若，，与交于点O，点P为线段上一动点，连接，将沿所在直线翻折到所在平面内得到，连接，在所在平面内将点M绕着点B逆时针旋转得到点N，连接、，当取得最大值时，求的值． 【答案】（1） （2）见详解 （3） 【解析】 【分析】（1）根据旋转产生等腰三角形，利用等腰三角形的性质及三角形的外角定理即可求解； （2）过点B作于点G，过点C作于点H，则，先由“” 证明，根据角度推导得到，而，则，再证明，设，可知为等腰直角三角形，则由勾股定理得，故，即； （3）如图，过点B作，且，则，为等腰直角三角形，点Q为定点，连接，根据角度推导可设，则，，，则，由题意得，则点M在以点O为圆心，为半径的圆上运动，可证明，则，故点N在以点Q为圆心，为半径的圆上运动，由，得到当点O、Q、N三点共线时，取得最大值，过点B作于点K，可求，过点C作直线的垂线，垂足为点H，则，可求，，因此，故． 【小问1详解】 解：如图， ∵，， ∴， 由旋转得， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴，即； 【小问2详解】 证明：过点B作于点G，过点C作于点H，则， 设， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴,， ∴ ∵， ∴在中，由三角形内角和定理得， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵，， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴设， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 即； 【小问3详解】 解：如图，过点B作，且，则，为等腰直角三角形，点Q为定点，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由题意得：， ∴， ∴设， ∴在中，， ∴，， ∴， 由题意得， ∴点M在以点O为圆心，为半径的圆上运动， 由题意得：，而， ∴， ∴， ∴， ∴点N在以点Q为圆心，为半径的圆上运动， ∵， ∴当点O、Q、N三点共线时，取得最大值，过点B作于点K，如图： ∵为等腰直角三角形， ∴同（2）可得，点K为中点， ∴，， ∴ 过点C作直线的垂线，垂足为点H，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理得， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了图形的几何变换，旋转与翻折，勾股定理，含角的直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和与外角定理，等腰三角形的性质，三角形三边关系求最值，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $