27.2.1　课时3　由两角判定三角形相似同步练习 2024-2025学年人教版九年级数学下册

27.2.1　课时3　由两角判定三角形相似 一、选择题 1．在△ABC和△A′B′C′中，∠A＝68°，∠B＝40°，∠A′＝68°，∠C′＝72°，则这两个三角形( ) A．全等 B．相似 C．不相似 D．无法确定 2．如图，点D在△ABC的边AB上，下列选项中不能判定△ACD∽△ABC的是（ ） A．AC2＝AD·AB B．BC2＝BD·AB C．∠ACD＝∠B D．∠ADC＝∠ACB 3.如图,图1,2中各有两个三角形,其边长和角的度数如图上标注,则对图1,2中的两个三角形,下列说法正确的是 ( ) A.都相似 B.都不相似 C.只有图1相似 D.只有图2相似 4．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，CD平分∠ACB. 若AD＝2，BD＝3，则AC的长为( ) A．6 B．7 C．8 D． 5.如图，在△ABC中，∠B＝70°，AB＝4，BC＝6，AC＝7将△ABC沿图示中的虚线DE剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ） 6.如图,BD是Rt△ABC斜边AC上的高,DE⊥AB于点E,则图中与△ABC相似的三角形有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 7．如图，∠ABD＝∠BDC＝90°，∠A＝∠CBD，AB＝3，BD＝2，则CD的长为( ) A． B． C．2 D．3 8.在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，若添加一个条件，使得Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，则下列不符合要求的是（ ） A．∠A＝∠A′ B．∠B＝∠B′ C．＝ D．＝ 二、填空题 9．如图，已知在直角△ABC中，CD是斜边AB上的高，AC＝4，BC＝3，则AD＝____． 10.在△ABC与△A1B1C1中，∠A＝40°，∠B＝30°，∠A1＝40°，当∠C1＝ 时，△ABC∽△A1B1C1. 11.在△ABC中,∠A=40°,∠B=75°,下图各三角形中与△ABC相似的是　 .  12.如图，在Rt△ABC中，AD是斜边BC上的高，则下列结论：①△ABD∽△CAD∽△CBA；②AC2＝BC·CD；③AD2＝BD·CD；④若BD＝4，CD＝5，则AD＝2.其中正确的结论有 ______________．(填序号) 13.如图，正方形ABCD中，AB＝12，AE＝AB，点P在BC上运动(不与点B，C重合)过点P作PQ⊥EP，交CD于点Q，则CQ的最大值为 ． 三、解答题 14．如图，E是矩形ABCD的边CB上的一点，AF⊥DE于点F，AB＝3，AD＝2，CE＝1.求DF的长度． 15.如图，在△ABC中，D在AC上，DE∥BC，DF∥AB.求证：△DFC∽△AED. 16.如图,在矩形ABCD中,E是AD边上的一点,BE⊥AC,垂足为F.求证:△AEF∽△CAB. 17．如图，点O是△ABC的边AC上一点．以点O为圆心，OA为半径作⊙O，与BC相切于点E，交AB于点D，连接OE，连接OD并延长交CB的延长线于点F，∠AOD＝∠EOD. (1)连接AF，求证：AF是⊙O的切线； (2)若FC＝10，AC＝6，求FD的长． 18.如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AC与BD交于点E，∠ADB＝∠ACB. (1)求证：＝； (2)若AB⊥AC，AE∶EC＝1∶2，F是BC的中点，求证：四边形ABFD是菱形． 19.如图,在△ABC中,AB=AC,点E在边BC上移动(点E不与点B,C重合),满足∠DEF=∠B,且点D,F分别在边AB,AC上. (1)求证:△BDE∽△CEF. (2)当点E移动到BC的中点时,求证:FE平分∠DFC. 参考答案 1．B 2．B 3．A 4．D 5．C 6．D 7．B 8．B 9. 10.110° 11.△EFD,△HGK 12.①②③④ 13.4 14. 解：∵四边形ABCD是矩形，∴DC＝AB＝3，∠ADC＝∠C＝90°.∵CE＝1， ∴DE＝＝.∵AF⊥DE，∴∠AFD＝90°＝∠C，∠ADF＋∠DAF＝90°. 又∵∠ADF＋∠EDC＝90°，∴∠EDC＝∠DAF，∴△EDC∽△DAF， ∴＝，即＝，∴FD＝，即DF的长度为 15.证明：∵DF∥AB，DE∥BC，∴∠DFC＝∠ABF，∠AED＝∠ABF， ∴∠DFC＝∠AED，又∵DE∥BC，∴∠DCF＝∠ADE，∴△DFC∽△AED 16..【解析】∵四边形ABCD是矩形, ∴AD∥BC,∠ABC=90°,AD=BC. ∵BE⊥AC于点F, ∴∠EAC=∠ACB,∠ABC=∠AFE=90°, ∴△AEF∽△CAB. 17. 解：(1)在△AOF和△EOF中， ∴△AOF≌△EOF(SAS)，∴∠OAF＝∠OEF，∵BC与⊙O相切，∴OE⊥FC，即∠OEF＝90°，∴∠OAF＝90°，即OA⊥AF，又∵OA是⊙O的半径， ∴AF是⊙O的切线 (2)在Rt△CAF中，∠CAF＝90°，FC＝10，AC＝6，∴AF＝＝8， ∵∠OCE＝∠FCA，∴∠OEC＝∠FAC＝90°，∴△OEC∽△FAC，∴＝， 设⊙O的半径为r，则＝，解得r＝，在Rt△FAO中，OF＝＝，∴FD＝OF－OD＝－，即FD的长为－ 18.解：(1)证明：∵AD＝AB，∴∠ABD＝∠ADB，∵∠ADB＝∠ACB， ∴∠ABD＝∠ACB，又∠BAE＝∠CAB，∴△ABE∽△ACB，∴＝，∵AB＝AD，∴＝ (2)∵AB⊥AC，AE∶EC＝1∶2，设AE＝x，则AC＝3x，由(1)知AB2＝AE·AC， ∴AB＝x，∴BE＝2x，∴∠ABE＝30°，则∠ACB＝30°，∴∠ABC＝60°， ∴∠EBC＝∠ADB＝30°，∴AD∥BC.连接AF，图略，∵F是BC的中点，AB⊥AC，∴AF＝CF＝BF，∴∠FAC＝∠ACF＝30°，∴∠FAD＝∠AFB＝60°，又∵AD∥BC，∴△ADE∽△CBE，∴＝＝，∴AD＝BF＝AF，∴△ADF是等边三角形，易得△ABF也是等边三角形，∴AB＝BF＝DF＝AD，∴四边形ABFD是菱形 19.【解析】(1)∵AB=AC,∴∠B=∠C. ∵∠BDE=180°-∠B-∠DEB,∠CEF=180°-∠DEF-∠DEB,且∠DEF=∠B, ∴∠BDE=∠CEF, ∴△BDE∽△CEF. (2)∵△BDE∽△CEF, ∴=. ∵E是BC的中点, ∴BE=CE, ∴=. ∵∠DEF=∠B=∠C, ∴△DEF∽△ECF. ∴∠DFE=∠CFE,即FE平分∠DFC. 学科网（北京）股份有限公司 $$