精品解析：广西南宁市第八中学2024-2025学年高一下学期2月开学考试数学试题

南宁八中2024级高一2月开学考 数学 一､单选题（本题共8小题，每小题只有一个正确选项.每小题5分，共40分） 1 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若向量表示“向东航行”，向量表示“向北航行”，则向量表示（ ） A. 向东北方向航行 B. 向北偏东方向航行 C 向正北方向航行 D. 向正东方向航行 3. 已知在中，，且，则的形状为(　　)． A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等腰直角三角形 4. 下列函数中，既是周期函数又是偶函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（ ） A. (0， 1) B. (1， 2) C. (2，3) D. (3， ) 6. 某药厂为提高医药水平，计划逐年增加研发资金投入，若该公司2022年全年投入研发资金250万元，之后每年投入的研发资金比上一年增长，则该公司全年投入的研发资金超过800万元的第一年是（ ）（参考数据：） A. 2033年 B. 2032年 C. 2031年 D. 2030年 7. 已知，为平面内两个不共线向量，，，，则下列三点一定共线的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 8. 已知函数的定义域为，在定义域内存在唯一，使得，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全对得6分，部分选对得部分分，错选得0分） 9. 已知是平面内的一组基底，则下列向量中能作为一组基底的是（ ） A. 和 B. 和 C 和 D. 和 10. 下列命题中正确的是（   ） A. 化成弧度是 B. 关于的不等式的解集为，则 C. 命题“，”的否定是， D. 若一扇形弧长为2，圆心角为，则该扇形的面积为 11. 已知函数是定义在上的偶函数，若满足，且在上单调递增，则以下说法一定正确的是（ ） A. B. 为周期函数 C D. 在上单调递增 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数，则的最小值等于_______． 13. 已知非零向量满足，且，则与的夹角为_________. 14. 若关于的一元二次不等式的解集是.那么若的解集为.则实数的取值范围是__________. 四､解答题（本题共5小题，共77分） 15. 某人从点A出发向东走了5米到达点B，然后改变方向按东北方向走了米到达点. （1）在图中作出向量；（正方形小方格的边长是1米） （2）求向量的模. 16. ，非空集合，集合． （1）时，求； （2）若是的必要条件，求实数的取值范围． 17. 在如图所示的平面图形中，已知，，点A，B分别是线段CE，ED的中点． （1）试用，表示； （2）若，，且，的夹角，试求的取值范围． 18. 定义在R上的奇函数（a，b为常数）满足． （1）求的解析式； （2）若，都有成立，求实数的取值范围． 19. 如图1所示，在中，点在线段BC上，满足是线段AB上的点，且满足，线段CG与线段AD交于点． （1）若，求实数x，y的值； （2）若，求实数的值； （3）如图2，过点的直线与边AB，AC分别交于点E，F，设，，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 南宁八中2024级高一2月开学考 数学 一､单选题（本题共8小题，每小题只有一个正确选项.每小题5分，共40分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意求出B的补集，根据集合的并集运算，即得答案. 【详解】因为全集，所以， 又，则， 故选：C． 2. 若向量表示“向东航行”，向量表示“向北航行”，则向量表示（ ） A. 向东北方向航行 B. 向北偏东方向航行 C. 向正北方向航行 D. 向正东方向航行 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的方向，画出图形，利用向量的加法运算，计算结果. 【详解】如图， 易知，所以．故的方向是北偏东．又. 故选：B． 3. 已知在中，，且，则的形状为(　　)． A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】A 【解析】 【详解】∵，∴ ∴90°<∠BAC<180°，故是钝角三角形． 答案为：A 点睛:这个题目考查了向量数量积的运算，两个向量数量积小于0，则夹角不一定是钝角，还有可能是平角，反之，当两个向量的夹角是钝角时，则向量数量积一定是小于0的．对于锐角时，向量数量积一定大于0，向量数量积大于0，不一定是锐角，也可能是． 4. 下列函数中，既是周期函数又是偶函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 分析】由三角函数周期性，奇偶性逐一判断每一选项即可求解. 【详解】对于A，是奇函数不满足题意，故A错误； 对于B，若，首先定义域为关于原点对称， 且，所以是偶函数， 又，所以周期函数，故B正确； 对于C，画出函数的图象如图所示： 由此可知函数不是周期函数，故C错误； 对于D，若，则，所以不是偶函数，故D错误. 故选：B. 5. 已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（ ） A. (0， 1) B. (1， 2) C. (2，3) D. (3， ) 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的单调性和零点存在定理,把选项代入验证即可. 【详解】因为函数是减函数,又,, 所以,由零点存在性定理可得, 包含零点的区间(2，3). 故选：C 6. 某药厂为提高医药水平，计划逐年增加研发资金投入，若该公司2022年全年投入研发资金250万元，之后每年投入的研发资金比上一年增长，则该公司全年投入的研发资金超过800万元的第一年是（ ）（参考数据：） A. 2033年 B. 2032年 C. 2031年 D. 2030年 【答案】B 【解析】 【分析】根据题设条件得到从而2020年起第年投入的研发资金的表达式，再根据参考数据可得正确的选项. 【详解】设2022年起第年投入的研发资金为（2022年为第一年）， 由，得， 两边取常用对数得，则， 所以2032年第一次研发资金超过. 故选：B 7. 已知，为平面内两个不共线向量，，，，则下列三点一定共线的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理及共线定理判断即可. 【详解】对于A：因为，，， 则， 因为，所以，则，，三点共线，故A正确； 对于B：因为，，又，为平面内两个不共线向量， 所以不存在实数，使得， 所以与不共线，故，，三点不共线，故B错误； 对于C：因为，，， 所以， 又，为平面内两个不共线向量，所以不存在实数，使得， 所以与不共线，故，，三点不共线，故C错误； 对于D：因为，， 又，为平面内两个不共线向量，所以不存在实数，使得， 所以与不共线，故，，三点不共线，故D错误； 故选：A 8. 已知函数的定义域为，在定义域内存在唯一，使得，则的取值范围为（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简函数，求得，根据题意，列出不等式，即可求解. 【详解】由函数， 因为，可得， 因为函数的定义域为，在定义域内存在唯一，使得， 则满足，解得，所以的取值范围为. 故选：C. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全对得6分，部分选对得部分分，错选得0分） 9. 已知是平面内的一组基底，则下列向量中能作为一组基底的是（ ） A. 和 B 和 C. 和 D. 和 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用基底的定义，逐项判断. 【详解】对于A，令，由不共线，得且，矛盾， 与不共线，A能； 对于B，，和共线，B不能； 对于C，令，由不共线，得且，矛盾， 和不共线，C能； 对于D，，由不共线，得且，矛盾，和不共线，D能. 故选：ACD 10. 下列命题中正确的是（   ） A. 化成弧度是 B. 关于的不等式的解集为，则 C. 命题“，”的否定是， D. 若一扇形的弧长为2，圆心角为，则该扇形的面积为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据弧度制、一元二次不等式、全称量词命题的否定、扇形面积等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，化成弧度是，A选项正确. B选项，关于的不等式的解集为， ，所以B选项错误. C选项，命题“，”的否定是，， C选项正确. D选项，若一扇形的弧长为2，圆心角为即， 所以扇形的半径为， 所以扇形面积为，D选项错误. 故选：AC 11. 已知函数是定义在上的偶函数，若满足，且在上单调递增，则以下说法一定正确的是（ ） A. B. 为周期函数 C. D. 在上单调递增 【答案】BC 【解析】 【分析】由，确定函数图像关于对称，再结合奇偶性、单调性逐个判断即可； 【详解】对于A，由，得的图象关于对称，又因为定义域为，所以，故A不正确； 对于B，因为是偶函数，，，所以的一个周期为8，故B正确； 对于C，由于周期性和奇偶性，，故C正确； 对于D，因为是偶函数且在上单调递增，所以在上单调递减， 又的图象关于对称，所以在上单调递减， 由于周期为8，在上的单调性与上的单调性相同，所以在上单调递减，故D不正确． 故选：BC． 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数，则的最小值等于_______． 【答案】5 【解析】 【分析】凑项利用基本不等式即可求得的最小值. 【详解】由，因，故， 因，当且仅当时，即时等号成立， 即当时，取得最小值5. 故答案为：5. 13. 已知非零向量满足，且，则与的夹角为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量垂直得到，求出，再利用夹角公式求出答案. 【详解】因为，所以， 又，所以， 所以， 因为，所以. 故答案为： 14. 若关于的一元二次不等式的解集是.那么若的解集为.则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由给定的解集求出，再利用已知条件列式求出的范围. 【详解】由一元二次不等式的解集是， 得，年是方程的二根，即，因此， 不等式，即的解集为，则，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 四､解答题（本题共5小题，共77分） 15. 某人从点A出发向东走了5米到达点B，然后改变方向按东北方向走了米到达点. （1）在图中作出向量；（正方形小方格的边长是1米） （2）求向量的模. 【答案】（1）作图见解析； （2）米. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，作出图形. （2）借助几何图形，利用勾股定理求出模长. 【小问1详解】 作出向量，如图： 【小问2详解】 依题意，，向量相当于从点A出发向东走15米，再向正北走10米， 所以（米）. 16. ，非空集合，集合． （1）时，求； （2）若是的必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1）（∁UB）∩A＝[，）；（2）a或 【解析】 【分析】（1）先求出集合A、B，再求出∁UB，借助数轴求出，（∁UB）∩A． （2）由题意可知A⊆B，B＝{x|a＜x＜a2+2}，借助数轴列出A⊆B时区间端点间的大小关系，解不等式组求出a的范围． 【详解】（1）对于集合A，（x）（x）＜0，解得，x，所以A＝（，）， 当a时， 对于集合B：（x﹣）（x﹣）＜0，解得＜x，所以B＝（，）， 所以∁UB＝（﹣∞，]∪[，+∞）， 所以（∁UB）∩A＝[，）； （2）若是的必要条件，可知A⊆B． 由a2+2＞a，得 B＝{x|a＜x＜a2+2}． 故，解得：a或 综上所述a的取值范围为a或 【点睛】本题考查集合间的交、并、补运算方法以及A⊆B时2个区间端点之间的大小关系（借助数轴列出不等关系），体现了分类讨论的数学思想． 17. 在如图所示的平面图形中，已知，，点A，B分别是线段CE，ED的中点． （1）试用，表示； （2）若，，且，的夹角，试求的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）由三角形中位线的性质可知，可得到答案； （2）先求得，将，代入，用表示再求其范围. 【详解】（1）连接AB，则， ∵A，B分别是线段CE，ED的中点， ∴，则． （2) ， 将，代入， 则． ∵， ∴，则， 故． 【点睛】本题考查了向量的共线表示，向量的数量积公式及求模长的取值范围问题. 18. 定义在R上的奇函数（a，b为常数）满足． （1）求的解析式； （2）若，都有成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据函数为奇函数，得到，求出，进而代入求出，得到解析式，验证后满足要求； （2）先求出在上的最大值，从而得到，求出答案. 【小问1详解】 是R上的奇函数， ， ∴， 又， ∴， ， 此时，满足是定义在R上的奇函数； 【小问2详解】 ，， ∴当时，， 由对勾函数性质可得，在上单调递减， 故， ∴， 又是奇函数， ， ，， 或. 19. 如图1所示，在中，点在线段BC上，满足是线段AB上的点，且满足，线段CG与线段AD交于点． （1）若，求实数x，y的值； （2）若，求实数的值； （3）如图2，过点的直线与边AB，AC分别交于点E，F，设，，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量的线性运算以为基底表示，进而求解； （2）根据向量的线性运算以为基底表示,又因为两向量共线所以具有倍数关系，求出的值； （3）根据向量的线性运算以为基底表示，又因为三点共线，所以系数之和为1，得出，然后应用基本不等式中1的代换求出的最小值. 【小问1详解】 因为所以， 所以, 所以. 【小问2详解】 由题意可知：， ， 又因为三点共线，所以存在实数使得, ， 所以，解得：， 所以. 【小问3详解】 易知， 由（2）知， 又因为三点共线,所以，又， 所以：， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$