精品解析：河南省商丘市第一中学2024-2025学年九年级下学期开学考试数学试题

2025河南中招过渡模拟试卷（YZ） 九年级数学 测试范围：上册+下册 注意事项： 1．本试卷共6页，三大题，满分120分，测试时间100分钟． 2．请用蓝、黑色钢笔或圆珠笔写在试卷或答题卡上． 3．答卷前请将密封线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列函数不是反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，一般地，形如（k为常数， ）的函数叫做反比例函数．根据定义逐项分析即可． 【详解】解：A．，符合反比例函数的定义； B．即，符合反比例函数的定义； C．，不符合反比例函数的定义； D．，符合反比例函数的定义； 故选C． 2. 2024年12月4日，我国申报的“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”在巴拉圭亚松森举行的联合国教科文组织保护非物质文化遗产政府间委员会第19届常会上通过评审，列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．春节之所以被申请为人类非遗，因为春节里边蕴含了非常丰厚的历史内涵和文化内涵．下列春节标志图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了中心对称图形和轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合． 根据把一个图形绕某一点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行解答． 【详解】解：A．该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意； B．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意； C．该图形不是中心对称图形，故此选项不合题意； D．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 3. 下面的几何图形是由四个相同的小正方体搭成的，其中主视图和左视图相同的是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据从正面看到的视图是主视图，从左边看到的图形是左视图，根据看到的图形进行比较即可解答． 【详解】解：A、主视图看到的是2层，3列，最下1层是3个，上面一层是1个，第2列是2个；左视图是2层，上下各1个； B．主视图看到的是3层，最下1层是2个，上面2层在下面1层的中间，各1个，左视图是3层，每层各一个； C．主视图是2行2列，下面1层是2个，上面1层1个，左面1列是2个；左视图是2层2列，下面1层是2个，上面1层1个，左面1列是2个，故主视图和左视图相同； D．主视图是2层2列，下面1层2个，上面1层1个，右面1列2个，左视图也是2层2列，下面1层2个，上面1层1个，左面1列2个． 故选：C． 【点睛】此题考查了从不同方向观察物体，重点是看清有几层几列，每层每列各有几个． 4. 已知，相似比为，且的面积为6，则的面积为（ ） A. 12 B. 3 C. 6 D. 24 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键．根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：∵，相似比为， ∴与的面积比为， ∵的面积为6， ∴的面积为24， 故选：D． 5. 如图，已知四边形 内接于，则 的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质的应用，关键是熟练掌握圆周角定理和圆内接四边形的性质． 根据圆内接四边形的性质得出 ，再根据圆周角定理即可求出的度数． 【详解】∵四边形内接于， ∴，而 ， ∴， ∴． 故选：B． 6. 若关于x的一元二次方程有实数根，则c的值不可能是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式 的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程没有实数根．据此求得c的取值范围，再进行判断即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴，解得， 故选项D中的5不符合题意， 故选：D． 7. 若点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线，离对称轴越远，函数值越大，即可得出答案． 【详解】解：， ∴图象的开口向上，对称轴是直线，离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴， 故选：D． 8. 在唐代，有很多河南诗人，如杜甫，白居易，韩愈，李商隐等．如图，现有四本唐代诗人诗集，若从中随机选两本，恰好选到的两本都是河南籍诗人诗集的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查列表法或画树状图求概率，先根据题意画出树状图得到所有等可能的结果数，再找到满足事件的结果数，根据概率公式计算即可． 【详解】解：分别记杜甫，白居易，李白，王维为A，B，C，D， 根据题意画树状图为： 由图可得，共有12种等可能结果，其中满足恰好选到的两本都是河南籍诗人（A，B）诗集的有2种结果， 则恰好选到的两本都是河南籍诗人诗集的概率为． 故选：C 9. 如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都为1，已知点A，B，C，D都在格点（网格线的交点）上，与相交于点P，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形、平行线的性质，勾股定理，作出合适辅助线是解题关键．连接，连接 ，易知 ，由勾股定理逆定理可以证明为直角三角形，所以即可得答案． 【详解】如图，连接，连接 由图可知： ∴四边形 是平行四边形 在中，有， ∴为直角三角形， 故选：A 10. 如图，在中，，边在x轴上，．点P是边上一点，过点P分别作于点E， 于点D，当四边形的面积最大时，点P的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出直线AB的解析式为，然后设点P的坐标为，可得，从而得到四边形的面积为，再根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】解：设直线AB的解析式为 ， 把点代入得： ，解得：， ∴直线AB的解析式为， 设点P的坐标为， ∵， ∴点C（-1，0）， ∵于点E， 于点D， ∴， ∴四边形的面积为 ， ∴当m=3时，四边形的面积最大，此时点P（3，2）． 故选：D 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，二次函数的应用，熟练掌握一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出一个以为顶点，且开口向上的抛物线表达式为________________． 【答案】（答案不唯一）． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据二次函数的顶点坐标是，结合开口向上解答即可． 【详解】解：∵抛物线顶点为， ∴． ∵抛物线开口向上， ∴ ， ∴a可以取1， ∴（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 12. 在一个不透明的盒子中装有12个白球和若干个黄球，这些球除颜色外都相同，小军将盒子中的球搅拌均匀，摸出一个球记录下颜色再放回，通过多次重复这一过程发现，摸到黄球的频率稳定在0.4左右，则盒子中黄球的个数可能是________个． 【答案】8 【解析】 【分析】本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是利用黄球的概率公式列方程求解得到黄球的个数．在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，设盒子中黄球有x个，根据题意，得：，求解即可得出答案． 【详解】解：设盒子中黄球有x个， 根据题意，得：， 解得 ， 经检验 是分式方程的解， 所以盒子中黄球的个数为8， 故答案为：8． 13. 如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上， 轴于点C，且，则k的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，三角形的面积公式等知识点，添加适当辅助线构造直角三角形并利用三角形的面积公式得出是解题的关键． 连接、 ，由三角形的面积公式可得，，进而可得，，于是可得，然后根据反比例函数的图象所在的象限，即可确定的值． 【详解】解：如图，连接、 ， 点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上， 轴于点C， ， ， ， 又， ， ， 反比例函数的图象在第四象限， ， ， 故答案为：． 14. 如图，扇形AOB的圆心角为90°，C是的中点，过点C作的切线交OB的延长线于点E，若 ，则阴影部分的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接OC，根据切线的性质可得∠OCE=90°，从而得到△OCE是等腰直角三角形，进而得到，弧BC的长为，即可求解． 【详解】解：如图，连接OC， ∵CE是的切线， ∴∠OCE=90°， ∵C是的中点， ∴， ∴， ∴△OCE是等腰直角三角形， ∴， ∴， 弧BC的长为， ∴阴影部分的周长为． 故答案为：. 【点睛】本题考查了切线的性质，阴影部分周长的求法，熟练掌握切线的性质是解决问题的关键． 15. 如图，中， ，，．四边形是正方形，点D是直线上一点，且．P是线段上一点，且．过点P作直线l于平行，分别交，于点G，H，则 的长是__________． 【答案】或． 【解析】 【分析】结合勾股定理逆定理判断 是直角三角形，通过证明，，然后利用相似三角形的性质求解，然后分当点位于点左侧时，当点位于点右侧时，进行分类讨论． 【详解】解：中， ，，， ，， ， 为直角三角形， ①当点位于点左侧时，如图： 设直线交 于点， ， ，， 又四边形是正方形，且， ，， 即， 解得：， ，， ， ， ， 解得：， ， ， ， ， ， ， ， 解得：； ②当点位于点右侧时，如图： 与①同理，此时， ， 解得：， 综上， 的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查勾股定理逆定理，相似三角形的判定和性质，理解题意，证明出，特别注意分类思想的运用是解题关键． 三、解答题（共8题，共75分） 16. （1）计算： （2）解方程： 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，解一元二次方程，熟练掌握特殊角的三角函数值，解一元二次方程的一般方法是解题的关键． （1）根据特殊角的三角函数值，进行计算即可； （2）用公式法解一元二次方程即可． 【详解】解：（1） ； （2） ， ∵， ∴， ∴， ∴，． 17. 如图，已知在平行四边形中，点F在延长线上，． （1）尺规作图：在上找一点E，使得（保留作图痕迹，不写作法，不必证明）； （2）在（1）条件下，若点E为中点， ， ，求的长． 【答案】（1）作图见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了作图 相似变换，平行四边形的性质． （1）过点 作的垂线交于，于是得到结论； （2）根据平行四边形到现在得到， ，由点为中点，得到，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【小问1详解】 解：如图所示，点即为所求； 【小问2详解】 解：四边形是平行四边形， ， ， 点为中点， ， ， ， ， ， ． 18. 为了防洪需求，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形，斜面坡度（指坡面的铅直高度与水平宽度 的比）．已知斜坡为20米，，求斜坡的长．（结果精确到米，参考数据：） 【答案】斜坡的长约为米． 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用 坡度坡角问题，过点作 于，设米，根据坡度用表示出 ，根据勾股定理求出，根据正弦的定义求出，进而求出，熟记坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作 ，垂足为． ， ， ， 设米， 斜面的坡度， ， 米， 由勾股定理得：米， 在 中，，米． ， （米， 米，即米， ， 则米， 答：斜坡的长约为10.3米． 19. 已知在平面直角坐标系中的位置如图所示： （1）在图中画出沿轴翻折后的； （2）以点为位似中心，在网格内作出按放大后的位似图形； （3）点的坐标______；与的周长比是______，与的面积比是______． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3），， 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称图形的性质，作位似图形，相似图形的性质，掌握坐标与图形的特点，位似图形的作法及相似图形的性质是解题的关键． （1）根据轴对称图形的性质作图即可； （2）根据位似比作图即可； （3）根据坐标与图形可得点的坐标，由位似比即为相似比，根据周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方即可求解． 【小问1详解】 解：如图，为所求； 【小问2详解】 解：如图，为所求； 【小问3详解】 解：根据坐标与图形可得， ∵位似比为， ∴周长比为，面积比为，即， 故答案为：． 20. 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作，书中以23个定义、5个公设和5个公理作为基本出发点，给出了119个定义和465个命题．我们的教科书中的几何证明题就是根据书中命题推理的．请根据你的数学活动经验解决以下问题：点是的边上一点，与边相切于点，与边，分别相交于点，，且． （1）求证： ； （2）当，时，求的长． 【答案】（1） 证明：连接 ， ， ， ， ， ， ， ， ∴ ， 与边相切于点， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）连接 ， ，得到 ，推出 ，证得 ，结合切线的性质推出 ； （2）勾股定理求出，设的半径为，则 ，证明 ，求出r即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在， ，，， 所以 ， 设的半径为，则 ， ， 又 ∴ ． ． 即． 解得：． 所以． 【点睛】此题考查了圆周角定理，切线的性质定理，相似三角形的判定和性质，正确理解圆周角定理是解题的关键． 21. “跳大绳”是中国历史悠久的运动，一直受到青少年儿童的喜爱．通过跳绳运动可以促进学生心肺功能的提高，培养学生良好的意志品质，还可以培养学生团结协作的精神．某校在大课间活动中开展了“跳大绳”活动．如图，小明和小亮分别抓住大绳的两端转动大绳，他们转动大绳的手距离水平地面均为1m，大绳在距离他们5m处有最高点，距水平地面3.5m．建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中是大绳距小明的水平距离， 是大绳距水平地面的高度． （1）求抛物线的表达式； （2）小红在跳绳时，距离小明的水平距离2m（即与点O的水平距离），当绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶正上方1m处，求小红的身高； （3）身高为1.9m的体育老师刘老师也参加了活动，当刘老师跳进大绳，直立落地时，绳子甩到最高处，且正好扫过刘老师的头顶，求刘老师与小红间的水平距离． 【答案】（1） （2）1.6 m （3）1 m或7 m 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的列出函数解析式，是解题的关键． （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出 的函数值，进一步求出小红的身高即可， （3）求出时的的值，进一步求解即可． 【小问1详解】 解：由题意知，抛物线顶点坐标为， 则抛物线的表达式为， 将点代入得，解得， ． 即抛物线的表达式为． 【小问2详解】 把 代入 得，（m）， 即小红的身高是1.6 m； 【小问3详解】 当时，， 解得 或， 刘老师与小红之间的水平距离为（m）或（m）， 答：刘老师与小红间的水平距离是1 m或7 m． 22. 如图，四边形是平行四边形，原点O是其对角线的交点，轴，点，，反比例函数的图象经过点B，D． （1）求反比例函数的表达式和直线的表达式； （2）求图中阴影部分的面积之和； （3）已知点，过点P作平行于x轴的直线，交所在直线于点M，过点P作平行于y轴的直线，交反比例函数的图象于点N．若，结合函数的图象，直接写出n的取值范围． 【答案】（1）， （2）阴影部分=12 （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求解析式，利用函数图象性质解决问题是本题的关键． （1）根据坐标与图形的性质求得，再利用待定系数法可求得反比例函数的表达式，再根据平行四边形的性质，求得，再利用待定系数法即可求解； （2）根据题意得阴影部分的面积之和就是平行四边形的面积，根据平行四边形的面积公式求解即可； （3）由题意求得，，得到，，分别解方程和，结合图形即可求解． 【小问1详解】 解：∵，，轴， ∴，将代入， 得， ∴反比例函数的表达式为， ∵O是平行四边形对角线的交点， ∴点关于原点对称， ∴， 设直线的表达式为 ， 则， 解得， ∴直线的表达式为； 【小问2详解】 解：设 分别与y轴交于点，由反比例函数的图象和平行四边形的对称性可得，阴影部分的面积之和就是平行四边形的面积， ∴阴影部分的面积之和为； 【小问3详解】 解：∵轴，轴， ∴，， ∴，， 当时，整理得， 解得 或（舍去）； 当时，整理得， 解得 或（舍去）； ∵， ∴． 23. 【问题发现】 （1）如图1所示，在等腰中，点P为底边上一动点，在射线上取点D，作 ，垂足为E．若．则与 的数量关系为_______； 【类比探究】 （2）如图2所示，在等腰中，，点P为底边BC上一动点，在射线 上取点D，作 ，垂足为E．若 ，且．请探究与 的数量关系； 【拓展应用】 （3）在（2）的前提下，若，点P为线段 的三等分点，请直接写出 的长． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】 【分析】本题主要考查了正切的定义、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关定理和性质成为解题的关键． （1）如图：过A作 垂足为F，即，由正切的定义可得，再根据勾股定理可得，然后证明得到 ，进而完成解答； （2）如图2：过A作 垂足为F，即，由正切的定义及勾股定理可得，再证明并运用相似三角形的性质可得 ，然后代入即可解答； （3）如图2，根据结合（2）的相关结论可得， ，进而得到；再根据等分线的定义可得，再通过证明得到，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：（1）如图1：过A作 垂足为F，即， ∵， ∴，即 ∴ ∵ ∴， ∴ ∴． 故答案为：． （2）如图2：过A作 垂足为F，即 ∵， ∴，即 ∴ ∵， ∴， ∴，即： ∴，即． （3）如图2：∵， ∴，，即， ； ∴ ∵ ∴ ∵点P为线段BC的三等分点， ∴， ∵ ∴，即， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025河南中招过渡模拟试卷（YZ） 九年级数学 测试范围：上册+下册 注意事项： 1．本试卷共6页，三大题，满分120分，测试时间100分钟． 2．请用蓝、黑色钢笔或圆珠笔写在试卷或答题卡上． 3．答卷前请将密封线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列函数不是反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 2024年12月4日，我国申报的“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”在巴拉圭亚松森举行的联合国教科文组织保护非物质文化遗产政府间委员会第19届常会上通过评审，列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．春节之所以被申请为人类非遗，因为春节里边蕴含了非常丰厚的历史内涵和文化内涵．下列春节标志图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下面的几何图形是由四个相同的小正方体搭成的，其中主视图和左视图相同的是(　　) A. B. C. D. 4. 已知，相似比为，且的面积为6，则的面积为（ ） A. 12 B. 3 C. 6 D. 24 5. 如图，已知四边形 内接于，则 的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 若关于x的一元二次方程有实数根，则c的值不可能是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 若点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 在唐代，有很多河南诗人，如杜甫，白居易，韩愈，李商隐等．如图，现有四本唐代诗人诗集，若从中随机选两本，恰好选到的两本都是河南籍诗人诗集的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都为1，已知点A，B，C，D都在格点（网格线的交点）上，与相交于点P，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，， 边在x轴上，．点P是边上一点，过点P分别作于点E， 于点D，当四边形的面积最大时，点P的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出一个以为顶点，且开口向上的抛物线表达式为________________． 12. 在一个不透明的盒子中装有12个白球和若干个黄球，这些球除颜色外都相同，小军将盒子中的球搅拌均匀，摸出一个球记录下颜色再放回，通过多次重复这一过程发现，摸到黄球的频率稳定在0.4左右，则盒子中黄球的个数可能是________个． 13. 如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上， 轴于点C，且，则k的值为______． 14. 如图，扇形AOB的圆心角为90°，C是的中点，过点C作的切线交OB的延长线于点E，若 ，则阴影部分的周长为______． 15. 如图，中， ，，．四边形是正方形，点D是直线 上一点，且．P是线段上一点，且．过点P作直线l于 平行，分别交，于点G，H，则 的长是__________． 三、解答题（共8题，共75分） 16. （1）计算： （2）解方程： 17. 如图，已知在平行四边形中，点F在延长线上，． （1）尺规作图：在上找一点E，使得（保留作图痕迹，不写作法，不必证明）； （2）在（1）条件下，若点E为中点， ， ，求的长． 18. 为了防洪需求，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形，斜面坡度（指坡面的铅直高度与水平宽度 的比）．已知斜坡为20米，，求斜坡的长．（结果精确到米，参考数据：） 19. 已知在平面直角坐标系中的位置如图所示： （1）在图中画出沿轴翻折后的； （2）以点为位似中心，在网格内作出按放大后的位似图形； （3）点的坐标______；与的周长比是______，与的面积比是______． 20. 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作，书中以23个定义、5个公设和5个公理作为基本出发点，给出了119个定义和465个命题．我们的教科书中的几何证明题就是根据书中命题推理的．请根据你的数学活动经验解决以下问题：点是的边上一点，与边相切于点，与边 ，分别相交于点， ，且． （1）求证： ； （2）当，时，求的长． 21. “跳大绳”是中国历史悠久的运动，一直受到青少年儿童的喜爱．通过跳绳运动可以促进学生心肺功能的提高，培养学生良好的意志品质，还可以培养学生团结协作的精神．某校在大课间活动中开展了“跳大绳”活动．如图，小明和小亮分别抓住大绳的两端转动大绳，他们转动大绳的手距离水平地面均为1m，大绳在距离他们5m处有最高点，距水平地面3.5m．建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中是大绳距小明的水平距离， 是大绳距水平地面的高度． （1）求抛物线的表达式； （2）小红在跳绳时，距离小明的水平距离2m（即与点O的水平距离），当绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶正上方1m处，求小红的身高； （3）身高为1.9m的体育老师刘老师也参加了活动，当刘老师跳进大绳，直立落地时，绳子甩到最高处，且正好扫过刘老师的头顶，求刘老师与小红间的水平距离． 22. 如图，四边形是平行四边形，原点O是其对角线的交点，轴，点，，反比例函数的图象经过点B，D． （1）求反比例函数的表达式和直线的表达式； （2）求图中阴影部分的面积之和； （3）已知点，过点P作平行于x轴的直线，交所在直线于点M，过点P作平行于y轴的直线，交反比例函数的图象于点N．若，结合函数的图象，直接写出n的取值范围． 23. 【问题发现】 （1）如图1所示，在等腰中，点P为底边 上一动点，在射线上取点D，作 ，垂足为E．若．则 与 的数量关系为_______； 【类比探究】 （2）如图2所示，在等腰中， ，点P为底边BC上一动点，在射线 上取点D，作 ，垂足为E．若 ，且．请探究 与 的数量关系； 【拓展应用】 （3）在（2）的前提下，若，点P为线段 的三等分点，请直接写出 的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $