6.4.1平面几何中的向量方法、6.4.2向量在物理中的应用举例课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第六章 平面向量 6.4 平面向量的应用 6.4.1 平面几何中的向量方法 6.4.2向量在物理中的应用举例 1.会用向量法解决简单的平面几何问题、与简单的力学问题及实际问题,体会向量在实际问题中的作用. 2.掌握用向量知识解决一些简单的平面几何问题的方法和步骤. 3.学会选择恰当的方法,将几何问题转化为向量问题. 4.会选择适当的方法,建立以向量为主的数学模型,把物理问题转化为数学问题. 学习目标 学习了向量的线性运算和数量积运算,我们发现很多几何图形的性质可以由向量的线性运算和数量积运算表示出来,例如 因此,平面几何中许多问题就可以用向量的方法来解决. 平行: 垂直: 夹角: 长度: 复习回顾 典例分析—平行问题 例1.如图,是的中位线,用向量方法证明: 证明:如图,因为是的中位线, 所以,. 从而. 又 所以. 于是 分析:初中证明过这个结论时要加辅助线,有一定难度。如果用向量方法证明这个结论,可以取为基底,用表示,证明即可. C A B D E 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”: 一 几何图形到向量 二 恰当的向量运算 三 向量到几何关系 归纳总结 典例分析—长度问题 证明:第一步,建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题: 如图,取为基底,设,, 则,. 分析:平行四边形中与两条对角线对应的向量恰是与两条邻边对应的两个向量的和与差,我们可以通过向量运算来探索它们的模之间的关系. 例2.如图,已知平行四边形ABCD,你能发现对角线AC和BD的长度与两条邻边AB和AD的长度之间的关系吗? 典例分析—长度问题 第二步,通过向量运算,研究几何元素之间的关系: , . 上面两式相加,得. 第三步,把运算结果“翻译”成几何关系: . 你能用自然语言叙述这个关系式的意义吗? 平行四边形两条对角线长的平方和等于两条邻边长的平方和的两倍 典例分析—垂直问题 例3.在 中,,为的中点,用向量方法证明。 证明:如图,设,, 则, D是BC的中点 典例分析—夹角问题 例4:如图,在 中,,AB=AC=3,点在线段上,且BD=DC, 求: (1)线段的长; (2)的大小。 证明:(1)如图,设,, 则 3 典例分析—夹角问题 例4:如图,在 中,,AB=AC=3,点在线段上,且BD=DC, 求: (1)线段的长; (2)的大小。 (2)设则为与的夹角 0 ∵∈[0 ,180 ] 例5. 如图所示,在正方形ABCD中,E,F分别是AB,BC的中点,求证:AF⊥DE. 思考(1): 你认为本题的关键是什么? 思考(2):如何才能求出,? ∵要证明AF⊥DE, ∴只需证出 先取一个基底{,再将表示出来. 典例分析 典例分析 例5. 如图所示,在正方形ABCD中,E,F分别是AB,BC的中点,求证:AF⊥DE. 解析 因为E,F分别是AB,BC的中点,所以 典例分析 解析 如图所示,建立平面直角坐标系, 设正方形的边长为2, 则A(0,0),D(0,2),E(1,0),F(2,1), 例5. 如图所示,在正方形ABCD中,E,F分别是AB,BC的中点,求证:AF⊥DE. 用向量法解决平面几何问题的两种方法 【基底法】 ①选取基底;(作为基底的向量尽量有模长和夹角) ②用基底表示相关向量; ③利用向量的线性运算或数量积找出相应关系. ④把几何问题向量化. 【坐标法】 ①建立适当的平面直角坐标系; ②把相关向量坐标化; ③用向量的坐标运算找出相应关系; ④把几何问题向量化. 归纳总结 典例分析 变式 :正方形的边长为是的中点,是边上靠近点的三等分点,AF与交于点,求的余弦值. 思考(1): 你认为本题的关键是什么? 思考(2):如何才能求出,? ∵∠EMF可看成,的夹角, ∴要求∠EMF,只需求出, 先取一个基底{,再将表示出来. 巩固练习 变式:正方形的边长为是的中点,是边上靠近点的三等分点,AF与交于点,求的余弦值. 思考(3):你能说说本题的其它思路吗? 解: 取基底{,},则 ||=||=a, =+= =-= == == 同理||= 又=()) = ∴cosEMF= == 巩固练习 本题涉及是与正方形有关的问题,因此如果建立坐标系,很容易得到向量的坐标,从而用向量的坐标运算来解决. 变式:正方形的边长为是的中点,是边上靠近点的三等分点,AF与交于点,求的余弦值. 解:以A为原点,直线AB,AD分别为x轴和y轴建立坐标系,则 A(0,0),D(0,a), E(,0),F(a,). ∴=(a,), =(,0)-(0,a)=(,-a), 且为,的夹角. ∵|==a, |==a ∙∙(,-a)=a2 ∴cosEMF = == 典例分析——物理应用 例4.在如图,一条河两岸平行,河的宽度,一艘船从河岸边的地出发,向河对岸航行.已知船的速度的大小为,水流速度的大小为,那么当航程最短时,这艘船行驶完全程需要多长时间(精确到)? 分析:如果水是静止的,那么船只要取垂直于河岸的方向行驶,就能使航程最短,此时所用时间也是最短的. 考虑到水的流速,要使航程最短,船的速度与水流速度的合速度也必须垂直于河岸。 典例分析——物理应用 解:设点是河对岸一点,与河岸垂直,那么当这艘船实际沿着方向行驶时,船的航程最短. 如图,设,则 此时,船的航行时间 所以,当航程最短时,这艘船行驶完全程需要. 问题转化 建立模型 求解参数 回答问题 把物理问题转化为数学问题 建立以向量为载体的数学模型 求向量的模、夹角、数量积等 把所得的数学结论回归到物理问题中 归纳总结 思考:利用向量法解决物理问题的基本思路是什么? 课堂总结 $$