重难点01 二次根式十四大重难点题型-2024-2025学年八年级数学下册【重难点考点】专练（人教版）

重难点01 二次根式十四大重难点题型 ▲知识点1： 二次根式有关概念 1、二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式．其中“ ”称为二次根号，a为被开方数. 2、代数式的定义：用基本运算符号（基本运算符号包括：加、减、乘、除、乘方和开方）把表示数或字母连接起来的式子，称为代数式. 3、最简二次根式概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 4、可合并的二次根式概念：把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，则这几个二次根式就是可以合并的二次根式． ▲知识点2：二次根式的有关性质 1、 的性质： 0； a≥0（双重非负性）． 2、（）2（a≥0） 的性质： （）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． 3、 的性质： |a|（算术平方根的意义）． ▲知识点3：二次根式的相关运算 1、二次根式的乘除法 二次根式的乘法法则：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变. 二次根式的除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变. 用字母表示为： （1）二次根式的乘法法则：•（a≥0，b≥0） （2）积的算术平方根性质：•（a≥0，b≥0） （3）二次根式的除法法则：（a≥0，b＞0） （4）商的算术平方根的性质：（a≥0，b＞0） 2、二次根式的加减法 二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并. 合并方法为系数相加减，根指数和被开方数不变． 3、二次根式的混合运算 （1）二次根式的混合运算是指二次根式的加、减、乘、除、乘方的混合运算． （2）二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序是一样：先乘方、再乘除、最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）． 【题型一 二次根式有意义的条件】 1．若有意义，则x的取值范围是（　　） A．x＞2 B．x≥2 C．x＜2 D．x≤2 2．（2024春•番禺区期末）下列二次根式有意义的范围为x≥﹣4的是（　　） A． B． C． D． 3．（2024春•白云区期末）若代数式有意义，则x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．无论a取何值，下列各式中一定有意义的是（　　） A． B． C． D． 5．（2024•莘县一模）已知函数，则x满足的条件是 　 　． 6．若代数式有意义，则x的取值范围是　 　． 【题型二 根据二次根式是整数求字母的取值】 1．已知是整数，则自然数n所有可能的值有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．若是整数，则满足条件的自然数n的值可以是 　 （写出一个即可）． 3．（2024春•鄂尔多斯月考）若是整数，则满足条件的最大自然数n是 　 　． 4．（2024春•潮南区期末）已知是整数，则正整数n的最小值为 　 　． 5．已知是整数，求自然数n所有可能的值； 【题型三 二次根式与绝对值的综合运用】 1．已知实数x满足|2017﹣x|x，求x﹣20172的值． 2．已知x，y满足y5，试化简|y﹣5|． 3．（2024春•兴化市期末）实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简 ）2+|c|． 4．实数a、b在数轴上的位置如图中的A、B两点． （1）A点与表示﹣1点的距离是 　 　； （2）化简． 5．已知10，化简2|x﹣6| 6．小明在学习二次根式时，碰到这样一道题，他尝试着运用分类讨论的方法解题如下： 题目：若代数式的值是1，求m的取值范围． 解：原式＝|m﹣1|+|m﹣2|， 当m＜1时，原式＝（1﹣m）+（2﹣m）＝3﹣2m＝1，解得m＝1（舍去）； 当1≤m≤2时，原式＝（m﹣1）+（2﹣m）＝1，符合条件； 当m＞2时，原式＝（m﹣1）+（m﹣2）＝2m﹣3＝1，解得m＝2（舍去）； 所以，m的取值范围是1≤m≤2． 请你根据小明的做法，解答下列问题： （1）当3≤m≤5时，化简：　 　； （2）若代数式的值是4，求m的取值范围． 【题型四 二次根式与三角形的综合运用】 1．设a，b，c分别为一三角形的三边长，试化简：|a﹣b﹣c|． 2．已知a、b、c是△ABC的三边，化简：． 3．已知三角形的两边长分别为3和5，第三边长为c，化简（）2． 4．（2024春•广州期中）已知直角三角形的三边为a，b，c．其中b，c满足． （1）求a； （2）先化简再求值：． 【题型五 二次根式乘除法法则成立的条件】 1．等式 有意义，则的取值范围为（    ） A．                B．                  C．              D．  2．等式•成立的条件是　 　． 3．（2024秋•闵行区校级期中）如果•成立，那么x的取值范围是 　 　． 4．（2024•绵阳模拟）等式成立的x的取值范围在数轴上表示为（　　） A． B． C． D． 5．（2024秋•万柏林区校级月考）等式成立的x取值范围是（　　） A．x≤1 B．x＞3 C．1≤x＜3 D．x＜3 【题型六 把二次根式根号外的因数（式）移到根号内】 1．（2024春•凉州区期末）若把x中根号外的因式移入根号内，则转化后的结果是（　　） A． B． C． D． 2．（2024春•绥滨县期末）把（m﹣1）中根号前的（m﹣1）移到根号内得（　　） A． B． C． D． 3．把下列各式中根号外的因式适当改变后移到根号内． （1）2； （2）﹣4； （3）（2﹣x）． 4．把下列各式中根号外的因数（式）移到根号内． （1）﹣xy； （2）7； （3）﹣5； （4）3b； 【题型七 二次根式的混合运算】 1．（2024春•庐阳区期末）计算：|2|． 2．（2024春•盘龙区期末）计算：． 3．（2024春•汕尾期末）计算： （1）； （2）． 4．（2024春•红旗区校级期末）计算： （1）； （2）． 5．（2024春•平城区校级月考）计算： （1）； （2）． 6．（2024春•梁园区期末）计算： （1）； （2）． 【题型八 二次根式的运算在实际生活中的应用】 1．（2024秋•宣化区期末）如图，在一个长方形中无重叠的放入面积分别为32cm2和2cm2的两张正方形纸片，则图中阴影部分的面积为（　　） A．3.2cm2 B．6cm2 C．6cm2 D．12cm2 2．（2024秋•鹿城区校级期中）如图，在一个正方形的内部放置大小不同的两个小正方形，其中较大的正方形条的面积为15，重叠部分的面积为1，空白部分的面积为，则较小的正方形面积为（　　） A．4 B． C．9 D． 3．（2024春•潼南区期中）在一块矩形的土地上种植草坪，该矩形土地的长为m、宽为m． （1）求该矩形土地的周长； （2）若种植造价每平方米160元，求在该矩形土地上全部种植草坪的总费用． （提示：结果保留整数，2.4） 4．（2024春•陵城区期中）如图，有一张边长为6cm的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，此小正方形的边长为cm． （1）求长方体盒子的容积； （2）求这个长方体盒子的侧面积． 5．（2024春•汉滨区期中）三角形的周长为（52）cm，面积为（204）cm2，已知两边的长分别为cm和cm，求：5．三边的长； （2）第三边上的高． 6．（2024春•云南期末）某居民小区有块形状为矩形ABCD的绿地，长BC为米，宽AB为米，现在要矩形绿地中修建两个形状大小相同的长方形花坛（即图中阴影部分），每个长方形花坛的长为米，宽为米． （1）求矩形ABCD的周长．（结果化为最简二次根式） （2）除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/平方米的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？ 【题型九 二次根式的大小比较】 1．用平方法比较与的大小． 2．（2024春•关岭县期末）王老师在小结时总结了这样一句话“对于任意两个正数a，b，如果a＞b，那么”，然后讲解了一道例题：比较和2的大小． 解：200＝8，（2）2＝4×3＝12．∵8＜12，∴2． 参考上面例题的解法，解答下列问题： （1）比较﹣5与﹣6的大小； （2）比较1与的大小． 3．（2024秋•山亭区期末）数学课上，老师出了一道题：比较与的大小． 小华的方法是： 因为4，所以2 　　2，所以　　（填“＞”或“＜”）； 小英的方法是： ，因为19＞42＝16，所以4 　　0，所以　　0，所以　　（填“＞”或“＜”）． （1）根据上述材料填空； （2）请从小华和小英的方法中选择一种比较与的大小． 4．课堂上老师讲解了比较和的方法，观察发现11﹣10＝15﹣14＝1，于是比较这两个数的倒数： 因为，所以，则有． 请你设计一种方法比较与的大小． 5．阅读下面问题：1；；2． （1）根据以上规律推测，化简：①；②（n为正整数）． （2）根据你的推测，比较和的大小． 【题型十 巧用二次根式的小数部分与整数部分求代数式的值】 1．若的整数部分为x，小数部分为y，则（2x）y的值是（　　） A． B．3 C． D．﹣3 2．已知m、n分别是的整数部分和小数部分，求m、n的值，并求代数式的值． 3．（2024春•天长市校级月考）大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但可以用来表示的小数部分，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为．请解答： （1）的整数部分是 　 　，小数部分是 　 　； （2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值． 4．（2024秋•罗湖区校级期中）根据推理提示，回答下列问题： ∵，即12， ∴的整数部分为1，小数部分为1． （1）的整数部分是 　 　，小数部分是 　 　． （2）如果的小数部分为m，的整数部分为n，求2m+n﹣2　 　． （3）已知：10a+b，其中a是整数，且0＜b＜1，则a＝　 ，b＝　 　． 【题型十一 二次根式的化简求值】 1．先化简，再求值：（）﹣（），其中x，y＝27． 2．（2024春•长沙期中）先化简，后求值：.，其中． 3．先化简，再求值：（）2•，其中a，b． 4．（2024春•宜昌期中）已知xy＝6，且x，y都是正数，求x的值． 5．已知：x＝2，y＝2，求下列各式的值： （1）x2﹣y2； （2）x2﹣xy+y2； （3）2x3+6x2y+2xy2． 6．（2024春•青秀区校级月考）请阅读下列材料： 问题：已知，求代数式x2﹣4x﹣7的值． 小明根据二次根式的性质：，联想到了以下的解题方法： 根据得，则（x﹣2）2＝5，即x2﹣4x+4＝5，∴x2﹣4x＝5﹣4＝1． 把x2﹣4x作为整体代入，得：x2﹣4x﹣7＝1﹣7＝﹣6． 仿照上述方法解决问题： （1）已知，求代数式x2+6x﹣8的值． 根据得x+3＝　 　 ①，则（x+3）2＝x2+6x+9＝　　 ②，∴x2+6x＝　　 ③，∴x2+6x﹣8＝　 ④． （2）已知，求代数式x3+2x2的值． 【题型十二 利用有理数的意义求字母式子的值】 1．若a+6，当a，m，n均为正整数时，则的值为 　 ． 2．先阅读下面的材料，然后再根据要求解答提出的问题：设a，b是有理数，且满足ab＝3﹣2，求ba的值．解：由题意得（a﹣3）+（b+2）0，因为a，b都是有理数，所以a﹣3，b+2也是有理数，由于是无理数，所以a﹣3＝0，b+2＝0，所以a＝3，b＝﹣2，所以ba＝（﹣2）3＝﹣8． 问题：设x，y都是有理数，且满足x2﹣2yy＝8+4，求x+y的值． 3．【阅读学习】 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2（1）2．善于思考的小明进行了以下探索： 设a+b（m+n）2（其中a，b，m，n均为整数），则有a+bm2+2n2+2mn． ∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把a+b的式子化为平方式的方法． 【解决问题】 （1）当a，b，m，n均为正整数时，若a+b（m+n）2，用含m，n的式子分别表示a，b，得：a＝　 　，b＝　 　； （2）利用（1）的结论，找一组正整数a，b，m，n（m≠n），使得a+b（m+n）2成立，且a+b+m+n的值最小．请直接写出a，b，m，n的值； （3）若a+6（m+n）2，且a，m，n均为正整数，求a的值． 【题型十三 有关二次根式的规律探究】 1．（2024春•承德期末）观察下列各式及其验证过程： ，验证：； ，验证：； （1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证； （2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为大于1的整数）表示的等式并给予验证． 2．（2024秋•鄞州区期中）先阅读材料，再解决问题． ； ； ； ； … 根据上面的规律，解决问题： （1）　 　＝　 　； （2）求（用含n的代数式表示）． 3．（2024春•海淀区校级期中）同学们，在二次根式一章中有一个有趣的现象：，根号里的因数2经过适当的演变，竟“跑”到了根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”．具有这一性质的数还有许多，如、等等． （1）猜想：　　； （2）请再写出1个具有“穿墙”性质的数 　 　； （3）请用只含有一个正整数n（n≥2）的等式表示上述规律：　 　． 4．（2024春•朔州月考）综合与探究： 观察下列等式，根据你发现的规律解决问题： ③ …… （1）化简：　 ． （2）化简：　 　（n为正整数）． （3）利用上面所揭示的规律计算： ． 5．（2024春•香洲区期中）观察下列各式： 1，，1； 请根据以上三个等式提供的信息解答下列问题： （1）猜想1　 ； （2）归纳：根据猜想写出一个用n（n表示正整数）表示的等式； （3）应用计算：； （4）拓展应用：化简下列式子； ． 【题型十四 二次根式运算在复合二次根式中的应用】 1．先阅读下面例题的解答过程，然后作答． 例题：化简． 解：先观察， 由于8＝5+3，即8＝（）2+（）2， 且15＝5×3，即2， 则有． 试用上述例题的方法化简：（　　） A． B．2 C．1 D．2 2．（2024秋•城阳区期中）先阅读下面的解题过程，然后再解答： 形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使a+b＝m，ab＝n，即（）2+（）2＝m，•，那么便有：±（a＞b）． 例如：化简：． 解：首先把化为，这里m＝7，n＝12． 因为4+3＝7，4×3＝12， 即（）2+（）2＝7，， 所以2． 根据上述方法完成下列题目： （1）　 （直接写化简后结果）； （2）化简：．（写出解答过程） 3．（2024秋•郸城县期中）请阅读下列材料： 形如的式子的化简，我们只要找到两个正数a，b，使a+b＝m，ab＝n，即，那么便有（a＞b）． 例如：化简． 解：首先把化为，这里m＝7，n＝12， 由于4+3＝7，4×3＝12，即， 所以． 请根据材料解答下列问题： （1）填空：　 　． （2）化简：（请写出计算过程）． 4．（2024春•金华月考）有这样一类题目：将化简，若你能找到两个数m和n，使m2+n2＝a且mn，则a+2可变为m2+n2+2mn，即变成（m+n）2，从而使得化简． 例如：∵5+23+2+2（）2+（）2+2（）2 ∴ 请你仿照上例将下列各式化简： （1）； （2）． 1．（2024春•贵池区期末）下列式子一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024•任城区模拟）若二次根式有意义，则x的取值范围是（　　） A．x≥0 B．x≥2 C．x≥﹣2 D．x≤2 3．（2024春•潍城区期末）使在实数范围内成立的x的取值范围是（　　） A．﹣1≤x＜2 B．1＜x≤2 C．1＜x＜2 D．﹣1≤x≤2 4．（2024春•湖州期末）已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简的正确结果是（　　） A．a+b﹣1 B．1﹣a﹣b C．a﹣b+3 D．b﹣a﹣3 5．（2024春•乐陵市校级月考）计算：3的值为（　　） A．1 B．3 C． D．9 6．（2024春•庐阳区校级期末）若最简二次根式与是同类二次根式，则a＝　 　． 7．（2024春•获嘉县校级月考）若最简二次根式与的和是一个单项式，那么a＝　 　． 8．（2024秋•攸县期末）下列运算中，①，②，③，④，⑤．其中正确的是 　 　．（填序号） 9．（2024秋•启东市期末）我们规定运算符号“△”的意义是：当a＞b时，a△b＝a+b；当a≤b时，a△b＝a﹣b，其它运算符号的意义不变，计算：（△）﹣（2△3）＝　 ． 10．（2024春•靖江市校级月考）计算 （1）|1|+（）﹣2﹣（π﹣2024）0． （2）． 11．（2024秋•南江县校级期中）若﹣1≤x≤2，化简：|x﹣2|． 12．（2024春•江岸区期中）先化简，再求值．，其中． 13．（2024秋•长安区期末）某居民小区有块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为米，宽AB为米，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为（1）米，宽为（1）米． （1）长方形ABCD的周长是 　 　米； （2）除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/m2的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？（结果均化为最简二次根式） 14．（2024春•金平区期末）已知，，． 求：（1）ab＝　 　；a2+b2﹣ab＝　 ； （2）若m为a整数部分，n为b小数部分，求的值． 15．（2024春•南昌期中）【阅读理解】 爱思考的小名在解决问题：已知a，求2a2﹣8a+1的值．他是这样分析与解答的： ∵a，a﹣2． ∴（a﹣2）2＝3，即 a2﹣4a+4＝3． ∴a2﹣4a＝﹣1． ∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1． 请你根据小名的分析过程，解决如下问题： （1）计算：　 ； （2）计算：　 　； （3）若 a，求 3a2﹣12a﹣1 的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点01 二次根式十四大重难点题型 ▲知识点1： 二次根式有关概念 1、二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式．其中“ ”称为二次根号，a为被开方数. 2、代数式的定义：用基本运算符号（基本运算符号包括：加、减、乘、除、乘方和开方）把表示数或字母连接起来的式子，称为代数式. 3、最简二次根式概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 4、可合并的二次根式概念：把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，则这几个二次根式就是可以合并的二次根式． ▲知识点2：二次根式的有关性质 1、 的性质： 0； a≥0（双重非负性）． 2、（）2（a≥0） 的性质： （）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． 3、 的性质： |a|（算术平方根的意义）． ▲知识点3：二次根式的相关运算 1、二次根式的乘除法 二次根式的乘法法则：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变. 二次根式的除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变. 用字母表示为： （1）二次根式的乘法法则：•（a≥0，b≥0） （2）积的算术平方根性质：•（a≥0，b≥0） （3）二次根式的除法法则：（a≥0，b＞0） （4）商的算术平方根的性质：（a≥0，b＞0） 2、二次根式的加减法 二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并. 合并方法为系数相加减，根指数和被开方数不变． 3、二次根式的混合运算 （1）二次根式的混合运算是指二次根式的加、减、乘、除、乘方的混合运算． （2）二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序是一样：先乘方、再乘除、最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）． 【题型一 二次根式有意义的条件】 1．若有意义，则x的取值范围是（　　） A．x＞2 B．x≥2 C．x＜2 D．x≤2 【分析】根据二次根式有意义，被开方数大于等于0，列不等式求解． 【解答】解：根据题意，得 x﹣2≥0， 解得x≥2． 故选：B． 【点评】本题主要考查二次根式有意义的条件的知识点，代数式的意义一般从三个方面考虑：（1）当代数式是整式时，字母可取全体实数；（2）当代数式是分式时，分式的分母不能为0；（3）当代数式是二次根式时，被开方数为非负数． 2．（2024春•番禺区期末）下列二次根式有意义的范围为x≥﹣4的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次根式中的被开方数是非负数，分式的分母不为0列出不等式，分别计算即可． 【解答】解：A、x+4≥0，解得x≥﹣4，符合题意； B、x﹣4≥0，解得x≥4，不符合题意； C、x+4＞0，解得x＞﹣4，不符合题意； D、x﹣4＞0，解得x＞4，不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键． 3．（2024春•白云区期末）若代数式有意义，则x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次根式被开方数不小于零的条件和分母不为零的条件进行解题即可． 【解答】解：由题可知， 2x﹣3＞0， 解得x． 故选：D． 【点评】本题考查二次根式有意义的条件，掌握被开方数不小于零的条件和分母不为零的条件是解题的关键． 4．无论a取何值，下列各式中一定有意义的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次根式中的被开方数是非负数判断即可． 【解答】解：A.不一定有意义，不合题意； B.不一定有意义，不合题意； C.不一定有意义，不合题意； D.的被开方数是正数，一定有意义，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键． 5．（2024•莘县一模）已知函数，则x满足的条件是 　 　． 【分析】本题考查了求函数的自变形及分式、二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键． 【解答】解：∵函数， ∴x+2≥0，且x﹣3≠0， ∴x≥﹣2且x≠3． 故答案为：x≥﹣2且x≠3． 【点评】根据分式及二次根式有意义的条件分析求解即可． 6．若代数式有意义，则x的取值范围是　 　． 【分析】根据零指数幂：a0＝1（a≠0）可得x﹣2≠0，根据二次根式和分式有意义的条件可得x﹣1≥0，且x﹣1≠4，再解不等式即可． 【解答】解：∵代数式有意义， ∴x﹣2≠0且x﹣1≥0且x﹣1≠4， 解得x≥1且x≠2且x≠5， ∴x的取值范围是x≥1且x≠2且x≠5， 故答案为：x≥1且x≠2且x≠5． 【点评】此题主要考查了二次根式和分式有意义的条件和零次幂，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数，分式有意义的条件是分母不等于零． 【题型二 根据二次根式是整数求字母的取值】 1．已知是整数，则自然数n所有可能的值有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】由二次根式的定义即可求出答案． 【解答】解：由于20﹣n≥0，且n≥0， ∴0≤n≤20， 由于是整数， ∴20﹣n＝0或1或4或9或16， 解得：n＝20或19或16或11或4，一共5个． 故选：D． 【点评】本题考查二次根式的定义，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件． 2．若是整数，则满足条件的自然数n的值可以是 　 （写出一个即可）． 【分析】先确定n的取值范围，再根据代数式是整式写一个满足题意的n即可． 【解答】解：∵12﹣n≥0， ∴n≤12， ∵是整数， ∴当12﹣n＝1时，n＝11． 故答案为：11． 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 3．（2024春•鄂尔多斯月考）若是整数，则满足条件的最大自然数n是 　 　． 【分析】根据二次根式有意义的条件可得16﹣n≥0，得到n的取值范围，再根据题干要求进行判断即可． 【解答】解：∵是整数， ∴16﹣n≥0， 解得n≤16， 且n最大为16时，有， ∴满足条件的最大自然数n是16． 【点评】本题考查二次根式有意义的条件，以及二次根式的化简，理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围． 4．（2024春•潮南区期末）已知是整数，则正整数n的最小值为 　 　． 【分析】先求出28＝22×7，再得出答案即可． 【解答】解：， ∵是整数，n为正整数， ∴n的最小值是7． 故答案为：7． 【点评】本题考查了二次根式的定义，能理解题意是解此题的关键． 5．已知是整数，求自然数n所有可能的值； 【分析】根据二次根式结果为整数，确定出自然数n的值即可； 【解答】解：∵是整数， ∴18﹣n＝0，18﹣n＝1，18﹣n＝4，18﹣n＝9，18﹣n＝16， 解得：n＝18，n＝17，n＝14，n＝9，n＝2， 则自然数n的值为2，9，14，17，18； 【点评】此题考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式性质是解本题的关键． 【题型三 二次根式与绝对值的综合运用】 1．已知实数x满足|2017﹣x|x，求x﹣20172的值． 【分析】由绝对值的性质和已知，先求出x的值，再计算20172的值． 【解答】解：∵实数x满足|2017﹣x|x， ∴x≥2018． ∴x﹣2017x． 即2017． ∴x﹣2018＝20172． ∴x＝20172+2018． ∴x﹣20172 ＝20172+2018﹣20172 ＝2018． 【点评】本题主要考查了二次根式的性质，掌握绝对值的意义、二次根式的性质是解决本题的关键． 2．已知x，y满足y5，试化简|y﹣5|． 【分析】根据二次根式有意义的条件求出x，进而求出y，根据绝对值的性质、二次根式的性质计算，得到答案． 【解答】解：由题意得，x﹣3≥0，3﹣x≥0， 解得：x＝3， ∴y＜5， 则原式＝|y﹣5|5﹣y﹣（6﹣y）＝5﹣y﹣6+y＝﹣1． 【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件、绝对值的性质以及二次根式的性质，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 3．（2024春•兴化市期末）实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简 ）2+|c|． 【分析】根据数轴得到c＜a＜0＜b，再根据二次根式的性质、合并同类项计算即可． 【解答】解：由数轴可知：c＜a＜0＜b， 则a﹣b＜0，b﹣c＞0， ∴（）2+|c| ＝b﹣a﹣b+c﹣c ＝﹣a． 【点评】本题考查的是二次根式的乘除法、实数与数轴、二次根式的性质与化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． 4．实数a、b在数轴上的位置如图中的A、B两点． （1）A点与表示﹣1点的距离是 　 　； （2）化简． 【分析】（1）根据数轴上两点间的距离公式可得答案； （2）根据数轴可知b﹣1＞0，b﹣2＜0，然后根据二次根式的性质化简即可． 【解答】解：（1）根据数轴可知：A点与表示﹣1点的距离是a+1， 故答案为：a+1； （2）原式＝b﹣1 ＝b﹣1+2﹣b ＝1． 【点评】此题考查的是二次根式的性质与化简、实数与数轴，掌握二次根式的性质是解决此题关键． 5．已知10，化简2|x﹣6| 【分析】先由10，求得x的取值范围，再判定2x+8＞0，x﹣6＜0，根据绝对值的性质，即可解答． 【解答】解：10， 10 |x+4|+|x﹣6|＝10， 当x+4＞0，x﹣6＜0时，|x+4|+|x﹣6|＝10成立， ∴﹣4＜x＜6， ∴2x+8＞0，x﹣6＜0， 2|x﹣6|＝|2x+8|+2|x﹣6|＝2x+8﹣2（x﹣6）＝2x+8﹣2x+12＝20． 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，解决本题的关键是确定x的取值范围． 6．小明在学习二次根式时，碰到这样一道题，他尝试着运用分类讨论的方法解题如下： 题目：若代数式的值是1，求m的取值范围． 解：原式＝|m﹣1|+|m﹣2|， 当m＜1时，原式＝（1﹣m）+（2﹣m）＝3﹣2m＝1，解得m＝1（舍去）； 当1≤m≤2时，原式＝（m﹣1）+（2﹣m）＝1，符合条件； 当m＞2时，原式＝（m﹣1）+（m﹣2）＝2m﹣3＝1，解得m＝2（舍去）； 所以，m的取值范围是1≤m≤2． 请你根据小明的做法，解答下列问题： （1）当3≤m≤5时，化简：　 　； （2）若代数式的值是4，求m的取值范围． 【分析】（1）先利用二次根式的性质得到原式＝|m﹣3|+|m﹣5|，再根据m的范围去绝对值，然后合并即可； （2）先利用二次根式的性质得到原式＝|m﹣2|﹣|m﹣6|，再讨论：m＜2或2≤m≤6或m＞6，然后分别去绝对值确定满足条件的m的范围． 【解答】解：∵3≤m≤5， ∴|m﹣3|+|m﹣5| ＝m﹣3﹣（m﹣5） ＝m﹣3﹣m+5 ＝2； 故答案为2； （2）原式＝|m﹣2|﹣|m﹣6|， 当m＜2时，原式＝（2﹣m）﹣（6﹣m）＝﹣4，不符合条件； 当2≤m≤6时，原式＝（m﹣2）﹣（6﹣m）＝2m﹣8＝4，解得m＝6，符合条件； 当m＞6时，原式＝（m﹣2）﹣（m﹣6）＝4，符合条件； 所以m的取值范围是m≥6． 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简：熟练掌握二次根式的性质和分类讨论的思想是解决问题的关键． 【题型四 二次根式与三角形的综合运用】 1．设a，b，c分别为一三角形的三边长，试化简：|a﹣b﹣c|． 【分析】先根据三角形的三边关系判断出a+b+c，a﹣b﹣c，b﹣a﹣c及c﹣b﹣a的符号，再把二次根式进行化简即可． 【解答】解：∵a，b，c分别为一三角形的三边长， ∴a+b+c＞0，a﹣b﹣c＜0，b﹣a﹣c＜0，c﹣b﹣a＜0， ∴原式＝a+b+c﹣（a﹣b﹣c）﹣（b﹣a﹣c）+（c﹣b﹣a） ＝a+b+c﹣a+b+c﹣b+a+c+c﹣b﹣a ＝4c． 【点评】本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知三角形的三边关系是解答此题的关键． 2．已知a、b、c是△ABC的三边，化简：． 【分析】由a，b，c为三角形三边，利用三角形三边关系判断即可得到结果． 【解答】解：∵a，b，c为△ABC三边， ∴a+b+c＞0，b﹣c﹣a＜0，c﹣a﹣b＜0， 则原式＝0+a+c﹣b﹣（a+b﹣c）＝a+c﹣b﹣a﹣b+c＝2c﹣2b． 【点评】此题考查了二次根式的性质与化简，以及三角形的三边关系，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 3．已知三角形的两边长分别为3和5，第三边长为c，化简（）2． 【分析】首先利用三角形三边关系得出c的取值范围，进而化简求出答案． 【解答】解：∵三角形的两边长分别为3和5，第三边长为c， ∴2＜c＜8， ∴（）2 ＝c﹣2 ＝c﹣2﹣（4c） c﹣6． 【点评】此题主要考查了二次根式的化简，正确得出c的取值范围是解题关键． 4．（2024春•广州期中）已知直角三角形的三边为a，b，c．其中b，c满足． （1）求a； （2）先化简再求值：． 【分析】（1）根据偶次方和算术平方根的非负性得出c﹣6＝0且b﹣8＝0，求出c＝6，b＝8，再根据勾股定理求出a即可； （2）根据二次根式有意义的条件得出a﹣6≥0，求出a≥6，所以a只能为10，再根据二次根式的性质进行计算，最后代入求出答案即可． 【解答】解：（1）∵直角三角形的三边为a，b，c．其中b，c满足， ∴c﹣6＝0且b﹣8＝0， ∴c＝6，b＝8， 当a为直角边时，a2； 当a为斜边时，a10； 所以a为2或10； （2）要使有意义，必须a﹣6≥0， 所以a≥6， ∵26，10＞6， ∴a＝10， ∴ ＝a﹣6 ＝a﹣6+a﹣8 ＝2a﹣14 ＝2×10﹣14 ＝20﹣14 ＝6． 【点评】本题考查了偶次方和算术平方根的非负性，二次根式有意义的条件，勾股定理，完全平方公式和二次根式的化简求值等知识点，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键． 【题型五 二次根式乘除法法则成立的条件】 1．等式 有意义，则的取值范围为（    ） A．                B．                  C．              D．  【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0；分母中有字母，分母不为0以及分母不为0求解即可． 【解答】解：由题意，得x－3≥0且4－x＞0， 解得3≤x＜4． 故答案为：C． 【点评】此题主要考查了二次根式的性质，正确利用二次根式的定义分析是解题关键． 2．等式•成立的条件是　 　． 【分析】直接利用二次根式的性质得出x+3≥0，x﹣3≥0进而得出答案． 【解答】解：∵•成立， ∴x+3≥0，x﹣3≥0， 解得：x≥3． 故答案为：x≥3． 【点评】此题主要考查了二次根式的性质，正确利用二次根式的定义分析是解题关键． 3．（2024秋•闵行区校级期中）如果•成立，那么x的取值范围是 　 　． 【分析】直接利用二次根式的性质结合不等式组的解法，分析得出答案． 【解答】解：∵•成立， ∴， 解得：x． 故答案为：x． 【点评】此题主要考查了二次根式的乘法以及二次根式有意义的条件、一元一次不等式组的解法，正确得出不等式组是解题关键． 4．（2024•绵阳模拟）等式成立的x的取值范围在数轴上表示为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出x的范围． 【解答】解：由题意可知：， 解得：﹣1≤x≤0， 故选：A． 【点评】本题考查二次根式的意义，二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件． 5．（2024秋•万柏林区校级月考）等式成立的x取值范围是（　　） A．x≤1 B．x＞3 C．1≤x＜3 D．x＜3 【分析】根据二次根式的有意义的条件即可求出答案． 【解答】解：由题意可知：0，0， ∴0， ∴x﹣1≤0，x﹣3＞0或x﹣1≥0，x﹣3＜0， ∴1≤x＜3， 故选：C． 【点评】本题考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练运用二次根式的有意义的条件． 【题型六 把二次根式根号外的因数（式）移到根号内】 1．（2024春•凉州区期末）若把x中根号外的因式移入根号内，则转化后的结果是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次根式的性质即可求出答案． 【解答】解：∵0， ∴x＜0， ∴原式 ， 故选：D． 【点评】本题考查二次根式的性质，解题的关键是熟练运用二次根式的性质． 2．（2024春•绥滨县期末）把（m﹣1）中根号前的（m﹣1）移到根号内得（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次根式的性质即可求出答案． 【解答】解：由题意可知：， ∴1﹣m＞0， ∴原式 ， 故选：D． 【点评】本题考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练运用二次根式的性质． 3．把下列各式中根号外的因式适当改变后移到根号内． （1）2； （2）﹣4； （3）（2﹣x）． 【分析】（1）根据a（a≥0）可得2，再根据二次根式的乘法进行计算即可； （2）根据a（a≥0）可得﹣4，再根据二次根式的乘法进行计算即可； （3）首先分析2﹣x是正数还是负数，根据二次根式被开方数为非负数可得2﹣x＜0，然后再把2﹣x化为，再根据二次根式的乘法进行计算即可． 【解答】解：（1）原式； （2）原式； （3）原式． 【点评】此题主要考查了二次根式的性质，关键是掌握a（a≥0）． 4．把下列各式中根号外的因数（式）移到根号内． （1）﹣xy； （2）7； （3）﹣5； （4）3b； 【分析】（1）根据题意可得出x与y同号，进而将xy平方后代入根号内化简即可，注意整体的符号； （2）根据题意将7平方后代入根号内化简即可； （3）根据题意可得﹣5＜0，进而将5平方后代入根号内化简即可，注意整体的符号； （4）根据题意将3b平方后代入根号内化简即可； 【解答】解：（1）﹣xy； （2）7； （3）﹣5； （4）3b； 【点评】此题主要考查了二次根式的化简，正确将根号外的因式移到根号内注意整体符号是解题关键． 【题型七 二次根式的混合运算】 1．（2024春•庐阳区期末）计算：|2|． 【分析】先算乘除，去绝对值符号，再合并同类二次根式即可． 【解答】解：|2| （2） 2 ＝4+2 ＝6． 【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键． 2．（2024春•盘龙区期末）计算：． 【分析】先算乘除，开方，再算加减即可． 【解答】解：原式＝（）2﹣12﹣1 ． 【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，平方差公式，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键． 3．（2024春•汕尾期末）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）先根据数的乘方及开方法则分别计算出各数，再算加减即可； （2）先去括号，再合并同类二次根式即可． 【解答】解：（1） ＝4+4﹣2 ＝6； （2） ＝224 ＝6． 【点评】本题考查的是二次函数的混合运算，熟知二次函数混合运算的法则是解题的关键． 4．（2024春•红旗区校级期末）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先利用完全平方公式与平方差公式展开，再合并即可． 【解答】解：（1）原式 ＝0； （2）原式＝1﹣412﹣5+2 ＝10﹣4． 【点评】本题考查二次根式的混合运算，二次根式的加减，解题关键是掌握二次根式运算法则． 5．（2024春•平城区校级月考）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减即可； （2）先化简二次根式，再运用乘法公式计算，最后合并同类二次根式即可． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键． 6．（2024春•梁园区期末）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）先算二次根式的乘除，再算加减即可； （2）先全部化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可． 【解答】解：（1）原式 ． （2）原式＝235 ． 【点评】本题考查二次根式的混合运算，熟记二次根式运算顺序及运算规则是解题的关键． 【题型八 二次根式的运算在实际生活中的应用】 1．（2024秋•宣化区期末）如图，在一个长方形中无重叠的放入面积分别为32cm2和2cm2的两张正方形纸片，则图中阴影部分的面积为（　　） A．3.2cm2 B．6cm2 C．6cm2 D．12cm2 【分析】根据题目中的数据和图形，可以写出阴影部分的长和宽，然后即可计算出阴影部分的面积． 【解答】解：由图可知， 阴影部分的长为43（cm），宽为：cm， ∴阴影部分的面积为：36（cm2）， 故选：C． 【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出阴影部分的长和宽． 2．（2024秋•鹿城区校级期中）如图，在一个正方形的内部放置大小不同的两个小正方形，其中较大的正方形条的面积为15，重叠部分的面积为1，空白部分的面积为，则较小的正方形面积为（　　） A．4 B． C．9 D． 【分析】根据面积可求得大正方形和阴影部分的边长，从而求得空白部分的长；观察可知两块空白部分全等，则可得到一块空白的面积；通过长方形面积公式渴求空白部分的宽，最后求出小正方形的边长即可求出面积． 【解答】解：∵观察可知，两个空白部分的长相等，宽也相等， ∴重叠部分也为正方形， ∵空白部分的面积为， ∴一个空白长方形面积＝22， ∵大正方形面积为15，重叠部分面积为1， ∴大正方形边长，重叠部分边长＝1， ∴空白部分的长1， 设空白部分宽为x，可得：（1）x＝22， 解得：x＝2， ∴小正方形的边长＝空白部分的宽+阴影部分边长＝2+1＝3， ∴小正方形面积＝32＝9， 故选：C． 【点评】本题主要考查了二次根式的应用，观察图形得到各个正方形边长之间的关系是解题的关键． 3．（2024春•潼南区期中）在一块矩形的土地上种植草坪，该矩形土地的长为m、宽为m． （1）求该矩形土地的周长； （2）若种植造价每平方米160元，求在该矩形土地上全部种植草坪的总费用． （提示：结果保留整数，2.4） 【分析】（1）根据矩形周长公式进行计算，并化简即可； （2）根据矩形面积公式先算出面积，而后乘以每平方米的价钱即可． 【解答】解：（1）2（）＝2（85）＝1610（m）． 即该矩形土地的周长为（1610）m； （2）854096（m2）， 160×96＝15360（元）． 故在该矩形土地上全部种植草坪的总费用约为15360元． 【点评】本题考查了二次根式的应用，矩形的周长与面积公式，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 4．（2024春•陵城区期中）如图，有一张边长为6cm的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，此小正方形的边长为cm． （1）求长方体盒子的容积； （2）求这个长方体盒子的侧面积． 【分析】（1）结合题意可知该长方体盒子的长为，宽为，高为cm，而长方体的容积为长×宽×高，即可得答案； （2）该长方体盒子的侧面为长方形，长为，宽为cm，共4个面，即可得答案． 【解答】解：（1）由题意可知：长方体盒子的容积为： （cm3）， 答：长方体盒子的容积为48． （2）长方体盒子的侧面积为： ＝48（cm2）， 答：这个长方体盒子的侧面积为48cm2． 【点评】本题考查了二次根式的应用，关键是结合图形，结合二次根式的乘法法则求解． 5．（2024春•汉滨区期中）三角形的周长为（52）cm，面积为（204）cm2，已知两边的长分别为cm和cm，求：5．三边的长； （2）第三边上的高． 【分析】（1）根据第三边等于周长减去另两边之和，即可求出第三边的长； （2）根据三角形的高等于三角形的面积的2倍除以底边即可求出第三边上的高． 【解答】解：（1）∵三角形周长为 cm，两边长分别为 cm 和 cm， ∴第三边的长是：cm； （2）∵面积为（204）cm2， ∴第三边上的高为（）cm． 【点评】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键． 6．（2024春•云南期末）某居民小区有块形状为矩形ABCD的绿地，长BC为米，宽AB为米，现在要矩形绿地中修建两个形状大小相同的长方形花坛（即图中阴影部分），每个长方形花坛的长为米，宽为米． （1）求矩形ABCD的周长．（结果化为最简二次根式） （2）除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/平方米的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？ 【分析】（1）根据矩形的周长＝（长+宽）×2计算即可； （2）先求出通道的面积，再算钱数即可． 【解答】解：（1）（）×2 ＝（85）×2 ＝132 ＝26（米）， 答：矩形ABCD的周长为26米； （2）2×（1）×（1） ＝852×（13﹣1） ＝80﹣24 ＝56（平方米）， 6×56＝336（元）， 答：购买地砖需要花费336元． 【点评】本题考查了二次根式的应用，最简二次根式，掌握•（a≥0，b≥0）是解题的关键． 【题型九 二次根式的大小比较】 1．用平方法比较与的大小． 【分析】先计算两个数的平方，再根据平方法的比较原理进行判断即可． 【解答】解：17+2， 17， ∵17+2171， ∴ ∴ 【点评】此题主要考查运用平方法比较二次根式的大小，知道平方法的比较原理（当数大于1时，平方越大，数越大；当数大于0且小于1时，平方越大，数越小）并会计算二次根式的平方是解题的关键． 2．（2024春•关岭县期末）王老师在小结时总结了这样一句话“对于任意两个正数a，b，如果a＞b，那么”，然后讲解了一道例题：比较和2的大小． 解：200＝8，（2）2＝4×3＝12．∵8＜12，∴2． 参考上面例题的解法，解答下列问题： （1）比较﹣5与﹣6的大小； （2）比较1与的大小． 【分析】（1）先分别求出两数的平方，再根据求出的结果比较大小即可； （2）先分别求出两数的平方，再根据求出的结果比较大小即可． 【解答】解：（1）（﹣5）2＝25×6＝150，（﹣6）2＝36×5＝180， ∵150＜180， ∴﹣56； （2）（1）2＝7+21＝8+28，（）2＝5+23＝8+28， ∵， ∴1． 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，实数的大小比较和不等式的性质等知识点，能选择适当的方法求解是解此题的关键． 3．（2024秋•山亭区期末）数学课上，老师出了一道题：比较与的大小． 小华的方法是： 因为4，所以2 　　2，所以　　（填“＞”或“＜”）； 小英的方法是： ，因为19＞42＝16，所以4 　　0，所以　　0，所以　　（填“＞”或“＜”）． （1）根据上述材料填空； （2）请从小华和小英的方法中选择一种比较与的大小． 【分析】（1）根据不等式的性质即可解答； （2）仿照例题的方法进行计算即可解答． 【解答】解：（1）小华的方法是： 因为4，所以2＞2，所以， 小英的方法是： ，因为19＞42＝16，，因为19＞42＝16，所以4＞0，所以0，所以， 故答案为：＞，＞，＞，＞，＞； （2）如果选择小华的方法， ∵， ∴， ∴， 如果选择小英的方法， ， ∵6＜9， ∴3， ∴3＜0， ∴0， ∴． 【点评】本题考查了实数大小比较，熟练掌握作差法比较大小的方法是解题的关键． 4．课堂上老师讲解了比较和的方法，观察发现11﹣10＝15﹣14＝1，于是比较这两个数的倒数： 因为，所以，则有． 请你设计一种方法比较与的大小． 【分析】直接利用完全平方公式将原式变形进而计算得出答案． 【解答】解：∵（）2＝8+23＝11+2， （）2＝6+25＝11+2， ∴11+211+2， ∴（）2＜（）2， ∵0，0， ∴． 【点评】此题主要考查了实数比较大小，正确应用完全平方公式是解题关键． 5．阅读下面问题：1；；2． （1）根据以上规律推测，化简：①；②（n为正整数）． （2）根据你的推测，比较和的大小． 【分析】（1）①根据题目中的例子，可以写出的值； ②根据题目中的例子，可以写出的值； （2）根据题目中的例子，可以得到，，然后即可比较出和的大小． 【解答】解：（1）① ； ②； （2），， ∵， ∴， ∴． 【点评】本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法． 【题型十 巧用二次根式的小数部分与整数部分求代数式的值】 1．若的整数部分为x，小数部分为y，则（2x）y的值是（　　） A． B．3 C． D．﹣3 【分析】首先根据的整数部分，确定的整数部分x的值，则y即可确定，然后代入所求解析式计算即可求解． 【解答】解：∵34， ∴的整数部分x＝2， 则小数部分是：62＝4， 则（2x）y＝（4）（4） ＝16﹣13＝3． 故选：B． 【点评】本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键． 2．已知m、n分别是的整数部分和小数部分，求m、n的值，并求代数式的值． 【分析】首先判断出在3和4之间，即6的整数部分m＝2，则n＝4，然后把a和b的值代入代数式求值即可． 【解答】解：∵， ∴的整数部分在3和4之间， ∴6的整数部分m＝2，n＝4， ＝16﹣813﹣44 ＝21﹣7． 【点评】本题主要考查了代数式求值，涉及到比较有理数和无理数的大小，解题的关键在于用正确的形式表示出6的整数部分和小数部分，然后代入求值即可． 3．（2024春•天长市校级月考）大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但可以用来表示的小数部分，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为．请解答： （1）的整数部分是 　 　，小数部分是 　 　； （2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值． 【分析】（1）利用完全平方数可估算出45，从而得到的整数部分和小数部分； （2）利用完全平方数可估算出23，34，从而确定a和b的值，然后计算的值． 【解答】解：（1）∵16＜17＜25， ∴， 即45， ∴的整数部分是4，小数部分是（4）； 故答案为：4，（4）； （2）∵， 即23， ∴a2， ∵， 即34， ∴b＝3， ∴a+b2+31． 【点评】本题考查了二次根式的化简求值：利用无理数的估算表示无理数的整数部分和小数部分是解决问题的关键． 4．（2024秋•罗湖区校级期中）根据推理提示，回答下列问题： ∵，即12， ∴的整数部分为1，小数部分为1． （1）的整数部分是 　 　，小数部分是 　 　． （2）如果的小数部分为m，的整数部分为n，求2m+n﹣2　 　． （3）已知：10a+b，其中a是整数，且0＜b＜1，则a＝　 ，b＝　 　． 【分析】（1）根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可； （2）估算无理数、的大小，确定m、n的值，再代入计算即可； （3）根据无理数的大小，进而得出10的大小，确定a、b的值． 【解答】解：（1）∵，即34， ∴的整数部分是3，小数部分为3， 故答案为：3，3； （2）∵，即23， ∴的整数部分为2，小数部分m2， ∵，即45， ∴的整数部分n＝4， ∴2m+n﹣2 ＝24+4﹣2 ＝0， 故答案为：0； （3）∵56， ∴15＜1016， 又∵10a+b，其中a是整数，且0＜b＜1， ∴a＝15，b＝1015＝45， 故答案为：15，45． 【点评】本题考查平方根、算术平方根以及估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的前提． 【题型十一 二次根式的化简求值】 1．先化简，再求值：（）﹣（），其中x，y＝27． 【分析】根据二次根式的性质、二次根式的加减混合运算法则把原式化简，把x、y的值代入计算即可． 【解答】解：原式＝6xy4y6 ＝6346 ， 当x，y＝27时，原式3． 【点评】调标考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质、二次根式的加减混合运算法则是解题的关键． 2．（2024春•长沙期中）先化简，后求值：.，其中． 【分析】先把所求式子展开，再合并同类项，化简后将a的值代入计算即可． 【解答】解：原式＝a2﹣2﹣a2+4a ＝4a﹣2， 把a代入得： 原式＝4×（）﹣2 ＝2+22 ＝2． 【点评】本题考查二次根式化简求值，解题的关键是掌握平方差公式和多项式乘多项式法则，把所求式子化简． 3．先化简，再求值：（）2•，其中a，b． 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a、b的值代入进行计算即可． 【解答】解：原式 ， 当a，b时， 原式． 【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 4．（2024春•宜昌期中）已知xy＝6，且x，y都是正数，求x的值． 【分析】可将二次根式分母有理化，则原式，再将xy＝6整体代入，再合并同类二次根式，求得原式＝2． 【解答】解：∵xy＝6，且x，y都是正数， ∴原式 ＝2． 【点评】此题重点考查合并同类二次根式、二次根式的化简、求代数式的值等知识，需要注意的是，化简的结果应为最简二次根式． 5．已知：x＝2，y＝2，求下列各式的值： （1）x2﹣y2； （2）x2﹣xy+y2； （3）2x3+6x2y+2xy2． 【分析】（1）直接利用乘法公式计算得出答案； （2）直接将原式变形，再利用乘法公式计算得出答案； （3）直接将原式变形，再利用乘法公式计算得出答案． 【解答】解：（1）∵x＝2，y＝2， ∴x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y） ＝（22）（22） ＝4×2 ＝8； （2）x＝2，y＝2， ∴x2﹣xy+y2＝（x﹣y）2+xy ＝（22）2+（2）（2） ＝12+4﹣3 ＝13； （3）2x3+6x2y+2xy2 ＝2x（x2+3xy+y2） ＝2x[（x+y）2+xy]， ＝2×（2）[（22）2+（2）（2）] ＝2×（2）×（42+4﹣3） ＝2×（2）×17 ＝68+34． 【点评】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确运用乘法公式是解题关键． 6．（2024春•青秀区校级月考）请阅读下列材料： 问题：已知，求代数式x2﹣4x﹣7的值． 小明根据二次根式的性质：，联想到了以下的解题方法： 根据得，则（x﹣2）2＝5，即x2﹣4x+4＝5，∴x2﹣4x＝5﹣4＝1． 把x2﹣4x作为整体代入，得：x2﹣4x﹣7＝1﹣7＝﹣6． 仿照上述方法解决问题： （1）已知，求代数式x2+6x﹣8的值． 根据得x+3＝　 　 ①，则（x+3）2＝x2+6x+9＝　　 ②，∴x2+6x＝　　 ③，∴x2+6x﹣8＝　 ④． （2）已知，求代数式x3+2x2的值． 【分析】（1）根据求出，两边平方后求出x2+6x+9＝10，求出x2+6x＝1，再代入求出答案即可； （2）根据求出，两边平方求出4x2+4x+1＝5，求出x2+x＝1，再变形后代入，即可求出答案． 【解答】解：（1）根据得， 则（x+3）2＝x2+6x+9＝10， ∴x2+6x＝1， ∴x2+6x﹣8＝﹣7． 故答案为：，10，1，﹣7； （2）∵，∴，∴， 两边平方，得（2x+1）2＝5， 即4x2+4x+1＝5， ∴4x2+4x＝4， 即x2+x＝1， ∴x3+2x2＝x3+x2+x2＝x（x2+x）+x2＝x×1+x2＝x+x2＝1． 【点评】本题考查了二次根式的化简求值，完全平方公式，整式的加减等知识点，能够整体代入是解此题的关键． 【题型十二 利用有理数的意义求字母式子的值】 1．若a+6，当a，m，n均为正整数时，则的值为 　 ． 【分析】通过完全平方公式去掉括号求出a＝m2+3n2，2mn＝6，根据a，m，n均为整数，分两种情况求出m，n，进一步求出a，从而求解． 【解答】解：∵a+6， ∴a+6m2+2nm3n2（a，m，n均为整数）， ∴a＝m2+3n2，2mn＝6，∴mn＝3， ①m＝1，n＝3，a＝28， ②m＝3，n＝1，a＝12， 故的值为2或2． 【点评】本题主要考查了二次根式的混合运算，完全平方式，熟练掌握完全平方式的应用是解题关键． 2．先阅读下面的材料，然后再根据要求解答提出的问题：设a，b是有理数，且满足ab＝3﹣2，求ba的值．解：由题意得（a﹣3）+（b+2）0，因为a，b都是有理数，所以a﹣3，b+2也是有理数，由于是无理数，所以a﹣3＝0，b+2＝0，所以a＝3，b＝﹣2，所以ba＝（﹣2）3＝﹣8． 问题：设x，y都是有理数，且满足x2﹣2yy＝8+4，求x+y的值． 【分析】根据题目中例题的方法，对所求式子进行变形，求出x、y的值，从而可以求得x+y的值． 【解答】解：∵x2﹣2yy＝8+4， ∴（x2﹣2y﹣8）+（y﹣4）0， ∴x2﹣2y﹣8＝0，y﹣4＝0， 解得，x＝±4，y＝4， 当x＝4，y＝4时，x+y＝4+4＝8， 当x＝﹣4，y＝4时，x+y＝（﹣4）+4＝0， 即x+y的值是8或0． 【点评】本题考查实数的运算，解题的关键是明确题目中例题的解答方法，然后运用类比的思想解答所求式子的值． 3．【阅读学习】 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2（1）2．善于思考的小明进行了以下探索： 设a+b（m+n）2（其中a，b，m，n均为整数），则有a+bm2+2n2+2mn． ∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把a+b的式子化为平方式的方法． 【解决问题】 （1）当a，b，m，n均为正整数时，若a+b（m+n）2，用含m，n的式子分别表示a，b，得：a＝　 　，b＝　 　； （2）利用（1）的结论，找一组正整数a，b，m，n（m≠n），使得a+b（m+n）2成立，且a+b+m+n的值最小．请直接写出a，b，m，n的值； （3）若a+6（m+n）2，且a，m，n均为正整数，求a的值． 【分析】（1）根据阅读材料，利用完全平方公式将等式右边展开，即可求出a、b的值； （2）根据（1）的结论即可得到结果； （3）根据题意得到a＝m2+5n2，b＝2mn，求得mn＝3，分类讨论即可得到结论． 【解答】解：（1）（m+n）2＝m2+2mn+3n2＝m2+3n2+2mn． ∴a＝m2+3n2，b＝2mn． 故答案为：m2+3n2，2mn． （2）当n＝1，m＝2时，a＝22+3×1＝7，b＝2mn＝4， 故a＝7，b＝4，m＝2，n＝1时，a+b+m+n的值最小． （3）（m+n）2＝m2+2mn+5n2＝a+6， ∴a＝m2+5n2，6＝2mn， ∴mn＝3， ∵a、m、n均为正整数， ∴令m＝1，n＝3或m＝3，n＝1； 当m＝1，n＝3时，a＝12+5×32＝46． 当m＝3，n＝1时，a＝32+5×12＝14． 综上，a的值为14或46． 【点评】本题考查了二次根式的化简求值，完全平方公式，整式的加减，理解题意，弄清阅读材料中把一个式子化为平方式的方法是解题的关键． 【题型十三 有关二次根式的规律探究】 1．（2024春•承德期末）观察下列各式及其验证过程： ，验证：； ，验证：； （1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证； （2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为大于1的整数）表示的等式并给予验证． 【分析】（1）根据算术平方根的定义计算进行化简即可； （2）计算，再根据算术平方根的定义进行化简即可． 【解答】解：（1）∵，， ∴， 验证：，正确． （2）， 验证：，正确． 【点评】本题考查算术平方根以及数字的变化类，通过具体数值的计算，发现其规律是解决问题的关键． 2．（2024秋•鄞州区期中）先阅读材料，再解决问题． ； ； ； ； … 根据上面的规律，解决问题： （1）　 　＝　 　； （2）求（用含n的代数式表示）． 【分析】（1）观察各个等式中最左边的被开方数中各个幂的底数的和与最右边的结果的关系即可得到结论； （2）利用（1）发现的规律解答即可． 【解答】解：∵中，1+2＝3， 6中，1+2+3＝6， 10中，1+2+3+4＝10， ∴等式中最左边的被开方数中各个幂的底数的和＝右边的结果． ∵1+2+3+4+5+6＝21， ∴（1）21． 故答案为：，21； （2）由（1）中发现的规律可得： 1+2+3+•••+n． 【点评】本题主要考查了二次根式的性质与化简，本题是规律型题目，发现数字间的变化的规律是解题的关键． 3．（2024春•海淀区校级期中）同学们，在二次根式一章中有一个有趣的现象：，根号里的因数2经过适当的演变，竟“跑”到了根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”．具有这一性质的数还有许多，如、等等． （1）猜想：　　； （2）请再写出1个具有“穿墙”性质的数 　 　； （3）请用只含有一个正整数n（n≥2）的等式表示上述规律：　 　． 【分析】（1）根据已知等式的规律写出结论，再根据二次根式的乘法法则验证即可； （2）根据已知等式的规律写出一个符合题意的数即可； （3）根据已知等式找出规律，总结归纳得到公式即可． 【解答】解：（1），验证如下： ． 故答案为：； （2）根据已知等式的规律可写出：，…， 故答案为：（答案不唯一，符合规律即可）； （3）解：第一个等式为，即； 第二个等式为，即； 第三个等式为，即． ∴用含正整数n（n≥2）的式子表示为：， 故答案为：． 【点评】本题主要考查的是探索规律题，找到规律并归纳公式、掌握二次根式的乘法法则是解决此题的关键． 4．（2024春•朔州月考）综合与探究： 观察下列等式，根据你发现的规律解决问题： ③ …… （1）化简：　 ． （2）化简：　 　（n为正整数）． （3）利用上面所揭示的规律计算： ． 【分析】（1）把的分子分母都乘以（），然后利用平方差公式计算； （2）把的分子分母都乘以（），然后利用平方差公式计算； （3）先分母有理化，然后合并即可． 【解答】解：（1）原式； 故答案为：； （2）原式； 故答案为：； （3）原式1••• 1． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键． 5．（2024春•香洲区期中）观察下列各式： 1，，1； 请根据以上三个等式提供的信息解答下列问题： （1）猜想1　 ； （2）归纳：根据猜想写出一个用n（n表示正整数）表示的等式； （3）应用计算：； （4）拓展应用：化简下列式子； ． 【分析】（1）根据题目中式子的特点进行求解； （2）根据题意进行猜想、归纳出这种式子的规律； （3）将式子算：改写为，运用规律进行求解； （4）运用规律对算式进行改写、计算． 【解答】解：（1）∵1， ， 1， …… ∴11， 故答案为：1； （2））∵1， ， 1， …… 11， 即1； （3）由（2）题结论可得， ＝1 ＝1； （4）由（2）题结论可得， ＝（1）+（1）+（1）+……+（1） ＝1×2019+（） ＝2019+（1） ＝2019+（1） ＝2019 ＝2019． 【点评】此题考查了二次根式运算规律问题的解决能力，关键是能准确理解题意，并进行规律的归纳、应用． 【题型十四 二次根式运算在复合二次根式中的应用】 1．先阅读下面例题的解答过程，然后作答． 例题：化简． 解：先观察， 由于8＝5+3，即8＝（）2+（）2， 且15＝5×3，即2， 则有． 试用上述例题的方法化简：（　　） A． B．2 C．1 D．2 【分析】先把被开方数拆项，化为完全平方的形式，再根据二次根式的性质化简． 【解答】解：2； 故选：D． 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质，先把被开方数拆项，化为完全平方的形式是解题关键． 2．（2024秋•城阳区期中）先阅读下面的解题过程，然后再解答： 形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使a+b＝m，ab＝n，即（）2+（）2＝m，•，那么便有：±（a＞b）． 例如：化简：． 解：首先把化为，这里m＝7，n＝12． 因为4+3＝7，4×3＝12， 即（）2+（）2＝7，， 所以2． 根据上述方法完成下列题目： （1）　 （直接写化简后结果）； （2）化简：．（写出解答过程） 【分析】（1）根据题意给出的算法即可求出答案． （2）根据题意给出的算法即可求出答案． 【解答】解：（1）原式 ． 故答案为：． （2）原式 ＝3． 【点评】本题考查二次根式的性质与化简，解题的关键是正确理解题目给出的算法． 3．（2024秋•郸城县期中）请阅读下列材料： 形如的式子的化简，我们只要找到两个正数a，b，使a+b＝m，ab＝n，即，那么便有（a＞b）． 例如：化简． 解：首先把化为，这里m＝7，n＝12， 由于4+3＝7，4×3＝12，即， 所以． 请根据材料解答下列问题： （1）填空：　 　． （2）化简：（请写出计算过程）． 【分析】（1）利用完全平方公式化简得出答案； （2）利用完全平方公式以及二次根式的性质化简得出答案． 【解答】解：（1）； 故答案为：； （2）首先把化为，这里m＝21，n＝108， ∵9+12＝21，9×12＝108，即， ∴． 【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键． 4．（2024春•金华月考）有这样一类题目：将化简，若你能找到两个数m和n，使m2+n2＝a且mn，则a+2可变为m2+n2+2mn，即变成（m+n）2，从而使得化简． 例如：∵5+23+2+2（）2+（）2+2（）2 ∴ 请你仿照上例将下列各式化简： （1）； （2）． 【分析】（1）先根据完全平方公式得出4+2（1）2，再根据二次根式的性质进行计算即可； （2）先根据完全平方公式得出7﹣2（）2，再根据二次根式的性质进行计算即可． 【解答】解：（1）∵4+2 ＝3+1+2 ＝（）2+12+21 ＝（1）2， ∴ 1； （2）∵7﹣2 ＝5+2﹣2 ＝（）2+（）2﹣2 ＝（）2， ∴ ． 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，能熟记二次根式的性质是解此题的关键，注意：|a|． 1．（2024春•贵池区期末）下列式子一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次根式的定义解答即可． 【解答】解：A、当a＜0时，无意义，不符合题意； B、﹣4＜0，故不是二次根式，不符合题意； C、不符合二次根式的形式，不是二次根式，不符合题意； D、a2+1＞0，故是二次根式，不符合题意， 故选：D． 【点评】本题考查的是二次根式的定义，熟知一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式是解题的关键． 2．（2024•任城区模拟）若二次根式有意义，则x的取值范围是（　　） A．x≥0 B．x≥2 C．x≥﹣2 D．x≤2 【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数即可得出答案． 【解答】解：∵3x﹣6≥0， ∴x≥2， 故选：B． 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件：被开方数是非负数是解题的关键． 3．（2024春•潍城区期末）使在实数范围内成立的x的取值范围是（　　） A．﹣1≤x＜2 B．1＜x≤2 C．1＜x＜2 D．﹣1≤x≤2 【分析】根据被开方数不小于零的条件和分母不为零的条件进行解题即可． 【解答】解：∵， ∴， 解得﹣1≤x＜2． 故选：A． 【点评】本题考查二次根式的性质与化简、二次根式有意义的条件，熟练掌握被开方数不小于零的条件和分母不为零的条件是解题的关键． 4．（2024春•湖州期末）已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简的正确结果是（　　） A．a+b﹣1 B．1﹣a﹣b C．a﹣b+3 D．b﹣a﹣3 【分析】根据实数a，b在数轴上的位置判断a+1，b﹣2的符号，再根据二次根式的性质和化简方法进行计算即可． 【解答】解：由实数a，b在数轴上的位置可知，﹣1＜a＜0＜1＜b＜2， ∴a+1＞0，b﹣2＜0， ∴原式＝|a+1|+|b﹣2| ＝a+1﹣b+2 ＝a﹣b+3． 故选：C． 【点评】本题考查二次根式的性质与化简，数轴与实数，掌握数轴表示数的方法以及二次根式的性质与化简方法是正确解答的关键． 5．（2024春•乐陵市校级月考）计算：3的值为（　　） A．1 B．3 C． D．9 【分析】从左往右，依次计算即可得． 【解答】解：原式 ＝1， 故选：A． 【点评】本题考查了二次根式的乘除，解题的关键是掌握二次根式运算的运算法则和运算顺序． 6．（2024春•庐阳区校级期末）若最简二次根式与是同类二次根式，则a＝　 　． 【分析】由同类二次根式的定义可知4a﹣3＝a+2，从而可求得a的值． 【解答】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴4a﹣3＝a+2． 解得． 故答案为：． 【点评】本题考查同类二次根式、最简二次根式，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 7．（2024春•获嘉县校级月考）若最简二次根式与的和是一个单项式，那么a＝　 　． 【分析】根据题意，得到两个最简二次根式为同类二次根式，进行求解即可． 【解答】解：由题意，得：最简二次根式与为同类二次根式， ∴2a+1＝1﹣3a， ∴a＝0； 故答案为：0． 【点评】本题考查的是二次根式的加减法，单项式及最简二次根式，熟知以上知识是解题的关键． 8．（2024秋•攸县期末）下列运算中，①，②，③，④，⑤．其中正确的是 　 　．（填序号） 【分析】根据二次根式的性质对①⑤进行判断；根据二次根式的减法运算对②进行判断；根据二次根式的乘法法则对③④进行判断． 【解答】解：2，所以①错误； 2，所以②错误； •，所以③错误； 326，所以④正确； （2）2＝4×2＝8，所以⑤错误． 故答案为：④． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键． 9．（2024秋•启东市期末）我们规定运算符号“△”的意义是：当a＞b时，a△b＝a+b；当a≤b时，a△b＝a﹣b，其它运算符号的意义不变，计算：（△）﹣（2△3）＝　 ． 【分析】根据已知将原式化简进而求出即可． 【解答】解：∵当a＞b时，a△b＝a+b；当a≤b时，a△b＝a﹣b，，23， ∴（△）﹣（2△3） （23） 4． 故答案为：4． 【点评】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确利用已知运算符号化简是解题关键． 10．（2024春•靖江市校级月考）计算 （1）|1|+（）﹣2﹣（π﹣2024）0． （2）． 【分析】（1）先化简，然后计算加减法即可； （2）根据平方差公式和完全平方公式计算，再算加减法即可． 【解答】解：（1）|1|+（）﹣2﹣（π﹣2024）0 1+4﹣1+2 ＝32； （2） ＝12﹣1﹣6+22 ＝12﹣1﹣6+42 ＝3+4． 【点评】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 11．（2024秋•南江县校级期中）若﹣1≤x≤2，化简：|x﹣2|． 【分析】首先根据x的范围确定x﹣2、x+1以及x﹣3的符号，然后去掉绝对值符号进行化简即可． 【解答】解：∵﹣1≤x≤2， ∴x﹣2≤0，x+1≥0，x﹣3＜0， 则原式＝2﹣x+|x+1|+|x﹣3| ＝2﹣x+x+1+3﹣x ＝6﹣x． 【点评】本题考查了二次根式的化简求值，正确理解绝对值的性质是关键． 12．（2024春•江岸区期中）先化简，再求值．，其中． 【分析】根据平方差公式和单项式乘多项式将题目中的式子展开，再合并同类项即可将题目中的式子化简，再将a的值代入化简后的式子计算即可． 【解答】解：（a）（a）﹣a（a﹣4） ＝a2﹣3﹣a2+4a ＝4a﹣3， 当a时，原式＝43＝23． 【点评】本题考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是明确平方差公式的计算方法． 13．（2024秋•长安区期末）某居民小区有块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为米，宽AB为米，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为（1）米，宽为（1）米． （1）长方形ABCD的周长是 　 　米； （2）除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/m2的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？（结果均化为最简二次根式） 【分析】（1）根据长方形ABCD的周长列出算式，再利用二次根式的混合运算顺序和运算法则计算可得； （2）先计算出空白部分面积，再计算即可， 【解答】解：（1）长方形ABCD的周长＝2×（）＝2（87）＝30（米）， 答：长方形ABCD的周长是30米， （2）通道的面积（1）（1） ＝100（平方米）， 购买地砖需要花费＝6×（100）＝600（元）． 答：购买地砖需要花费600元； 【点评】本题主要考查二次根式的应用，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及其性质． 14．（2024春•金平区期末）已知，，． 求：（1）ab＝　 　；a2+b2﹣ab＝　 ； （2）若m为a整数部分，n为b小数部分，求的值． 【分析】（1）把代入ab即可求解；求出a+b和ab的值，再根据完全平方公式进行变形，最后代入求出答案即可； （2）估算出7﹣2和7+2的范围，求出m、n法值，再代入求出答案即可． 【解答】解：（1）∵， ∴ab＝（7﹣2）×（7+2） ＝72﹣（2）2 ＝49﹣24 ＝25； ∵， ∴a+b＝（7﹣2）+（7+2）＝14， ∵ab＝25， ∴a2+b2﹣ab ＝（a+b）2﹣3ab ＝142﹣3×25 ＝196﹣75 ＝121． 故答案为：25；121； （2）2， ∵45， ∴﹣45， ∴3＞72， 即2＜7﹣23， ∵m为a整数部分， ∴m＝2， ∴11＜712， 即11＜7+212， ∵n为b小数部分， ∴n＝7+211＝24， ∴． 【点评】本题考查了估算无理数的大小，二次根式的混合运算和，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键． 15．（2024春•南昌期中）【阅读理解】 爱思考的小名在解决问题：已知a，求2a2﹣8a+1的值．他是这样分析与解答的： ∵a，a﹣2． ∴（a﹣2）2＝3，即 a2﹣4a+4＝3． ∴a2﹣4a＝﹣1． ∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1． 请你根据小名的分析过程，解决如下问题： （1）计算：　 ； （2）计算：　 　； （3）若 a，求 3a2﹣12a﹣1 的值． 【分析】（1）分母有理化即可； （2）先分母有理化，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可； （3）先分母有理化求出a2，再求出a﹣2，两边平方后求出a2﹣4a＝1，再求出代数式的值即可． 【解答】解：（1）1． 故答案为：； （2） 原式...... 1...... 1； 故答案为：1； （3）∵， ∴． ∴（a﹣2）2＝5，即a2﹣4a+4＝5． ∴a2﹣4a＝1． ∴3a2﹣12a﹣1＝3（a2﹣4a）﹣1＝3×1﹣1＝2． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，平方差公式等知识点，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键 学科网（北京）股份有限公司 $$