专题一 第一讲 函数的图象与性质（教师用书WORD）-【正禾一本通】2025年高考数学高三二轮专题复习高效讲义（新教材）

第一讲　函数的图象与性质 考点1　函数及其表示　　　　　 [核心整合] 1．几个特殊函数的定义域 (1)分式型函数，分母不为零的实数集合． (2)偶次方根型函数，被开方式非负的实数集合． (3)f(x)为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正数且不为1的实数集合． (4)若f(x)＝x0，则定义域为{x|x≠0}． 2．已知f(x)的定义域，求复合函数f[g(x)]的定义域 若f(x)的定义域为x∈(a，b)，求出f[g(x)]中a＜g(x)＜b的解x的范围，即为f[g(x)]的定义域． 3．分段函数 分段函数是指自变量在不同的取值范围内，其对应法则也不同的函数，分段函数是一个函数，而不是多个函数；分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集，故解分段函数时要分段解决． 角度1　求函数的定义域 [例1]　(1)(2022·北京卷)函数f(x)＝＋的定义域是________． 解析：因为f(x)＝＋，所以解得x≤1且x≠0，故函数的定义域为(－∞，0)∪(0，1]. 答案：(－∞，0)∪(0，1] (2)若函数f(x)的定义域为[－2，3]，则函数f(2x－4)的定义域为(　　 ) A．[，3] B．[－8，2] C．[1，] D．[，8] 解析：选C.函数f(x)的定义域为[－2，3]，要使函数f(2x－4)有意义，需满足－2≤2x－4≤3，解得1≤x≤，即函数f(2x－4)的定义域为[1，]. [延伸探究]　(变条件)将(2)中“函数f(x)的定义域为[－2，3]”改为“f(x－1)的定义域为[－2，3]”，求函数f(2x－4)的定义域． 解：函数f(x－1)的定义域为[－2，3]，所以－2≤x≤3，则－3≤x－1≤2， 所以f(x)的定义域为[－3，2]. 则函数f(2x－4)的定义域需满足－3≤2x－4≤2，解得≤x≤3， 即函数f(2x－4)的定义域为[，3]. [规律总结]　确定函数定义域的基本方法 (1)对于给出解析式的函数，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，只需构建不等式(组)求解即可． (2)对于复合函数，确定其定义域的一般步骤是：若已知f(x)的定义域为[a，b]，则其复合函数f(g(x))的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求得． (3)对于含字母参数的函数，确定其定义域，要根据具体情况对字母参数进行分类讨论． 角度2　分段函数及其应用 [例2]　(1)(2024·陕西西安三模)已知函数f(x)＝则f(2＋log23)＝(　　 ) A．8 B．12 C．16 D．24 解析：选D.由1<log23<2，得3<2＋log23<4，所以f(2＋log23)＝f(3＋log23)＝23＋log23＝23×2log23＝24. (2)(2024·湖南岳阳模拟)已知函数f(x)＝若f(x)的值域是[－2，2]，则c的值为(　　 ) A．2 B．2 C．4 D．8 解析： 选C.当－2≤x≤时，f(x)＝x2＋x＝(x＋)2－∈[－，2]， 因为f(x)的值域是[－2，2]，f(x)＝在(，c]上单调递减， 所以＝－2，所以c＝4. [规律总结]　解决分段函数问题的基本策略 (1)分类讨论：已知函数值(或范围)求自变量的值(或范围)时，常常先根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值(或范围)是否符合相应段的自变量的取值范围，然后综合各段的结果即可求解． (2)数形结合：求解分段函数问题时，画出函数的图象，对代数问题进行转化，结合图形直观地分析判断，可以快速准确地解决问题． [对点练习]　1.(1)(2024·江苏徐州模拟)已知函数y＝f(x＋1)的定义域是[2，4]，则函数g(x)＝的定义域为(　　 ) A．(2，3) B．(2，3] C．(2，3)∪(3，6] D．(2，3)∪(3，4] 解析：选A.因为函数f(x＋1)的定义域是[2，4]，所以2≤x≤4，所以2≤x＋1≤3，所以函数f(x)的定义域为[2，3]. 要使函数g(x)＝有意义，需有解得2<x<3， 所以函数g(x)＝的定义域为(2，3). (2)(2024·山东泰安二模)已知函数f(x)＝且f(m)＝－12，则f(6－m)＝(　　 ) A．－1 B．－3 C．－5 D．－7 解析：选D.由题意知，当m≤1时，f(m)＝2m+1－8＝－12，得2m+1＝－4，又2m+1>0，所以方程无解； 当m>1时，f(m)＝4＝－12，得＝－3，即m＋1＝8，解得m＝7， 所以f(6－m)＝f(－1)＝2-1+1－8＝－7. (3)已知函数f(x)＝则f(f(x))<2的解集为________． 解析：因为当x≥1时，f(x)＝x3＋x≥2，当x<1时，f(x)＝2ex-1<2， 所以f(f(x))<2等价于f(x)<1，此时f(x)＝2ex-1，即2ex-1<1，解得x<1－ln 2， 所以f(f(x))<2的解集为(－∞，1－ln 2). 答案：(－∞，1－ln 2) 考点2　函数的图象 [核心整合] 1．解决函数图象的识别问题，注意“三关” (1)取“特殊点关”，即根据已知函数的解析式选取特殊的点，判断选项中的图象是否经过这些点，若不满足则排除； (2)用“性质关”，即根据选项中的图象特点，结合函数的奇偶性、单调性等来排除选项； (3)用“极限思想关”，即应用极限思想来处理，达到巧解妙算的效果，使解题过程费时少，准确率高． 2．利用函数的图象研究不等式的基本思路 当不等式问题不能用代数法求解，但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两个函数图象的上下关系问题，从而利用数形结合求解． [例3]　(1)(2024·全国甲卷)函数f(x)＝－x2＋(ex－e－x)sin x在区间[－2.8，2.8]的图象大致为(　　) 解析：选B.由题知函数f(x)的定义域关于原点对称，f(－x)＝－(－x)2＋(e－x－ex)sin (－x)＝－x2＋(ex－e－x)sin x＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，函数图象关于y轴对称，排除A，C；f＝－1＋sin 1>－1＋sin ＝－1＋－>0，排除 D. (2)(多选)已知函数f(x)＝若x1<x2<x3<x4，且f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)＝k，则下列结论正确的是(　　 ) A．x1＋x2＝－1 B．x3x4＝1 C．1<x4<2 D．0<k<1 解析：选BCD.由函数f(x)＝作出其函数图象如图所示， 由图可知，x1＋x2＝－2，－2<x1<－1，故A错误； 当y＝1时，令|log2x|＝1，解得x＝或x＝2，所以<x3<1<x4<2，故C正确； 由f(x3)＝f(x4)，得|log2x3|＝|log2x4|，即log2x3＋log2x4＝0，所以x3x4＝1，故B正确； 由图可知0<k<1，故D正确． [规律总结]　(1)确定函数图象的主要方法是利用函数的性质，如定义域、奇偶性、单调性等，特别是利用一些特殊点排除不符合要求的图象． (2)函数图象的应用主要体现为数形结合思想，借助于图象的特点和变化规律，求解有关不等式恒成立、最值、交点、方程的根等问题． [对点练习]　2.(1)(2024·广东广州一模)已知函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可能是(　　 ) A．f(x)＝sin (tan x) B．f(x)＝tan (sin x) C．f(x)＝cos (tan x) D．f(x)＝tan (cos x) 解析：选D.观察图象可知函数为偶函数， 对于A，f(－x)＝sin (tan (－x))＝sin (－tan x)＝－sin (tan x)＝－f(x)，为奇函数，排除； 对于B，f(－x)＝tan (sin (－x))＝tan (－sin x)＝－tan (sin x)＝－f(x)，为奇函数，排除； 同理，C、D选项为偶函数，而对于C项，其定义域为(－＋kπ，＋kπ)，不是R，舍去，故D正确． (2)已知函数f(x)＝则下列图象错误的是(　　 ) 解析：选D.当－1≤x≤0时，f(x)＝－2x，表示一条线段，且线段经过(－1，2)和(0，0)两点；当0<x≤1时，f(x)＝，表示一段曲线．函数f(x)的图象如图所示． f(x－1)的图象可由f(x)的图象向右平移一个单位长度得到，故A正确；f(－x)的图象可由f(x)的图象关于y轴对称后得到，故B正确；由于f(x)的值域为[0，2]，故f(x)＝|f(x)|，故|f(x)|的图象与f(x)的图象完全相同，故C正确；很明显D中f(|x|)的图象不正确． 考点3　函数的性质及其应用　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [核心整合] 1．单调性的等价形式 设x1，x2∈[a，b]，x1≠x2，那么(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0等价于f(x)在[a，b]上是增函数；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0等价于f(x)在[a，b]上是减函数． 2．奇偶性与对称性 (1)若函数y＝f(x)是偶函数，则f(x)＝f(－x)；若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则f(x＋a)＝f(－x＋a)，且函数f(x)的图象关于直线x＝a对称． (2)若函数y＝f(x)是奇函数，则－f(x)＝f(－x)；若函数y＝f(x＋a)是奇函数，则－f(x＋a)＝f(－x＋a)，且函数f(x)的图象关于点(a，0)对称． 3．周期性与奇偶性 (1)若y＝f(x)是偶函数，其图象又关于直线x＝a对称，则f(x)是周期为2|a|的周期函数． (2)若y＝f(x)是奇函数，其图象又关于直线x＝a对称，则f(x)是周期为4|a|的周期函数． 角度1　函数的单调性与奇偶性 [例4]　(1)(2020·新课标Ⅰ卷)若定义在R的奇函数f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是(　　) A．[－1，1]∪[3，＋∞) B．[－3，－1]∪[0，1] C．[－1，0]∪[1，＋∞) D．[－1，0]∪[1，3] 解析：选D.奇函数f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，则f(x)在(0，＋∞)单调递减，且f(－2)＝0.由xf(x－1)≥0，得或即或解得－1≤x≤0或1≤x≤3. (2)已知奇函数f(x)在R上是减函数，g(x)＝xf(x)，若a＝g(－log25.1)，b＝g(3)，c＝g(20.8)，则a，b，c的大小关系为(　　 ) A．a<b<c B．c<b<a C．b<c<a D．b<a<c 解析：选D.因为f(x)为奇函数且在R上是减函数，所以f(－x)＝－f(x)，且x>0时，f(x)<0. 因为g(x)＝xf(x)，所以g(－x)＝－xf(－x)＝xf(x)，故g(x)为偶函数． 当x>0时，g′(x)＝f(x)＋xf ' (x)，因为f(x)<0，f '(x)<0，所以g′(x)<0，即g(x)在(0，＋∞)上单调递减． a＝g(－log25.1)＝g(log25.1)， 因为3＝log28>log25.1>log24＝2>20.8， 所以g(3)<g(log25.1)<g(20.8)，即b<a<c. 角度2　函数的奇偶性、周期性与对称性 [例5]　(多选)(2024·广东茂名一模)已知函数f(x)的定义域为R，f(x＋2)＋f(x)＝0，且函数f(2x＋1)为偶函数，则下面说法一定成立的是(　　 ) A．f(x)是奇函数 B．f(2 024)＝1 C．f(x)的图象关于x＝1对称 D．＝2 024 解析：选AC.由f(2x＋1)是偶函数，得f(1－2x)＝f(1＋2x)，将x替换为x，得f(1－x)＝f(1＋x)，所以函数f(x)关于直线x＝1对称，所以C正确； 因为f(1－x)＝f(1＋x)，将x替换为x＋1，得f(－x)＝f(2＋x)，又因为f(x＋2)＋f(x)＝0，即f(x＋2)＝－f(x)，所以f(－x)＝－f(x)，故f(x)是奇函数，所以A正确； 因为f(x＋2)＝－f(x)，将x替换为x＋2，得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以4为函数f(x)的周期，又因为f(x)是奇函数，且函数f(x)的定义域为R，所以f(0)＝0，故f(2 024)＝f(4×506)＝f(0)＝0，所以B错误； 由已知f(x＋2)＋f(x)＝0，分别代入x＝1，x＝2，得f(1)＋f(3)＝0，f(2)＋f(4)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0，同时4为f(x)的周期，故＝506×＝0，所以D错误． [规律总结]　(1)奇函数在关于原点对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的单调区间内有相反的单调性． (2)若f(x)是奇函数，0在其定义域内，则f(0)＝0. (3)若f(x＋a)＝－f(x)(或f(x＋a)＝或f(x＋a)＝－)，则y＝f(x)是周期为2|a|的周期函数． (4)若函数f(x)满足关系式f(a＋x)＝2b－f(a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称． (5)若函数f(x)满足关系式f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称． [对点练习]　3.(1)(2024·山东菏泽模拟)定义在R上的函数g(x)满足g(x)＝f(x)＋2x，g(x＋2)为偶函数，函数f(3x＋1)的图象关于点(0，2)对称，则f(27)＝(　　 ) A．－46 B．4 C．－50 D．－4 解析：选C.因为f(3x＋1)关于点(0，2)对称，有f(－3x＋1)＋f(3x＋1)＝4，令3x＋1＝t，则f(2－t)＋f(t)＝4，故f(x)的图象关于点(1，2)对称． 由g(x＋2)为偶函数，得g(2＋x)＝g(2－x)，则g(x)的图象关于x＝2对称， 因为f(2－t)＋f(t)＝4，所以f(2－t)＋2(2－t)＋f(t)＋2t＝8，即g(2－t)＋g(t)＝8，则g(x)的图象关于点(1，4)对称． 所以g(x)＋g(2－x)＝8，又g(2＋x)＝g(2－x)，所以g(x)＋g(2＋x)＝8，所以g(2＋x)＋g(4＋x)＝8，所以g(x＋4)＝g(x)，所以4为g(x)的一个周期， 因为g(x)的图象关于点(1，4)对称，所以g(1)＝4，故g(27)＝g(4×6＋3)＝g(3)＝g(1)＝4，所以由g(x)＝f(x)＋2x，得f(27)＝4－2×27＝－50. (2)(2024·广东佛山二模)已知定义在R上的偶函数 f(x)在[0，＋∞)上单调递减，且f(1)＝2，则满足f(x)＋f(－x)>4的实数x的取值范围为______． 解析：由f(x)为偶函数且在[0，＋∞)上单调递减，故f(x)在(－∞，0)上单调递增， 又f(1)＝2时，故当f(x)>2时，可得x∈(－1，1).又f(－x)＝f(x)，故f(x)＋f(－x)>4等价于f(x)>2，故x的取值范围为(－1，1). 答案：(－1，1) 学科网（北京）股份有限公司 $$