课下巩固训练（三十一）椭圆的第二、第三定义-【正禾一本通】2025年高考数学高三二轮专题复习高效讲义（新教材）

[课下巩固训练(三十一)]　椭圆的第二、第三定义 【选择题】每小题5分 1．已知椭圆＝1外一点A(5，6)，直线l：x＝P为椭圆上动点，点P到l的距离为d，则d的最小值为(　　 ) A．8 B．10 C．12 D．14 答案：B 解析：如图，设F为椭圆的左焦点，则F(－3，0)，易知直线l为椭圆的左准线． 由椭圆的第二定义得＝d，所以d＝|PA|＋|PF|， 可知当P、F、A三点共线且P在线段AF上时，|PA|＋|PF|最小，最小值|AF|＝＝10. 2．椭圆C：＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA1的斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA2斜率的取值范围是(　　 ) A．[] B．[] C．[] D．[] 答案：A 解析：由椭圆的第三定义得，所以，因为∈[－2，－1]，即－2≤≤－1，可得，所以直线斜率的取值范围为[]. 3．设点F1、F2分别为椭圆＝1的左右两焦点，直线l：x＝点M到l的距离d成等比数列，则椭圆离心率e的取值范围是(　　 ) A．[） B． C．[] D． 答案：A 解析：易知l为椭圆的右准线，由|MF2|2＝＝e， 即|MF1|＝e|MF2|　①. 又|MF1|＋|MF2|＝2a　②. 由①②解得|MF1|＝＝. 又在椭圆中有|MF2|－|MF1|≤2c，即＝e，得－1≤e<1. 4．已知椭圆C：＝1(a>b>0)，过C中心的直线交C于M，N两点，点P在x轴上，其横坐标是点M横坐标的3倍，直线NP交C于点Q.若直线QM恰好是以MN为直径的圆的切线，则C的离心率为(　　 ) A． B． C． D． 答案：D 解析：设M(x1，y1)，Q(x2，y2)，则N(－x1，－y1)，P(3x1，0)， 设k1、k2、k3分别为直线MN、QM、NP的斜率， 则k1＝k1， 因直线QM是以MN为直径的圆的切线，所以QM⊥MN，即k1k2＝－1，所以k2k3＝－. 由椭圆的第三定义，得k2k3＝－，即， 所以e2＝1－，故e＝. 5．已知直线l：y＝kx与椭圆E：＝1(a>b>0)交于A，B两点，M是椭圆上异于A，B的一点．若椭圆E的离心率的取值范围是，则直线MA，MB斜率之积的取值范围是(　　 ) A. B． C． D． 答案：D 解析：设M(x，y)，A(x1，y1)，由直线l：y＝kx与椭圆E交于A，B两点可知A，B两点关于原点对称，由椭圆的第三定义，得kMA·kMB＝－. 由椭圆的离心率的取值范围是，即<e<⇔<<⇔<2<， 所以<<⇒－<－<－，即－<kMA·kMB<－. 6．设椭圆＝1(a>b>0)长轴的两个顶点分别为A、B，点C为椭圆上不同于A，B的任一点，若将△ABC的三个内角记作A，B，C，且满足3tan A＋3tan B＋tan C＝0，则椭圆的离心率为(　　 ) A． B． C． D． 答案：A 解析：因为3tan A＋3tan B＋tan C＝0，所以， 即， 而在△ABC中，sin A cos B＋cos A sin B＝sin (A＋B)≠0，所以上式可得3cos (A＋B)－cos A cos B＝0， 而cos (A＋B)＝cos A cos B－sin A sin B， 所以可得2cos A cos B＝3sin A sin B， 即tan A·tan B＝. 由椭圆的第三定义，知tan A·tan B＝，所以可得， 所以离心率e＝. 【填空题】每小题5分 7．在平面直角坐标系xOy中，已知动点M到定点F(1，0)的距离与到定直线x＝3的距离之比为，则动点M的轨迹C的方程为_______________． 解析：由题意，知动点M的轨迹是以点F(1，0)为焦点，以直线x＝3为一条准线的椭圆，焦点在x轴上，且c＝1，，可解得a＝，所以动点的轨迹方程为＝1. 答案：＝1 8．已知椭圆C：＝1(a>b>0)的长轴长为4，若点P是椭圆C上任意一点，过原点的直线l与椭圆交于M，N两点，记直线PM，PN的斜率为kPM，kPN，若kPM·kPN＝－，则椭圆的方程为________. 解析：由椭圆的第三定义得kPM·kPN＝所以a2＝4b2, 由长轴长为4得a＝2，所以a2＝4，b2＝1，故椭圆方程为＋y2＝1. 答案：＋y2＝1 【解答题】每小题10分 9．已知点A，设点F为椭圆＝1的右焦点，点M为椭圆上一动点，求|MA|＋2|MF|的最小值，并求此时点M的坐标． 解：如图，过点A作右准线l的垂线，垂足为N，与椭圆交于点M. ∵椭圆的离心率e＝， ∴由第二定义得2|MF|＝|MN|， ∴|MA|＋2|MF|的最小值为|AN|的长，且|AN|＝2＋8＝10， ∴. 学科网（北京）股份有限公司 $$