课下巩固训练（七）利用导数证明不等式-【正禾一本通】2025年高考数学高三二轮专题复习高效讲义（新教材）

学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 [课下巩固训练（七] 利用导数证明不等式 【解答题】每小题10分 1,(2024·广东广州一模)已知函数x)=cosx十x sinx,x∈(-T,). (1)求x)的单调区间和极小值： (2)证明：当xe[0,r)时，2x)≤e+e不 解：(I)函数r)=cosx+x sinx,x∈(-π，)，求导得f()=一sinx+sinx +x cosx=xcosx, 当-x<-受时，f(x)>0,f(x)单调递增；当-号0时，f()0, x)单调递减；当0三时，fc>0,)单调递增；当气时，了x)0,x) 单调递减， 所以)的单调递增区间为（一T,一受），(0,5)；单羽递减区间为 (-,0),(受，)， x)的极小值为0)=1 (②)证明：当x∈[0，)时，令F)=e+e--2(cosx+xsnx), 求导得f(x)=e*-e-x-2 c cosx≥e-e-x-2x, 令x)=e-e*-2x,求导得p(x)=e+ex-2≥2√ex.e-x-2=0, 则函数x)在[0，)上单调递增， 故x)≥0)=0，f(x)≥0，Fr)在[0，)上单调递增， 因此Fx)≥F0)=0,所以2x)≤er+e 2.已知函数fx)=alnx十x十是+2a(a∈R), (I)若x)在x=1处取得极小值，求a的值： (2)若0a号，求证：xx+ 解：(1x)=alnx+r++2a的定义域为(0，+co), f()=景+1-是=42 由f(1)=a-1=0,得a=1, 经检验，a=1满足題意 (2)要证明x)+牛，即证alnx+x+爱+2ax+,即证alhx+2a号 ，即证2茶 令g)=总，其中x0,则g的=2 当02时，g(x)0,此时函数gx)单调递减； 当2时，8(9)0，此时函数g)单调递增，所以gw)m=g(2)=号 令h9=an+2,其中0<a号，x0, ·独家授权侵权必究 学科网书城国 品牌书店·知名教辅+正版资源 b.zxxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 则h'()=一+型 当0吉时，hx0,当x吉时，hw)0, 故函数()在(0，吉)上单调递增，在（言，+∞）上单调递减 所以As=h(告)=ae号，则h6mg,所以t2茶 故原不等式得证 3.已知x>-1,证明： (1)ex-1≥x≥ne+1): (2)e-1)lnc+1)≥x2 解：()令x)=x-lnx+1),则f()=帝，x>-1, 当一1x0时，f(x)0,x)单调递减； 当>0时，f(x)0,x)单调递增， 所以x)≥0)=0，等号仅当x=0时成立，即x≥山（仁+1）， 从而e≥e如6I)=x十1，所以e-1≥x 综上，e-1≥x≥lnc+1). (2)显然x=0时，(e-1)n(e+1)=x2=0,即(e-1)n(x+1)≥x2成立. 1-8e-1 令8)=产，x≠0，则g)=(e- ,x≠0， 令hx)=(1-x)e-1,则hc)=-xe, 当x0时，h(c)0,h(x)单调递增；当0时，h(x)0,x)单调递减， 所以h)≤(0)=0，等号仅当x=0时成立， 从而可得8(9=(-厅<0，x≠0， 所以g(在（一o,0)和(0，十c)上单调逆减 由(1)知，-1x<0时，0>x>n(c+1),x>0时，x>n(c+1)0, nx+1)n+1) 所以gg[n6c+1儿，即立之=当 又当x>-1且x≠0时，x(e-1>0, 所以(e一1ln(x+1)x2 故x>-1时，(c-1)n(c+1)≥x2 4.(2024·广东广州三模)已知函数fx)=aex十x一a (1)求x)的极值： (2)已知n∈N,证明：sn帝+sm克十…+sin房<m2 解：(1)由题意知fx)的定义战为R,∫x)=一aex+1 ①当a≤0时，-ae-≥0，∴f(xP0, ‘x)在R上单明递增，‘x)无极值； ②当a>0时，令fx)=0,解得x=lna, .当x∈(-o∞，na)时，fx)0;；当x∈(na,+o)时，fx)0; x)在（一o∞，na上单调递减，在(na,十c∞）上单调递增， ∴x)的极小值为，flna)=ae血a+lna-a=lna-a+l,无极大值 综上所述：当a≤0时，x)无极值；当a>0时，x)的极小值为lna一a十1， ·独家授权侵权必究· 学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 5ZXxk.c0m○ 您身边的互联网+教辅专家 无极大值 (2)令a=1,则fx)=e*+x-1, 由(1)知x)≥fln1)=0)=0, ∴.e-x+x-1≥0，即e-e+1≥0， 令t=e,则0且x=lnt, 5tnt-t+1≥0，nt≥p=1-, 取1=路k=0,1,2,,m, 则n路1是=点， 即n(n+)-n(m+-1点k=0,1,2,,m, 令gx)=x-s1n>0),则g(x)=1-cosx≥0， gx)在(0，+co)上单钢递增， gxPg0=0,即xsin>0), ‘sinh(n+利-l血(n+k-10k=0,1,2,…,m, sm本+sin2+…+sin易dh(n+1)-hn+h(m+2)-lh(n+1)+… +n(2)-ln(21-1)=ln(2m)-lnn=ln2, 即sin十sin2+…+sin方h2 ·独家授权侵权必究·