课下巩固训练（六）导数中的函数构造-【正禾一本通】2025年高考数学高三二轮专题复习高效讲义（新教材）

[课下巩固训练(六)]　导数中的函数构造 【选择题】每小题5分 1．(2024·宁夏银川三模)已知定义在R上的奇函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线，f′(x)是f(x)的导函数，当x>0时，3f(x)＋xf′(x)>0，且f(2)＝2，则不等式(x＋1)3f(x＋1)>16的解集为(　　 ) A．(1，＋∞) B．(－∞，－2)∪(2，＋∞) C．(－∞，1) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞) 答案：D 解析：令g(x)＝x3f(x)，则g′(x)＝， 因为当x>0时，3f(x)＋xf′(x)>0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增， 又f(x)为奇函数，且图象连续不断，所以g(x)为偶函数， 由(x＋1)3f(x＋1)>23f(2)，得|x＋1|>2，解得x<－3或x>1. 2．(2024·甘肃兰州模拟)已知f′(x)是定义在R上的函数f(x)的导函数，且f(x)－xf′(x)>0，则a＝f(2)，b＝f(e)，c＝的大小关系为(　　 ) A．b<a<c B．c<b<a C．a<b<c D．c<a<b 答案：B 解析：令g(x)＝(x>0)，则g′(x)＝， 因为f(x)－xf′(x)>0，所以g′(x)＝<0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递减， 因为0<2<e<3，所以g(2)>g(e)>g(3)， 所以>>，所以a>b>c. 3．已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，且f(x)为偶函数，f＝－2，3f(x)cos x＋f′(x)sin x>0，则不等式fcos3x－>0的解集为(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：令g(x)＝f(x)sin3x， 则g′(x)＝3f(x)sin2x cosx＋f′(x)sin3x＝sin2x[3f(x)cosx ＋f′(x)sin x]≥0，且g′(x)不恒为0， 所以g(x)在R上单调递增． 又因为f(x)为偶函数，所以f＝＝－2，所以g＝3f＝. 又g＝fsin3＝fcos3x， 所以不等式fcos3x－>0等价于g>g， 根据函数的单调性可知x＋>－，解得x>－， 所以不等式fcos3x－>0的解集为. 4．(2024·山东烟台模拟)已知f(x)是可导函数，且f′(x)<f(x)对于x∈R恒成立，则(　　) A．f(1)<ef(0)，f(2 024)>e2 024f(0) B．f(1)>ef(0)，f(2 024)>e2 024f(0) C．f(1)<ef(0)，f(2 024)<e2 024f(0) D．f(1)>ef(0)，f(2 024)<e2 024f(0) 答案：C 解析：令g(x)＝，则g′(x)＝， 因为f′(x)<f(x)对于x∈R恒成立，所以g′(x)<0，所以g(x)在R上单调递减， 所以g(1)<g(0)，g(2 024)<g(0)，所以<<， 所以f(1)<ef(0)，f(2 024)<e2 024f(0)． 5．已知函数f(x)满足f(x)＝f(－x)，且当x∈(－∞，0]时，f(x)＋xf′(x)<0成立，若a＝20.6·f(20.6)，b＝ln 2·f(ln 2)，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　 ) A．a>b>c B．c>b>a C．a>c>b D．c>a>b 答案：B 解析：因为f(x)＝f(－x)，所以函数f(x)是偶函数，令g(x)＝x·f(x)， 则g(x)是奇函数，g′(x)＝f(x)＋x·f′(x)， 当x∈(－∞，0]时，f(x)＋xf′(x)<0成立，所以g(x)在x∈(－∞，0]上单调递减， 又g(x)在R上是连续函数，且是奇函数， 所以g(x)在R上单调递减， 则a＝g(20.6)，b＝g(ln 2)，c＝g， 因为20.6>1，0<ln 2<1，log2＝－3<0， 所以log2<0<ln 2<1<20.6，所以c>b>a. 6．已知偶函数f(x)的定义域为，其导函数为f′(x)，当0≤x<时，有f′(x)cos x＋f(x)sin x>0成立，则关于x的不等式f(x)>2f·cos x的解集为(　　 ) A． B． C．∪ D．∪ 答案：C 解析：构造函数g(x)＝，0≤x<，则g′(x)＝>0， 所以函数g(x)＝在[)单调递增， 因为函数f(x)为偶函数，所以函数g(x)＝也为偶函数，且函数g(x)＝在[)单调递增，所以函数g(x)＝在单调递减， 因为x∈，所以cos x>0， 关于x的不等式f(x)>2f·cos x可变为>，也即g(x)>g， 所以g，则解得<x<或－<x<－. 【填空题】每小题5分 7．已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，f(0)＝1，且对任意的x满足f′(x)<f(x)，则不等式f(x)>ex的解集是________________． 解析：令g(x)＝，则g′(x)＝<0， 所以g(x)在R上单调递减，因为f(0)＝1，所以g(0)＝1， 不等式f(x)>ex可变形为>1，即g(x)>g(0)，可得x<0，所以解集为(－∞，0)． 答案：(－∞，0) 8．已知函数f(x)的定义域为(0，π)，其导函数是f′(x).若f′(x)sin x－f(x)cos x>0恒成立，则关于x的不等式f(x)<fsin x的解集为________． 解析：由题意可知，令F(x)＝， 则f′(x)＝>0， 所以F(x)在定义域内单调递增． 因为sinx>0，所以关于x的不等式f(x)<f可化为<，即F(x)<F. 因为0<x<π，所以0<x<， 即不等式f(x)<fsin x的解集为. 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $$