课下巩固训练（四）公切线问题-【正禾一本通】2025年高考数学高三二轮专题复习高效讲义（新教材）

[课下巩固训练(四)]　公切线问题 【选择题】每小题5分 1．(2024·江西吉安模拟)函数f(x)＝2＋ln x与函数g(x)＝ex公切线的斜率为(　　 ) A．1 B．±e C．1或e D．1或e2 答案：C 解析：设切点分别为(x1，f(x1))，(x2，g(x2))，x1>0，x2>0，且导数为f′(x)＝，g′(x)＝ex， 所以切斜方程既为y－(2＋ln x1)＝(x－x1)，也为(x－x2)， 所以则ln ＝⇒－ln x1＝x2， 所以1＋ln x1＝(1＋ln x1)×(x1－1)＝0， 所以x1＝1或x1＝，所以公切线的斜率为k＝＝1或e. 2．已知f(x)＝ex－1(e为自然对数的底数)，g(x)＝ln x＋1，则f(x)与g(x)的公切线条数(　　 ) A．0 B．1 C．2 D．3 答案：C 解析：根据题意，设直线l与f(x)＝ex－1相切于点(m，em－1)，与g(x)相切于点(n，ln n＋1)， 对于f(x)＝ex－1，f′(x)＝ex，则k1＝em， 则直线l的方程为y＋1－em＝em(x－m)，即y＝emx＋em(1－m)－1， 对于g(x)＝ln x＋1，g′(x)＝，则k2＝， 则直线l的方程为y－(ln n＋1)＝(x－n)，即y＝x＋ln n， 直线l是f(x)与g(x)的公切线， 则 可得(1－m)(em－1)＝0，即m＝0或m＝1， 则切线方程为y＝ex－1或y＝x，切线有两条． 3．(2024·广东茂名一模)曲线y＝ln x与曲线y＝x2＋2ax曲线有公切线，则实数a的取值范围是(　　 ) A． B． C． D． 答案：B 解析：两个函数求导分别为y′＝，y′＝2x＋2a， 设y＝ln x，y＝x2＋2ax图象上的切点分别为， 则过这两点处的切线方程分别为y＝＋ln x1－1，y＝(2x2＋2a)x－， 则＝2x2＋2a，ln x1－1＝－，所以2a＝－2x2， 设f(x)＝ex2－1－2x，f′(x)＝2(xex2－1－1)，f′(1)＝0， 令g(x)＝f′(x)＝2(xex2－1－1)， 所以g′(x)＝2(2x2 ＋1)ex2－1>0， 所以g(x)在R上单调递增，且f′(1)＝0， 则f(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 所以2a≥f(1)＝－1，即a≥－. 4．(2024·福建泉州模拟)若曲线y＝x2与y＝tex(t≠0)恰有两条公切线，则t的取值范围为(　　 ) A． B． C．(－∞，0)∪ D．(－∞，0)∪{} 答案：A 解析：设曲线y＝tex切点为M(m，tem)，y＝x2的切点为N(n，n2)， 则曲线y＝tex在点M(m，tem)处的切线方程为y－tem＝tem(x－m)，即y＝tem(x－m)＋tem， 同理，y＝x2在点N(n，n2)处的切线方程为y＝2nx－n2， 根据y＝tex与y＝x2有两条公切线， 则所以tem－mtem＝， 化简可得t＝具有两个交点， 转化为t＝有两个解，构造函数f(x)＝，则f′(x)＝， 当x<2，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x>2，f′(x)<0，f(x)单调递减， 故f(x)在x＝2时有极大值即为最大值，故f(2)＝， 当x→－∞时，f(x)→－∞，当x→＋∞时，f(x)→0， 故t的取值范围为. 5．(多选)已知直线y＝kx＋b是曲线y＝ln (2＋x)与y＝2＋ln x的公切线，则下列说法正确的是(　　 ) A．k＝1 B．k＋b＝2 C．k＝2 D．k＋b＝4 答案：AB 解析：设曲线y＝ln (2＋x)上切点A(x1，ln (2＋x1))，y′＝，切线斜率k＝，切线方程y－ln (2＋x1)＝(x－x1)， 即y＝＋ln (2＋x1)， 同理，设曲线y＝2＋ln x上切点B(x2，2＋ln x2)，y′＝，切线斜率k＝，切线方程y－(2＋ln x2)＝(x－x2)，即y＝x＋1＋ln x2， 所以 解得 所以k＝1，b＝1，k＋b＝2. 【填空题】每小题5分 6．(2024·陕西榆林模拟)已知曲线f(x)＝x2与g(x)＝ln (ax)(a>0)有公共切线，则实数a的最大值为________． 解析：设曲线f(x)＝x2与g(x)＝ln (ax)(a>0)的切点分别为，(x2，ln (ax2))， ∵f′(x)＝2x，g′(x)＝，∴k1＝2x1，k2＝， ∴y－＝2x1(x－x1)，y－ln (ax2)＝(x－x2)， ∴＋ln (ax2)－1＝0，即1－ln a＝＋ln x2， 令h(x)＝＋ln x，则h′(x)＝， 当0<x<时，h′(x)<0，h(x)单调递减；当x>时，h′(x)>0，h(x)单调递增， ∴h(x)≥h＝＋ln ，即1－ln a≥＋即ln a≤ln ，即0<a≤. 答案： 7．(2024·河北沧州模拟)已知直线l：y＝kx是曲线f(x)＝ex+1和g(x)＝ln x＋a的公切线，则实数a＝________． 解析：设直线l与曲线y＝f(x)相切于点(x0，y0)，由f′(x)＝ex+1，得k＝f′(x0)＝，因为l与曲线f(x)＝ex+1相切， 所以，解得x0＝1，则k＝e2. 设l与曲线y＝g(x)相切于点(x1，y1)，由g′(x)＝，得k＝e2＝，即e2x1＝1， 因为(x1，y1)是l与曲线g(x)＝ln x＋a的公共点， 所以消去y1，得e2x1＝ln x1＋a，即1＝ln ＋a，解得a＝3. 答案：3 8．(2024·辽宁沈阳模拟)已知函数y1＝的图象与函数y2＝ax(a>0且a≠1)的图象在公共点处有相同的切线，则a＝________，切线方程为________． 解析：设公共点为(x0，y0)(x0>0)， 则即，所以x0ln a＝所以ln a＝ln x0， 由y′1＝，y′2＝ax ln a，所以y′1|x＝x＝＝ax0ln a， 又在公共点处有相同的切线，所以ln a，即ln x0，所以ln x0＝1，则x0＝e，y0＝，则ln a＝ln x0＝＝，则a＝， 所以切线方程为(x－e)，即x－2y＋e＝0. 答案：　x－2y＋e＝0 9．(2022·全国甲卷)已知函数f(x)＝x3－x，g(x)＝x2＋a，曲线y＝f(x)在点(x1，f(x1))处的切线也是曲线y＝g(x)的切线． (1)若x1＝－1，求a； (2)求a的取值范围． 解：(1)由题意知，f(－1)＝－1－(－1)＝0，f′(x)＝3x2－1，f′(－1)＝3－1＝2，则y＝f(x)在点处的切线方程为y＝2(x＋1)，即y＝2x＋2， 设该切线与g(x)切于点，g′(x)＝2x，则g′(x2)＝2x2＝2，解得x2＝1，则g(1)＝1＋a＝2＋2，解得a＝3. (2)f′(x)＝3x2－1，则y＝f(x)在点(x－x1)，整理得y＝， 设该切线与g(x)切于点，g′(x)＝2x，则g′(x2)＝2x2，则切线方程为y－＝2x2(x－x2)，整理得y＝2x2x－＋a， 则整理得a＝， 令h(x)＝，则h′(x)＝9x3－6x2－3x＝3x(3x＋1)(x－1)， 令h′(x)>0，解得－<x<0或x>1， 令h′(x)<0，解得x<－或0<x<1，则x变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表： x (－∞，－) － ( ，0) 0 (0,1) 1 (1,+∞) h′(x) － 0 ＋ 0 － 0 ＋ h(x) ↘ ↗ ↘ －1 ↗ 则h(x)的值域为[-1,+∞)， 故a的取值范围为[-1,+∞). 学科网（北京）股份有限公司 $$