2024-2025学年中考解答题复习 解答题之尺规作图

中考数学第一轮复习 解答题练习 解答题之尺规作图 解答题： 1．如图，请用尺规作图法，以线段AB为斜边，作一个等腰直角三角形ABC．（保留作图痕迹，不写作法） 2．如图，在△ABC中，D是BC上一点． （1）在AB上确定一点O，使得OA＝OD（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，当∠AOD＝90°时，将△ABC绕点O旋转得到△DEF，其中，D，E分别是点A，B的对应点．若D是BC的中点，EF交AB于点G，求证：G是EF的中点． 3．在Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）在CB上找一点E，使EB＝EA；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若AC＝4，BC＝8，求CE的长． 4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8． （1）尺规作图，作AB边的垂直平分线DE，交AC于点D，交AB于点E；（不写作法，但要保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接BD，求BD的长． 5．如图，∠CAE是△ABC的一个外角，AB＝AC，CF∥BE． （1）尺规作图：作∠CAE的平分线，交CF于点D（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若CD＝AD，求证：四边形ABCD是菱形 6．如图是6×6的网格，网格边长为1，△ABC的顶点在格点上．已知△ABC的外接圆，仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图（两题都要保留作图痕迹）． （1）找出△ABC的外接圆的圆心O，并求的长． （2）在圆上找点D，使得CB＝CD． 7．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E是AC延长线上一点，连接BE． （1）用无刻度的直尺和圆规作出线段CE的垂直平分线．（保留作图痕迹，不写作法） （2）若（1）中的垂直平分线与CE交于点F，连接DF，写出线段DF和BE的数量关系及位置关系，并说明理由． 8．以下内容节选自人教版初中数学教材八年级上册．请说明内容中的尺规作图的原理， 即求证∠O′＝∠O． 作法：（1）如图1，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D； （2）画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′； （3）以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点D′； （4）过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB． 9．如图，在3×3的网格系中，线段AB的端点都在格点上，请仅使用无刻度直尺作图，并保留作图痕迹． （1）在图1中作格点线段DE，使DE⊥AB，垂足为P； （2）在图2中作线段AB的垂直平分线． 10．如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交对角线BD于点E． （1）用尺规完成以下基本作图：作∠BCD的平分线，交对角线BD于点F；（不写作法和证明，保留作图痕迹） （2）在（1）所作的图形中，求证：DE＝BF． 11．如图，AC∥BD，AE平分∠BAC交BD于点E． （1）【实践与操作】过点B作AE的垂线，垂足为点O（要求尺规作图，保留痕迹，不写作法）； （2）【猜想与证明】设（1）中的垂线交AC于点F，连接EF，试猜想四边形ABEF的形状，并证明． 12．如图，已知E是∠AOB的边AO上一点，EF∥OB．请用尺规作图的方法在EF上求作一点P，连接OP，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 13．已知：如图，点M在∠AOB的边OA上，小樱根据要求进行尺规作图，请你依据小樱的作图痕迹回答下列问题． （1）填空：由作图可知，射线OP是∠AOB的 　 　； （2）以点M为圆心、OM长为半径画弧，交射线OP于点N，连接MN，试判断MN与OB的位置关系并说明理由． 14．如图，在矩形ABCD中，对角线BD＝8． （1）实践与操作：作对角线BD的垂直平分线EF，与AB、CD分别交于点E、F（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）应用与计算：在（1）的条件下，连结BF，若∠BDC＝30°，求△BFC的周长． 15．如图，已知村庄A，B分别在道路CA、CB上． （1）尺规作图：作∠ACB的角平分线和线段AB的垂直平分线，交于点D（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）作图的基础上，连接AD、BD，过D作DE⊥CA，DF⊥CB，垂足分别为点E和点F，求证：AE＝BF． 16．如图将长方形纸片ABCD折叠，使得点D落在AB边上的点M处，折痕经过点C，与边AD交于点N． （1）尺规作图：求作点N、M（不写作法，保留作图痕迹）； （2）若AB＝CD＝10，AD＝BC＝8，求AN的长． 17．如图，已知在△ABC中，点D在边AC上，且AB＝AD． （1）用尺规作图法，作∠BAC的平分线AP，交BC于点P；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）在（1）的条件下，连接PD、求证：PD＝PB． 18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝2∠B． （1）【实践操作】用尺规作图法作边AB的垂直平分线DE，交AB于点D，连接CD． （2）在（1）所作的图形中，证明：△ACD是等边三角形． 19．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12． （1）请用无刻度的直尺和圆规在边BC上求作一点D，使得点D到边AB，AC的距离相等（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）所作的图形中，过点D作DE⊥AB于点E． ①求证：AE＝AC； ②若CD＝4，S△ABD＝30，求BE的长． 20．如图，AD∥BC，BF平分∠CBD． （1）用尺规作图完成以下基本作图：作DE平分∠ADB，交AB于点E，连接EF交BD于O．（保留作图痕迹，不写作法和结论．） （2）根据（1）中作图，若O为EF中点，证明四边形BFDE是平行四边形，请你补全证明过程． 证明：∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBD． 又∵DE平分∠ADB， ∴①　 　， 同理：， ∴∠BDE＝∠DBF， ∴②　 　， ∵O为EF中点， ∴③　 　， 又∵∠DOE＝∠BOF， ∴△DOE≌△BOF． ∴DE＝BF， ∴四边形BFDE是平行四边形．（④　 　）． 21．尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上．在⊙O上作点D，使得线段DB＝DC，且线段AD与BC相交． 22．如图这是一个残缺的圆形部件，已知A，B，C是该部件圆弧上的三点． （1）利用尺规作图作出该部件的圆心；（保留作图痕迹） （2）若△ABC是等腰三角形，底边BC＝16cm，腰AB＝10cm，求该部件的半径R． 23．如图，AC为圆的直径，点B为圆上一点，点P为圆外一点． （1）尺规作图：作出圆心O（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）所作图中，连接PA，PB，BC，若PA为⊙O的切线．∠P+2∠C＝180°，求证：PB为⊙O的切线． 24．如图，在正方形ABCD中，BC＝2BE＝4． （1）请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：过点D作AE的垂线，交AB于点F（不写作法，保留作图痕迹）． （2）连接EF，求EF的长． 25．在学习了平行四边形与正方形的相关知识后，智慧小组进行了更深入的探究．他们发现，如图所示的正方形ABCD，分别取BC，CD的中点N，M，连接AM，DN交于点E，过B作AM的垂线，交AM于点Q，交AD于点P．则四边形BPDN是平行四边形． （1）用尺规完成以下基本作图：过B作AM的垂线，交AM于点Q，交AD于点P（只保留作图痕迹）． （2）根据（1）中所作图形，智慧小组发现四边形BPDN是平行四边形成立，并给出了证明，请补全证明过程． 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝CD＝BC，∠ADC＝∠C＝90°，AD∥BC． 又∵M，N分别为BC，CD的中点， ∴，， ∴①　 　， 在△ADM与△DCN中， ， ∴△ADM≌△DCN（SAS）． ∴②　 　． 又∵∠CDN+∠ADN＝90°， ∴∠DAM+∠ADN＝90°， ∴∠AED＝90°， 又∵BP⊥AE， ∴∠AQP＝∠AED＝90°， ∴③　 　． 又∵DP∥BN， ∴四边形BPDN是平行四边形． 进一步思考，智慧小组发现任取BC，CD的上点N，M（M不与C，D重合），DM＝CN，连接AM，DN，过B作AM的垂线，交AD于点P，则四边形BPDN是④　 　． 26．阅读与思考 下面是小明同学的一篇数学读书笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． 我在课外读物《怎样解题》中看到这样一个问题： 如图1，给定不在同一直线上的三个点A，B，C，如何利用无刻度的直尺和圆规在点B，C之间画一条过点A的直线，且点B和点C到这条直线的距离相等？ 下面是我的解题步骤： 如图2，第一步：以点B为圆心，以AC的长为半径画弧； 第二步：以点C为圆心，以AB的长为半径画弧，两弧交于点D； 第三步：作直线AD，则点B和点C到直线AD的距离相等． 下面是部分证明过程： 证明：如图3，连接BD，CD，过点B作 BE⊥AD于点E，过点C作 CF⊥AD于点F，连接BC交AD于点O． 由作图可知 AB＝CD，AC＝BD， ∴四边形ABDC是平行四边形．（依据1） ∴BO＝CO．（依据2） …… 于是我得到了这样的结论：只要确定线段BC的中点，由两点确定一条直线即可确定问题中所求直线． 任务： （1）填空：材料中的“依据1”是指 　 　；“依据2”是指 　 　． （2）请将小明的证明过程补充完整． （3）尺规作图：请在图4中，用不同于材料中的方法，在点B和点C之间作直线AM，使得点B和点C到直线AM的距离相等．（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法） 27．在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理．如图，已知劣弧AB，C是弦AB上一点． （1）根据提示完成尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）； ①作线段AC的垂直平分线DE，分别交劣弧AB于点D，垂足为E； ②以点D为圆心，DA长为半径作弧，交劣弧AB于点F（F，A两点不重合），连接BF． （2）引理的结论为：BC＝BF． 证明：连接DA，DC，DF，DB． ∵DE为AC的垂直平分线， ∴DA＝DC， ∴∠DAC＝∠DCA． 又∵四边形ABFD为圆的内接四边形 ∴∠DAC+∠　 　＝180°． 　 　． 又∵∠DCA+∠DCB＝180°， ∴∠DCB＝∠DFB． 又∵AD＝FD， ∴　 　， ∴∠ABD＝∠DBF，　 　． ∴△BCD≌△BFD（AAS）， ∴BC＝BF． 28．如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C． （1）作∠ABF的平分线交AE于点D（尺规作图，保留痕迹，不写作法）； （2）根据（1）中作图，连接CD，求证：四边形ABCD是菱形． 证明：∵AE∥BF， ∴　 　， ∵AC平分∠BAE， ∴　 　． ∴∠ACB＝∠BAC， ∴　 　， 同理可证AB＝AD， ∴AD＝BC． 又∵AD∥BC， ∴　 　， 又∵AB＝BC， ∴四边形ABCD是菱形． 29．如图，在△ABC中，AB＝AC，AG为△ABC的外角∠BAE的平分线，BF⊥AG，垂足为F，点D为BC上一点，连接DF，交AB于点O． （1）在不添加新的线的前提下，请增加一个条件：　 　，使得四边形AFBD为矩形，并说明理由； （2）若四边形AFBD为矩形，请用尺规作图的方法作一个菱形ABPC，使BC为菱形的一条对角线．（保留作图痕迹，不写作法） 30．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，以点B为圆心、任意长为半径画圆弧分别交边AB，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，以大于的长为半径画圆弧，两弧相交于点G，连接BG并延长交AC于点D． （1）求证：BD平分∠ABC； （2）若AD＝4，求△BCD的周长． 31．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形边长为1个单位，小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均在格点上．要求只用无刻度直尺画图，并保留画图痕迹． （1）在图①中画BC边上的高线AH． （2）在图②中的线段BC上画出点D，使得AD+BD＝BC． （3）在图③中，画出△BCE，使得S△BCE＝2S△ABC，且E、A、B三点不共线． 32．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC，BC． （1）使用直尺和圆规，在图中过点A作⊙O的切线AP，补全图形（点P在AB上方，保留作图痕迹）； （2）点D是弧BC的中点，连接DO并延长，分别交BC，PA于点E，F，若BC＝8，cos∠PAC，求线段DF的长． 33．如图，⊙O中，AB，CD为直径，CH为⊙O的切线，点C为切点，连接BC． （1）尺规作图：过点D作DM⊥AB，垂足为M，交弦BC于点N，交切线CH于点E，交⊙O于点F，连接CF（保留作图痕迹，不写作法）； （2）求证：CE＝EN； （3）若⊙O的半径为2，CF＝1，求EM的长． 34．如图，已知∠α和线段m，利用直尺和圆规作一个直角三角形，分别满足下列条件（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）． （1）直角三角形的斜边等于m，且有一个内角等于∠α； （2）直角三角形周长等于m，且有一个内角等于∠α． 35．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以AC为直径作⊙O，交AB于D． （1）在图（1）中，用直尺和圆规过点D作⊙O的切线DE交BC于点E；（保留作图痕迹，不写作法） （2）如图（2），如果⊙O的半径为3，ED＝4，延长EO交⊙O于F，连接DF，与OA交于点G，求OG的长． 36．问题探究： （1）请仅用无刻度直尺在图①的正方形ABCD内，画出使∠APB＝90°的一个点P； （2）请用无刻度直尺和圆规在图②的正方形ABCD边上，画出使∠APB＝60°的所有点P． 问题解决： 如图③所示，现有一块矩形钢板ABCD，AB＝4，BC＝3，工人师傅想用它裁出两块全等的、面积最大的△APB和△CP'D钢板，且∠APB＝∠CP′D＝60°，此时裁得的AP长为 　 　． 37．如图，已知A，B，C均在⊙O上，请用无刻度的直尺作图． （1）如图1，若点D是AC的中点，试画出∠B的平分线； （2）如图2，若BD∥AC．试画出∠ABC的平分线． 38．已知：⊙O和⊙O外一点P． （1）如图甲，PA和PB是⊙O的两条切线，A、B分别为切点，求证：PA＝PB． （2）尺规作图：在图乙中，过P点画⊙O的两条切线PE、PF，E、F为切点（要求：保留作图痕迹，不写作法）． 39．数学实验室：有一个直角三角形纸板，∠C＝90°，AC＝40cm，BC＝30cm．小明计划以三角形的一条边为直径所在的边，先剪出一个最大的半圆，用这个半圆围成一个圆锥的侧面，然后在剩下的纸板上再剪出一个完整的圆，用这个圆作为圆锥的底面圆．如图1，小明首先以斜边为直径所在的边进行尝试，发现无法实现他的计划，他打算换成直角边来继续实验． （1）请你在图2中，任选一条直角边为直径所在的边，帮小明画出一个最大的半圆（请使用无刻度的直尺和圆规完成作图）； （2）如果小明按照你选的直角边继续往下操作，他能否顺利得到这个圆锥的底面圆？如果能，请说明理由；如果不能，那么换另一条直角边能否实现？同样请说明理由．（友情提醒：请利用图3完成题（2）的解答） 40．如图，在△ABC中，∠C＝90°，DB⊥BC于点B，分别以点D和点B为圆心，以大于DB的长为半径作弧，两弧相交于点E和点F，作直线EF，延长AB交EF于点G，连接DG，下面是说明∠A＝∠D的说理过程，请把下面的说理过程补充完整： 因为DB⊥BC（已知） 所以∠DBC＝90°（　 　）① 因为∠C＝90°（已知） 所以∠DBC＝∠C（等量代换） 所以DB∥AC（　 　）② 所以　 　＝　 　③（两直线平行，同位角相等）； 由作图法可知：直线EF是线段DB的（　 　）④ 所以GD＝GB，线段　 　⑤（上的点到线段两端点的距离相等） 所以　 　＝　 　（　 　）⑥， 因为∠A＝∠1（已知） 所以∠A＝∠D（等量代换）． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1页（共 47页） 解析答案 解答题 1．如图，请用尺规作图法，以线段 AB为斜边，作一个等腰直角三角形 ABC．（保留作图痕迹，不写作法） 【解答】解：如图所示：△ABC即为所求； 由作图可知：AD⊥BC，AD＝BD，AB＝AC， ∴∠B＝∠BAD＝45°，∠C＝∠CAD＝45°， ∴∠BAC＝90°， ∴△ABC是以 BC为斜边的等腰直角三角形． 【点评】本题考查作图﹣复杂作图，掌握等腰直角三角形的判定是解题的关键． 2．如图，在△ABC中，D是 BC上一点． （1）在 AB上确定一点 O，使得 OA＝OD（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，当∠AOD＝90°时，将△ABC绕点 O旋转得到△DEF，其中，D，E分别是点 A，B的对应点．若 D是 BC的中点，EF交 AB于点 G，求证：G是 EF的中点． 【解答】解：（1）如图，连接 AD，分别以点 A和点 D为顶点，以大于 1 2 AD为半径分别作弧，连接两个 交点，直线与 AB的交点为 O，O为所求作的点． 第 2页（共 47页） （2）证明：∵D是 BC的中点， ∴BD= 12BC， 如图： ∵△ABC绕点 O旋转得到△DEF，D、E分别是点 A、B的对应点， ∴OB＝OE，∠BOE＝∠AOD＝90°，△ABC≌△DEF， ∴∠BOD＝90°，BC＝EF，∠ABC＝∠DEF， 在△ODB与△OGE中 ∠��� = ∠��� �� = �� ∠��� = ∠��� ， ∴△ODB≌△OGE（ASA）， ∴BD＝EG， ∴EG= 12EF， 即 EG＝FG， ∴G是 EF中点． 【点评】本题主要考查作线段垂直平分线，旋转的性质以及全等三角形的判定与性质，找到全等三角形 即可求出结果． 3．在 Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）在 CB上找一点 E，使 EB＝EA；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若 AC＝4，BC＝8，求 CE的长． 第 3页（共 47页） 【解答】解：（1）如图，点 E为所作； （2）设 CE＝x，则 EB＝AE＝8﹣x， 在 Rt△ACE中， ∵AC2+BC2＝AE2， ∴42+x2＝（8﹣x）2， 解得 x＝3， 即 CE的长为 3． 【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几 何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本 性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 4．如图，在 Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8． （1）尺规作图，作 AB边的垂直平分线 DE，交 AC于点 D，交 AB于点 E；（不写作法，但要保留作图 痕迹） （2）在（1）的条件下，连接 BD，求 BD的长． 【解答】解：（1）如图所示，直线 DE即为所求； 第 4页（共 47页） （2）∵DE是 AB的垂直平分线， ∴DB＝DA， 设 DB＝DA＝x，则 CD＝8﹣x， 在 Rt△BCD中，BD2＝BC2+CD2， 即：x2＝62+（8﹣x）2， 解得：� = 254， BD 的长是� = 254． 【点评】本题考查尺规作图——垂直平分线，勾股定理等，熟练掌握尺规作图、勾股定理、线段垂直平 分线的性质是解决问题的关键． 5．如图，∠CAE是△ABC的一个外角，AB＝AC，CF∥BE． （1）尺规作图：作∠CAE的平分线，交 CF于点 D（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若 CD＝AD，求证：四边形 ABCD是菱形 【解答】（1）解：如图，AD即为所求作的∠CAE的平分线； （2）证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB， ∵AD平分∠CAE， 第 5页（共 47页） ∴∠CAD＝∠EAD， ∵∠CAE＝∠B+∠ACB， ∴∠CAD+∠EAD＝∠B+ACB， ∴∠EAD＝∠B， ∴AD∥BC， ∵AB∥CD， ∴四边形 ABCD是平行四边形， ∵CD＝AD， ∴四边形 ABCD是菱形． 【点评】本题主要考查了作图—基本作图，角平分线的定义，平行线的判定，等腰三角形的性质，平行 四边形的判定和菱形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 6．如图是 6×6的网格，网格边长为 1，△ABC的顶点在格点上．已知△ABC的外接圆，仅用无刻度的直 尺在给定的网格中完成画图（两题都要保留作图痕迹）． （1）找出△ABC的外接圆的圆心 O，并求���的长． （2）在圆上找点 D，使得 CB＝CD． 【解答】解：（1）如图 1点 O就是所求作的圆心， ∵半径�� = 1+ 4 = 5，�� = 1 + 9 = 10， ∴AC2＝OA2+OC2， 第 6页（共 47页） ∴∠AOC＝90°， ∴��� = 90×2�× 5360 = 5 2 π． （2）如图 2，作直线 DE平行 AC，交圆于点 D和 E， 得到等腰梯形 ACDE， 可得 AE＝DC＝2， 从而 BC＝DC＝2． 【点评】本题考查三角形的外接圆、弧长公式和圆的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 7．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E是 AC延长线上一点，连接 BE． （1）用无刻度的直尺和圆规作出线段 CE的垂直平分线．（保留作图痕迹，不写作法） （2）若（1）中的垂直平分线与 CE交于点 F，连接 DF，写出线段 DF和 BE的数量关系及位置关系， 并说明理由． 【解答】解：（1）线段 CE的垂直平分线如图所示． （2）DF∥BE，�� = 12��． 理由：∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线， 第 7页（共 47页） ∴BD＝CD， ∴D是 BC的中点． 又∵F是 CE的中点， ∴DF是△BCE的中位线， ∴DF∥BE，�� = 12��． 【点评】本题考查线段垂直平分线的作法，掌握等腰三角形的性质，三角形中位线的性质等是解题的关 键． 8．以下内容节选自人教版初中数学教材八年级上册．请说明内容中的尺规作图的原理， 即求证∠O′＝∠O． 作法：（1） 如图 1，以点 O为圆心，任意长为半径画弧，分别交 OA，OB于点 C，D； （2）画一条射线 O′A′，以点 O′为圆心，OC长为半径画弧，交 O′A′于点 C′； （3）以点 C′为圆心，CD长为半径画弧，与第 2步中所画的弧相交于点 D′； （4）过点 D′画射线 O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB． 【解答】证明：由作图得 OC＝OD＝O′C′＝O′D′，CD＝C′D′， 在△COD和△C′O′D′中， �� = �′�′ �� = �′�′ �� = �′�′ ， ∴△COD≌△C′O′D′（SSS）， ∴∠O′＝∠O． 【点评】本题考查作一个角等于已知角，全等三角形的判定和性质等知识，三边对应相等的两三角形全 第 8页（共 47页） 等． 9．如图，在 3×3的网格系中，线段 AB的端点都在格点上，请仅使用无刻度直尺作图，并保留作图痕迹． （1）在图 1中作格点线段 DE，使 DE⊥AB，垂足为 P； （2）在图 2中作线段 AB的垂直平分线． 【解答】解：（1）如图 1，格点线段 DE，此时 DE⊥AB，垂足 P即为所作； （2）如图 2，MN即为所作； 【点评】本题考查了作垂线，作垂直平分线．熟练掌握作垂线，作垂直平分线是解题的关键． 10．如图，在平行四边形 ABCD中，AE平分∠BAD，交对角线 BD于点 E． （1）用尺规完成以下基本作图：作∠BCD的平分线，交对角线 BD于点 F；（不写作法和证明，保留作 图痕迹） （2）在（1）所作的图形中，求证：DE＝BF． 第 9页（共 47页） 【解答】（1）解：如图，CF即为所求： （2）证明：∵四边形 ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∴∠ADE＝∠CBF， ∵AE、CF分别平分∠BAD和∠BCD， ∴∠��� = 12∠���，∠��� = 1 2∠���， ∵四边形 ABCD是平行四边形， ∴∠BAD＝∠BCD， ∴∠DAE＝∠BCF， 在△DAE和△BCF中， ∠��� = ∠��� �� = �� ∠��� = ∠��� ， ∴△ADE≌△CBF（ASA）， ∴DE＝BF． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，基本作图，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握这些 知识． 11．如图，AC∥BD，AE平分∠BAC交 BD于点 E． （1）【实践与操作】过点 B作 AE的垂线，垂足为点 O（要求尺规作图，保留痕迹，不写作法）； （2）【猜想与证明】设（1）中的垂线交 AC于点 F，连接 EF，试猜想四边形 ABEF的形状，并证明． 第 10页（共 47页） 【解答】解：（1）如图，BO是所求作的垂线． （2）四边形 ABEF是菱形，理由如下： ∵AC∥BD， ∴∠CAE＝∠BEA， ∵AE平分∠BAC， ∴∠CAE＝∠BAE， ∴∠BEA＝∠BAE， ∴BA＝BE． 又∵BF⊥AE， ∴AO＝EO， ∵∠AOF＝∠EOB，∠FAE＝∠BEA， ∴△AFO≌△EBO（ASA）， ∴OF＝OB， ∴四边形 ABEF是平行四边形， ∵BA＝BE， ∴四边形 ABCD是菱形． 【点评】此题考查了作图﹣基本作图，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定，解题的 关键是掌握以上知识点． 12．如图，已知 E是∠AOB的边 AO上一点，EF∥OB．请用尺规作图的方法在 EF上求作一点 P，连接 OP，使得∠��� = 12∠���．（保留作图痕迹，不写作法） 【解答】解：如图，作∠AOB的平分线，交 EF于点 P， 第 11页（共 47页） 可得∠��� = 12∠���． ∵EF∥OB， ∴∠AEF＝∠AOB， ∴∠��� = 12∠���， 则点 P即为所求． 【点评】本题考查作图—复杂作图、平行线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问 题． 13．已知：如图，点 M在∠AOB的边 OA上，小樱根据要求进行尺规作图，请你依据小樱的作图痕迹回答 下列问题． （1）填空：由作图可知，射线 OP是∠AOB的 平分线 ； （2）以点 M为圆心、OM长为半径画弧，交射线 OP于点 N，连接 MN，试判断 MN与 OB的位置关系 并说明理由． 【解答】解：（1）由作图可知，射线 OP是∠AOB的平分线． 故答案为：平分线． （2）MN∥OB． 理由：由作图可知，MO＝MN， ∴∠MON＝∠MNO． ∵OP是∠AOB的平分线， ∴∠AOP＝∠BOP， ∴∠MNO＝∠BOP， ∴MN∥OB． 【点评】本题考查作图—复杂作图、角平分线的定义、平行线的判定，解题的关键是理解题意，灵活运 第 12页（共 47页） 用所学知识解决问题． 14．如图，在矩形 ABCD中，对角线 BD＝8． （1）实践与操作：作对角线 BD的垂直平分线 EF，与 AB、CD分别交于点 E、F（用尺规作图法，保 留作图痕迹，不要求写作法）； （2）应用与计算：在（1）的条件下，连结 BF，若∠BDC＝30°，求△BFC的周长． 【解答】解：（1）图形如图所示： （2）∵四边形 ABCD是矩形， ∴∠C＝90°， ∵BD＝8，∠BDC＝30°， ∴BC= 12BD＝4， ∴CD= ��2 − ��2 = 82 − 42 =4 3， ∵EF垂直平分线段 DB， ∴BF＝DF， ∴△BFC的周长＝BC+CF+BF＝BC+CF+DF＝BC+DC＝4+4 3． 【点评】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质，矩形的性质等知识，解题的关键是理解 题意，正确作出图形． 15．如图，已知村庄 A，B分别在道路 CA、CB上． （1）尺规作图：作∠ACB的角平分线和线段 AB的垂直平分线，交于点 D（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）作图的基础上，连接 AD、BD，过 D作 DE⊥CA，DF⊥CB，垂足分别为点 E和点 F，求 证：AE＝BF． 第 13页（共 47页） 【解答】（1）解：如图所示． （2）证明：由（1）知，DG为线段 AB的垂直平分线， ∴BD＝AD． ∵CD为∠ABC的平分线，DE⊥CA，DF⊥CB， ∴DE＝DF，∠DEA＝∠DFB＝90°， ∴Rt△ADE≌Rt△BDF（HL）， ∴AE＝BF． 【点评】本题考查作图—应用与设计作图、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判 定与性质，熟练掌握角平分线的性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质是解答本题的 关键． 16．如图将长方形纸片 ABCD折叠，使得点 D落在 AB边上的点 M处，折痕经过点 C，与边 AD交于点 N． （1）尺规作图：求作点 N、M（不写作法，保留作图痕迹）； （2）若 AB＝CD＝10，AD＝BC＝8，求 AN的长． 【解答】解：（1）如图，以点 C为圆心，CD的长为半径画弧，交 AB于点 M， 第 14页（共 47页） 连接 CM，作∠DCM的平分线，交 AD于点 N， 则点 M，N即为所求． （2）由折叠可得，CM＝CD＝10，MN＝DN． ∵四边形 ABCD为矩形， ∴∠A＝∠B＝90°， 在 Rt△BCM中，由勾股定理得，BM= ��2 − ��2 = 102 − 82 =6， ∴AM＝AB﹣BM＝4． 设 AN＝x，则 MN＝DN＝8﹣x， 在 Rt△AMN中，由勾股定理得，MN2＝AM2+AN2， 即（8﹣x）2＝42+x2， 解得 x＝3， ∴AN的长为 3． 【点评】本题考查作图—复杂作图、翻折变换（折叠问题）、矩形的性质，解题的关键是理解题意，灵 活运用所学知识解决问题． 17．如图，已知在△ABC中，点 D在边 AC上，且 AB＝AD． （1）用尺规作图法，作∠BAC的平分线 AP，交 BC于点 P；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）在（1）的条件下，连接 PD、求证：PD＝PB． 【解答】（1）解：如图，AP为所作； 第 15页（共 47页） （2）证明：∵AP平分∠BAC， ∴∠BAP＝∠DAP， 在△ABP和△ADP中， �� = �� ∠��� = ∠��� �� = �� ， ∴△ABP≌△ADP（SAS）， ∴PB＝PD． 【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握 5种基本作图是解决问题的关键．也考查了全等三角形 的判定与性质． 18．如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝2∠B． （1）【实践操作】用尺规作图法作边 AB的垂直平分线 DE，交 AB于点 D，连接 CD． （2）在（1）所作的图形中，证明：△ACD是等边三角形． 【解答】（1）解：如图，DE即为所求. （2）证明：连接 CD， ∵DE为线段 AB的垂直平分线， ∴AD＝BD， ∵∠ACB＝90°，∠A＝2∠B， ∴∠B＝30°，∠A＝60°， ∵AD＝BD，∠ACB＝90°， ∴AD＝CD= 12AB， ∴△ACD是等边三角形． 第 16页（共 47页） 【点评】本题考查了作图﹣基本作图，线段垂直平分线，等边三角形的判定，直角三角形的性质，熟练 掌握直角三角形的性质是解题的关键． 19．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12． （1）请用无刻度的直尺和圆规在边 BC上求作一点 D，使得点 D到边 AB，AC的距离相等（保留作图 痕迹，不写作法）； （2）在（1）所作的图形中，过点 D作 DE⊥AB于点 E． ①求证：AE＝AC； ②若 CD＝4，S△ABD＝30，求 BE的长． 【解答】（1）解：如图，作∠BAC的平分线，交 BC于点 D， 则点 D到边 AB，AC的距离相等， 即点 D为所求． （2）①证明：∵DE⊥AB， ∴∠DEA＝90°． 由（1）知，点 D到边 AB，AC的距离相等， 即 DC＝DE， ∵AD＝AD， 第 17页（共 47页） ∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）， ∴AE＝AC． ②解：由①知，AE＝AC＝12，CD＝DE＝4． ∵S△ABD= 1 2�� ⋅ �� = 1 2�� × 4 =30， ∴AB＝15， ∴BE＝AB﹣AE＝15﹣12＝3． 【点评】本题考查作图—基本作图、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的 性质、全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． 20．如图，AD∥BC，BF平分∠CBD． （1）用尺规作图完成以下基本作图：作 DE平分∠ADB，交 AB于点 E，连接 EF交 BD于 O．（保留作 图痕迹，不写作法和结论．） （2）根据（1）中作图，若 O为 EF中点，证明四边形 BFDE是平行四边形，请你补全证明过程． 证明：∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBD． 又∵DE平分∠ADB， ∴① ∠BDE= 12∠ADB ， 同理：∠��� = 12∠���， ∴∠BDE＝∠DBF， ∴② DE∥BF ， ∵O为 EF中点， ∴③ OE＝OF ， 又∵∠DOE＝∠BOF， ∴△DOE≌△BOF． ∴DE＝BF， ∴四边形 BFDE是平行四边形．（④ 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ）． 第 18页（共 47页） 【解答】（1）解：如图所示． （2）证明：∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBD． 又∵DE平分∠ADB， ∴∠BDE= 12∠ADB， 同理：∠��� = 12∠���， ∴∠BDE＝∠DBF， ∴DE∥BF， ∵O为 EF中点， ∴OE＝OF， 又∵∠DOE＝∠BOF， ∴△DOE≌△BOF（AAS）． ∴DE＝BF， ∴四边形 BFDE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）． 故答案为：①∠BDE= 12∠ADB；②DE∥BF；③OE＝OF；④一组对边平行且相等的四边形是平行四 边形． 【点评】本题考查作图—复杂作图、角平分线的定义、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定， 熟练掌握相关知识点是解答本题的关键． 21．尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：如图，AB为⊙O的直径，点 C在⊙O上．在⊙O上作点 D， 使得线段 DB＝DC，且线段 AD与 BC相交． 第 19页（共 47页） 【解答】解：如图，点 D即为所求． 【点评】本题考查作图﹣复杂作图，解题的关键是理解题意，正确作出图形． 22．如图这是一个残缺的圆形部件，已知 A，B，C是该部件圆弧上的三点． （1）利用尺规作图作出该部件的圆心；（保留作图痕迹） （2）若△ABC是等腰三角形，底边 BC＝16cm，腰 AB＝10cm，求该部件的半径 R． 【解答】解：（1）如图所示：分别作弦 AB和 AC的垂直平分线交点 O即为所求的圆心； （2）连接 AO，OB，BC，BC交 OA于 D． ∵AB＝AC， ∴�� = ��， ∴OA⊥BC， 第 20页（共 47页） ∴BD＝DC， ∵BC＝16cm， ∴BD＝8（cm）， ∵AB＝10cm， ∴AD= ��2 − ��2 = 102 − 82 =6（cm）， 设圆片的半径为 R，在 Rt△BOD中，OD＝（R﹣6）cm， ∴R2＝82+（R﹣6）2， 解得：� = 253 ��， ∴圆片的半径 R为 25 3 ��． 【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活 运用所学知识解决问题． 23．如图，AC为圆的直径，点 B为圆上一点，点 P为圆外一点． （1）尺规作图：作出圆心 O（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）所作图中，连接 PA，PB，BC，若 PA为⊙O的切线．∠P+2∠C＝180°，求证：PB为 ⊙O的切线． 【解答】（1）解：如图，点 O即为所求； （2）证明：连接 OB． ∵OC＝OB， 第 21页（共 47页） ∴∠C＝∠OBC， ∵∠AOB＝∠C+∠OBC＝2∠C，∠P+2∠C＝180°， ∴∠P+∠AOB＝180°， ∴∠PAO+∠PBO＝180°， ∵PA是切线， ∴∠PAO＝90°， ∴∠PBO＝90°， ∴PB⊥OB． ∵OB是半径， ∴PB是⊙O的切线． 【点评】本题考查作图﹣复杂作图，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，多边形的内角与外角，切 线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 24．如图，在正方形 ABCD中，BC＝2BE＝4． （1）请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：过点 D作 AE的垂线，交 AB于点 F（不写作法，保留作图 痕迹）． （2）连接 EF，求 EF的长． 【解答】解：（1）如解图所示，直线 DF即为所求； （2）连接 EF． ∵四边形 ABCD是正方形， ∴AD＝AB＝BC＝4，∠B＝∠BAD＝90°， ∴∠AFD+∠ADF＝90°． ∵DF⊥AE， 第 22页（共 47页） ∴∠AFD+∠FAE＝90°． ∴∠ADF＝∠FAE， ∴△ADF≌△BAE（ASA）， ∴AF＝BE＝2， ∴BF＝AB﹣AF＝2， 又∵∠B＝90°， ∴EF= 2BE＝2 2． 【点评】本题考查作图﹣复杂作图，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，解题的关键是正确寻找 全等三角形解决问题． 25．在学习了平行四边形与正方形的相关知识后，智慧小组进行了更深入的探究．他们发现，如图所示的 正方形 ABCD，分别取 BC，CD的中点 N，M，连接 AM，DN交于点 E，过 B作 AM的垂线，交 AM于 点 Q，交 AD于点 P．则四边形 BPDN是平行四边形． （1）用尺规完成以下基本作图：过 B作 AM的垂线，交 AM于点 Q，交 AD于点 P（只保留作图痕迹）． （2）根据（1）中所作图形，智慧小组发现四边形 BPDN是平行四边形成立，并给出了证明，请补全 证明过程． 证明：∵四边形 ABCD是正方形， ∴AD＝CD＝BC，∠ADC＝∠C＝90°，AD∥BC． 又∵M，N分别为 BC，CD的中点， ∴�� = 12��，�� = 1 2��， ∴① DM＝CN ， 在△ADM与△DCN中， �� = �� ∠��� = ∠� �� = �� ， ∴△ADM≌△DCN（SAS）． ∴② ∠CDN＝∠DAM ． 又∵∠CDN+∠ADN＝90°， ∴∠DAM+∠ADN＝90°， ∴∠AED＝90°， 又∵BP⊥AE， 第 23页（共 47页） ∴∠AQP＝∠AED＝90°， ∴③ BP∥DN ． 又∵DP∥BN， ∴四边形 BPDN是平行四边形． 进一步思考，智慧小组发现任取 BC，CD的上点 N，M（M不与 C，D重合），DM＝CN，连接 AM， DN，过 B作 AM的垂线，交 AD于点 P，则四边形 BPDN是④ 平行四边形 ． 【解答】（1）解：如图，BQ即为所求． （2）证明：∵四边形 ABCD是正方形， ∴AD＝CD＝BC，∠ADC＝∠C＝90°，AD∥BC． 又∵M，N分别为 BC，CD的中点， ∴�� = 12��，�� = 1 2��， ∴DM＝CN， 在△ADM与△DCN中， �� = �� ∠��� = ∠� �� = �� ， ∴△ADM≌△DCN（SAS）． ∴∠CDN＝∠DAM． 又∵∠CDN+∠ADN＝90°， ∴∠DAM+∠ADN＝90°， 第 24页（共 47页） ∴∠AED＝90°， 又∵BP⊥AE， ∴∠AQP＝∠AED＝90°， ∴BP∥DN． 又∵DP∥BN， ∴四边形 BPDN是平行四边形． 进一步思考，智慧小组发现任取 BC，CD的上点 N，M（M不与 C，D重合），DM＝CN，连接 AM， DN，过 B作 AM的垂线，交 AD于点 P，则四边形 BPDN是平行四边形． 故答案为：①DM＝CN；②∠CDN＝∠DAM；③BP∥DN；④平行四边形． 【点评】本题考查作图—基本作图、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、平行四边形的判定，解 题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 26．阅读与思考 下面是小明同学的一篇数学读书笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． 我在课外读物《怎样解题》中看到这样一个问题： 如图 1，给定不在同一直线上的三个点 A，B，C，如何利用无刻度的直尺和圆规在点 B，C之间画一条 过点 A的直线，且点 B和点 C到这条直线的距离相等？ 下面是我的解题步骤： 如图 2，第一步：以点 B为圆心，以 AC的长为半径画弧； 第二步：以点 C为圆心，以 AB的长为半径画弧，两弧交于点 D； 第三步：作直线 AD，则点 B和点 C到直线 AD的距离相等． 下面是部分证明过程： 证明：如图 3，连接 BD，CD，过点 B作 BE⊥AD于点 E，过点 C作 CF⊥AD于点 F，连接 BC交 AD 于点 O． 由作图可知 AB＝CD，AC＝BD， ∴四边形 ABDC是平行四边形．（依据 1） 第 25页（共 47页） ∴BO＝CO．（依据 2） …… 于是我得到了这样的结论：只要确定线段 BC的中点，由两点确定一条直线即可确定问题中所求直线． 任务： （1）填空：材料中的“依据 1”是指 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ；“依据 2”是指 平 行四边形的对角线互相平分 ． （2）请将小明的证明过程补充完整． （3）尺规作图：请在图 4中，用不同于材料中的方法，在点 B和点 C之间作直线 AM，使得点 B和点 C到直线 AM的距离相等．（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法） 【解答】（1）证明：如图 3，连接 BD，CD，过点 B作 BE⊥AD于点 E，过点 C作 CF⊥AD于点 F， 连接 BC交 AD于点 O． 由作图可知 AB＝CD，AC＝BD， ∴四边形 ABDC是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）， ∴BO＝CO（平行四边形的对角线互相平分）， 在△BEO和△CFO中， ∠��� = ∠��� ∠��� = ∠��� �� = �� ， ∴△BEO≌△CFO（AAS）， ∴BE＝CF； 故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，平行四边形的对角线互相平分； （2）证明过程见（1）中． （3）如图 4中，直线 AM即为所求． 第 26页（共 47页） 【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识， 解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 27．在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理．如图， 已知劣弧 AB，C是弦 AB上一点． （1）根据提示完成尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）； ①作线段 AC的垂直平分线 DE，分别交劣弧 AB于点 D，垂足为 E； ②以点 D为圆心，DA长为半径作弧，交劣弧 AB于点 F（F，A两点不重合），连接 BF． （2）引理的结论为：BC＝BF． 证明：连接 DA，DC，DF，DB． ∵DE为 AC的垂直平分线， ∴DA＝DC， ∴∠DAC＝∠DCA． 又∵四边形 ABFD为圆的内接四边形 ∴∠DAC+∠ DFB ＝180°． 圆的内接四边形，对角互补 ． 又∵∠DCA+∠DCB＝180°， ∴∠DCB＝∠DFB． 又∵AD＝FD， ∴�� = �� ， ∴∠ABD＝∠DBF， 同圆或等圆中，等弧所对圆周角相等 ． ∴△BCD≌△BFD（AAS）， ∴BC＝BF． 【解答】（1）解：①根据基本作图的基本步骤作图如图 1： 第 27页（共 47页） 则 DE即为所求； ②根据题意，作图如图 2： ， 则 BF即为所求； （2）证明：连接 DA，DC，DF，DB．如图 3， ∴DE为 AC的垂直平分线， ∴DA＝DC， ∴∠DAC＝∠DCA． 又∵四边形 ABFD为圆的内接四边形 ∴∠DAC+∠DFB＝180°．（ 圆的内接四边形，对角互补）． 又∵∠DCA+∠DCB＝180°， ∴∠DCB＝∠DFB． 又∵AD＝FD， ∴�� = ��， ∴∠ABD＝∠DBF，（同圆或等圆中，等弧所对圆周角相等）． ∴△BCD≌△BFD（AAS）， ∴BC＝BF， 第 28页（共 47页） 故答案为：DFB，圆的内接四边形，对角互补；��，同圆或等圆中，等弧所对圆周角相等． 【点评】本题考查了作图﹣基本作图，全等三角形的判定，圆内接四边形的性质，解答本题的关键是熟 练掌握全等三角形的判定定理． 28．如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交 BF于点 C． （1）作∠ABF的平分线交 AE于点 D（尺规作图，保留痕迹，不写作法）； （2）根据（1）中作图，连接 CD，求证：四边形 ABCD是菱形． 证明：∵AE∥BF， ∴ ∠DAC＝∠ACB ， ∵AC平分∠BAE， ∴ ∠DAC＝∠BAC ． ∴∠ACB＝∠BAC， ∴ AB＝BC ， 同理可证 AB＝AD， ∴AD＝BC． 又∵AD∥BC， ∴ 四边形 ABCD是平行四边形 ， 又∵AB＝BC， ∴四边形 ABCD是菱形． 【解答】（1）解：如图：BD即为所求； （2）证明：∵AE∥BF， ∴∠DAC＝∠ACB， ∵AC平分∠BAE， ∴∠DAC＝∠BAC． ∴∠ACB＝∠BAC， ∴AB＝BC， 第 29页（共 47页） 同理可证 AB＝AD， ∴AD＝BC． 又∵AD∥BC， ∴四边形 ABCD是平行四边形， 又∵AB＝BC， ∴四边形 ABCD是菱形， 故答案为：∠DAC＝∠ACB，∠DAC＝∠BAC，AB＝BC，四边形 ABCD是平行四边形． 【点评】本题考查了基本作图，掌握菱形的判定定理是解题的关键． 29．如图，在△ABC 中，AB＝AC，AG为△ABC的外角∠BAE的平分线，BF⊥AG，垂足为 F，点 D为 BC上一点，连接 DF，交 AB于点 O． （1）在不添加新的线的前提下，请增加一个条件： AD⊥BC ，使得四边形 AFBD为矩形，并说明 理由； （2）若四边形 AFBD为矩形，请用尺规作图的方法作一个菱形 ABPC，使 BC为菱形的一条对角线．（保 留作图痕迹，不写作法） 【解答】解：（1）添加：AD⊥BC（答案不唯一）． 理由：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C， ∵∠EAB＝∠ABC+∠C，AG平分∠EAB， ∴∠BAG＝∠ABC， ∴AG∥BC， ∵BF⊥AG， ∴BF⊥BC， 第 30页（共 47页） ∵AD⊥BC， ∴∠AFB＝∠FBD＝∠ADB＝90°， ∴四边形 AFBD是矩形； （2）如图，四边形 ABPC即为所求． 【点评】本题考查作图﹣复杂作图，矩形的判定和性质，等腰三角形的性质，菱形的判定等知识，解题 的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题， 30．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，以点 B为圆心、任意长为半径画圆弧分别交边 AB， BC于点 E，F，再分别以点 E，F为圆心，以大于 1 2 ��的长为半径画圆弧，两弧相交于点 G，连接 BG 并延长交 AC于点 D． （1）求证：BD平分∠ABC； （2）若 AD＝4，求△BCD的周长． 【解答】（1）证明：连接 FG，EG， 由作图知，BE＝BF，FG＝EG， 在△BEG与△BFG中， �� = �� �� = �� �� = �� ， ∴△BEG≌△BFG（SSS）， ∴∠FBG＝∠EBG， ∴BD平分∠ABC；