第一章 三角形的证明 综合练习（3）2024-2025学年北师大版数学八年级下册

第 1页（共 7页） 参考答案 一、单选题（本大题共 10 小题，总分 40 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B B C B D D C D B 二、填空题（本大题共 5 小题，总分 20 分） 11．40． 12．17． 13． 25 4 ． 14．36． 15．12． 三、解答题（本大题共 10 小题，总分 90 分） 16．解：如图，连接 AE， ∵∠C＝90°，AC＝4，CE＝2， ∴AE= ��2 + ��2 = 42 + 22 =2 5， ∵D是 AB中点，DE⊥AB， ∴DE垂直平分 AB， ∴AE＝BE＝2 5， ∴BC＝CE+BE＝2+2 5． 17．证明：∵AB∥CD， ∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠DCE． ∵DC平分∠ACE， ∴∠ACD＝∠DCE， ∴∠B＝∠A， ∴AC＝BC， 第 2页（共 7页） ∴△ABC为等腰三角形． 18．解：如图所示，连接 AC， ∵∠B＝90°，AB＝2，BC＝1， ∴AC= ��2 + ��2 = 5， 又∵CD＝1，DA= 6， ∴AC2+CD2＝AD2， ∴△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°， ∴四边形 ABCD的面积 ＝△ABC的面积+△ACD的面积 = 12 ×2×1+ 1 2 ×1× 5 ＝1+ 52 ． 19．证明：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， 在△DBE和△ECF中 �� = �� ∠��� = ∠��� �� = �� ， ∴△DBE≌△ECF（SAS）， ∴DE＝EF， ∴△DEF是等腰三角形； （2）∵△DBE≌△ECF， ∴∠1＝∠3，∠2＝∠4， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠B= 12（180°﹣40°）＝70° ∴∠1+∠2＝110° 第 3页（共 7页） ∴∠3+∠2＝110° ∴∠DEF＝70° 20．解：（1）由作法得 MN垂直平分 AC， ∴AE＝CE，DA＝DC， ∴∠C＝∠CAD， ∵∠B＝110°，∠BAD＝20°， ∴∠ADB＝180°﹣∠B﹣∠BAD＝50°， 又∠ADB＝∠C+∠CAD＝2∠C， ∴∠C＝25°； （2）∵△ABC的周长为 13cm，AE＝3cm 即 AB+BC+AC＝13cm，AC＝6cm， ∴AB+BD+DA+AC＝13， 即 AB+BD+DA＝7， ∴△ABD的周长为 7cm． 21．（1）证明：如图，过点 A作 AF⊥BC于 F， 由条件可知 BF＝CF， ∵AD＝AE，AF⊥BC， ∴DF＝EF， ∴BF+EF＝CF+DF， 即 BE＝CD； （2）解：由条件可知△ADE是等边三角形， 第 4页（共 7页） ∴∠DAE＝∠ADE＝60°， ∵AD＝BD， ∴∠DAB＝∠DBA， 又∠DAB+∠DBA＝∠ADE＝60°， ∴∠��� = 12∠��� = 30°， ∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝30°+60°＝90°． 22．（1）证明：∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠EBC， ∵DE∥BC， ∴∠DEB＝∠EBC， ∴∠ABE＝∠DEB， ∴DB＝DE， ∴△BDE是等腰三角形； （2）解：∵BD＝DE， ∴∠DBE＝∠DEB＝20°， ∵∠ADE是△BDE的一个外角， ∴∠ADE＝∠ABE+∠DEB＝40°， ∵BD＝AE， ∴DE＝AE， ∴∠ADE＝∠A＝40°， ∴∠AED＝180°﹣∠ADE﹣∠A＝100°， ∵DE∥BC， ∴∠AED＝∠C＝100°． 23．解：（1）由条件可知∠B＝∠A＝∠C＝60°，AB＝BC＝4，∠BDF＝90°﹣∠B＝30°， ∴�� = 12��， 由勾股定理得��2 = ��2 − ��2 = 34�� 2，又 DF＝x， ∴�� = 2 33 �，则�� = �� − �� = 4 − 2 3 3 �， ∵DE∥BC， 第 5页（共 7页） ∴∠ADE＝∠B＝60°，∠AED＝∠C＝60°，∠EDF＝∠DFB＝90°， ∴∠A＝∠ADE＝∠AED＝60°， ∴△ADE是等边三角形， ∴�� = �� = 4 − 2 33 �， ∴△DEF的面积� = 12�� ⋅ �� = 1 2 �(4 − 2 3 3 �) =− 3 3 � 2 + 2�， ∵D在 AB上， ∴0≤BD≤4，即 0 ≤ 2 33 � ≤ 4， ∴0 ≤ � ≤ 2 3； （2）由于� =− 33 � 2 + 2� =− 33 (� − 3) 2 + 3， ∵− 33 ＜0，0 ≤ � ≤ 2 3， ∴当� = 3时，y取最大值，最大值为 3， 答：当� = 3时，△DEF的面积有最大值，最大值为 3． 24．（1）①证明：过点 A作 AD⊥BC于点 D，如图 1所示， 则 BD＝BC﹣CD＝a﹣CD． 在 Rt△ABD中，AB2﹣BD2＝AD2， 在 Rt△ACD中，AC2﹣CD2＝AD2， ∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2， ∴c2﹣（a﹣CD）2＝b2﹣CD2， 整理得 a2+b2＝c2+2a•CD． ∵a＞0，CD＞0， ∴a2+b2＞c2， ②解：a2+b2＜c2，证明如下： 过点 A作 AD⊥BC交 BC的延长线于点 D，如图 2所示， 第 6页（共 7页） 则 BD＝BC+CD＝a+CD， 在 Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2， 在 Rt△ACD中，AD2＝AC2﹣CD2， ∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2， ∴c2﹣（a+CD）2＝b2﹣CD2， 整理得 a2+b2＝c2﹣2a•CD， ∵a＞0，CD＞0， ∴a2+b2＜c2， （2）解：当∠C为钝角时，由（1）②得 �2 + �2＜�＜� + �， 即 5＜c＜7； 当∠B为钝角时，由（1）②得 � − �＜�＜ �2 − �2， 即 1＜�＜ 7． 综上所述，第三边的长 c的取值范围为 5＜c＜7或 1＜�＜ 7． 25．（1）解：设∠ABD＝x°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠DBC＝x°， ∵AB＝AC， ∴∠C＝∠ABC＝2x°， 又∵BD＝AD， ∴∠A＝x°， 又∵∠BDC＝∠A+∠ABD，即 2x°＝∠A+x°， ∴∠BDC＝∠C＝2x°， ∴BD＝BC， 在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C＝180°， ∴x+2x+2x＝180， 解得 x＝36， 第 7页（共 7页） ∴∠A＝36°， ∴∠BAC的度数为 36°； （2）∵E是 AB的中点，BD＝AD， ∴EF是 AB的垂直平分线， ∴AF＝BF， ∴∠FBA＝∠FAB＝72°， ∴∠AFB＝∠FAC＝36°， ∴CA＝CF， ∴AB＝AC＝CF， ∴AF＝BF＝BC+CF＝AB+BC． 第一章《三角形的证明》 综合练习题（3） 考试时间:120分钟 满分150分 一、单选题（本大题共10小题，总分40分） 1．一个等腰三角形的两边长分别为3，6，则这个等腰三角形的周长是（　　） A．12 B．12或15 C．15 D．无法确定 2．已知△ABC的周长是24，且AB＝AC，又AD⊥BC，D为垂足，若△ABD的周长是20，则AD的长为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 3．如果等腰三角形的一个内角是100°，它的另外两个内角分别是（　　） A．80°和40° B．40°和40° C．100°和100° D．100°和40° 4．等腰三角形的两边a，b满足，那么这个三角形的周长是（　　） A．10 B．13 C．17 D．13或17 5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD是高，若BC＝8，则AD的长为（　　） A．16 B．12 C．10 D．8 6．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝6，BC的垂直平分线交AB于D，交BC于E，则△ADC的周长等于（　　） A．4 B．6 C．10 D．16 7．如图，△ABC中，∠DCE＝40°，AE＝AC，BC＝BD，则∠ACB的度数为（　　） A．140° B．130° C．120° D．100° 8．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC为等腰三角形，AB＝AC，BC∥x轴，若A（2，4），B（﹣1，1），则点C的坐标为（　　） A．（2，3） B．（3，1） C．（5，1） D．（1，5） 9．如图，四边形ABCD中，AC平分∠BCD，∠ABD+∠ABC＝180°，若∠ADC＝m，∠BCD＝n，则∠ABD的度数为（　　） A．m﹣n B． C． D． 10．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，AD经过点O与BC交于点D，以AD为边向两侧作等边△ADE和等边△ADF，分别和AB，AC交于点G，H连接GH．若∠BOC＝120°，AB＝a，AC＝b，AD＝c．则下列结论中正确的个数有（　　） ①∠BAC＝60°；②△AGH是等边三角形； ③AD与GH互相垂直平分；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．等腰三角形的顶角是100°，则底角为　 　°． 12．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交BC、AB于点D、E，AE＝4cm，△ADC的周长为9cm，则△ABC的周长是 　 　cm． 13．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在边AC上，且AD＝BD，过点A作AE⊥BD，交BD的延长线于点E，若AE＝6，，则BD的长为　 　． 14．如图，在△ABC中，已知点O是边AB、AC垂直平分线的交点，点E是∠ABC、∠ACB角平分线的交点，若∠O+∠E＝180°，则∠A＝　 　度． 15．我国是最早了解勾股定理的国家之一，在《周髀算经》中记载了勾股定理的公式与证明，相传是由商高发现，故又称之为“商高定理”．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两条直角边长分别为m、n，则mn＝　 　． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16．已知△ABC，∠C＝90°，D是AB中点，过点D作DE⊥AB交BC于点E．若AC＝4，CE＝2，求BC的长． 17．如图，DC平分∠ACE，且AB∥CD，求证：△ABC为等腰三角形． 18．如图所示，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝CD＝1，AD，试求四边形ABCD的面积． 19．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE． （1）求证：△DEF是等腰三角形； （2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数． 20．如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M、N，直线MN与AC、BC分别相交于E和D，连接AD． （1）若∠B＝110°，∠BAD＝20°，求∠C的度数． （2）若AE＝3cm，△ABC的周长为13cm，求△ABD的周长． 21．如图，已知点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE． （1）求证：BE＝CD； （2）若AD＝BD＝DE＝CE，求∠BAE的度数． 22．如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，DE∥BC． （1）求证：△BDE是等腰三角形； （2）若BD＝AE，∠DBE＝20°，求∠C的度数． 23．如图，等边△ABC的边长为4，点D在边AB上运动，过点D作DF⊥BC于点F，过点D作DE∥BC，交AC于点E，连结EF，设DF＝x，△DEF的面积为y． （1）求y与x的函数关系式，并确定自变量x的取值范围； （2）当x为何值时，△DEF的面积有最大值？并求出最大值． 24．在△ABC中，BC＝a，CA＝b，AB＝c． （1）①若∠C为直角，则由勾股定理得a2+b2＝c2．若∠C为锐角，求证：a2+b2＞c2． ②若∠C为钝角，试判断a2+b2与c2的关系，并证明． （2）若a＝3，b＝4，且△ABC是钝角三角形，求第三边的长c的取值范围． 25．在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，交AC于点D，BD＝AD． （1）如图1，求∠BAC的度数； （2）如图2，E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF．求证：AF＝AB+BC． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$