精品解析：湖南省长沙市明德中学2024-2025学年高一下学期2月阶段检测数学试题

长沙市明德中学2025年上学期阶段检测 高一年级数学试卷 2025年2月 时量：120分钟 满分：150分 命题：高一数学备课组 二､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 将函数图象向右平移个单位得到奇函数，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，且，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 三､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分. 9. 已知关于的不等式的解集为或，则（ ） A. B. C. 不等式的解集是 D. 不等式与的解集相同 10. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则存唯一实数使得 B. “”是“”的必要不充分条件 C. 已知为平面内两个不共线的向量，则可作为平面的一组基底 D. 若点为的重心，则 11. 如图，函数的部分图象，则（ ） A. B. 将图象向右平移后得到函数的图象 C. 在区间上单调递增 D. 在区间上最大值与最小值之差的取值范围为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，若，则__________. 13. 函数的单调递增区间为___________ 14. 已知函数，若有6个零点，则的取值范围为__________. 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 已知：关于的方程有实数根，：． （1）若命题是真命题，求实数的取值范围； （2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 16 已知． （1）求的周期； （2）若，其中，求． 17. 某公司的股票在交易市场过去的一个月内（以30天计），第天每股的交易价格满足函数关系（单位：元），第天的日交易量（万股）的部分数据如下表，给出以下四个函数模型： ①；②；③；④. 10 15 20 25 30 50 55 60 55 50 （1）请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述该股票日交易量（万股）与时间第天的函数关系（简要说明理由），并求出该函数的关系式； （2）根据（1）的结论，求出该股票在过去一个月内第天的日交易额的函数关系式，并求其最小值. 18. 已知为偶函数，. （1）求实数的值； （2）若时，函数的图象恒在图象的上方，求实数的取值范围； （3）已知函数在上的最大值与最小值之和为2025，求实数的值. 19. 已知函数且定义域为． （1）当时，求； （2）将满足总有的函数称为“类线性函数”，若函数为“类线性函数”，求实数的值； （3）已知，试问是否存在实数，使得函数在上的值域为？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 长沙市明德中学2025年上学期阶段检测 高一年级数学试卷 2025年2月 时量：120分钟 满分：150分 命题：高一数学备课组 二､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据元素与集合之间的关系即可求解. 【详解】因为，即小于3的元素符合题意，，符合题意，A、C错误，B正确；对于D，属于的符合只能用于集合于元素的关系，故D错. 故选：B 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】将特称命题否定为全称命题即可. 【详解】特称命题的否定为存在命题，存在变任意，范围不变，结论变相反. 则命题“，”的否定是 “，.” 故选：C. 3 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用整体代换法诱导公式化简计算即得. 【详解】由，则. 故选：A. 4. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数单调性比较大小. 【详解】，，， 所以. 故选：C 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】判断函数奇偶性，结合时函数变化趋势，及排除法确定函数大致图象. 【详解】由，且定义域为R，故为奇函数，排除B、D； 时，都趋向于，且增长快于，所以趋向于0，排除C. 故选：A 6. 将函数图象向右平移个单位得到奇函数，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】先根据平移得出，再应用函数是奇函数得出进而求出最小值即可. 【分析】根据题意可得： 为奇函数， ， 故选：B 7. 已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可. 【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增， 则需满足，解得， 即a的范围是. 故选：B. 8. 已知函数，且，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，则，然后判断函数的单调性及奇偶性，结合单调性及奇偶性可求. 【详解】解：令，则， 因为，， ∴为奇函数， 又因为，由复合函数单调性知为的增函数， ∵，则， ∴， ， ∴，解得或，故 故选：D. 三､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分. 9. 已知关于的不等式的解集为或，则（ ） A. B. C. 不等式的解集是 D. 不等式与的解集相同 【答案】AB 【解析】 【分析】依题意和为方程的两根，利用韦达定理得到方程组，即可求出、的值，再解一元二次不等式和分式不等式即可. 【详解】因为关于的不等式的解集为或， 所以和为方程的两根，所以，解得，故A正确，B正确； 不等式即，所以，即， 解得或，所以不等式的解集为，故C错误； 不等式等价于，解得或，故不等式的解集为或，所以D错误； 故选：AB 10. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则存在唯一实数使得 B. “”是“”的必要不充分条件 C. 已知为平面内两个不共线的向量，则可作为平面的一组基底 D. 若点为的重心，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】A注意、为零向量，则不唯一，即可判断；B根据充分、必要性的定义，结合条件间的推出关系判断；C根据基底的性质判断；D由重心是中线的交点，应用向量加法、数乘的几何意义判断. 【详解】A：若、为零向量，满足前提，但不唯一，错； B：对于，如非零向量，显然此时不成立； 对于，必有，故“”是“”的必要不充分条件，对； C：由为不共线的向量，若，，显然无解， 所以也不共线，故可作为平面的一组基底，对； D：由重心是中线的交点，如下图示为平行四边形，过的中点， 则，且，故，对. 故选：BCD 11. 如图，函数的部分图象，则（ ） A. B. 将图象向右平移后得到函数的图象 C. 在区间上单调递增 D. 在区间上的最大值与最小值之差的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定的函数图象，利用五点法作图求出，再结合正弦型函数图象与性质逐项分析判断. 【详解】对于A，观察图象，，的最小正周期，解得， 由，得，而，则， 所以，A正确； 对于B，将图象向右平移后得到函数，B错误； 对于C，当时，，而正弦函数在上单调递增， 因此在区间上单调递增，C正确. 对于D，函数的图象对称轴为， 当与关于直线对称时，的最大值与最小值的差最小， 此时，，当为偶数时，，而， 当为奇数时，，而，最大值与最小值的差为1； 当或时， 函数在上单调，最大值与最小值的差最大， ，当或时均可取到等号， 所以最大值与最小值之差的取值范围为，D正确. 故选：ACD 【点睛】思路点睛：给定的部分图象求解解析式，一般是由函数图象的最高（低）点定A，求出周期定，由图象上特殊点求. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，若，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用向量线性运算的坐标表示，数量积的坐标表示列式计算得解. 【详解】依题意，，则，所以. 故答案为： 13. 函数的单调递增区间为___________ 【答案】 【解析】 【分析】利用正切型函数的单调性可求得函数的单调递增区间. 【详解】对于函数，由， 可得， 所以，函数的单调递增区间为. 故答案为：. 14. 已知函数，若有6个零点，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】作出函数图象，进行分析，最多有两个零点，根据一个零点对应最多4个解，用数形结合讨论各种情况，根据一元二次方程根的分布即可得出结果. 【详解】 由题可得函数图象， 当或时，有两个解； 当时，有4个解； 当时，有3个解； 当时，有1个解； 因为最多有两个解. 因此，要使有6个零点，则有两个解， 设为，则存在下列几种情况： 有2个解，有4个解，即或，显然， 则此时应满足，即，解得， 有3个解，有3个解，设即， 则应满足，无解，舍去， 综上所述，的取值范围为. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数图象，利用数形结合的方法求解. 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 已知：关于的方程有实数根，：． （1）若命题是真命题，求实数的取值范围； （2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由命题是真命题，可得命题是假命题，再借助，求出的取值范围作答. （2）由是的必要不充分条件，可得出两个集合的包含关系，由此列出不等式求解作答. 【小问1详解】 因为命题是真命题，则命题是假命题，即关于的方程无实数根， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. 【小问2详解】 由（1）知，命题是真命题，即， 因为命题是命题的必要不充分条件，则， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. 16. 已知． （1）求的周期； （2）若，其中，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先化简函数，再求函数的周期； （2）由（1）知，再根据三角恒等变换，即可化简求值. 【小问1详解】 所以的周期为. 【小问2详解】 ， ∴， 由 得， 由，得， ∴， ∴ . 17. 某公司的股票在交易市场过去的一个月内（以30天计），第天每股的交易价格满足函数关系（单位：元），第天的日交易量（万股）的部分数据如下表，给出以下四个函数模型： ①；②；③；④. 10 15 20 25 30 50 55 60 55 50 （1）请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述该股票日交易量（万股）与时间第天的函数关系（简要说明理由），并求出该函数的关系式； （2）根据（1）的结论，求出该股票在过去一个月内第天的日交易额的函数关系式，并求其最小值. 【答案】（1）选择模型②， （2），441（万元） 【解析】 【分析】（1）股票价格不可能是单调的得出选择模型②，代入具体值求出函数解析式； （2）首先写出的解析式，然后再根据函数单调性和基本不等式求出最值. 【小问1详解】 由表格数据知，当时间变换时，先增后减，而①③④都是单调函数所以选择模型②， 由，可得，解得， 由，解得， 所以与时间的变化的关系式为. 【小问2详解】 由（1）知： 所以. 当时，由基本不等式，可得， 当且仅当时，即时等号成立， 当时，减函数， 所以函数的最小值为， 综上，当时，函数取得最小值441（万元）. 18. 已知为偶函数，. （1）求实数的值； （2）若时，函数的图象恒在图象的上方，求实数的取值范围； （3）已知函数在上的最大值与最小值之和为2025，求实数的值. 【答案】（1） （2） （3）2034 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用偶函数的定义，列式求出值. （2）问题转化为，恒成立，分离参数求出最值即可得解. （3）求出函数解析式，结合指数函数、二次函数求出给定区间上的最值，再列式求解. 【小问1详解】 函数为偶函数， 得恒成立， 即恒成立，而不恒为0， 所以. 小问2详解】 当时，函数的图象恒在图象的上方，则，恒成立， 即，则对恒成立， 函数，， 又函数在R上单调递减，在上单调递增，则函数在上单调递减， ，于是，解得， 所以实数的取值范围是. 【小问3详解】 依题意，， 由，得，则当时，，当时，， 于是，解得， 所以实数的值为2034. 19. 已知函数且的定义域为． （1）当时，求； （2）将满足总有的函数称为“类线性函数”，若函数为“类线性函数”，求实数的值； （3）已知，试问是否存在实数，使得函数在上的值域为？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由， 【答案】（1）答案见解析 （2） （3）存在； 【解析】 【分析】（1）当时，可得，分为，两种情况解不等式即可； （2）根据“类线性函数”的概念可得，利用对数和指数幂的运算性质求解； （3）根据题中条件及的单调性可得是方程的两个不同的实数根，设，则方程有两个不同的实数根，根据二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 当时，，即， 当时，，得，解得； 当时，，得，解得， 故当时，的定义域为； 当时，的定义域为． 【小问2详解】 由题可知函数的定义域为，则恒成立，故可得． 根据“类线性函数”的概念可知，，总有， 即， 则， 所以， 即， 所以对于恒成立， 又不恒为0，所以． 【小问3详解】 存在． 易知当时，的定义域为， 因为函数在上单调递减，函数在上单调递减， 所以在其定义域上为增函数． 由题意可知，，即， 所以是方程的两个不同的实数根， 即是方程的两个不同的实数根． 设，则方程有两个不同的实数根． 设，其对称轴为， 则，解得， 故的取值范围为． 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的．遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$