函数的极值与最值【基础五大常考题型+提升极值点偏移】讲义-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

2024-2025学年高二下学期数学常考题型归纳 【专题5.3.2函数的极值与最值】 总览 题型梳理 【基础类】 【题型一：根据导函数的图像判断极值】 【题型二：求具体函数的极值】 【题型三：由函数的极值求参数】 【题型四：求已知函数的最值】 【题型五：由函数的最值求参数】 【提升类：极值点偏移问题】 【题型一 极值点偏移（对称化构造法）】 【题型二 极值点偏移（比值代换法）】 【题型三 极值点偏移（对数（指数）不等式】 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型一：根据导函数的图像判断极值】 知识讲解 极值的相关概念 (1)极小值点与极小值： 如图，函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小，f'(a)=0，而且在点 x=a附近的左侧f'(x)<0，右侧f'(x)>0，则把点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值. (2)极大值点与极大值： 如图，函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大，f'(b)=0，而且在点 x=b附近的左侧f'(x)>0，右侧f'(x)<0，则把点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值. (3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值. 例题精选 一、单选题 1．（24-25高二上·山西晋中·期末）已知函数的定义域为，且的图象是一条连续不断的曲线，的导函数为，若函数的图象如图所示，则（    ） A．的单调递减区间是 B．的单调递增区间是， C．当时，有极值 D．当时， 【答案】A 【分析】利用函数图象解不等式可得的单调性，即可判断A正确，B错误，再根据极值定义可得C错误，根据不等式结果可得D错误. 【详解】根据图象可知当时，，可得； 当时，，可得； 当时，，可得，且； 对于AB，易知时，，此时单调递减， 当时，，此时单调递增， 因此的单调递减区间是，的单调递增区间是，即A正确，B错误； 对于C，易知当时，，当时，， 即在处左右函数的单调性不改变，因此C错误； 对于D，因为时，，可得，因此，即D错误. 故选：A 2．（23-24高二下·四川攀枝花·期末）函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．在处取得最大值 B．在区间上单调递减 C．在处取得极大值 D．在区间上有2个极大值点 【答案】C 【分析】根据导函数的符号确定函数的单调性，由此确定函数的极值. 【详解】由导函数的图象可知： 0 0 非负 递增 极大值 递减 极小值 递增 故选：C 3．（21-22高二上·浙江嘉兴·期末）函数的定义域为，导函数在内的图像如图所示，则下列命题不正确的是（    ）． A．函数在内一定不存在最小值 B．函数在内只有一个极小值点 C．函数在内有两个极大值点 D．函数在内可能没有零点 【答案】A 【分析】根据导函数图象得到函数的单调区间，即可判断函数的极值，从而得解； 【详解】解：设的根为，，，且， 则由图可知，函数在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增，在内单调递减； 所以函数在区间内有极小值， 当，时，是函数在区间内的最小值，所以A错误，B正确； 函数在区间内有极大值、，所以C正确； 当，，时，函数在内没有零点，所以D正确． 故选：A． 相似练习 二、多选题 4．（23-24高二上·江苏宿迁·期末）已知函数的导函数的图象如图所示，则（    ） A．在区间上单调递增 B．在区间上有且仅有2个极值点 C．在区间上最多有4个零点 D．在区间上存在极大值点 【答案】CD 【分析】结合导数图像的正负性，判断原函数的单调性，进而逐一对选项辨析即可. 【详解】由图可知，在区间为负，单调递减， 在区间为正，单调递增，故A错误； 在区间上有3个零点，且零点附近左右两边的值一正一负， 故有3个极值点，故B错误； 在区间，为负，单调递减， 在区间，为正，单调递增， 则在与时取得极小值， 在时取得极大值，则当与时， ，且时， 在区间上最多有4个零点, 故C正确； 在区间上为正，单调递增， 在区间上为负，单调递减， 则为极大值点，故D正确； 故选：CD. 5．（22-23高二下·福建厦门·期末）函数的导函数的图象如图所示，则（    ）    A．在区间上单调递减 B．在处取得极大值 C．在区间上有2个极大值点 D．在处取得最大值 【答案】AB 【分析】根据导函数的图象可分析出的单调性，进而可判断各选项. 【详解】由导函数的图象可知： 时，单调递增； 时，单调递减； 时，单调递增. 故A，B正确，C，D错误. 故选：AB 三、填空题 6．（22-23高二下·上海普陀·期末）已知函数，其导函数的图像如图所示，则下列所有真命题的序号为 ．    ①函数在区间上严格减；   ②函数在区间上严格增； ③函数在处取得极小值；   ④函数在处取得极小值． 【答案】②④ 【分析】根据给定的图象，求出或的的取值范围，再逐项判断作答. 【详解】观察图象知，当时，或，当时，或， 因此函数在上单调递增，在上单调递减，①错误，②正确； 函数在处取得极大值，③错误； 函数在处取得极小值，④正确， 所以所有真命题的序号是②④. 故答案为：②④ 【题型二：求具体函数的极值】 知识讲解 2．求可导函数极值的步骤 (1)求函数的定义域； (2)求导函数f'(x)； (3)在原函数的定义域内，求方程f'(x)=0的所有实数根； (4)对每个实数根进行检验，判断在每个根的左右两侧，导数f'(x)的符号变化情况. 例题精选 一、单选题 1．（24-25高二上·湖南·期末）若是函数的极小值点，则的极大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先对函数求导，因为是极小值点，所以， 求出a的值，再由a的取值和单调性即可求出取得极大值，即可求的结果. 【详解】因为，所以. 又是函数的极小值点，所以，解得或. 当时，恒成立，函数单调递增，不符合题意，舍去. 当时，， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 是的极小值点，所以，. 由以上分析知，当时，取得极大值，且. 故选：B. 2．（24-25高二上·全国·课后作业）函数，则（    ） A．的极小值点为 B．的极大值点为0 C．的极小值点为0 D．的极大值点为 【答案】D 【分析】首先利用导数求出函数的单调区间，再结合极值的概念即可得答案. 【详解】， 由得，， 令，则， 当时，单调递增； 当时，单调递减， 所以是的极大值点，无极小值点． 故选：D. 二、填空题 3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数在处取得极值，则的极小值为 ． 【答案】1 【分析】对函数求导，根据极值求参数，再由函数单调性求极小值即可. 【详解】由，且， 所以，则， 当或时，；当时，， 所以在和上单调递减，在上单调递增， 显然处取极大值，处取极小值，的极小值为． 故答案为：1 相似练习 4．（24-25高三上·安徽芜湖·期末）已知函数． (1)求函数的单调性和极值； (2)作出函数的大致图象．（参考数据：） 【答案】(1)单调递增区间是，，单调递减区间是，．极大值为1，极小值为 (2)图象见解析 【分析】（1）根据题意先求，由和得函数的单调区间，根据极值的定义即可求解； （2）利用（1）函数的单调性和极值即可作图，注意定义域. 【详解】（1）由题意有：函数定义域为， 所以，令有或 由，得或；由，得且； 所以函数的单调递增区间是，，单调递减区间是，，所以函数的极大值为，函数的极小值为． （2）大致图象如图．    5．（2024·江苏淮安·模拟预测）已知函数. (1)当，时，求函数的极值； 【详解】（1）当时，，. ， 令得， 因为，所以， 故或，解得或，列表得 x - 0 + 0 - . 极小值 极大值 ， 所以的极小值为，极大值为. 6．（24-25高三下·安徽·开学考试）已知函数 . (1)若 ，求 的极值； 【详解】（1）当时，， ， 令，则或， 当和时，， 当时，， 故在和单调递增，在单调递减， 故当时，取极大值 当时，取极小值 【题型三：由函数的极值求参数】 知识讲解 3．根据函数极值求参数的一般思路： (1)已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：根据极值点的导数为0和极值这两个条件列 方程组，利用待定系数法求解. (2)导数值为0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验. 例题精选 一、单选题 1．（24-25高二上·江苏泰州·期末）已知函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对函数求导，问题化为至少有两个变号零点，导数求的极值并列不等式求参数范围. 【详解】由题设，令， 则， 当或时，，则在和上单调递增， 当时，，则在上单调递减， ，且时趋向，时趋向， 要使函数既有极大值又有极小值， 即至少有两个变号零点，所以至少有两个变号零点， 所以. 故选：A 2．（2024·四川绵阳·三模）若函数有唯一极值点，则下列关系式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求导，构造函数，利用二次函数零点的分布，结合分类讨论以及极值点的定义即可求解. 【详解】， 令，， 若，则或，此时单调，不存在极值点，故不符合题意， 若，则方程有两个实数根， 由于有唯一极值点，故只能有一个正实数根， 若另一个实数根为0，此时，显然满足条件， 若令一个实数根为负根，则，故 ， 结合选项可知，一定成立， 故选：C 3．（21-22高二上·江西宜春·期末）若函数在区间无零点但有2个极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题得在区间无解，在区间有2两个不同解，然后参变分离，转换成图像交点问题即可. 【详解】由题在区间无解， 即在区间无解，设，则， 所以当时，，单调减，当时，，单调增， 所以，显然当x趋于无穷大时，趋于无穷大， 所以； 又函数在区间有2个极值点，所以在区间有2两个不同解， 即在区间有2两个不同解，设，则， 所以当时，，单调减，当时，，单调增， 所以，显然当x趋于无穷大和0时，都趋于无穷大， 所以，所以实数的取值范围是， 故选：B. 相似练习 4．（23-24高三上·北京顺义·期中）若函数既有极大值也有极小值，则错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出函数的导数，由已知，可得函数在上有两个变号零点，转化为一元二次方程有两个不等的正根判断作答即可． 【详解】函数的定义域为， 由，得， 因为函数既有极大值也有极小值， 所以函数在上有两个变号零点，而， 所以方程有两个不等的正根， 所以，所以， 所以，即． 故BCD正确，A错误． 故选：A． 二、填空题 5．（2024·江苏·模拟预测）已知有两个极值点，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】经求导转化可知，函数有两个极值点，等价于函数与的图象有两个交点.，故只需研究函数的图象即可求得参数范围. 【详解】由求导，，由可得：， 因不满足此式，故可得：， 则函数有两个极值点，即函数与的图象有两个交点. 由求导，，则当时，，当时，，当时， 则函数在和上是减函数，在上是增函数，故时，取得极小值. 且当时，，当从0的左边趋近于0时，，当从0的右边趋近于0时，，当时，. 故可作出函数的图象如图.    由图可知：函数与的图象有两个交点等价于. 故答案为：. 6．（2020·陕西榆林·三模）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】只需在上有两个变号根即可，通过分离参数，研究函数的单调性结合函数图象的变化趋势即可求解． 【详解】由，得，． 要使有两个极值点， 只需有两个变号根，即有两个变号根． 令，，则， 由得，易知当时，，此时单调递增； 当时，，此时单调递减． 所以， 而，当时，，当时，， 作出，的图象，可知：      ，解得． 故答案为： 【题型四：求已知函数的最值】 知识讲解 1．函数的最大值与最小值 (1)一般地，如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值， 并且函数的最值必在极值点或区间端点处取得.当f(x)的图象连续不断且在[a,b]上单调时，其最大值和最小值分别在两个端点处取得. (2)函数的极值与最值的区别 ①极值是对某一点附近(即局部) 而言的，最值是对函数的整个定义区间而言的. ②在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个(或者没有)，但最大(小)值最多有一个. ③函数f(x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点. 2．函数最值的求解思路 求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下： (1)求函数y=f(x)在(a,b)内的极值； (2)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 例题精选 一、填空题 1．（2025·云南大理·模拟预测）若是的极值点，则 ；在上的最小值是 . 【答案】 1 【分析】利用极值点的定义和导数的几何意义求解即可. 【详解】由可得， 因为是的极值点， 所以，解得， 此时，， 令得，令得或， 所以在单调递减，在和单调递增； 因为，所以在单调递增，在单调递减， 又因为，，， 所以在的最小值为， 故答案为：； 2．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，则函数在上的最大值为 ． 【答案】 【分析】设，可得出，求出的取值范围为，令，，利用导数即可求出在上的最大值，即为所求. 【详解】设，则， 所以，， 当时，，所以，， 则， 设，，则， 所以函数在上单调递减，， 即当时，． 故答案为：. 相似练习 3．（2025·陕西汉中·二模）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设函数，求在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1). (2)，. 【分析】（1）直接求导代入得，再求出切点坐标即可求出切线方程； （2）通过两次求导得到在上单调递减，则得到其最值. 【详解】（1），， ，， 在处的切线方程为，即. （2） ， 令，则在上恒成立，且仅在处等号成立， 在上单调递减， ， 且仅在处等号成立， 在上单调递减， ，. 4．（24-25高三上·福建泉州·期末）已知函数的图象在点处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为. (1)求； (2)求在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）根据求得在点处的切线方程，在根据切线与坐标轴所围成的三角形的面积为即可求解； （2）由（1）得，利用导数即可求最值. 【详解】（1）由得， 所以，又， 所以在点处的切线方程为，即. 当时，；当时，. 因为与坐标轴所围成的三角形的面积为且， 所以，所以. （2）由（1）得，. 由得或. 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 因为，， ，，且， 所以在上的最大值为，最小值为. 5．（24-25高二下·广西南宁·开学考试）已知函数． (1)过原点作曲线的切线，求该切线的方程； (2)设，求在的最值． 【答案】(1) (2)最小值为，最大值 【分析】（1）求导，根据斜率可求解，即可根据点斜式求解直线方程， （2）求导，根据导函数的正负即可求解. 【详解】（1）设切点为，由得， 所以所求切线的斜率为，即， 所以，即，故切点为， 所以所求切线的斜率为，切线方程为，即， 故所求切线的方程为． （2）由条件知，． 所以， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以在单调性为：单调递减，单调递增， 所以． 又 ，所以最大值为： 所以在的最小值为，最大值为： 【题型五：由函数的最值求参数】 知识讲解 求含有参数的函数的最值的解题策略 求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值. 例题精选 一、单选题 1．（22-23高三上·河北保定·阶段练习）已知当时，函数取得最大值2，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得，解方程组可得的值，验证单调性记即可得的值. 【详解】，因为当时，函数取得最大值2， 所以，即，解得， 所以，， 令，得；令，得； 所以在上单调递增，在上单调递减， 则，符合题意， 所以. 故选：C. 2．（2024高三·全国·专题练习）设，若函数的最小值为，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】讨论参数a，并利用导数研究的最小值，结合已知确定a的取值范围. 【详解】若，当时为增函数，且，不合题意； 若，最小值为，满足题设； 若， 当时的最小值为， 当时，， 若，则，在上单调递减， 若，则，在上单调递增， 故的最小值为． 由，得，则． 设在上是增函数，且， 所以的解是，故. 综上，a的取值范围为． 故选：B 二、填空题 3．（24-25高二上·吉林长春·期末）若函数在内有最小值，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，从而求出函数的极小值点，从而得到关于的不等式组，解得即可. 【详解】函数的定义域为， 或（舍去）， 当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，即最小值， 又因为函数在内有最小值， 故，解得， 故答案为：. 相似练习 4．（21-22高二上·山西大同·期末）已知函数（，），若函数与有相同的最小值，则实数m的最小值为 . 【答案】 【分析】求导确定函数的单调性，从而可得的最小值，再根据复合函数的最值设则，由此可得的最值，从而可得有解，构造函数，，求导确定单调性得实数m的取值范围，即可得实数m的的最小值. 【详解】由题可得，， 令，解得，令，解得， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 所以. 对于函数，设，则， 则当时，取得最小值， 所以有解，即有解. 令，，则， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，也是最小值，为. 因为有解，所以. 故m的最小值为. 故答案为：. 5．（2024·广东河源·模拟预测）已知函数的最小值为0，则 ． 【答案】 【分析】根据给定的条件，利用同构变形并构造函数，借助函数的单调性转化成求函数的最小值. 【详解】依题意，对于恒成立，且能取得等号， 即对于恒成立，且能取得等号， 函数在上单调递增，不等式为， 则，即，因此在上恒成立，且能取得等号， 设，于是是函数在上的最小值， 求导得，当时，，当时，， 函数在上递减，在上递增，且， 所以. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：同构变形不等式，利用函数单调性转化成求函数的最小值是关键. 6．（24-25高三上·江苏南京·期中）已知为自然对数的底数，若函数的最大值与函数的最小值相等，则实数的值是 . 【答案】/ 【分析】利用导数求的最小值，根据题设知先增后减，得到，应用导数及其最大值，列方程求参数值. 【详解】对于，有， 时，即在上单调递减， 时，即在上单调递增， 所以，故的最大值为1， 对于且，有， 显然先增后减，故， 时，即在上单调递增， 时，即在上单调递减， 所以，则. 故答案为： 7．（21-22高三·云南昭通·期末）设函数，已知，且，若的最小值为，则的值为 ． 【答案】1 【分析】令，由图象可知，构造函数，利用导数求函数最小值即得. 【详解】令，则．    因为，则，， 可得，则． 令，则， 当时，即时，在内恒成立， 可知在上单调递减， 则，解得，经检验满足题意； 当时，即时，令，解得；令，解得； 可知在上单调递减，在上单调递增， 则，解得 这与矛盾，舍去； 综上所述：． 故答案为：1. 【题型六：极值点偏移问题】 知识讲解 一、极值点偏移（对称化构造法） 主要用来解决与两个极值点之和，积相关的不等式的证明问题．其解题要点如下： (1)定函数(极值点为)，即利用导函数符号的变化判断函数的单调性，进而确定函数的极值点． (2)构造函数，即对结论型，构造函数或； (3)对结论型，构造函数，通过研究的单调性获得不等式． (4)判断单调性，即利用导数讨论的单调性． (5)比较大小，即判断函数在某段区间上的正负，并得出与的大小关系． (6)转化，即利用函数f(x)的单调性，将与的大小关系转化为与之间的关系，进而得到所证或所求． 例题精选 一、解答题 1．已知函数有两个不同的零点． (1)求的取值范围； (2)设，是的两个零点，证明： 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求出，分四种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间，根据单调性，结合函数草图可筛选出符合题意的的取值范围； （2）令，，，可得在递增，得：，即：． 【详解】（1）函数的定义域为：. ， ①当时，易得，则在上单调递增， 则至多只有一个零点，不符合题意，舍去. ②当时，令得：，则 + 0 - 增 极大 减 ∴ . 设，∵，则在上单调递增. 又∵，∴时，；时，. 因此： （i）当时，，则无零点， 不符合题意，舍去. （ii）当时，， ∵ ，∴在区间上有一个零点， ∵ ， 设，，∵， ∴在上单调递减，则， ∴， ∴在区间上有一个零点，那么，恰有两个零点. 综上所述，当有两个不同零点时，的取值范围是. （2）由（1）可知，∵有两个不同零点，∴，且当时，是增函数； 当时，是减函数； 不妨设：，则：； 设，， 则： . 当时，，∴单调递增，又∵， ∴，∴， ∵，∴， ∵，∴， ∵，，在上单调递减， ∴，∴. 2．已知函数有两个零点． (1)求a的取值范围； (2)设是的两个零点，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）将有两个零点变为 有两个根，构造函数，利用导数求其最值，列出不等式，解得参数的范围； （2）不妨设，由（1）可知，则，将要证明的不等式转化为证明，然后构造函数，利用导数证明其单调性，即可证明结论. 【详解】（1）由题意得有两个零点等价于 有两个根； 令，则， 令 ，， 故单调递减，且， 故当时，,递增，当时，,递减， 故，要使 有两个根， 需满足，即，即a的取值范围为； （2）设是的两个零点，则 ， 不妨设，由（1）可知，则， 又因为在时递减， 故要证明，即，只需证明， 即； 设 ， 则， 因为，所以， 由（1）单调递减，且， 故时，，所以 ， 令，则时，则可得， 故在上单调递增，所以时有， 即有，所以，不等式得证. 【点睛】本题考查了根据函数零点个数，利用导数求参数的范围以及证明不等式的问题，综合性较强，解答时要能灵活应用导数判断函数的单调性以及确定最值问题，解答的关键是能进行合理变式，恰当地构造函数，利用导数解决问题. 相似练习 3．已知函数有两个零点． (1)求a的取值范围； (2)设，是的两个零点，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求导确定函数的单调性，即可根据最大值求解， （2）构造函数，利用导数求解单调性，即可求解. 【详解】（1）的定义域为，， 当时，，在上递增，至多一个零点，不符合题意，舍去； 当时，令得，所以在上递增， 当，此时在上递减， 所以的极大值也是最大值，∴． 又时，；趋向于时，趋向于． 所以，有两个零点，a的取值范围为． （2）不妨设，由，则． 构造函数，   ， 因为，，∴，即，所以在是递增，又，所以，∴， ∴． 又，∴． 而，，在上递减，所以，，即，所以，． 4．设函数（）. (1)求函数的单调区间； (2)若有两个零点，，求的取值范围，并证明：. 【答案】(1)见解析； (2)，证明见解析 【分析】（1）对求导数，分和两类情况讨论，得到函数的单调区间； （2）由（1）得a的取值范围，构造，证明不等式， 通过证明，证明. 【详解】（1）由，，可得，. 当时，，所以在上单调递增； 当时，令，得，令，得， 所以在单调递减，在单调递增； （2）因为函数有两个零点，由（1）得， 此时的递增区间为，递减区间为，有极小值. 所以，可得.   证明：由（1）可得的极小值点为，则不妨设. 设，， 可得，， 所以在上单调递增，所以， 即，则，， 所以当时，，且. 因为当时，单调递增，所以，即. 设，，则，则，即. 所以，. 设，则，所以在上单调递减， 所以，所以，即 综上，. 【点睛】不妨设，要证明，只要证，即证 构造函数证明； 要证明，只要证明，设，，构造证明. 二、极值点偏移（比值代换法） 比值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点的比值作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用比值(一般用表示)表示两个极值点，即，化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于的函数问题求解． 1．设函数．例题精选 (1)当时，若函数在其定义域内单调递增．求b的取值范围； (2)若有两个零点，，且，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由函数在其定义域内单调递增得，得导函数大于等于0恒成立，参变分离得，求出函数的最小值即可求解； （2）由化简得，要证， 只需证，构造函数，对求导，得到的单调性，根据函数最值符号即可证明. 【详解】（1）依题意：， 在上递增，对恒成立， 即对恒成立，只需 ，，当且仅当时取等号，， 的取值范围是； （2）证明：由已知得，即， 两式相减得：，即， 由，得 ， 令，则令， 则，是上的减函数，， 所以，又，，. 2．已知函数，函数． (1)若没有任何一段区间使函数与函数同时单调递增或同时单调递减，求的取值范围； (2)若方程有两个不同的解． ①求的取值范围； ②若，证明：. 【答案】(1) (2)①；②证明见解析 【分析】（1）先研究两个函数的单调性，再根据条件求出m即可； （2）方程有两个不同的解．转化为有两个不同的解． 对于①，令，求导，得到单调性，进而得到． 令，根据导数知道，在内单调递增，故方程最多有一个解，根据条件得到，进而得到m范围. 对于②，设是方程两个不同的解．设，代入方程，解得，则，构造，求导研究单调性即可. 【详解】（1）解：， 令得，当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减． 令得，当时，；当时，， 故在上单调递减，在上单调递增． 当，即时，满足题意； 若，则与在上同时单调递增，矛盾； 若，则与在上同时单调递减，矛盾． 综上所述，． （2），整理得， 即方程有两个不同的解， 即方程有两个不同的解． ①解：令，则，当时，；当时，， 故在区间上单调递减，在区间上单调递增，． 当趋近于0时，趋近于，当趋近于时，趋近于，故当时，方程有两个解． 则方程，令，则，即在内单调递增，故方程最多有一个解， 要使方程有两个不同的解，则方程有两个不同的解，即，且方程的解满足，故只需，即即可． 所以的取值范围是． ②证明：由题意，是方程两个不同的解． 设，则， 解得， 所以， 令，则，令， 则，故在区间上单调递增，，即， 所以在区间上单调递增，即，所以成立． 【点睛】方法点晴：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题. 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别. 3．已知函数在定义域内有两个不同的零点，．相似练习 (1)求证： (2)已知，若存在，不等式对任意的总成立，求的取值范围． 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【分析】（1）求定义域，求导，分和两种情况，结合函数单调性和极值情况，得到不等式，求出； （2）利用比值代换将不等式问题转化为在上恒成立，该不等式可利用导数来证明. 【详解】（1）的定义域为， ， 当时，恒成立， 此时在上单调递减，不会有两个不同的零点，舍去， 当时，令得，此时单调递增， 令得，，此时单调递减， 故在处取得极小值，， 又和时，， 要想有两个不同的零点，则， 解得； （2）由（1）可知，， ，故， 两边取自然对数得，， 因为存在，故， 由题意得，，故，设， 则，故且， 所以，其中， 故，故， 故在上恒成立. 设， 则，设，则， 当时，，故为上的减函数，故， 故在上的增函数，故， 故在上恒成立. 当时，当时，， 故为上的增函数，故， 故为上的减函数，故， 故在上恒成立，这与题设矛盾. 故的取值范围是. 【点睛】对于求不等式恒能成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件. 4．已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若函数有两个零点，求实数a的取值范围；（注：要求取点，利用函数零点存在定理进行求解） (3)在第（2）的条件下，设的两个零点，且，求证：. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求出，分、讨论的单调性可得答案； （2）由（1）函数有两个零点，应有，最大值为，分、、讨论可得时存在，分别计算，，根据函数零点存在定理可得答案； （3）要证，只需证明，即，又，即证，令，只需证明，构造函数，，再利用的单调性可得答案. 【详解】（1）定义域为，对函数求导得， 当时，，函数在上单调递增； 当时，，令，得， 当时，，此时函数在上单调递增； 当时，，此时函数在上单调递减； 综上所述，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减. （2）由（1）可知：当时，函数在上单调递增， 此时最多有1个零点，因此若函数有两个零点，应有， 由（1）可知在处，函数取得极大值，也是最大值为， （i）若，即时，函数仅有一个零点，不符合题设； （ii）若，即时，函数没有零点，不符合题设； （ⅲ）若，即时，取， ， 根据函数零点存在定理，此时函数在上有且仅有一个零点； 取，且（此时），， 根据函数零点存在定理，此时函数在上有且仅有一个零点； 所以此时，函数有两个零点， 综上所述，若函数有两个零点，实数a的取值范围为. （3）要证，两边同时取自然对数，只需证明， 因为，是的两个零点，所以.即， 只需证明：，即， 又，所以只需证明， 即证，令，则，只需证明， 构造函数，，， 构造函数，，， 所以函数在上单调递增，所以， 所以，函数在上单调递减，因此，原不等式得证. 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具，函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问题；（4）利用导数求函数的零点问题或根据零点求参数． 三、极值点偏移（对数（指数）不等式） （1）对数均值不等式法 两个正数和的对数平均定义： 对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：（此式记为对数平均不等式） 取等条件：当且仅当时，等号成立． （2）指数不等式法 在对数均值不等式中，设，，则，根据对数均值不等式有如下关系： 例题精选 1．已知函数（a为常数）. (1)求函数的单调区间； (2)若存在两个不相等的正数，满足，求证：. (3)若有两个零点，，证明：. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可； （2）利用对数均值不等式（，，）即可得证. （3）由题意得，要证，只需证：，利用换元，令，只需证：，由对数均值不等式即得. 【详解】（1）由，得函数的定义域为， 又， 当时，恒成立，所以在上单调递增； 当时，令，得；令，得； 所以，的单调递减区间为，单调递增区间为； （2）由，得， 故欲证，只需证：，即证， 又，，， 不妨设，，等价于，令（）， 等价于（）， ，所以在单调递增，而， 所以，当时，恒成立. 所以， 所以. （3）函数有两个零点，，所以，， 不妨设，， 即，要证：， 需证： 只需证：，只需证：， 只需证：，只需证：， 令，只需证：， 令，， 所以在上单调递减，所以，即， 故. 也可由对数均值不等式（），即， 令（），则，即， 所以. 【点睛】本题考查不等式的证明，可转化为函数求最值以及恒成立问题结决，可按如下规则转化： 一般地，已知函数， （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若若，，有，则的值域是值域的子集 ． 相似练习 2．已知函数有两个不相等的极值点． （1）求实数的取值范围； （2）设函数两个不相等的极值点分别为，，求证： ①； ②． 【答案】（1）；（2）①证明见解析；②证明见解析． 【分析】（1）求导，令导函数为零得，．由已知得直线与曲线有两不同交点．构造函数，根据其导函数分析函数的单调性，最值，可求得实数的取值范围． （2）①根据，不妨假定，由（1）知，．原不等式转化为证不等式成立．设，，运用导函数分析所构造的函数的单调性可得证； ②由（1）得，，取自然对数可得，由此可得证． 【详解】（1）由得，． 令得，．根据题意，直线与曲线有两不同交点． 由于，所以，当时，，递增； 当时，，递减；因，因此． 设是区间上的任意一个常数．令，则，． 当时，，递增．当时，，递增． 当时，，即． 又当时，．所以当时，，即． 考虑到时，，时，，所以实数的取值范围是． （2）①根据，不妨假定，由（1）知，． 证明不等式，即证：． 设，， ∴当时，，， 是增函数，是减函数．此时，，， 取时即得所证不等式． ②由（1）得，，即，两边同时取自然对数得． ∴，即，且，所以，． 【点睛】方法点睛：1、利用导数证明不等式或解决不等式恒成立问题,关键是把不等式变形后构造恰当的函数，然后用导数判断该函数的单调性或求出最值，达到证明不等式的目的；2、利用导数解决不等式恒成立问题，应特别注意区间端点是否取得到；3、学会观察不等式与函数的内在联系，学会变主元构造函数再利用导数证明不等式. 总之，无论是证明不等式，还是解不等式，我们都可以构造恰当的函数，利用到函数的单调性或最值，借助导数工具来解决，这种解题方法也是转化与化归思想在中学数学中的重要体现. 3．已知函数． (1)若函数在点处的切线斜率为，求的值． (2)若函数存在减区间，求的取值范围． (3)求证：若，，都有． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求导得到导函数，计算，解得答案. （2）题目转化为有解，即，利用均值不等式计算最值得到答案. （3）题目转化为，设，，求导得到函数单调递增，计算最值得到证明. 【详解】（1），，，. （2）有解，即，设，， ，当，即是等号成立. 故. （3），即，即， 设，，，， 故函数在上单调递增，故， 故在恒成立. 【点睛】本题考查了根据切线斜率求参数，根据函数的单调性求参数，利用导数证明不等式，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中利用换元的思想消元简化运算，是解题的关键. 课后针对训练 一、单选题 1．（22-23高二上·陕西西安·期末）函数的极小值为（   ） A． B． C． D．不存在 2．（24-25高三下·四川乐山·期末）若函数无极值，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·江苏南京·期末）设函数在上可导，其导函数为，且函数在处取得极小值，则函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·河北·期末）若函数的极小值点为，则（    ） A．1 B． C． D． 二、填空题 5．（2023高三·全国·专题练习）若函数有极值，则实数的取值范围是 ． 6．（24-25高二上·江苏无锡·期末）已知函数，当时，的最小值为4，实数a的值为 ． 7．（23-24高二下·甘肃临夏·期末）函数存在唯一的极值点，则实数t的最大值为 ． 三、解答题 8．（24-25高三上·广东·期末）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数有极小值，且的极小值小于，求实数的取值范围. 9．（24-25高二上·安徽·期末）已知函数 (1)讨论的单调性； (2)若函数恰有两个极值点、. ①求的取值范围； ②证明： 10．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期末）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有极小值，且极小值小于0，求的取值范围． 2024-2025年高二数学下学期期末重难点题型归纳 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 答案 A B C D 1．A 【分析】利用导函数直接求解单调区间，即可得到极小值. 【详解】由题知函数的定义域为， 则. 令，得（舍去）. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以函数的极小值为. 故选：A 2．B 【分析】由已知可得恒成立，求解即可. 【详解】的导数为， 函数不存在极值点， 在R上恒成立， 即恒成立， ，解得， 即实数a的取值范围是 故选：B. 3．C 【分析】利用导数与函数极值点的关系判断可得出合适的选项. 【详解】因为函数在处取得极小值， 在左侧附近，，此时，， 在右侧附近，即存在，使得当，使得， 此时，，C选项合乎题意. 故选：C. 4．D 【分析】求导，通过，求出，进而可求解； 【详解】，依题意， 所以或， 当时，，为极大值点， 当时，，符合题意，故， 故选：D. 5． 【分析】根据极值的概念可转化为导数零点问题，根据判别式可得解. 【详解】由， 则， 由函数有极值， 即有变号零点， 所以， 解得或， 故答案为：. 6． 【分析】对函数求导，按的不同取值讨论在时的单调性，进而可得最值，解出的值即可. 【详解】由题意可得，， ①当时，恒成立，单调递减， 此时，解得，不满足； ②当时，令解得， （i）当时， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 此时，解得，满足； （ii）当时， 当时，，单调递减， 此时，解得，不满足； 综上所述， 故答案为： 7． 【分析】求出函数的导函数，依题意存在唯一的变号正实根，当符合题意，当时参变分离可得没有除之外的正实根，构造函数，利用导数求出函数的单调性，即可求出函数的最小值，从而求出的取值范围. 【详解】因为，， 所以， 依题意可得存在唯一的变号正实根， 即存在唯一的变号正实根， 当时，方程只有唯一变号正实根，符合题意， 当，方程，即没有除之外的正实根， 令，则， 所以当时，，即在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以，所以， 则实数t的最大值为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 8．(1) (2) 【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求在点处的切线方程； （2）分析和两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可. 【详解】（1）当时，，所以， 而，所以在切线斜率， 所以切线方程为，即. （2）因为，其中， 则， ①当时，恒成立，此时函数在上单调递增，无极小值， ②当时，令，可得，列表如下： 0 + 递减 极小值 递增 所以， 由题意可得，即， 令，则. 因为， 所以函数在单调递增， 所以由，得， 所以实数的取值范围是. 9．(1)答案见解析 (2)①；②证明见解析. 【分析】（1）求得，对实数的取值进行分类讨论，利用函数单调性与导数的关系可求得函数的增区间和减区间； （2）①求得，由题意可知，二次方程有两个不等的正根，利用二次方程根的分布可得出关于的不等式组，解之即可； ②由韦达定理得出，，由此可得出，于是所证不等式变形为，其中，令，其中，利用导数分析函数的单调性，结合其单调性可证得结论成立. 【详解】（1）由题意知. 当时，，所以的增区间为，无减区间； 当时，令，解得，令，解得， 此时，函数的减区间为，增区间为. 综上所述，当时，函数的增区间为，无减区间； 当时，函数的减区间为，增区间为. （2）①由题意知， 所以， 因恰有两个极值点、，所以方程，即方程有两不等正根， 所以，解得，即的取值范围为； ②由①知，， 所以， 所以， 令，其中，所以， 因为函数、在上均为增函数， 则函数在上单调递增， 又，， 所以，使得，即， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又在上单调递增，则， 所以，所以，所以. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 10．(1)； (2)的取值范围是． 【分析】（1）当时，，求导得，由导数的几何意义，可求得切线的斜率，进而根据点斜式可得切线方程； （2）求导得，通过对的取值进行分类讨论，分析的符号，进而可得的极值情况，建立关于的不等式，即可得出答案. 【详解】（1）∵， ∴当时，， ∴，， ∴切点坐标为， ∴所求切线的斜率， ∴曲线在点处的切线方程为， 整理得． （2）∵，∴， 当时，，在上单调递增，此时无极值； 当时，令，得， 当时，，的减区间为， 当时，，的增区间为， ∴的极小值， ∴，令，则，令，得， ∴在上单调递增，在上单调递减， ∴当时取得最大值1， ∴的取值范围是． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高二下学期数学常考题型归纳 【专题5.3.2函数的极值与最值】 总览 题型梳理 【基础类】 【题型一：根据导函数的图像判断极值】 【题型二：求具体函数的极值】 【题型三：由函数的极值求参数】 【题型四：求已知函数的最值】 【题型五：由函数的最值求参数】 【提升类：极值点偏移问题】 【题型一 极值点偏移（对称化构造法）】 【题型二 极值点偏移（比值代换法）】 【题型三 极值点偏移（对数（指数）不等式】 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型一：根据导函数的图像判断极值】 知识讲解 极值的相关概念 (1)极小值点与极小值： 如图，函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小，f'(a)=0，而且在点 x=a附近的左侧f'(x)<0，右侧f'(x)>0，则把点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值. (2)极大值点与极大值： 如图，函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大，f'(b)=0，而且在点 x=b附近的左侧f'(x)>0，右侧f'(x)<0，则把点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值. (3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值. 例题精选 一、单选题 1．（24-25高二上·山西晋中·期末）已知函数的定义域为，且的图象是一条连续不断的曲线，的导函数为，若函数的图象如图所示，则（    ） A．的单调递减区间是 B．的单调递增区间是， C．当时，有极值 D．当时， 2．（23-24高二下·四川攀枝花·期末）函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．在处取得最大值 B．在区间上单调递减 C．在处取得极大值 D．在区间上有2个极大值点 3．（21-22高二上·浙江嘉兴·期末）函数的定义域为，导函数在内的图像如图所示，则下列命题不正确的是（    ）． A．函数在内一定不存在最小值 B．函数在内只有一个极小值点 C．函数在内有两个极大值点 D．函数在内可能没有零点 相似练习 二、多选题 4．（23-24高二上·江苏宿迁·期末）已知函数的导函数的图象如图所示，则（    ） A．在区间上单调递增 B．在区间上有且仅有2个极值点 C．在区间上最多有4个零点 D．在区间上存在极大值点 5．（22-23高二下·福建厦门·期末）函数的导函数的图象如图所示，则（    ）    A．在区间上单调递减 B．在处取得极大值 C．在区间上有2个极大值点 D．在处取得最大值 三、填空题 6．（22-23高二下·上海普陀·期末）已知函数，其导函数的图像如图所示，则下列所有真命题的序号为 ．    ①函数在区间上严格减；   ②函数在区间上严格增； ③函数在处取得极小值；   ④函数在处取得极小值． 【题型二：求具体函数的极值】 知识讲解 2．求可导函数极值的步骤 (1)求函数的定义域； (2)求导函数f'(x)； (3)在原函数的定义域内，求方程f'(x)=0的所有实数根； (4)对每个实数根进行检验，判断在每个根的左右两侧，导数f'(x)的符号变化情况. 例题精选 一、单选题 1．（24-25高二上·湖南·期末）若是函数的极小值点，则的极大值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·全国·课后作业）函数，则（    ） A．的极小值点为 B．的极大值点为0 C．的极小值点为0 D．的极大值点为 二、填空题 3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数在处取得极值，则的极小值为 ． 相似练习 4．（24-25高三上·安徽芜湖·期末）已知函数． (1)求函数的单调性和极值； (2)作出函数的大致图象．（参考数据：） 5．（2024·江苏淮安·模拟预测）已知函数. (1)当，时，求函数的极值； 6．（24-25高三下·安徽·开学考试）已知函数 . (1)若 ，求 的极值； 【题型三：由函数的极值求参数】 知识讲解 3．根据函数极值求参数的一般思路： (1)已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：根据极值点的导数为0和极值这两个条件列 方程组，利用待定系数法求解. (2)导数值为0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验. 例题精选 一、单选题 1．（24-25高二上·江苏泰州·期末）已知函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·四川绵阳·三模）若函数有唯一极值点，则下列关系式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（21-22高二上·江西宜春·期末）若函数在区间无零点但有2个极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 相似练习 4．（23-24高三上·北京顺义·期中）若函数既有极大值也有极小值，则错误的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（2024·江苏·模拟预测）已知有两个极值点，则实数的取值范围为 ． 6．（2020·陕西榆林·三模）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为 . 【题型四：求已知函数的最值】 知识讲解 1．函数的最大值与最小值 (1)一般地，如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值， 并且函数的最值必在极值点或区间端点处取得.当f(x)的图象连续不断且在[a,b]上单调时，其最大值和最小值分别在两个端点处取得. (2)函数的极值与最值的区别 ①极值是对某一点附近(即局部) 而言的，最值是对函数的整个定义区间而言的. ②在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个(或者没有)，但最大(小)值最多有一个. ③函数f(x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点. 2．函数最值的求解思路 求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下： (1)求函数y=f(x)在(a,b)内的极值； (2)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 例题精选 一、填空题 1．（2025·云南大理·模拟预测）若是的极值点，则 ；在上的最小值是 . 2．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，则函数在上的最大值为 ． 相似练习 3．（2025·陕西汉中·二模）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设函数，求在区间上的最大值和最小值. 4．（24-25高三上·福建泉州·期末）已知函数的图象在点处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为. (1)求； (2)求在区间上的最大值和最小值. 5．（24-25高二下·广西南宁·开学考试）已知函数． (1)过原点作曲线的切线，求该切线的方程； (2)设，求在的最值． 【题型五：由函数的最值求参数】 知识讲解 求含有参数的函数的最值的解题策略 求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值. 例题精选 一、单选题 1．（22-23高三上·河北保定·阶段练习）已知当时，函数取得最大值2，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024高三·全国·专题练习）设，若函数的最小值为，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（24-25高二上·吉林长春·期末）若函数在内有最小值，则实数的取值范围是 . 相似练习 4．（21-22高二上·山西大同·期末）已知函数（，），若函数与有相同的最小值，则实数m的最小值为 . 5．（2024·广东河源·模拟预测）已知函数的最小值为0，则 ． 6．（24-25高三上·江苏南京·期中）已知为自然对数的底数，若函数的最大值与函数的最小值相等，则实数的值是 . 7．（21-22高三·云南昭通·期末）设函数，已知，且，若的最小值为，则的值为 ． 【题型六：极值点偏移问题】 知识讲解 一、极值点偏移（对称化构造法） 主要用来解决与两个极值点之和，积相关的不等式的证明问题．其解题要点如下： (1)定函数(极值点为)，即利用导函数符号的变化判断函数的单调性，进而确定函数的极值点． (2)构造函数，即对结论型，构造函数或； (3)对结论型，构造函数，通过研究的单调性获得不等式． (4)判断单调性，即利用导数讨论的单调性． (5)比较大小，即判断函数在某段区间上的正负，并得出与的大小关系． (6)转化，即利用函数f(x)的单调性，将与的大小关系转化为与之间的关系，进而得到所证或所求． 例题精选 一、解答题 1．已知函数有两个不同的零点． (1)求的取值范围； (2)设，是的两个零点，证明： 2．已知函数有两个零点． (1)求a的取值范围； (2)设是的两个零点，证明：． 相似练习 3．已知函数有两个零点． (1)求a的取值范围； (2)设，是的两个零点，证明：． 4．设函数（）. (1)求函数的单调区间； (2)若有两个零点，，求的取值范围，并证明：. 二、极值点偏移（比值代换法） 比值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点的比值作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用比值(一般用表示)表示两个极值点，即，化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于的函数问题求解． 1．设函数．例题精选 (1)当时，若函数在其定义域内单调递增．求b的取值范围； (2)若有两个零点，，且，求证：． 2．已知函数，函数． (1)若没有任何一段区间使函数与函数同时单调递增或同时单调递减，求的取值范围； (2)若方程有两个不同的解． ①求的取值范围； ②若，证明：. 3．已知函数在定义域内有两个不同的零点，．相似练习 (1)求证： (2)已知，若存在，不等式对任意的总成立，求的取值范围． 4．已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若函数有两个零点，求实数a的取值范围；（注：要求取点，利用函数零点存在定理进行求解） (3)在第（2）的条件下，设的两个零点，且，求证：. 三、极值点偏移（对数（指数）不等式） （1）对数均值不等式法 两个正数和的对数平均定义： 对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：（此式记为对数平均不等式） 取等条件：当且仅当时，等号成立． （2）指数不等式法 在对数均值不等式中，设，，则，根据对数均值不等式有如下关系： 例题精选 1．已知函数（a为常数）. (1)求函数的单调区间； (2)若存在两个不相等的正数，满足，求证：. (3)若有两个零点，，证明：. 相似练习 2．已知函数有两个不相等的极值点． （1）求实数的取值范围； （2）设函数两个不相等的极值点分别为，，求证： ①； ②． 3．已知函数． (1)若函数在点处的切线斜率为，求的值． (2)若函数存在减区间，求的取值范围． (3)求证：若，，都有． 课后针对训练 一、单选题 1．（22-23高二上·陕西西安·期末）函数的极小值为（   ） A． B． C． D．不存在 2．（24-25高三下·四川乐山·期末）若函数无极值，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·江苏南京·期末）设函数在上可导，其导函数为，且函数在处取得极小值，则函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·河北·期末）若函数的极小值点为，则（    ） A．1 B． C． D． 二、填空题 5．（2023高三·全国·专题练习）若函数有极值，则实数的取值范围是 ． 6．（24-25高二上·江苏无锡·期末）已知函数，当时，的最小值为4，实数a的值为 ． 7．（23-24高二下·甘肃临夏·期末）函数存在唯一的极值点，则实数t的最大值为 ． 三、解答题 8．（24-25高三上·广东·期末）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数有极小值，且的极小值小于，求实数的取值范围. 9．（24-25高二上·安徽·期末）已知函数 (1)讨论的单调性； (2)若函数恰有两个极值点、. ①求的取值范围； ②证明： 10．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期末）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有极小值，且极小值小于0，求的取值范围． 2024-2025年高二数学下学期期末重难点题型归纳 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 1 学科网（北京）股份有限公司 $$