微专题5-12 由函数的单调性求参数8种常考题型总结-2024-2025学年《考点通关》高二数学微专题精准突破（人教A版2019选择性必修第二册）

2024-2025学年《考点通关》高二数学微专题精准突破（人教A版2019选择性必修第二册） 微专题5-12 由函数的单调性求参数8种常考题型总结 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 在区间上单调递增（减） 题型2 在区间上单调 题型3 单调区间是 题型4 存在单调递增（减）区间 题型5 不存在单调递增（减）区间 题型6 在区间上不单调 题型7 根据单调区间的个数求参数 题型8 综合应用 由函数的单调性求参数的取值范围的方法 一、在区间上单调递增（减） （1） 转化为不等式的恒成立问题（常用）: f(x)在区间M上递增⇒f ′(x) ≥ 0在M上恒成立 f(x)在区间M上递减⇒f ′(x) ≤ 0在M上恒成立 （2） 利用集合间的包含关系处理: y=f(x)在(a,b)上单调,则区间(a,b)是相应单调区间的子集. 注：若已知函数在某含参区间上的增减性时,一般先求出函数的增减区间,继而令已知区间是所求增减区间的子集,列出不等式,进行求解.在求函数的单调性时,可采用图像法、导数法或利用函数的性质. 二、在区间上单调 在单调或。 (在做小题或大题答案检验上非常有效。) 三、单调区间是 若y=f(x)的单调区间为(a,b),则 注：单调区间和在区间上单调的区别 一个函数的单调区间不一定是一个区间，可能是多个区间，单调区间是指一个函数中所有递减或递增性质的区间；在区间上单调是指在某单一区间上的单调性。 四、（不）存在单调区间 （1）f(x)在区间M上存在单调递增区间⇒f ′(x)＞0在M上有解⇔f ′(x)max＞0 f(x)在区间M上存在单调递减区间⇒f ′(x)＜0在M上有解⇔f ′(x)min＜0 （2）f(x)在区间M上不存在单调递增区间⇒f ′(x) ≤ 0在M上恒成立 f(x)在区间M上不存在单调递减区间⇒f ′(x) ≥ 0在M上恒成立 五、在区间上不单调 思路一：函数在某一区间不单调，则在此区间内方程有解，且在解的两侧的符号相反．即f(x)在区间M上不单调⇒f ′(x)在M上有变号零点（若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．） 思路二：可求出函数在区间上是单调函数的参数的取值范围，求其补集即可得结果. 题型1 在区间上单调递增（减） 【例1】已知函数在上为单调递增函数，则实数的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【变式1】已知函数.若函数在上单调递减，则实数的最小值为（    ） A．0 B．3 C． D． 【变式2】若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知函数在区间上单调递增，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式4】已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式5】若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【变式6】已知函数，当时，，则实数a的取值范围为 ． 题型2 在区间上单调 【例2】若函数在区间上单调，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】设函数，若函数在区间上是单调函数，求实数m的取值范围. 【变式2】已知函数，若f(x)在R上单调，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型3 单调区间是 【例3】已知函数，若的单调递减区间是，则实数的值为________. 【变式1】已知函数的单调递减区间为，则（    ）. A． B． C． D． 【变式2】已知函数的单调减区间为，若，则的最大值为______． 题型4 存在单调递增（减）区间 【例4】若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是 . 【变式1】若函数在区间内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】若函数在上存在单调递减区间，则m的取值范围是______． 【变式4】已知函数，若函数与函数的单调区间相同，并且既有单调递增区间，也有单调递减区间，则的取值范围是______. 题型5 不存在单调递增（减）区间 【例5】已知函数. 若函数不存在单调递减区间，求实数的取值范围； 【变式1】设函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）若函数在上不存在单调增区间，求的取值范围. 题型6 在区间上不单调 【例6】若函数在区间上不单调，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D．m>1 【变式1】若函数在区间(1，4)上不单调，则实数a的取值范围是 . 【变式2】已知函数在上不单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】若函数在定义域内的一个子区间上不是单调函数，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C．(1，2] D．[1，2) 题型7 根据单调区间的个数求参数 【例7】已知函数存在三个单调区间，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【变式1】【多选】若函数恰好有三个单调区间，则实数a的取值可以是（    ） A． B． C．0 D．3 题型8 综合应用 【例8】已知函数. （1）若在区间上为增函数，求a的取值范围. （2）若的单调递减区间为，求a的值. 【变式1】已知，函数，为自然对数的底数）． (1)当时，求函数的单调递增区间； (2)若函数在上单调递增，求的取值范围； 【变式2】已知函数. (1)若函数在R上单调递增，求实数a的取值范围； (2)若函数的单调递减区间是，求实数a的值； (3)若函数在区间上单调递减，求实数a的取值范围. $$2024-2025学年《考点通关》高二数学微专题精准突破（人教A版2019选择性必修第二册） 微专题5-12 由函数的单调性求参数8种常考题型总结 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 在区间上单调递增（减） 题型2 在区间上单调 题型3 单调区间是 题型4 存在单调递增（减）区间 题型5 不存在单调递增（减）区间 题型6 在区间上不单调 题型7 根据单调区间的个数求参数 题型8 综合应用 由函数的单调性求参数的取值范围的方法 一、在区间上单调递增（减） （1） 转化为不等式的恒成立问题（常用）: f(x)在区间M上递增⇒f ′(x) ≥ 0在M上恒成立 f(x)在区间M上递减⇒f ′(x) ≤ 0在M上恒成立 （2） 利用集合间的包含关系处理: y=f(x)在(a,b)上单调,则区间(a,b)是相应单调区间的子集. 注：若已知函数在某含参区间上的增减性时,一般先求出函数的增减区间,继而令已知区间是所求增减区间的子集,列出不等式,进行求解.在求函数的单调性时,可采用图像法、导数法或利用函数的性质. 二、在区间上单调 在单调或。 (在做小题或大题答案检验上非常有效。) 三、单调区间是 若y=f(x)的单调区间为(a,b),则 注：单调区间和在区间上单调的区别 一个函数的单调区间不一定是一个区间，可能是多个区间，单调区间是指一个函数中所有递减或递增性质的区间；在区间上单调是指在某单一区间上的单调性。 四、（不）存在单调区间 （1）f(x)在区间M上存在单调递增区间⇒f ′(x)＞0在M上有解⇔f ′(x)max＞0 f(x)在区间M上存在单调递减区间⇒f ′(x)＜0在M上有解⇔f ′(x)min＜0 （2）f(x)在区间M上不存在单调递增区间⇒f ′(x) ≤ 0在M上恒成立 f(x)在区间M上不存在单调递减区间⇒f ′(x) ≥ 0在M上恒成立 五、在区间上不单调 思路一：函数在某一区间不单调，则在此区间内方程有解，且在解的两侧的符号相反．即f(x)在区间M上不单调⇒f ′(x)在M上有变号零点（若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．） 思路二：可求出函数在区间上是单调函数的参数的取值范围，求其补集即可得结果. 题型1 在区间上单调递增（减） 【例1】已知函数在上为单调递增函数，则实数的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【解析】， 因为在上为单调递增函数，故在上恒成立， 所以即，故选：A. 【变式1】已知函数.若函数在上单调递减，则实数的最小值为（    ） A．0 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】求导函数，令恒成立，变量分离转化为求新函数的最大值. 【详解】，令，得， 令， 若函数在上单调递减，则， 当时，， 所以函数在上单调递增，则，所以. 【变式2】若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将函数在区间内单调递增转化为导函数大于等于零恒成立，然后参编分离，转化为最值即可求得的取值范围. 【详解】函数在内单调递增，则在恒成立， 即在上恒成立， 又， 所以， 即. 故选:D. 【变式3】已知函数在区间上单调递增，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】等价转化为在区间上恒成立，再利用分离参数法并结合导数即可求出答案. 【详解】因为在区间上恒成立，所以在区间上恒成立． 令，则在上恒成立， 所以在区间上单调递减，所以，故． 【变式4】已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知，对任意的恒成立，利用参变量分离法可求得实数的取值范围. 【详解】因为，则， 因为函数在区间上单调递增， 则对任意的，恒成立，则. 因此，实数的取值范围是. 【变式5】若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【解析】函数，.则， 因为在区间上单调递减， 则在区间上恒成立，即，所以在区间上恒成立， 所以，解得，故选：A. 【变式6】已知函数，当时，，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性，构造函数，得到单调性，从而得到的取值范围. 【详解】因为，所以， 所以为奇函数. 任取，所以， 所以，等价于， 即， 令函数，所以任意，， 所以在上不存在单调减区间. 又因为，， 所以对恒成立， 所以对恒成立， 因为的最小值为， 所以. 题型2 在区间上单调 【例2】若函数在区间上单调，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求函数的导数，转化为或，利用参变分离转化为最值问题，即可求解. 【详解】，由函数在区间上单调， 则或，即或，， 即，或，， ， 当时，函数取得最小值3，当时，函数取得最大值4， 所以或. 【变式1】设函数，若函数在区间上是单调函数，求实数m的取值范围. 【答案】 【分析】先求得的单调区间，再根据函数在区间上是单调函数，列出不等式，即可得到结果. 【详解】，， 令，解得或， 令，解得. 故在上严格增，在上严格减，在上严格增. 又在区间上是单调函数， 则只需，解得. 故实数m的取值范围为. 【变式2】已知函数，若f(x)在R上单调，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求函数的导函数，由在R上单调，可知恒成立或恒成立，构造函数，分类讨论a的取值范围，利用导数研究函数的单调区间及最值即可得解. 【详解】求导，令， 由在R上单调，可知恒成立或恒成立，分类讨论： （1）当时，，令，得 当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增； ，即恒成立，符合题意； （2）当时，，令，得 当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减； ，即恒成立，符合题意； （3）当时，令，得或， 研究内的情况即可： 当时，，函数单调递减；当时， ，函数单调递增；当时，，函数单调递减； 当时，函数取得极小值，且满足；当时，函数取得极小值，且满足 ，且 同理，且 又，当时，；当时，，故不符合； 所以a的取值范围是 故选：A 【点睛】方法点睛：本题考查不等式的恒成立问题， 不等式恒成立问题常见方法： ①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）； ②数形结合( 图像在 上方即可)； ③讨论最值或恒成立. 题型3 单调区间是 【例3】已知函数，若的单调递减区间是，则实数的值为________. 【解析】由，得， 因为的单调递减区间是，所以的解集为， 所以是方程的一个根，所以，解得 【变式1】已知函数的单调递减区间为，则（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据得到，再根据的单调递减区间是，得到和1是方程的两个根，代入解方程即可. 【详解】由得，又的单调递减区间是，所以和1是方程的两个根，代入得.经检验满足题意 故选：B. 【变式2】已知函数的单调减区间为，若，则的最大值为______． 【答案】 【分析】根据已知条件及导数的正负与函数单调性的关系即可求解. 【详解】由，得． 令即，解得， 所以函数的单调减区间为， 所以，解得， 所以m的最大值为． 故答案为：. 题型4 存在单调递增（减）区间 【例4】若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】， 由题意知，在上有实数解， 即有实数解， 当时，显然满足， 当时，只需 综上所述 【变式1】若函数在区间内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把题意转化为在上有解，设，利用导数判断单调性，即可求解. 【详解】由可得：. 因为函数在区间内存在单调递增区间， 所以在上有解，即在上有解. 设，由在上恒成立，所以在单调递增，所以. 所以. 【变式2】若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意转化为导函数有解，参变分离有解，设，则实数，求导计算可得解； 【详解】函数的定义域为, 求导得，函数存在单调递减区间， 所以有解，即有解， 设，则实数， 则，令，得， 当时，在上递增； 当时，在上递减； 所以函数有最大值， 因此. 【变式3】若函数在上存在单调递减区间，则m的取值范围是______． 【答案】 【分析】先对求导，将问题转化为在上有解，即在上有解，利用换元法与基本不等式求出的最大值即可得解. 【详解】因为， 所以， 则原向题等价于在上有解，即在上有解，即在上有解， 令，则，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，此时， 所以，则， 所以，即. 故答案为：. 【变式4】已知函数，若函数与函数的单调区间相同，并且既有单调递增区间，也有单调递减区间，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】求出的导数，根据导数首先确定的粗略范围，并求出的单调区间；再求出的导数，根据题意两函数单调性一致可以确定，展开计算得出的取值范围. 【详解】法一：因为，所以， 若，则，在上单调递增，只有单调增区间，不合题意；若，令，得，，当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减， 设，因为函数与函数的单调区间相同，所以函数在上单调递减，在上单调递增，又，所以对任意恒成立，即恒成立，由，所以，将，代入上式，整理得，即，从而，此时，所以的取值范围为. 法二：.当时，恒成立，在上单调递增.没有单调递减区间，不符合题意.当时，.当时，，单调递减；当时，，单调递增.令，则. 由题意，，恒成立，即恒成立.令，则恒成立.因为，所以与有相同的单调性，所以.又，所以，即，即.综上，的取值范围是. 故答案为： 【点睛】思路点睛：本题中存在两个难点 ①两个函数单调性相同与数学表达式的转换：两个函数单调性相同说明导数在同一区间的符号相同，若函数解析式简单，可分别写出两个导数的符号区间；若如本题一样导数解析式复杂，则先找导数的共性，然后讨论非共性处，以本题为例：导数与的共性是同乘，因此符号情况决定了两个函数是否增减区间相同，继而将复杂式子简化只讨论的情况即可. ②题中需要用到恒成立问题结论： 恒成立；恒成立 题型5 不存在单调递增（减）区间 【例5】已知函数. 若函数不存在单调递减区间，求实数的取值范围； 【解析】由函数有意义，则    由且不存在单调递减区间，则在上恒成立，    上恒成立           【变式1】设函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）若函数在上不存在单调增区间，求的取值范围. 【答案】（1）在递增，在递减，在递增；（2）. 【分析】（1）先对函数求导，分别令导数大于零，小于零，即可求出函数的单调增减区间； （2），令，由于函数在上不存在单调增区间，则必有，然后列出不等式组可求出的取值范围 【详解】（1）时，， ， 令，解得：或， 令，解得：， 故在递增，在递减，在递增； （2）， 设， 假设函数在上不存在单调递增区间， 必有， 于是，解得. 题型6 在区间上不单调 【例6】若函数在区间上不单调，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D．m>1 【答案】B 【解析】函数的定义域为，且， 令，得，因为在区间上不单调，所以，解得： 【变式1】若函数在区间(1，4)上不单调，则实数a的取值范围是 . 【答案】(4，5) 【分析】由已知得在上存在变号零点，参变分离后利用导数讨论新函数的单调性后可得实数的取值范围. 【详解】解：函数，， 若函数在区间上不单调，则在上存在变号零点， 由得， 令，，， 在递减，在递增，而，，， 所以. 【变式2】已知函数在上不单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】因为在上不单调，故利用在上必有零点，利用，构造函数，通过的范围，由此求得的取值范围. 【详解】依题意，故在上有零点，令，令，得，令， 则，由，得，单调递增，又由，得， 故，所以，的取值范围 故选：A 【变式3】若函数在定义域内的一个子区间上不是单调函数，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C．(1，2] D．[1，2) 【答案】A 【分析】利用导数研究函数的极值性，令极值点属于已知区间即可. 【详解】显然函数的定义域为，． 由，得函数的单调递增区间为； 由，得函数单调递减区间为． 因为函数在区间上不是单调函数，所以，解得，又因为为定义域内的一个子区间，所以，即． 综上可知实数k的取值范围是． 故选：A 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的极值，其中考查了利用导数研究函数的单调性，属于中档题.本题解题的关键在于结合已知条件，得，进而求解. 题型7 根据单调区间的个数求参数 【例7】已知函数存在三个单调区间，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【解析】由题意，函数，可得， 因为函数存在三个单调区间，可得有两个不相等的实数根， 则满足，解得或， 即实数的取值范围是.故选：C. 【变式1】【多选】若函数恰好有三个单调区间，则实数a的取值可以是（    ） A． B． C．0 D．3 【答案】AB 【分析】将问题转化为导函数有两个零点问题，由判别式可解. 【详解】当时，，显然不满足题意； 当时，，因为恰好有三个单调区间，所以有两个零点，即，解得，综上，的取值范围为. 故选：AB 题型8 综合应用 【例8】已知函数. （1）若在区间上为增函数，求a的取值范围. （2）若的单调递减区间为，求a的值. 【解析】（1）因为，且在区间上为增函数， 所以在上恒成立，即在(1，+∞)上恒成立， 所以在上恒成立，所以，即a的取值范围是 （2）由题意知.因为，所以. 由，得，所以的单调递减区间为， 又已知的单调递减区间为，所以，所以，即. 【变式1】已知，函数，为自然对数的底数）． (1)当时，求函数的单调递增区间； (2)若函数在上单调递增，求的取值范围； 【解析】(1)当时，， 令，得， 的单调递增区间是； (2)，若在内单调递增，即当时，， 即对恒成立，即对恒成立， 令，则， 在上单调递增，，， 当时，当且仅当时，，的取值范围是． 【变式2】已知函数. (1)若函数在R上单调递增，求实数a的取值范围； (2)若函数的单调递减区间是，求实数a的值； (3)若函数在区间上单调递减，求实数a的取值范围. 【解析】(1)易知. 因为在R上单调递增，所以恒成立，即恒成立， 故.经检验，当时，符合题意，故实数a的取值范围是. (2)由（1），得. 因为的单调递减区间是，所以不等式的解集为， 所以-1和1是方程的两个实根，所以. (3)由（1），得. 因为函数在区间上单调递减，所以在上恒成立， 即在上恒成立. 又函数在上的值域为，所以.故实数a的取值范围是. $$