1.3 线段的垂直平分线 培优专练 2024-2025学年北师大版数学八年级下册

1.3 线段的垂直平分线 培优专练 考试范围：1.3 线段的垂直平分线；考试时间：45分钟；总分：100分 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一．选择题（共5小题，满分25分，每小题5分） 1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE垂直平分AB交BC于点D，若△ACD的周长为50cm，则AC+BC＝（　　） A．25cm B．45cm C．50cm D．55cm 2．如图，在河岸m上建一个水厂，向两个村庄P，Q供水，若水厂到两个村庄P，Q的距离相等，则水厂应建在（　　） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 3．如图，△ABC中，∠B＝35°，边AB的垂直平分线l交BC于点D，连接AD，若BD＝AC，则∠C的大小为（　　） A．65° B．70° C．75° D．80° 4．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝6，BC的垂直平分线交AB于D，交BC于E，则△ADC的周长等于（　　） A．4 B．6 C．10 D．16 5．如图，已知△ABC，∠BAC＞90°，AC＞AB，DE垂直平分AC，垂足为D，交BC于点E，点F在BC上，且DF＝DC，连结AE，AF．下面四个结论中，正确的是（　　） A．DF＝AE B．AF＝BF C．∠FAE＝∠C D．∠AFD＝∠AED 二．填空题（共5小题，满分25分，每小题5分） 6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC，分别以点B，C为圆心，大于BC的长为半径画弧，再过两弧的交点作直线MN，分别交AB于点M，交BC于点N，则CM的长为 　 　． 7．如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线交AB于点M，交BC于点P，AC边的垂直平分线交AC于点N，交BC于点Q．若∠PAQ＝36°，则∠BAC的度数为 　 　． 8．如图，AB垂直平分CD，AC＝6，BD＝4，则四边形ADBC的周长是　 　． 9．如图，△ABC中，AB＝AE，且AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，若△ABC周长为16，AC＝6，则DC的长为 　 　． 10．如图，点O是△ABC三边垂直平分线的交点，若∠BAC＝56°，则∠BOC＝ 　 　°． 三．解答题（共5小题，满分50分，每小题10分） 11．（10分）如图，△ABC中，AC⊥BC，ED是AB的垂直平分线，连接AE． （1）若∠B＝20°，求∠CAE的度数． （2）若EC＝ED，BC＝12，求EC的长． 12．（10分）如图，AB是线段CD的垂直平分线，E，F是AB上的两点，求证：∠ECF＝∠EDF． 13．（10分）如图，在△ABC中，已知点D在BC上，且BD+AD＝BC，求证：点D在AC的垂直平分线上． 14．（10分）如图，在△ABC中，DE垂直平分BC，分别交BC、AB于D、E，连接CE，BF平分∠ABC，交CE于F，若BE＝AC，∠ACE＝12°，求∠EFB的度数． 15．（10分）如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M，N两点，DM与EN相交于点F． （1）若AB＝8，求△CMN的周长． （2）连接FA、FB、FC，在（1）的条件下，若△FAB的周长为18，求FC的长． 参考答案 一．选择题 11．解：∵DE垂直平分AB交BC于点D， ∴AD＝DB， ∵△ACD的周长为50cm， 即AC+AD+CD＝AC+CD+DB＝AC+BC＝50cm， 选：C． 12．解：∵水厂到两个村庄P，Q的距离相等， ∴水厂应在线段PQ的垂直平分线上， 选：B． 13．解：∵点D在AB的垂直平分线上， ∴DA＝DB， ∴∠B＝∠BAD＝35°， ∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝35°+35°＝70°， ∵BD＝AC， ∴AD＝AC， ∴∠C＝∠ADC＝70°． 选：B． 14．解：∵DE是BC的垂直平分线， ∴DC＝DB， ∴△ADC的周长＝AC+AD+DC＝AC+AD+DB＝AC+AB＝16， 选：D． 15．解：∵DE垂直平分AC， ∴EA＝EC，AD＝CD，∠ADE＝∠CDE＝90°， ∴∠EAC＝∠C，AD＝CD，CE＞CD， ∵DF＝DC， ∴DF＝DC＜CE＝AE，即DF＜AE， 选项A的结论错误，不符合题意； ∵DF＝DC， ∴DF＝DA， ∴∠DAF＝∠DFA， ∴∠AFC＝∠DFA+∠DFC＝∠DAF+∠C， ∴180°＝∠AFC+∠DAF+∠C＝2∠AFC，即∠AFC＝90°， ∴∠AFB＝180°﹣∠AFC＝90°， 若AF＝BF，则， 但题中没有条件说明∠B＝45°， 选项B的结论错误，不符合题意； 若∠FAE＝∠C，则∠FAE＝∠EAC， ∵∠C+∠FAE+∠EAC＝90°， ∴90°＝∠C+∠FAE+∠EAC＝∠C+∠C+∠C＝3∠C，即∠C＝30°， 但题中没有条件说明∠C＝30°， 选项C的结论错误，不符合题意； ∵∠AFC＝90°，∠DAF＝∠DFA，∠ADE＝90°，∠EAC＝∠C， ∴∠DFA＝∠DAF＝90°﹣∠C＝90°﹣∠EAC＝∠AED， 即∠AFD＝∠AED， 选项D的结论正确，符合题意． 选：D． 二．填空题（共5小题，满分25分，每小题5分） 31．解：由题意得，直线MN是BC的垂直平分线， ∴CM＝BM， ∴∠MCB＝∠B， ∵∠ACB＝90°，∠A＝60°， ∴∠B＝30°， ∴∠MCB＝30°， ∴∠ACM＝60°， ∴△ACM是等边三角形， ∴CM＝AC， 答案为：． 32．解：∵PM垂直平分AB，QN垂直平分AC， ∴AP＝BP，AQ＝CQ， ∴∠BAP＝∠B，∠CAQ＝∠C， ∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，∠BAC＝∠BAP+∠PAQ+∠CAQ＝∠BAP+∠CAQ+36°， ∴∠BAP+∠CAQ+36°+∠BAP+∠CAQ＝180°， ∴∠BAP+∠CAQ＝72°， ∴∠BAC＝∠BAP+∠CAQ+36°＝108°， 答案为：108°． 33．解：∵AB垂直平分CD， ∴AD＝AC＝6，BC＝BD＝4， 则四边形ADBC的周长＝AD+AC+BC+BD＝20， 答案为：20． 34．解：∵△ABC的周长为16， ∴AC+AB+BC＝16， ∵AC＝6， ∴AB+BC＝10， ∵EF垂直平分AC， ∴EA＝EC， ∵AD⊥BC，AB＝AE， ∴BD＝DE，AB＝AE＝CE， ∴AB+BC＝AB+BE+CE＝CE+2DE+CE＝2CD+2DE＝2（CE+DE）＝2CD＝10， ∴CD＝5， 答案为：5． 35．解：由条件可知OA＝OB＝OC， ∴∠OBA＝∠OAB，∠OCA＝∠OAC， ∴∠OBA+∠OCA＝∠OAB+∠OAC＝∠BAC， ∴∠OBC+∠OCB＝180°﹣（∠BAC+∠OBA+∠OCA）＝180°﹣2∠BAC， ∵∠BAC＝56°， ∴∠BOC＝180﹣（∠OBC+∠OCB）＝2∠BAC＝112°， 答案为：112． 三．解答题（共5小题，满分50分，每小题10分） 51．解：（1）∵AC⊥BC， ∴∠C＝90°， ∴∠B+∠BAC＝90°， ∵∠B＝20°， ∴∠BAC＝70°， ∵ED是AB的垂直平分线， ∴BE＝AE， ∴∠B＝∠BAE＝20°， ∴∠CAE＝∠BAC﹣∠BAE＝50°； （2）∵ED⊥AB，EC⊥BC，EC＝ED， ∴∠CAE＝∠BAE， ∵∠B＝∠BAE，∠B+∠BAE+∠CAE＝90°， ∴∠B＝∠CAE＝30°， ∴BE＝AE＝2EC， ∵BC＝BE+EC＝12， ∴EC＝4． 52．证明：∵AB是线段CD的垂直平分线， ∴CE＝DE，CF＝DF， ∴∠ECD＝∠EDC，∠FCD＝∠FDC， 即∠ECD+∠FCD＝∠EDC+∠FDC， ∴∠ECF＝∠EDF． 方法二：∵AB是线段CD的垂直平分线， ∴CE＝DE，CF＝DF， ∵EF＝EF， ∴△EFC≌△EFD（SSS）， ∴∠ECF＝∠EDF． 53．证明：∵BD+AD＝BC，BD+DC＝BC， ∴AD＝CD， ∴点D在AC的垂直平分线上． 54．解：∵DE垂直平分BC， ∴EB＝EC， ∴∠EBC＝∠ECB， ∵EB＝EC，BE＝AC， ∴AC＝EC， ∴∠AEC＝∠EAC（180°﹣12°）＝84°， ∴∠EBC＝∠ECB∠AEC＝42°， ∵BF平分∠ABC， ∴∠EBF＝∠CBF＝21°， ∴∠EFB＝∠AEC﹣∠EBF＝63°． 55．解：（1）∵DM是线段AC的垂直平分线， ∴MA＝MC， ∵EN是线段BC的垂直平分线， ∴NC＝NB， ∴△CMN的周长＝MC+MN+NC＝MA+MN+NB＝AB＝8； （2）如图， ∵DF，EF分别垂直平分AC和BC， ∴FA＝FC，FB＝FC， ∴FA＝FB＝FC， ∵△FAB的周长为18，AB＝8， ∴FA+FB＝10， ∴2FC＝10， ∴FC＝5． 学科网（北京）股份有限公司 $$