1.2 直角三角形 培优专练 2024-2025学年北师大版数学八年级下册

1.2 直角三角形 培优专练 考试范围：1.2 直角三角形；考试时间：45分钟；总分：100分 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一．选择题（共5小题，满分25分，每小题5分） 1．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，E是DC的中点，连接AE，则图中的直角三角形共有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，则下列条件中不能说明△ABC是直角三角形的是（　　） A．a2﹣b2＝c2 B．∠A＝90°﹣∠B C．a：b：c＝1：2：3 D．6∠A＝2∠B＝3∠C 3．如图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC．若AB＝BC＝1，∠AOB＝30°，则点B到OC的距离为（　　） A． B． C．1 D．2 4．如图，若正方形A的面积为9，正方形B的面积为4，则正方形C的面积为（　　） A．13 B．5 C．36 D． 5．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝6，D为边BC的中点，点E，F分别在边AB，AC上，AE＝CF，则四边形AEDF的面积为（　　） A．18 B． C．9 D． 二．填空题（共5小题，满分25分，每小题5分） 6．如图，已知OA＝OB，点A到数轴的距离为1，那么数轴上点B所表示的数为 　 　． 7．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在边AC上，且AD＝BD，过点A作AE⊥BD，交BD的延长线于点E，若AE＝6，，则BD的长为　 　． 8．如图，△OAB的顶点O（0，0），顶点A，B分别在第一、四象限，且AB⊥x轴，若AB＝6，OA＝OB＝5，则点A的坐标是 　 　． 9．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝42°，将其折叠使点A落在BC边上的A′处，折痕为CD，则∠A′DB＝ 　 　． 10．如图，圆柱形玻璃杯的杯高为9cm，底面周长为16cm，在杯内壁离杯底4cm的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿1cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所走的最短路程为 　 　cm．（杯壁厚度不计） 三．解答题（共5小题，满分50分，每小题10分） 11．（10分）如图，AB＝BC，∠BAD＝∠BCD＝90°，点D是EF上一点，AE⊥EF于E，CF⊥EF于F，AE＝CF，连接BD，求证：Rt△ADE≌Rt△CDF． 12．（10分）如图，已知直线l，AB⊥l于点B，C是直线l上一动点，且点C在点B右侧，点A、D在直线l同侧，若AB＝6cm，AD＝24cm，BC+CD＝34cm，请你探索当BC的长为多少时，△ACD是一个以CD为斜边的直角三角形？ 13．（10分）如图，在3×3网格中，每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点均在网格的格点（网格线的交点）上． （1）填空：AC＝　 　，AB＝　 　，BC＝　 　． （2）△ABC是直角三角形吗？请作出判断，并说明理由． 14．（10分）在四边形ABCD中，已知AB＝3，AD＝4，CD＝13，BC＝12，且∠BAD＝90°，求：四边形ABCD的面积． 15．（10分）如图1，把直角三角形MON的直角顶点O放在直线AB上，射线OC平分∠AON． 观察分析： （1）如图1，若∠MOC＝28°，则∠BON的度数为 　 　； （2）若将三角形MON绕点O旋转到如图2所示的位置，若∠BON＝100°，求∠MOC的度数． 猜想探究： （3）若将三角形MON绕点O旋转到如图3所示的位置，请你猜想∠BON和∠MOC之间的数量关系，并说明理由． 参考答案 一．选择题 1．解：∵∠BAC＝90°， ∴△ABC为直角三角形， ∵AD是BC边上的高， ∴△ADB、△ADE、△ADC是直角三角形， ∴图中的直角三角形共有4个， 选：C． 2．解：∵a2﹣b2＝c2， ∴a2＝b2+c2， ∴△ABC是直角三角形，A选项不符合题意； ∵∠A＝90°﹣∠B， ∴∠A+∠B＝90°， ∴∠C＝90°， ∴△ABC是直角三角形，B选项不符合题意； 设a＝x，b＝2x，c＝3x，则a+b＝3x＝c，不能构成三角形，C选项符合题意； 设∠A＝x，则∠B＝3x，∠C＝2x， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴x+2x+3x＝180°， 解得：x＝30°， ∴最大的角为∠B＝90°， ∴△ABC是直角三角形，D选项不符合题意； 选：C． 3．解：作BH⊥OC于H， ∵∠AOB＝30°，∠A＝90°， ∴OB＝2AB＝2， 在Rt△OBC中，由勾股定理得， OC， ∵∠CBO＝∠BHC＝90°， ∴∠CBH＝∠BOC， ∴， ∴， ∴BH， 选：B． 4．解：∵正方形A的面积为9，正方形B的面积为4， 设正方形A，B，C的边长分别为a，b，c，则a2＝9，b2＝4， 根据勾股定理可得a2+b2＝c2， ∴正方形C的面积c2＝9+4＝13， 选：A． 5．解：如图，连接AD， ∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝6，D为边BC的中点， ∴AD＝BD＝CD，∠BAD＝∠C＝45°，， 在△ADE和△CDF中， ， ∴△ADE≌△CDF（SAS）， ∴S△ADE＝S△CDF， ∴四边形AEDF的面积， 选：C． 二．填空题（共5小题，满分25分，每小题5分） 6．解：由勾股定理得，OA， ∴OB＝OA， ∵B点在负半轴， ∴数轴上点B所表示的数为， 答案为：． 7．解：过B作BH⊥AC于H， ∴∠E＝∠BHD＝90°， 在△ADE与△BDH中， ， ∴△ADE≌△BDH（AAS）， ∴BH＝AE＝6， ∵BC＝2， ∴CH2， ∴AH＝AC﹣2， ∵AH2+BH2＝AB2，AB＝AC， ∴（AC﹣2）2+62＝AC2， ∴AC＝10， ∴AH＝8， ∵BD2＝BH2+DH2， ∴BD2＝62+（8﹣BD）2， ∴BD． 答案为：． 8．解：设AB与x轴交于点C， ∵OA＝OB＝5，OC⊥AB，AB＝6， ∴ ∴ ∴点A的坐标是（4，3）． 答案为：（4，3）． 9．解：∵∠ACB＝90°，∠B＝42°， ∴∠A＝90°﹣42°＝48°， 由翻折变换的性质可知∠A＝∠CA′D＝48°， ∵∠CA′D＝∠B+∠A′DB， ∴∠A′DB＝6°， 答案为：6°． 10．解：如图： 将杯子侧面展开，作B关于EF的对称点B′， 连接B′A，则B′A即为最短距离， B′A10（cm）． 答案为：10． 三．解答题（共5小题，满分50分，每小题10分） 11．证明：∵∠BAD＝∠BCD＝90°， 在Rt△ABD和Rt△CBD中， ， ∴Rt△ABD≌Rt△CBD（HL）， ∴AD＝CD， ∵AE⊥EF于E，CF⊥EF于F， ∴∠E＝∠F＝90°， 在Rt△ADE和Rt△CDF中， ， ∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL）． 12．解：设当BC的长为x cm时，△ACD是一个以CD为斜边的直角三角形，则∠CAD＝90°，CD＝（34﹣x） cm， ∵AB⊥l， ∴∠ABC＝90°， 在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2＝AB2+BC2＝36+x2， 在Rt△ACD中，由勾股定理得36+x2＝（34﹣x）2﹣242， 解得x＝8， 答：当BC的长为8cm时，△ACD是一个以CD为斜边的直角三角形． 13．解：（1）由网格得，，，， 答案为：，，； （2）△ABC是直角三角形，理由如下： 由（1）知，AC，AB＝2，BC， ∵，， ∴AC2+AB2＝BC2， ∴△ABC是直角三角形． 14．解：如图所示，连接BD， ∵AB＝3，AD＝4，∠BAD＝90°， ∴， ∵CD＝13，BC＝12， ∴BD2+BC2＝52+122＝25+144＝169＝132＝CD2， ∴△BCD是直角三角形，且∠DBC＝90°， ∴． 15．解：（1）∵∠NOC＝∠MON﹣∠MOC＝90°﹣28°＝62°， 又∵OC平分∠AON， ∴∠AOC＝∠CON＝62°， ∴∠AOM＝∠AOC﹣∠MOC＝62°﹣28°＝34°， ∴∠BON＝180°﹣∠AOM﹣∠MON＝180°﹣34°﹣90°＝56°， 答案为：56°； （2）∵∠BON＝100°， ∴∠AON＝80°， ∵OC平分∠AON， ∴∠AOC＝∠CON＝40°， ∵∠AOM＝90°﹣∠AON＝10°， ∴∠MOC＝∠AOM+∠AOC＝50°； （3）∠MOC和∠BON之间的数量关系∠BON＝2∠MOC，理由如下： ∵OC平分∠AON， ∴∠AOC＝∠NOC， ∵∠MON＝90°， ∴∠AOC＝∠NOC＝90°﹣∠MOC， ∴∠BON＝180°﹣2∠NOC＝180°﹣2（90°﹣∠MOC）＝2∠MOC， 即：∠BON＝2∠MOC． 学科网（北京）股份有限公司 $$