微专题5-11 导数中构造函数的技巧及应用5种常考题型总结-2024-2025学年《考点通关》高二数学微专题精准突破（人教A版2019选择性必修第二册）

2024-2025学年《考点通关》高二数学微专题精准突破（人教A版2019选择性必修第二册） 微专题5-11 导数中构造函数的技巧及应用5种常考题型总结 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 构造函数比较大小 题型2 构造函数利用单调性解不等式 题型3 构造函数证明不等式 题型4 构造函数求最值、范围 题型5 构造函数研究方程的根 一、导数中构造函数的技巧 1同构法构造函数 所谓同构法构造函数,就是等式或不等式经适当整理后可以表示成两侧结构相同的式子,利用这个结构式构造对应函数,再用函数性质解决问题的方法. 示例1：已知函数. (1)当时,求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积; (2)若,求的取值范围. 解析:(1)略. (2)不等式,即,其中. 即. 即. 即. 设. 因为,所以在单调递增. 因为,所以 因为在单调递增,所以 ,即. 然后再求的最大值即可. 本题先得到同构式,再构造函数,再利用函数的单调性,得到关于的简单不等式,从而求解.同构式的获得,就是学生观察、分析、变形、构造的过程,这是一个从无到有的过程,可以提高学生发现问题、观察问题、分析问题和解决问题的能力,发展数学抽象、逻辑推理等核心素养. 指数对数混合问题同构式构造函数主要有以下几种模型: (1)和差型(). ①； ②. (2)积型(). ①； ②. 这是本题变形成同构式时,用到的两个模型.常用的同构式除了和差积型之外,还有商型. (3)商型(). ①； ②. 所以,在教学中,教师要引导学生总结指数对数混合问题常用函数模型.养成勤思考、善总结的好习惯,发展数学建模、逻辑推理等数学素养. 2放缩法构造函数 例1的第(2)问还可以利用放缩法构造函数解不等式.放缩法构造函数,是对函数进行放缩来证明不等式,常用于指数或对数的不等式问题中.常用的放缩函数有:(,当时等号成立),,以及由两者衍生出来的其他形式. 本题根据,利用两次放缩,并且等号同时成立的条件都是且.这样就能证得. 放缩法证明指数或对数不等式问题,在高考题中也是层出不穷, 3消元法构造函数 3.1利用消元 示例2：已知函数. (1)讨论的单调性； (2)设为两个不相等的正数,且.证明:. 解析:(1)略. (2)由题设可得,即 记,不妨设,则,且即. 由(1)及,得. 要证,即证 又因为在单调递减,所以即证 即证. 所以构造函数 分别利用导数证明以上两个不等式即可. 此方法是利用双变量函数值之间的关系,进行消元.这里需要根据要证明的变量不等式构造函数,根据函数的单调性得到函数值之间的关系,进而利用函数值的关系消元. 3.2引入新变量消元 当直接利用给出的两个变量之间的关系不好消元时,可以根据条件引入新变量消元,比如或者是.对于双变量化为单变量的消元问题,还有一些其他消元方法,比如直接代入消元、整体换元消元、确定主元消元等. 3.3直接代入消元 例3已知函数 (1)讨论的单调性； (2)若存在两个极值点,证明: 本题第(2)问根据的关系式,直接用表示,从而消去. 3.4整体换元消元 例4已知函数. 若在处导数相等,证明:; 本题将表示成关于的式子,然后整体换元消元. 3.5确定主元消元 例5已知函数为的导函数，当时,求证:,且,有. 解析:(1)略. (2)题设不等式等价于 以为主元,构造函数 因为,且,所以只需利用导数证明在单调递增即可.证明过程略. 本题观察要证明的式子,其中和是对称出现的,所以确定或为主元,从而构造函数. 4.构造函数解不等式解题技巧 求解此类题目的关键是构造新函数，研究新函数的单调性及其导函数的结构形式，下面是常见函数的变形 模型1.对于，构造 模型2.对于不等式，构造函数. 模型3.对于不等式，构造函数 拓展：对于不等式，构造函数 模型4.对于不等式，构造函数 模型5.对于不等式，构造函数 拓展：对于不等式，构造函数 模型6.对于不等式，构造函数 拓展：对于不等式，构造函数 模型7.对于，分类讨论：（1）若，则构造 （2）若，则构造 模型8.对于，构造. 模型9.对于，构造. 模型10.（1）对于，即， 构造． （2） 对于，构造． 模型11.（1） （2） 注：构造函数解不等式解题思路 利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是： （1）把不等式转化为； （2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别. 题型1 构造函数比较大小 【例1】三个数，，的大小顺序为（　　） A． B． C． D． 【变式1】若，，，则，，的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知 ， ，，则下列大小关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式3】已知定义域为R的偶函数的导函数为，当时，，若，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式4】已知，，，试比较，，的大小（    ） A． B． C． D． 题型2 构造函数利用单调性解不等式 【例2】已知函数的定义域为，且，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式1】定义在上的函数导函数为，若对任意实数x，有，且为奇函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知函数及其导函数的定义域均为，若，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知函数及其导函数的定义域均为，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【变式4】已知函数及其导数的定义域均为，对任意实数，，且当时，.不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式5】已知函数的定义域是，对任意的，，都有，若函数的图象关于点对称，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 题型3 构造函数证明不等式 【例3】若，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知，则下列结论正确的序号是（    ） ①，②，③，④若，则 A．①② B．①③ C．①④ D．②④ 【变式2】若函数有两个极值点，且，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C．的范围是 D． 【变式3】已知函数. (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，. 【变式4】已知函数，． (1)证明：． (2)证明：． (3)若，求的最大值． 题型4 构造函数求最值、范围 【例4】若满足，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知当时，恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2】若对一切恒成立，则的最大值为 . 【变式3】已知，若对任意的，不等式恒成立，则的最小值为 . 【变式5】已知函数，，若，且，则的最大值为 ． 题型5 构造函数研究方程的根 【例5】若方程恰有三个不相等的实根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知方程恰有两个不同的根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2】若方程有三个不同的解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3】若关于x的方程存在三个不等的实数根．则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4】已知函数，若方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． $$2024-2025学年《考点通关》高二数学微专题精准突破（人教A版2019选择性必修第二册） 微专题5-11 导数中构造函数的技巧及应用5种常考题型总结 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 构造函数比较大小 题型2 构造函数利用单调性解不等式 题型3 构造函数证明不等式 题型4 构造函数求最值、范围 题型5 构造函数研究方程的根 一、导数中构造函数的技巧 1同构法构造函数 所谓同构法构造函数,就是等式或不等式经适当整理后可以表示成两侧结构相同的式子,利用这个结构式构造对应函数,再用函数性质解决问题的方法. 示例1：已知函数. (1)当时,求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积; (2)若,求的取值范围. 解析:(1)略. (2)不等式,即,其中. 即. 即. 即. 设. 因为,所以在单调递增. 因为,所以 因为在单调递增,所以 ,即. 然后再求的最大值即可. 本题先得到同构式,再构造函数,再利用函数的单调性,得到关于的简单不等式,从而求解.同构式的获得,就是学生观察、分析、变形、构造的过程,这是一个从无到有的过程,可以提高学生发现问题、观察问题、分析问题和解决问题的能力,发展数学抽象、逻辑推理等核心素养. 指数对数混合问题同构式构造函数主要有以下几种模型: (1)和差型(). ①； ②. (2)积型(). ①； ②. 这是本题变形成同构式时,用到的两个模型.常用的同构式除了和差积型之外,还有商型. (3)商型(). ①； ②. 所以,在教学中,教师要引导学生总结指数对数混合问题常用函数模型.养成勤思考、善总结的好习惯,发展数学建模、逻辑推理等数学素养. 2放缩法构造函数 例1的第(2)问还可以利用放缩法构造函数解不等式.放缩法构造函数,是对函数进行放缩来证明不等式,常用于指数或对数的不等式问题中.常用的放缩函数有:(,当时等号成立),,以及由两者衍生出来的其他形式. 本题根据,利用两次放缩,并且等号同时成立的条件都是且.这样就能证得. 放缩法证明指数或对数不等式问题,在高考题中也是层出不穷, 3消元法构造函数 3.1利用消元 示例2：已知函数. (1)讨论的单调性； (2)设为两个不相等的正数,且.证明:. 解析:(1)略. (2)由题设可得,即 记,不妨设,则,且即. 由(1)及,得. 要证,即证 又因为在单调递减,所以即证 即证. 所以构造函数 分别利用导数证明以上两个不等式即可. 此方法是利用双变量函数值之间的关系,进行消元.这里需要根据要证明的变量不等式构造函数,根据函数的单调性得到函数值之间的关系,进而利用函数值的关系消元. 3.2引入新变量消元 当直接利用给出的两个变量之间的关系不好消元时,可以根据条件引入新变量消元,比如或者是.对于双变量化为单变量的消元问题,还有一些其他消元方法,比如直接代入消元、整体换元消元、确定主元消元等. 3.3直接代入消元 例3已知函数 (1)讨论的单调性； (2)若存在两个极值点,证明: 本题第(2)问根据的关系式,直接用表示,从而消去. 3.4整体换元消元 例4已知函数. 若在处导数相等,证明:; 本题将表示成关于的式子,然后整体换元消元. 3.5确定主元消元 例5已知函数为的导函数，当时,求证:,且,有. 解析:(1)略. (2)题设不等式等价于 以为主元,构造函数 因为,且,所以只需利用导数证明在单调递增即可.证明过程略. 本题观察要证明的式子,其中和是对称出现的,所以确定或为主元,从而构造函数. 4.构造函数解不等式解题技巧 求解此类题目的关键是构造新函数，研究新函数的单调性及其导函数的结构形式，下面是常见函数的变形 模型1.对于，构造 模型2.对于不等式，构造函数. 模型3.对于不等式，构造函数 拓展：对于不等式，构造函数 模型4.对于不等式，构造函数 模型5.对于不等式，构造函数 拓展：对于不等式，构造函数 模型6.对于不等式，构造函数 拓展：对于不等式，构造函数 模型7.对于，分类讨论：（1）若，则构造 （2）若，则构造 模型8.对于，构造. 模型9.对于，构造. 模型10.（1）对于，即， 构造． （2） 对于，构造． 模型11.（1） （2） 注：构造函数解不等式解题思路 利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是： （1）把不等式转化为； （2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别. 题型1 构造函数比较大小 【例1】三个数，，的大小顺序为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】据题意可设，求导，从而可根据导数符号得出在上单调递减，并且可得出，，，从而得出，，的大小顺序． 【详解】设，则， 当时，则，可得， 可知在上单调递减， 因为，，， 且，则，所以． 故选：D． 【变式1】若，，，则，，的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合已知要比较函数值的结构特点，构造函数，利用导数研究函数单调性，通过函数单调性比较大小即可. 【详解】构造函数，则，，， 由，令得，令得， 则在上单调递增，在上单调递减． 因为，所以，所以； 因为，所以，所以； 令，且，则， 令，， 则， 所以在上单调递增， 又，所以，所以， 因为，且，所以，所以. 故选：B 【变式2】已知 ， ，，则下列大小关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，通过导数判断单调性，进而利用单调性判断函数值的大小. 【详解】由题，.令（），则， 因为，所以，所在上单调递增， 又，，，，故. 故选：C. 【变式3】已知定义域为R的偶函数的导函数为，当时，，若，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】构造函数，根据奇偶性及导数确定单调性，利用单调性即可求解. 【详解】令，由偶函数知， 当时，， 故为奇函数， 当时， 则为减函数， 由奇函数知，在上为减函数， 而， 所以， 即， 故选：D 【变式4】已知，，，试比较，，的大小（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数以及，利用函数的单调性即可求解. 【详解】设 则当时单调递减， 故 故进而， 设 由于函数和均为定义域内的单调递增函数， 所以为上的单调递增函数， 因此， 故， 故， 因此， 故选：B 题型2 构造函数利用单调性解不等式 【例2】已知函数的定义域为，且，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题设不等式整理后构造函数满足，得出在上单调递增，整理待求不等式，利用函数的单调性即可求得. 【详解】由可得，即， 设，，则由可得，在上单调递增. 又， 由可得，，即，解得. 故选：A. 【变式1】定义在上的函数导函数为，若对任意实数x，有，且为奇函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造，根据导数研究单调性，结合已知将问题化为，再根据的单调性即可求出结果. 【详解】设，则， 对任意实数x，有， 所以，则在上单调递减. 因为为奇函数，且的定义域为R， 所以，所以，所以. 因为，所以求不等式的解集， 即求的解集，即求的解集， 因为在上单调递减，所以的解集为， 所以不等式的解集为. 故选：B 【变式2】已知函数及其导函数的定义域均为，若，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先令，根据题中条件，判断其单调递减；将所求不等式化为，结合单调性，得到，求解即可. 【详解】令，因为，所以， 所以在上单调递减； 又，所以， 因此不等式可化为， 所以，解得， 即不等式的解集为. 故选：A 【变式3】已知函数及其导函数的定义域均为，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，根据已知讨论导数符号可得单调性，由可得，将不等式转化为，然后利用单调性可解. 【详解】记，则， 因为， 所以当时，，则，在上单调递增； 当时，，则，在上单调递减. 又，即， 所以， 因为， 所以，解得. 故选：B 【变式4】已知函数及其导数的定义域均为，对任意实数，，且当时，.不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，从而结合导数与所给条件得到函数的单调性与对称性，在将所给不等式中化为即可得解. 【详解】令，则， 由题意可得，当时，，即在上单调递增， 由，则， 即，故为偶函数，故在上单调递减， 则不等式可化为：， 即，则有，即， 即，即， 解得. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于构造函数，从而结合导数与所给条件得到函数的单调性与对称性. 【变式5】已知函数的定义域是，对任意的，，都有，若函数的图象关于点对称，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，结合题目给的对任意的，，都有，得出的单调性，再利用的图象关于点对称，得到的奇偶性求解最后的不等式. 【详解】因为任意的，，都有. 所以令，则， 令，则在单调递减， 又函数的图象关于点对称， 则关于对称，即为奇函数， 所以为偶函数， 则在上单调递增， 由， 可得当时， 又，则 所以当时， 当时，，且， 所以， 则解集为或 故选：C. 题型3 构造函数证明不等式 【例3】若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据选项构造两个函数，，再利用导数思想，来研究在上是否是单调函数，即可作出选项判断. 【详解】令，则，令，则恒成立， 即在定义域上单调递增，且， 因此在区间上必然存在唯一，使得， 所以当时单调递减，当时单调递增，故，B均错误； 令，当时， 在区间上为减函数， ，即选项C正确，D不正确． 故选：C． 【变式1】已知，则下列结论正确的序号是（    ） ①，②，③，④若，则 A．①② B．①③ C．①④ D．②④ 【答案】B 【分析】推导出，利用指数函数的单调性可判断①，利用作差法可判断②④，利用函数在上的单调性可判断③. 【详解】因为，即，则，得. 对于①，因为指数函数为上的减函数，则，①对； 对于②，，则，②错； 对于③，构造函数，其中，则， 所以，函数在上为增函数，则，即， 故，③对； 对于④，，则，则，④错. 故选：B. 【变式2】若函数有两个极值点，且，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C．的范围是 D． 【答案】B 【分析】对于AC，原函数的极值点即为导函数的零点，求导后等价于与有两个交点，结合单调性等函数特征画出图象判断出，且；对于B，利用，推导，则可得；对于D，而等价于，构造合适的函数进行分析. 【详解】对于AC，，有两个极值点且， 所以，有两个零点，且在各自两边异号， 所以与有两个交点，， 记，则， 易知：时，时， 所以在上递增，在上递减， 所以有最大值，且时，时， 又当趋向于正无穷时，趋向于正无穷的速率远远超过趋向于正无穷的速率，所以趋向于0，且， 由上可得的图象如下， 所以当且仅当时与有两个交点，且，故A，C正确； 对于B，又， 所以，即，故B错误. 对于D，令，则，所以，则，， 所以要证，只需证， 只需证， 令，则， 所以在上单调递减，即时，不等式得证，故D正确. 故选：B. 【变式3】已知函数. (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先明确函数定义域和求导，根据导数结构特征对进行和的分类讨论导数正负即可得单调性. （2）证，故问题转化成证，接着构造函数研究其单调性和最值即可得证. 【详解】（1）由题函数定义域为，， 故当时，恒成立，所以函数在上单调递减； 当时，在上单调递减，令， 则时，；时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 综上，当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递增，在上单调递减. （2）由（1）当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 故在上恒成立， 故证证， 即， 令，则， 故当时，；时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在上恒成立，故， 所以当时，. 【点睛】思路点睛：证明含参函数不等式问题通常转化成研究函数最值问题，第（2）问证当时，可将问题转化成证，接着根据其结构特征进行变形转化和构造函数，利用导数确定所构造的函数单调性和最值即可得证. 【变式4】已知函数，． (1)证明：． (2)证明：． (3)若，求的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3). 【分析】（1）设，求导，分析函数单调性，求函数的最小值，得到最小值大于或等于0即可. （2）利用（1）的结论进行放缩，再利用导数求函数最小值即可. （3）首先由条件同构方程，得到，再利用变量转化，变形，并构造函数，利用导数求函数的最大值. 【详解】（1）设， 则， 由，得；由，得. 所以函数在上递减，在上递增. 所以，所以恒成立. 即恒成立. （2）由（1）得，（当时取“”） 所以. 设， 则， 由；由， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以（当时取“”） 因为，中，“”成立的条件不一致， 所以. （3）由题意可知，， 即， 函数是增函数+增函数，所以单调递增， 所以，即，所以， ， 设，， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以当时，取得最大值， 所以的最大值为. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是根据（1）的结果，对不等式进行放缩，第3问的关键是将方程两边同构成，根据函数的单调性得到等式，这是解题的关键. 题型4 构造函数求最值、范围 【例4】若满足，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，则满足 等价于，求导分析的单调性，求出的最小值，继而即可求解. 【详解】设，则恒成立，即， 因为，所以在上单调递增， 且当时，， 故当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，取得极小值，即最小值， ， 令，得． 故选：D． 【变式1】已知当时，恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由当时，恒成立，则，先利用导数工具研究函数的单调性，从而求出函数的值域为，进而构造函数，求出函数的最小值即为，进而即可得解. 【详解】令，则， 所以当时，，单调递减；时，，单调递增， 所以，又，所以的值域为， 令，则， 所以当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，所以， 又当时，恒成立，所以， 故实数a的取值范围为. 故选：A. 【点睛】思路点睛：恒成立求参问题通常转化为最值问题，对“时，恒成立”可转化为“”，利用导数工具可求得函数的值域，从而函数的最小值即为，故只需求出函数的最小值即可得解. 【变式2】若对一切恒成立，则的最大值为 . 【答案】/ 【分析】构造函数，借助导数可研究其单调性即可得，再构造函数，借助导数可研究其单调性即可得，即可得解. 【详解】由题意可得对一切恒成立， 令，则， 当时，，故在上单调递减， 此时在上无最小值，不符合题意， 当时，令，有，令，有， 故在上单调递减，在上单调递增， 故， 即，则， 令，则， 故当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 故，即， 当满足题意，即的最大值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于构造函数，从而得到，即可得，再构造函数，求出其最大值即可得. 【变式3】已知，若对任意的，不等式恒成立，则的最小值为 . 【答案】 【分析】不等式恒成立，等价于恒成立，令，由单调性得，即，令，利用导数求最大值，得的取值范围和最小值. 【详解】恒成立，等价于. 令，则， ，当时都有，则在上单调递增. 所以不等式转化为，即，得，即在上恒成立. 令，，则. 当， ，单调递增；当时，，单调递减. 所以，得，即的最小值为. 故答案为： 【点睛】方法点睛： 导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧，许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 【变式5】已知函数，，若，且，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】根据的单调性及特值，求得，再由，找到和满足的等量关系，再以此化简得到，构造函数，借用导数求最值即可. 【详解】，时，，单调递增， 又，，所以， 又，所以， 由，有，即， 又，，在上单调递增，所以， 即，所以， 令，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以，即，， 所以的最大值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于找到和满足的等量关系，进而在化简时减少参数的个数，才容易构造出新的函数. 题型5 构造函数研究方程的根 【例5】若方程恰有三个不相等的实根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将问题转化为有三个交点，构造，利用导数求解函数的单调性，即可结合函数图象求解. 【详解】由可得， 记，则， 当或时，，当时，，故 在上单调递减，在上单调递增， 故在取得极小值，，在处取得极大值，， 而时，恒有成立， 方程恰有三个不相等的实根，即曲线与直线恰有三个不相等的交点， 与直线图象如下， 由图知，当时，曲线与直线恰有三个不相等的实根； 故选：A 【变式1】已知方程恰有两个不同的根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，将方程根的问题转化为函数图像交点问题，结合导数研究函数的图像与性质，画出函数图像，结合图像即可得到结果. 【详解】 由题知，故方程恰有两个不同的根．设，， 则与的图像有两个交点， ，令，得， 当时，，当时，， 在上单调递增，在上单调递减，， 当趋近于时，趋近于，当趋近于时，趋近于0， ，当时，， 在同一坐标系中做出与的大致图像如图所示， 设直线与的图像相切时切点的横坐标为， ， 即．设，则， 易知在上单调递增，， ，， 由图可知，方程恰有两个不同的根，则实数的取值范围为， 故选:B． 【变式2】若方程有三个不同的解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由方程得，令，可得，令，其中，作出函数的图象，根据原方程有三个不同的解可得出的两根的取值范围，利用二次函数的零点分布得出关于实数的不等式组，可求得实数的取值范围． 【详解】由方程，可得， 令，则， 令，其中， 则，令，得， 列表如下： ， 0 单调递增 极大值 单调递减 函数的图象如下图所示： 由于方程有三个不同的解，而关于的二次方程至多有两个根． 当关于的二次方程有两根时，设这两根分别为，，不妨设， 则，①，或，②，或，，③， 由①得，解得， 在②中，将代入，可得， 所以，与矛盾，故无解； 在③中，，代入，可得， 所以，与矛盾，故无解． 综上所述，实数的取值范围是． 故选：B． 【变式3】若关于x的方程存在三个不等的实数根．则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】不是方程的根，当时，变形为，构造，，求导得到函数单调性，进而画出函数图象，数形结合得到答案. 【详解】当时，，，两者不等式，故不是方程的根， 当时，， 令，则， 当，时，，单调递减， 当时，，单调递增， 且当时，，当时，， 画出的图象如下：    令，， 则，当，时，，单调递增， 当时，，单调递减， 且当时，，当时，， 画出，的函数图象，如下：      令，，则， 由于在上恒成立， 故当，时，，单调递减， 当时，，单调递增， 其中， 从的函数图象，可以看出当时，， 当时，， 画出函数图象如下，    要想有三个不同的根，则. 故选：D 【变式4】已知函数，若方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】转化为有两个不相等的实数根，构造，分和两种情况，求导，得到函数的单调性和极值情况，画出函数图象，数形结合得到实数的取值范围，得到答案. 【详解】由题意得有两个不相等的实数根， 令， 当时，，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 且，当时，恒成立， 当时，，则， 当时，，单调递增， 且， 画出的图象如下： 要想有两个不相等的实数根，则， 故有两个不相等的实数根，则. 故选：A $$