精品解析：陕西省宝鸡市陈仓区2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题

2024-2025学年度第一学期期末质量检测试题（卷） 八年级数学 命题校版：贾文科 （时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（每题3分共24分） 1. 下列式子中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数据的三个数，是勾股数的有（ ） ①，，②6，8，10③7，24，25④，，⑤1.5，2，2.5 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 如图，小手盖住的点的坐标可能为（ ） A. （5，2） B. （-6，3） C. （-4，-6） D. （3，-4） 4. 下列曲线中不能表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 一次函数y=6x+1的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 已知，在正比例函数上的图象上，若，则与的关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 7. 在矩形ABCD中，放入六个形状、大小相同的长方形，所标尺寸如图所示，设小长方形的长、宽分别为，，则下列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，下列能判定的条件的个数是（ ） ①；②；③；④ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每题3分共12分） 9. 下列方程①；②；③；④；⑤中，是二元一次方程的是__________（只填序号）． 10. 一组数据，，，，的平均数是，则，，，，的平均数是______． 11. 如图，已知，，平分，且交于点D，则的度数为__________． 12. 如图，在平面直角坐标系中，等边的边长为6，把沿所在的直线翻折，点落在点处，则点的坐标为______． 三、解答题（共84分） 13. 计算 （1）； （2）． 14. 解方程组． （1）； （2） 15. 若3是的平方根，是的立方根，求的平方根． 16. 在平面直角坐标系中，有点，，若线段轴，求点A，B的坐标． 17. 如图，在中，，，，D为上的一点，将沿折叠，使点C恰好落在上的点E处，求的长． 18. 某商场购进商品后，加价作为销售价，商场搞优惠促销活动，决定甲、乙两种商品分别以折和折销售，某顾客购买甲、乙两种商品，共付款元．这两种商品原销售价之和为元，问这两种商品进价分别为多少元？ 19. 若关于x，y的方程组的解满足x与y互为相反数，求a的值． 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）若和关于轴成轴对称，画出，点的坐标为 ； （2）在轴上求作一点，使得的值最小，请在图中画出点： （3）求的面积和最长边上的高． 21. 如图，点在的边上，点在边的延长线上，与交于点，平分交于点，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 22. 某中学开展知识竞赛活动，九（1）班、九（2）班根据初赛成绩各选出5名选手参加复赛，两个班各选出的5名选手的复赛成绩（满分为100分）如图所示．根据图中数据解决下列问题： 平均数 中位数 众数 九（1）班 85 九（2）班 85 100 （1）__________，_________，___________； （2）小明同学已经算出了九（2）班复赛成绩的方差：．请你求出九（1）班复赛成绩的方差； （3）根据（1）、（2）中的计算结果，分析哪个班级的复赛成绩较好． 23. 如图，直线的函数表达式为，且直线与x轴交于点C，直线与x轴交于点，直线与交于点． （1）求直线的函数表达式； （2）求的面积； （3）若点M在直线上，且，请求出点M的坐标． 24. 建立模型 如图，等腰中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，可证明得到． 模型应用 （1）如图2，直线：与轴、轴分别交于、两点，经过点和第一象限点的直线，且，，求点的坐标； （2）在（1）的条件下，求直线的表达式； （3）如图3，在平面直角坐标系中，已知点，连接，在第二象限内是否存在一点，使得是等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期期末质量检测试题（卷） 八年级数学 命题校版：贾文科 （时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（每题3分共24分） 1. 下列式子中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【详解】解：．，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； ．，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； ．是最简二次根式，故该选项符合题意； ．，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； 故选：C． 2. 下列各组数据的三个数，是勾股数的有（ ） ①，，②6，8，10③7，24，25④，，⑤1.5，2，2.5 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股数的定义及勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握勾股数：满足的三个正整数，称为勾股数．根据勾股数的定义：可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数，据此解答即可． 【详解】解：①，所以①不是勾股数； ②，所以②是勾股数； ③，所以③是勾股数； ④，所以④不是勾股数； ⑤，但其不是正整数，所以⑤不是勾股数． 综上所述②③是勾股数，共2个． 故选：B． 3. 如图，小手盖住的点的坐标可能为（ ） A. （5，2） B. （-6，3） C. （-4，-6） D. （3，-4） 【答案】C 【解析】 【分析】根据点在第三象限点的坐标特点，即可解答． 【详解】解：根据题意得：小手盖住的点位于第三象限， A.（5，2）在第一象限，故本选项不符合题意； B.（-6，3）在第二象限，故本选项不符合题意； C.（-4，-6）在第三象限，故本选项符合题意； D.（3，-4）在第四象限，故本选项不符合题意； 故选：C 【点睛】本题主要考查了点在第三象限时点的坐标特征，比较简单．注意四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）． 4. 下列曲线中不能表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．由此即可得出结论． 【详解】解：若是的函数，那么当取一个值时，有唯一的一个值与对应，选项A、B、D都符合； C选项图象中，在轴上取一点（图象与轴交点除外），即确定一个的值，这个对应图象上两个点，即一个的值有两个值与之对应，故此图象不是与的函数图象． 故选：C． 【点睛】本题考查了函数的概念，对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应． 5. 一次函数y=6x+1的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：先判断出一次函数y=6x+1中k的符号，再根据一次函数的性质进行解答即可． 解：∵一次函数y=6x+1中k=6＞0，b=1＞0， ∴此函数经过一、二、三象限， 故选D． 6. 已知，在正比例函数上的图象上，若，则与的关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的图象和性质，能熟记正比例函数的性质是解此题的关键；先根据正比例函数的性质得出随的增大而减小，再得出答案即可． 【详解】解正比例函数上中，随的增大而减小， 又，在正比例函数上的图象上， 若，则与的关系为， 故选：A． 7. 在矩形ABCD中，放入六个形状、大小相同的长方形，所标尺寸如图所示，设小长方形的长、宽分别为，，则下列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．观察图形对边相等得出关于x，y的二元一次方程组即可． 【详解】解：依题意，得：． 故选：A． 8. 如图，下列能判定的条件的个数是（ ） ①；②；③；④ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定定理，熟知相关内容是解题的关键．根据平行线的判定定理分别进行判断即可． 【详解】解：①当，可以根据同旁内角互补两直线平行得到，故①正确； ②当时，不可以推出，故②错误； ③当时，不可以推出，故③错误； ④当时，可以根据同位角相等，两直线平行得到，故④正确． ∴正确的有2个． 故选：B． 二、填空题（每题3分共12分） 9. 下列方程①；②；③；④；⑤中，是二元一次方程的是__________（只填序号）． 【答案】③ 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．根据二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程，判断各式即可得出答案． 【详解】解：①是代数式，不是方程，故不是二元一次方程； ②，不是整式方程，故不是二元一次方程； ③，符合二元一次方程的定义，是二元一次方程． ④,未知数的最高次数为2，故不是二元一次方程； ⑤，只含有一个未知数，故不是二元一次方程； 故是二元一次方程的是③． 故答案为：③． 10. 一组数据，，，，的平均数是，则，，，，的平均数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了算术平均数的求法，根据算术平均数的定义即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，，，，的平均数是， ∴，，，，的平均数是， ∴，，，，的平均数是， 故答案为： ． 11. 如图，已知，，平分，且交于点D，则的度数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的有关计算，平行线的性质，根据角平分线的定义得出，再根据平行线的性质即可得出答案． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 如图，在平面直角坐标系中，等边的边长为6，把沿所在的直线翻折，点落在点处，则点的坐标为______． 【答案】（9，） 【解析】 【分析】由折叠的性质知OA＝BC，可先求出B点坐标，然后将B点坐标向右平移6个单位即可得到C点的坐标． 【详解】过B作BD⊥x轴于D， 在Rt△OBD中，OB＝6，∠BOD＝60°， ∴OD＝=3，BD＝=， ∴B（3，）， 由折叠的性质知：BC＝OB＝6， 故C（9，）． 故答案为：（9，）． 【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质、解直角三角形以及图象的翻折变换，能够根据折叠的性质得到BC的长是解答此题的关键． 三、解答题（共84分） 13. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算．熟练掌握二次根式的性质，混合运算的顺序和法则，完全平方公式，是解题的关键． （1）先化简，再合并同类二次根式即可； （2）先进行乘法和乘方运算，再合并同类二次根式即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：． 14. 解方程组． （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组． （1）利用加减消元法解二元一次方程组． （2）将方程组变形后，利用加减消元法解二元一次方程组． 【小问1详解】 解： 得，， 解得， 把代入②得， 即方程组的解为 【小问2详解】 解： 原方程组整理得 ①②得， 解得， ②①得， 解得， 即方程组的解为． 15. 若3是的平方根，是的立方根，求的平方根． 【答案】 【解析】 【分析】先根据平方根的定义求得x的值，再根据立方根的定义求y，最后根据平方根的定义解答． 【详解】∵3是的平方根，∴2x﹣1=9，解得：x=5． ∵-3是y-3x的立方根，∴y-3x=﹣27，∴y=﹣12，∴3x+y=15+（﹣12）=3，∴3x+y的平方根是±． 【点睛】本题考查了平方根、立方根的定义．如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．如果一个数x的立方等于a，那么这个数x就叫做a的立方根． 16. 在平面直角坐标系中，有点，，若线段轴，求点A，B的坐标． 【答案】 【解析】 【分析】本题目考查了坐标与图形性质，点与坐标的对应关系，坐标轴上的点的特征，由轴知横坐标相等求出的值，从而得出的值，再得出点，的坐标即可． 【详解】解：因为线段轴， 所以， 解得． 所以，， 所以． 17. 如图，在中，，，，D为上的一点，将沿折叠，使点C恰好落在上的点E处，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据勾股定理求出，然后根据折叠的性质和勾股定理列方程求解即可． 【详解】∵，，， ∴， ∵将沿折叠，使点C恰好落在上的点E处， ∴，，， ∴， ∴设，则， ∴在，，即， ∴解得：， ∴． 【点睛】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理，此类题目熟记性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键． 18. 某商场购进商品后，加价作为销售价，商场搞优惠促销活动，决定甲、乙两种商品分别以折和折销售，某顾客购买甲、乙两种商品，共付款元．这两种商品原销售价之和为元，问这两种商品进价分别为多少元？ 【答案】甲、乙两种商品的进价分别为元，元． 【解析】 【分析】根据题意可以列出相应的方程组，从而可以解答本题． 【详解】解：设这两种商品进价分别为元，元． 根据题意，得， 解得， 答：甲、乙两种商品的进价分别为元，元． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组． 19. 若关于x，y的方程组的解满足x与y互为相反数，求a的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组的应用（已知二元一次方程组的解的情况求参数），相反数的应用等知识点，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 由“与互为相反数”可得，即，将其代入方程组，得，解方程组即可求出a的值． 【详解】解：与互为相反数， ， 即：， 代入方程组，得： ， 由得：， 把代入，得：， 解得：． 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）若和关于轴成轴对称，画出，点的坐标为 ； （2）在轴上求作一点，使得的值最小，请在图中画出点： （3）求的面积和最长边上的高． 【答案】（1）作图见解析， （2）见解析 （3）的面积为，最长边上的高为 【解析】 【分析】本题主要考查平面几何中图形的变换，理解并掌握轴对称图形的作图方法，轴对称—最短路径的计算，等面积法求高等知识是解题的关键． （1）根据关于轴对称的作图方法“点到轴的距离等于对称点到轴的距离”，由此即可作图； （2）根据轴对称—最短路径的计算，即可求解； （3）根据平面直角坐标系的特点即可几何图形的面积，再运用等面积法即可求高． 【小问1详解】 解：和关于轴成轴对称，如图所示， 即为所求图形，， 故答案为：． 【小问2详解】 解：作点关于轴对称点，连接交轴于点，则的值最小，如下图， ∴点P即为所求． 【小问3详解】 解：的面积为， 根据勾股定理可得，， ∴根据等面积法求高得，，即最长边上的高为． 21. 如图，点在的边上，点在边的延长线上，与交于点，平分交于点，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2）． 【解析】 【分析】本题考查角平分线的定义，平行线的判定，三角形内角和定理等，解题的关键是掌握平行线的判定方法，牢记三角形内角和为180度． （1）由角平分线的定义可得，结合可得，根据“内错角相等，两直线平行”可证； （2）由平分可得，再根据三角形内角和定理即可求解． 【小问1详解】 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴． 22. 某中学开展知识竞赛活动，九（1）班、九（2）班根据初赛成绩各选出5名选手参加复赛，两个班各选出的5名选手的复赛成绩（满分为100分）如图所示．根据图中数据解决下列问题： 平均数 中位数 众数 九（1）班 85 九（2）班 85 100 （1）__________，_________，___________； （2）小明同学已经算出了九（2）班复赛成绩的方差：．请你求出九（1）班复赛成绩的方差； （3）根据（1）、（2）中的计算结果，分析哪个班级的复赛成绩较好． 【答案】（1） （2）70 （3）由（1）（2）可知，两个年级的平均数相同，（1）班的方差小于（2）班的方差，成绩较为稳定，故（1）班的复赛成绩较好．（答案不唯一，合理即可） 【解析】 【分析】本题考查求平均数，中位数，众数和方差，从条形图中有效的获取信息，熟练掌握相关数据的计算方法，是解题的关键： （1）根据平均数，中位数和众数的计算方法，求解即可； （2）根据方差的计算公式进行计算即可； （3）利用方差作决策即可． 【小问1详解】 解： ， 九（2）班的五位成绩排序后，； 九（1）班成绩中出现次数最多的是，故； 故答案为：； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 略 23. 如图，直线的函数表达式为，且直线与x轴交于点C，直线与x轴交于点，直线与交于点． （1）求直线的函数表达式； （2）求的面积； （3）若点M在直线上，且，请求出点M的坐标． 【答案】（1） （2）6 （3）或 【解析】 【分析】本题考查一次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出点坐标，利用三角形的面积公式进行求解即可； （3）设，分两种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：设直线的函数表达式为， 把，代入， 得：解得 ∴的函数表达式为． 【小问2详解】 把代入，得，解得：； ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 ∵点M在直线上， ∴设， ①当点M在A点上方时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴； ②当点M在A点下方，， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴； ∴， 综上：或． 24. 建立模型 如图，等腰中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，可证明得到． 模型应用 （1）如图2，直线：与轴、轴分别交于、两点，经过点和第一象限点的直线，且，，求点的坐标； （2）在（1）的条件下，求直线的表达式； （3）如图3，在平面直角坐标系中，已知点，连接，在第二象限内是否存在一点，使得是等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在一点Q，使得是等腰直角三角形，点Q坐标为或 【解析】 【分析】（1）根据解析式得出、坐标，由 “”可证 可得，即可求解； （2）由待定系数法可求解； （3）分两种情况，结合全等三角形的判定和性质解答即可． 【小问1详解】 解：∵与轴、轴分别交于、两点， ∴点，点， ∴，， 如图，过点作轴于， ∴ ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴点； 【小问2详解】 解：设直线的表达式为：， ∵， ∴， ∴， ∴直线的表达式； 【小问3详解】 解：存在一点Q，使得是等腰直角三角形， 当时，过点作轴于，过点作于， ∵点， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴点， 当时， 过作于点，过作，交延长线于点， 同理， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴点， 综上所述： 点坐标为或． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数解析式，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，灵活运用以上知识点的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $