第1讲 小题考法—平面向量与三角恒等变换课件-2025届高三数学二轮复习

专题一 三角函数与平面向量 1 二 轮 专 题 复 习 返回首页 2 二 轮 专 题 复 习 返回首页 第1讲 小题考法——平面向量 与三角恒等变换 4 题点一 平面向量的运算 角度1 平面向量的基本运算 ［例1］ （1）（2024·湖南模拟）已知向量， ，若 ，则实数 ( ) A A. B.1 C. D. 【解析】 由题得，又 ，所以 ，解得 . 二 轮 专 题 复 习 返回首页 5 （2）（2024·北京模拟）如图，在梯形中，， ， ，，，若，则 _ _. 解析：因为 ， ， 所以，所以 . 二 轮 专 题 复 习 返回首页 6 （1）平面向量线性运算问题的求解方法 ①进行平面向量的线性运算时，要尽可能地将向量转化到同一个平行四边 形或三角形中，利用平行四边形法则或三角形法则求解； ②应用平面几何知识，如三角形的中位线、相似三角形的性质等，可以简 化运算； ③在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理恰当地选取基底， 变形要有方向，不能盲目转化. （2）求向量数量积的三种方法 ①定义法；②坐标法；③利用向量数量积的几何意义. 二 轮 专 题 复 习 返回首页 7 1.（2024·河南模拟）在中，，，则 ( ) D A. B. C. D. ［对点训练］ 二 轮 专 题 复 习 返回首页 8 【解析】 选D.如图， 因为 ，所以 ， 又 ，所以 ， 所以 . 二 轮 专 题 复 习 返回首页 9 2.（2024·宁德三模）已知,是两个单位向量，若在 上的投影向量 为，则与 的夹角为__. 解析：由题意可得 ， 即， ， 则, ，又两向量夹角的 范围是 ， 故与的夹角为 . 二 轮 专 题 复 习 返回首页 10 角度2 向量中的最值（范围）问题 ［例2］ （1）（2024·江西二模）在中，角，， 所对的边 分别为,，，，,,是 外接圆上一点，则 的最大值是( ) A A.4 B. C.3 D. 二 轮 专 题 复 习 返回首页 11 【解析】 如图，设的外心为，则点是 的中点， 则 ， 因为，故 , 故,，故，当且仅当 与 同向时取等号. 二 轮 专 题 复 习 返回首页 12 （2）已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，向量满足 ，且 ，，则 的最小值为____. 解析：因为，，， ， 所以 ， 所以当时，的最小值为 . 二 轮 专 题 复 习 返回首页 13 平面向量的最值（范围）问题的解题方法 （1）形化:利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范 围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断; （2）数化:利用平面向量的基本运算，把问题转化为代数中的函数最值与 值域、不等式的解集、方程有解等问题,然后利用函数、不等式、方程的有 关知识来解决. 二 轮 专 题 复 习 返回首页 14 1.（2024·石家庄二模）在平行四边形中，若 ， ，则 的取值范围是( ) A A., B., C., D., ［对点训练］ 二 轮 专 题 复 习 返回首页 15 【解析】 选A.设与同方向的单位向量，与 同方向的单位向 量，与同方向的单位向量 ，由题意，得 ，所以 ， 即 ，所以 ， 所以 ， 因为，所以 ， 所以, ，即, . 二 轮 专 题 复 习 返回首页 16 2.（2024·天津卷）在边长为1的正方形中，为线段 的三等分 点，,，则__；为线段 上的动点， 为中点，则 的最小值为_ ____. 解析：以点 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系， 二 轮 专 题 复 习 返回首页 17 则，，，，，，所以， ， ，，因为，所以 ， ,所以,,所以.由， ，可得所在直线的方程为 ,设 ,则,,所以,, , 所以，所以当时，取得最小值，最小值为 . 二 轮 专 题 复 习 返回首页 18 题点二 三角恒等变换 角度1 给值求值 ［例3］ （1）已知 为第一象限角， 为第二象限角，且 ，，则 _ _____. 二 轮 专 题 复 习 返回首页 19 解析：因为 为第一象限角， ，则 ， 所以 ， 所以 . 由于 为第二象限角， ， 则 ， 所以 . 二 轮 专 题 复 习 返回首页 20 （2）（2024·新课标Ⅱ卷）已知 为第一象限角， 为第三象限角， ，，则 _ _____. 解析：由题知 ， 即 ， 又 ， 可得.由, , , , 得 , . 又，所以 是第四象限角，故 . 二 轮 专 题 复 习 返回首页 21 给值求值问题的解题策略 给值求值问题的解题关键在于“变角”，把所求角用含已知角的式子表 示出来，如<m></m> ,<m></m>,<m></m> 等，要善于观察各个角之间的关系，发现题目所给条件与恒等变换公式的 联系. 二 轮 专 题 复 习 返回首页 22 ［对点训练］ 1.（2024·新课标Ⅰ卷）已知, ，则 ( ) A A. B. C. D. 【解析】 选A.由得 .①由 得，②由①②得 所以 . 二 轮 专 题 复 习 返回首页 23 2.（2024·河南二模）已知，则 ( ) B A. B. C. D. 【解析】 选B.由 ，可得 ， 即 ， 所以 . 二 轮 专 题 复 习 返回首页 24 3.已知 ， 是方程 的两个实数根，则 ___. 解析：由题意得 则 ， 所以 . 二 轮 专 题 复 习 返回首页 25 角度2 给值求角 ［例4］ 若，，且,， , ，则 ___. 解析：因为,，所以, ， 且，所以， ， 则，且, . 由 ,，得, ， 二 轮 专 题 复 习 返回首页 26 又，所以， ， 则 ， 所以 , 又,，所以 . 二 轮 专 题 复 习 返回首页 27 给值求角的原则 （1）已知正切函数值，选正切函数； （2）已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数.若角的范围是<m></m>，<m></m>，选 正、余弦皆可；若角的范围是<m></m>，选余弦较好；若角的范围为<m></m>，<m></m>， 选正弦较好. 二 轮 专 题 复 习 返回首页 28 ［对点训练］ （2024·江西二模）已知 ,，， ， ，则 ( ) A A. B. C. D. 二 轮 专 题 复 习 返回首页 29 【解析】 选A.因为， ， 所以 解得 所以 ， 又 ,, ， 所以，所以 . 二 轮 专 题 复 习 返回首页 30 角度3 向量与三角函数的交汇 ［例5］ （2024·江苏二模）已知非零向量 , ， ，，若，则 ( ) D A. B. C. D. 二 轮 专 题 复 习 返回首页 31 【解析】 因为，所以，又因为， 为非零向 量，所以 即 . 由①可得 ， 即 ， 二 轮 专 题 复 习 返回首页 32 即 ， 又 , 即,故 ， 所以两边同除以 ， 可得，解得或 （舍去）,所 以 . 二 轮 专 题 复 习 返回首页 向量与三角函数的交汇问题的解题策略 解决向量与三角函数交汇问题的关键：准确利用向量的坐标运算化简 已知条件，构建关于三角函数的等量关系，借助三角恒等变换、正、余弦 定理解决问题. 二 轮 专 题 复 习 返回首页 34 ［对点训练］ 已知的内角，，的对边分别为,, ， ,，若,则 的取值范围 为 _ _______. , 二 轮 专 题 复 习 返回首页 35 解析：由得 , 即 , 所以,又,故 , 所以 ， 由于 , 所以, ,故, . 二 轮 专 题 复 习 返回首页 36 $$