精品解析：江苏省宿迁市沭阳南湖高级中学2024-2025学年高一下学期第一次学情检测（开学考试）数学试卷

2024-2025学年度第二学期第一次学情检测 高 一 数 学 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.） 1. 向量（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的线性运算法则求解即可. 【详解】向量， 故选：A. 2. 若已知、是平面上的一组基，则下列各组向量中不能作为基的一组是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】D 【解析】 【分析】由基的定义可判断选项正误. 【详解】因、是平面上的一组基，则、不共线，据此可得ABC选项所对应向量组均不共线，可作为基， D选项，与共线，则不可以作为一组基. 故选：D 3. 下列向量中，与向量共线的一个单位向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由共线向量的坐标关系逐个判断即可； 【详解】对于A：，不共线； 对于B：，共线且为单位向量； 对于C：，不共线； 对于D：，不共线， 故选：B 4. 已知△ABC，向量满足条件，，则△ABC是（ ） A. 等腰直角三角形 B. 钝角三角形 C. 等边三角形 D. 直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】首先由条件判断点是的重心和外心，再根据几何性质判断三角形的形状. 【详解】如图，点是的中点，所以， 因为，即，即， 则点三点共线，且，所以点是的重心， 又，所以点是的外心，则，即， 所以，同理，则， 所以是等边三角形. 故选：C. 5. 设点，，若点P在直线AB上，且，则点P的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】由和，求出向量的坐标，再由点P在直线AB上，且，求出向量的坐标，进而求出点P的坐标． 【详解】∵，，∴． ∵点P在直线AB上，且，∴或， 故或，故点P的坐标为或. 故选：D． 6. 设为非零向量，若，则的最大值与最小值的差为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的性质分别求出的最大值与最小值，最后计算它们的差值即可. 【详解】因为、、为非零向量，所以、、分别是与、、同向的单位向量，即.  当、、这三个单位向量方向相同时，取得最大值.此时.  当三个单位向量两两夹角为时，根据平行四边形法则知道，所以的最小值为.  的最大值为，最小值为，它们的差为.  故选：D. 7. 如图，在中，已知为中点，则（ ） A. B. C. D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用表示，再利用数量积的运算律计算得解. 【详解】在中，由为中点，得， 所以. 故选：C 8. 在△中，，为的中点，为线段上的一个动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，由平行四边形法则得到,将表示成的函数，并利用二次函数的性质求出最小值. 【详解】△中，，为的中点， 所以， 设，则，， ， 即当时，的最小值为. 故选：B. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.） 9. 下列说法中正确的是（ ） A. B. 若，为单位向量，则 C. 若∥、∥，则∥ D. 对于两个非零向量，，若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】A项，由相反向量与加法运算几何意义可得；B项，单位向量，的方向不一定相同；C项，由零向量的规定它与任何向量共线可得；D项，两边平方展开化简可得. 【详解】选项A，根据相反向量，知，故A正确； 选项B，由，为单位向量，即，而，方向不一定相同. 故B错误； 选项C，规定零向量与任意向量共线， 即当时，则∥，且∥均成立， 而，为任意向量，它们不一定共线，故C错误； 选项D，由得，， 则，整理得， 又已知，是两个非零向量，故. 故D正确； 故选：AD. 10. 设是内部的一点，以下可能成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由讨论的符号及、、对应的位置情况，结合判断各选项线性表达式对应的位置. 【详解】若 ，且，则在直线上， 对于选项A，因为且，所以点在内部，因而选项A符合题意； 对于选项B，因为，且，所以点在外部，选项B不符合题意； 对于选项C，因为，且， 所以点在内部，故选项C符合题意； 对于选项D，，此时点落在外部，故选项D不符合题意， 故选：AC. 11. 已知向量都是单位向量，，则（ ） A. = B. = C. = D. 与共线 【答案】AC 【解析】 【分析】由已知可得出，可判断A选项；在等式两边平方可得出，利用平面向量数量积的运算性质可判断B选项；由已知可得出，结合平面向量数量积的运算性质可判断C选项；利用平面向量共线的基本定理可判断D选项. 【详解】对于A选项，向量、、都是单位向量，，则， 所以，A对； 对于B选项，在等式两边平方可得， 即，则，则， 所以，故，B错； 对于C选项，因为，则， 所以， 所以 ，故，C对； 对于D选项，， 若与共线，则存在，使得， 即，可得，即， 这与矛盾，假设不成立，D错. 故选：AC. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知，则的面积为______． 【答案】5 【解析】 【分析】利用平面向量的数量积得到，进而确定三角形的底和高，再利用三角形面积公式求解面积即可. 【详解】因为，所以， 故，由向量的模长公式得，， 且设的面积为，则. 故答案为：5 13. 已知正三角形的边长为2，为中点，为边上任意一点，则______. 【答案】3 【解析】 【分析】由已知可得，从而利用可求值. 【详解】因为三角形是正三角形，为中点， 所以，所以，又正三角形的边长为2，所以， 所以. 故答案为：. 14. 已知三点共线，O为直线外一点，存在三个不全为零的实数，使，那么的值为__________________． 【答案】0 【解析】 【分析】由共线向量的线性运算即可求解； 【详解】因为三点共线， 则, 所以, 所以， 对比系数，所以， 故答案为：0 四、解答题（本题共6大题，共77分.解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知向量满足 （1）求与的夹角； （2）求向量在向量上的投影向量． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用向量的夹角公式计算即可. （2）利用投影向量的定义求解即得. 【小问1详解】 由，得，， 因此，而， 所以向量与的夹角. 【小问2详解】 向量在向量上的投影向量为. 16. 如图，在中，.设. （1）用表示； （2）若为内部一点，且.求证：三点共线. 【答案】（1）， （2） ， 又，故， 故三点共线. 【解析】 【分析】（1）借助向量加法法则与减法法则计算即可得； （2）借助向量线性运算法则可用表示出，再利用向量共线定理推导即可得证. 【小问1详解】 ， ； 【小问2详解】 略 17. 已知的夹角为，，，， （1）若，求实数t的取值范围； （2）是否存在实数t，使得，若存在，求实数t. 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）由列式求得值； （2）利用共线向量定理列式求解即可. 【小问1详解】 ，的夹角为，且，， . 由，得 ，解得； 【小问2详解】 由，得存在，使得， 即，解得 所以存在实数，使得. 18. 平面内给定三个向量，，，回答下列问题： （1）求满足的实数m，n （2）若与的夹角为锐角，求出实数k的取值范围 【答案】（1），；（2）且 【解析】 【分析】(1)根据向量的坐标运算求解即可. (2)利用且与不同向即可. 【详解】(1)因为,故. 故. (2)由题且与不同向,则. 即.当与同向,即与同向时, 此时,解得.代入可得此时与同向. 故若与的夹角为锐角,则且 【点睛】本题主要考查了平面向量的坐标运算以及夹角的表示方法等,需要根据题意列出对应的表达式,注意向量数量积大于0包括同向的情况.属于中等题型. 19. 如图，圆C的半径为3，其中A，B为圆C上两点. （1）若，当k为何值时，与垂直？ （2）若G为的重心，直线l过点G交边AB于点P，交边AC于点Q，且，求 最小值. （3）若的最小值为1，求的值. 【答案】（1） （2）2 （3） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理可得，再由向量垂直和数量积的关系即可求出结果； （2）由向量的线性运算和共线的条件得到，即可得到，再用基本不等式计算； （3）由向量的数量积的定义得到，再由模长的计算得到，结合二次函数的性质解出即可. 【小问1详解】 因为， 所以由余弦定理得，即，所以. 若与垂直，则， 所以，所以， 解得，即时，与垂直； 【小问2详解】 因为为的重心，所以， 又因为，所以， 由于三点共线，所以存在实数使得，所以 化简为，所以，所以. 显然，则， 当且仅当时，即时，取最值. 则的最小值为2. 【小问3详解】 设与的夹角为，在中，， 所以， 又 ， 所以当时，有最小值，所以，解得， 即取最小值1时，． 【点睛】知识点点睛：本题考查了余弦定理解三角形,向量垂直和数量积的关系,向量的线性运算和共线的条件，基本不等式计算最值，二次函数的性质.综合性特别强，转化能力要求高，属于难题 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期第一次学情检测 高 一 数 学 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.） 1. 向量（ ） A. B. C. D. 2. 若已知、是平面上的一组基，则下列各组向量中不能作为基的一组是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 3. 下列向量中，与向量共线的一个单位向量是（ ） A. B. C. D. 4. 已知△ABC，向量满足条件，，则△ABC是（ ） A. 等腰直角三角形 B. 钝角三角形 C. 等边三角形 D. 直角三角形 5. 设点，，若点P在直线AB上，且，则点P的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 设为非零向量，若，则的最大值与最小值的差为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，已知为中点，则（ ） A. B. C. D. 7 8. 在△中，，为的中点，为线段上的一个动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.） 9. 下列说法中正确的是（ ） A. B. 若，为单位向量，则 C. 若∥、∥，则∥ D. 对于两个非零向量，，若，则 10. 设是内部的一点，以下可能成立的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知向量都是单位向量，，则（ ） A. = B. = C. = D. 与共线 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知，则的面积为______． 13. 已知正三角形的边长为2，为中点，为边上任意一点，则______. 14. 已知三点共线，O为直线外一点，存在三个不全为零的实数，使，那么的值为__________________． 四、解答题（本题共6大题，共77分.解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知向量满足 （1）求与的夹角； （2）求向量在向量上的投影向量． 16. 如图，在中，.设. （1）用表示； （2）若为内部一点，且.求证：三点共线. 17. 已知的夹角为，，，， （1）若，求实数t的取值范围； （2）是否存在实数t，使得，若存在，求实数t. 18. 平面内给定三个向量，，，回答下列问题： （1）求满足的实数m，n （2）若与的夹角为锐角，求出实数k的取值范围 19. 如图，圆C的半径为3，其中A，B为圆C上两点. （1）若，当k为何值时，与垂直？ （2）若G为的重心，直线l过点G交边AB于点P，交边AC于点Q，且，求 最小值. （3）若的最小值为1，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $