微专题5-10 导数中的比较大小问题3种常考题型总结-2024-2025学年《考点通关》高二数学微专题精准突破（人教A版2019选择性必修第二册）

2024-2025学年《考点通关》高二数学微专题精准突破（人教A版2019选择性必修第二册） 微专题5-10 导数中的比较大小问题3种常考题型总结 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 构造函数比较大小 题型2 利用切线放缩比较大小 题型3 利用泰勒展开公式比较大小 高考压轴题中经常考查与导数有关的不等式问题,而比较大小问题就是其中一类较为特殊的题型.这类问题可以用常规方法求解,但过程往往较为烦琐,如果灵活选用构造函数、放缩、泰勒展开以及帕德逼近等技巧,有时可以简化问题的求解过程,帮助学生更好地理解函数的相关性质和变化规律. 1、 构造函数比大小 通过对原式进行等价转换,使得要比较的两式或三式在形式上具有一致性,然后构造符合这种形式的函数,最后利用函数的单调性来解决；⑵要比较的两式在形式上不一致,若两式中具有相同的量,则不妨将这些量看成变量,构造相关函数,利用函数单调性比较大小. （一）构造函数比较大小 函数的定义域为.当时,单调性递增；当时,单调递减,则的极大值为,且,有时可用此结论来解题. 示例1：设,则( ). A. B. C. D. 【解析】,则 易知,当时,单调递增;当时,单调递减.又,所以.若有两个解,则,即.令,则,即在上单调递增,所以,即在上,.若,则,故,则.当时,,故,则. 综上,,故选A. （二）构造函数比较大小 函数的定义域为,.当时,单调递减;当时,单调递增,故当时,取得极小值,有时可利用该结论解题. 示例2：已知,且,则( ) A. B. C.D. 【解析】,可得.设函数,则.当单调递增;当单调递减.因为,所以,则,即.又,,所以,故选A. 二、利用放缩比较大小 构造不同函数，比较不同函数值 这个时候，不等式放缩就是首选之道了！下面的这些不等式放缩需要你的注意. 1.切线不等式： 高中几个重要的函数都具有凸凹性，这样我们便可通过切线来构造不等式，具体的原理请见《高观点：函数凸凹性》，这里只列举一些重要的切线不等式： 1.1 ； 1.2 ； 将这两个切线不等式进行合适的取值与加减项，又可得到更多的不等式： ① ②； ③； 2. 高次不等式放缩 2.1 ； 2.2 ； 2.3 ； 2.4 . 3.分式不等式放缩 3.1 3.2 注：部分常见的不等式放缩证明如下： 1)常见的指数放缩:(当且仅当时,等号成立). 证明设,所以.当时,,单调递减；当时,单调递增,故当时,取得最小值0,所以,即. 对于,该不等式在上恒成立,则,故.当时,在不等式两边同时乘,则有,因此,有 2)常见的对数放缩:(当且仅当时,等号成立). 证明求导可证得.将替换为,则,即,可得. 3)常见三角函数的放缩:当时,. 如，利用,则， ，即. 三、利用泰勒展开公式比较大小 构造不同函数，比较相同函数值，这类问题虽然可能几个数的形式不一致，但它们的特别是不同的函数取了相同的函数值，所以实质在比较不同函数差值或者商的性质，当然，这种问题下，如果自变量取值靠近基本初等函数的麦克劳林级数展开点，利用泰勒展开来近似估计绝对是一个很好的方法! 泰勒展开公式: 常见的泰勒展开式如下: 纵观近几年的高考,通过构造函数、放缩和泰勒展开等方式解决比较大小问题,依然是考查的热点.解决比较大小问题的关键在于通过对比题干数据,构造恰当函数,利用导数和函数的相关性质求解.这类问题综合性很强,旨在考查学生的转化能力、推理能力和计算求解能力等,涉及转化与化归思想、函数与方程思想、特殊与一般思想,渗透直观想象和数学运算等素养. 题型1 构造函数比较大小 【例1】已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【解析】设，则，当时，，所以在上递增，在上递减.由于，，故选. 【变式1】设，则(    ) A. B. C. D. 【解析】由， 令函数，可得， 当，可得，单调递增； 当，可得，单调递减， 所以当，函数取得极大值，即为最大值， 且当时，，当时，， 函数的图形，如图所示， 对于函数，当且时，． 设且， 则，可得，所以， 所以， 所以． 故选：． 【变式2】已知，，，则(    ) A. B. C. D. 【解析】  ，  ，  ， 两边取对数得：  ，  ，  ， 令  ，  ， 则  ， 令  ， ， 则 ， 所以  在  上为减函数， 所以  ， 故  在  上恒成立， 故  在  上单调递增， 所以  ，故  ， 即  ， 因为  在  上单调递增，所以  ． 故选： 【变式3】设，，，则（       ） A． B． C． D． 【解析】设，，所以在上单调递增，在上单调递减. 而，，，因为，所以．故选：A． 【变式4】【多选】已知，，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】A选项，因为，所以， 令，， 则， 因为，所以恒成立， 故在上单调递减， 故， 则，故A错误； B选项，由A选项可知， ，故B正确； CD选项，由AB选项可知，，C正确，D错误. 故选：BC 【变式5】若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以，所以， 令，所以，则， ， 所以， 即恒为递增函数， 则，即，所以， 综上：， 故选：A. 【变式6】已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，，， 令，，则， 令，， 则， 令，， 则在上恒成立， 故在上单调递增， 又，故在上恒成立， 将中换为可得，， 即，故在上恒成立， 所以在上单调递增， 由复合函数单调性可知在上单调递增， 故，即. 故选：D 题型2 利用切线放缩比较大小 【例2】已知，，，则(    ) A. B. C. D. 【解析】令，， 当时，，则函数单调递增；当时，，则函数单调递减； 所以，所以 ， 所以 ，所以， 令，， 当时，，则函数单调递减； 当时，，则函数单调递增； 所以，所以， 所以，所以， 所以， 故选C． 【变式1】已知函数，设，，，则，，的大小关系为(    ) A. B. C. D. 【解析】 ， 为偶函数， 当时， 在上恒成立， 则在上为增函数， ， 当且仅当时等号成立，， ，， 当且仅当时等号成立，， ，，． 故选：． 【变式2】偶函数与其导函数的定义域均为，在区间上单调递减，对任意恒有成立，若，，，则正确的是(    ) A. B. C. D. 【解析】是偶函数， 的图象关于对称， 记，则， 不妨设为常数，即， 因为为偶函数，所以， 所以，所以，即， 是以为周期的周期函数． 又在区间上单调递减，  在区间上单调递减，在区间上单调递增． ，，  ． 记，则，  在上单调递增， ， ， ． 故选择． 【变式3】对于三个不等式：①；②；③；其中正确不等式的个数为(    ) A. B. C. D. 【解析】对于①：  ，故①正确； 对于②：  ，  ， 所以，故②正确； 对于③：  ． 设  ，则  ，  ， 易得当  时，  取得最大值  ， 所以    时等号成立， 则有  ，   ，故③正确． 综上可知，正确不等式的个数为个． 故选：． 【变式4】已知，，，则，，的大小关系为（       ） A． B． C． D． 【解析】设，，令，解得.，，单调递减，，，单调递增.所以，即，当且仅当时取等号.所以.又，故，所以；设，，令，解得. ，，单调递增，，，单调递减. 所以，即，当且仅当时取等号.所以，故，又，所以，故. 故选：B. 【变式5】已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，则恒成立， 所以在单调递增， 所以当时，，即； 令，则恒成立， 所以在单调递增， 所以当时，，即； 由诱导公式得， 所以，因此； 因为，， 故只需比较与的大小， 由二项式定理得，， 所以． 综上，. 故选：C 题型3 利用泰勒展开公式比较大小 【例3】设，则（    ） A． B． C． D． 【解析】构造函数.则可以看到： ，由于较小，所以对上述三个函数在处进行二阶泰勒展开：； ； . 在处，显然，故. 【变式1】设，，，，则（       ） A． B． C． D． 【解析】设，，，，注意到题干实质在比较： ，且考虑到接近于0，故对上述函数在进行泰勒展开 即：，代入到上式，显然易得：，故选：B 【变式2】已知，则（    ） 【答案】A 【解析】设，则，， ，计算得，故选A． 【变式3】设，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， 故选 【变式4】已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知，，， 设，， 则， 其中， 令，则， 当时，，∴在上单调递减，， ∴当时，，， 在上单调递增， ∴，即，∴有. 对于与，， 将泰勒展开，得， ， ∴. 综上所述，，，的大小关系为. 故选：C. $$2024-2025学年《考点通关》高二数学微专题精准突破（人教A版2019选择性必修第二册） 微专题5-10 导数中的比较大小问题3种常考题型总结 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 构造函数比较大小 题型2 利用切线放缩比较大小 题型3 利用泰勒展开公式比较大小 高考压轴题中经常考查与导数有关的不等式问题,而比较大小问题就是其中一类较为特殊的题型.这类问题可以用常规方法求解,但过程往往较为烦琐,如果灵活选用构造函数、放缩、泰勒展开以及帕德逼近等技巧,有时可以简化问题的求解过程,帮助学生更好地理解函数的相关性质和变化规律. 1、 构造函数比大小 通过对原式进行等价转换,使得要比较的两式或三式在形式上具有一致性,然后构造符合这种形式的函数,最后利用函数的单调性来解决；⑵要比较的两式在形式上不一致,若两式中具有相同的量,则不妨将这些量看成变量,构造相关函数,利用函数单调性比较大小. （一）构造函数比较大小 函数的定义域为.当时,单调性递增；当时,单调递减,则的极大值为,且,有时可用此结论来解题. 示例1：设,则( ). A. B. C. D. 【解析】,则 易知,当时,单调递增;当时,单调递减.又,所以.若有两个解,则,即.令,则,即在上单调递增,所以,即在上,.若,则,故,则.当时,,故,则. 综上,,故选A. （二）构造函数比较大小 函数的定义域为,.当时,单调递减;当时,单调递增,故当时,取得极小值,有时可利用该结论解题. 示例2：已知,且,则( ) A. B. C.D. 【解析】,可得.设函数,则.当单调递增;当单调递减.因为,所以,则,即.又,,所以,故选A. 二、利用放缩比较大小 构造不同函数，比较不同函数值 这个时候，不等式放缩就是首选之道了！下面的这些不等式放缩需要你的注意. 1.切线不等式： 高中几个重要的函数都具有凸凹性，这样我们便可通过切线来构造不等式，具体的原理请见《高观点：函数凸凹性》，这里只列举一些重要的切线不等式： 1.1 ； 1.2 ； 将这两个切线不等式进行合适的取值与加减项，又可得到更多的不等式： ① ②； ③； 2. 高次不等式放缩 2.1 ； 2.2 ； 2.3 ； 2.4 . 3.分式不等式放缩 3.1 3.2 注：部分常见的不等式放缩证明如下： 1)常见的指数放缩:(当且仅当时,等号成立). 证明设,所以.当时,,单调递减；当时,单调递增,故当时,取得最小值0,所以,即. 对于,该不等式在上恒成立,则,故.当时,在不等式两边同时乘,则有,因此,有 2)常见的对数放缩:(当且仅当时,等号成立). 证明求导可证得.将替换为,则,即,可得. 3)常见三角函数的放缩:当时,. 如，利用,则， ，即. 三、利用泰勒展开公式比较大小 构造不同函数，比较相同函数值，这类问题虽然可能几个数的形式不一致，但它们的特别是不同的函数取了相同的函数值，所以实质在比较不同函数差值或者商的性质，当然，这种问题下，如果自变量取值靠近基本初等函数的麦克劳林级数展开点，利用泰勒展开来近似估计绝对是一个很好的方法! 泰勒展开公式: 常见的泰勒展开式如下: 纵观近几年的高考,通过构造函数、放缩和泰勒展开等方式解决比较大小问题,依然是考查的热点.解决比较大小问题的关键在于通过对比题干数据,构造恰当函数,利用导数和函数的相关性质求解.这类问题综合性很强,旨在考查学生的转化能力、推理能力和计算求解能力等,涉及转化与化归思想、函数与方程思想、特殊与一般思想,渗透直观想象和数学运算等素养. 题型1 构造函数比较大小 【例1】已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式1】设，则(    ) A. B. C. D. 【变式2】已知，，，则(    ) A. B. C. D. 【变式3】设，，，则（       ） A． B． C． D． 【变式4】【多选】已知，，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 【变式5】若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式6】已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 题型2 利用切线放缩比较大小 【例2】已知，，，则(    ) A. B. C. D. 【变式1】已知函数，设，，，则，，的大小关系为(    ) A. B. C. D. 【变式2】偶函数与其导函数的定义域均为，在区间上单调递减，对任意恒有成立，若，，，则正确的是(    ) A. B. C. D. 【变式3】对于三个不等式：①；②；③；其中正确不等式的个数为(    ) A. B. C. D. 【变式4】已知，，，则，，的大小关系为（       ） A． B． C． D． 【变式5】已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 题型3 利用泰勒展开公式比较大小 【例3】设，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】设，，，，则（       ） A． B． C． D． 【变式2】已知，则（    ） 【变式3】设，则（ ） A． B． C． D． 【变式4】已知，，则（    ） A． B． C． D． $$