6.4平面向量的应用同步训练-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.4 平面向量的应用 一、单选题： 1.有一艘船以每小时海里的速度向正东方向行驶，在处测得灯塔在该船的东北方向，该船行驶小时后到达处，测得灯塔在该船的东偏北方向上，则(    ) A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 2.某小区内有一个圆形广场，计划在该圆内接凸四边形区域内新建三角形花圃和圆形喷泉已知，，，圆形喷泉内切于，则圆形喷泉的半径最大值为(    ) A. B. C. D. 3.若平面上的三个力，，作用于一点，且处于平衡状态．已知，，与的夹角为，则的大小为(    ) A. B. C. D. 4.在中，角，，所对的边分别为，，，且，，，则的面积为(    ) A. B. C. D. 5.若非零向量与满足，，则为(    ) A. 三边均不相等的三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 底边和腰不相等的等腰三角形 二、多选题： 6.在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，且，则有(    ) A. B. C. D. 7.若平面上的三个力，，作用于一点，且处于平衡状态已知，，与的夹角为，则下列说法正确的是(    ) A. B. 与的夹角为 C. 与的夹角为 D. 8.在中，是边的中点，是线段的中点，则下列结论可能成立的是(    ) A. B. C. D. 9.已知的半径为，为其内接三角形，则下列结论中正确的是(    ) A. 若，则 B. 若，则周长的最大值为 C. 若，则 D. 若，则面积的最大值为 三、填空题： 10.平面上的三个力，，作用于同一点，且处于平衡状态已知，，，则            11.已知和是夹角为的两个单位向量，且，，则的最小值为          ． 12.已知锐角的内角，，所对的边分别为，，，若，，则面积的取值范围是          ． 13.在中，已知，，连接，满足，则的面积的最大值为          ． 四、解答题： 14. 在矩形中，点是边上的中点，点在边上． 若点是上靠近的四等分点，设，求的值； 若，，当时，求的长． 15.如图，小船要从处沿垂直河岸的方向到达对岸处，此时水流的速度为，测得小船正以的速度沿垂直水流的方向向前行驶，求小船在静水中速度的大小及方向． 如图，在平行四边形中，是和的交点则 化简： 化简： 16.已知，，分别为三个内角，，的对边，，，且． 求 若，的面积为，求，． 17.已知，，分别是的内角，，的对边，． 求角 若是锐角三角形，，，求的面积． 答案和解析 1.【答案】  【解析】【分析】 本题考查利用正弦定理解决距离问题，属于基础题． 由题意画图，再利用正弦定理求解． 【解答】 解：由题意作图， 可知， 海里， 在中，由正弦定理可得， 则海里． 故选：． 2.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了解三角形的实际应用、余弦定理、三角形面积公式和利用基本不等式求最值，是中档题． 由余弦定理可求得的长，由圆内接四边形的几何性质可得，设，，由余弦定理结合基本不等式可求得的最大值，再利用等面积法可求得内切圆半径的最大值，即为所求． 【解答】 解：在中，由余弦定理， 可得， 因为四边形为内接四边形，且，所以，． 设，，则由余弦定理知， 设内切圆半径为， 所以，所以． 又知， 即．．， 所以， 因为，所以． 所以，当且仅当时取得等号． 因此，圆形喷泉的半径最大值为 故选：． 3.【答案】  【解析】【分析】 本题考查平面向量数量积的物理应用，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题． 由三力平衡，知，将其两边平方，并结合平面向量的数量积进行运算，得解． 【解答】解：根据三力平衡得  ，即  ， 所以， 所以． 故选：． 4.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用以及三角形的面积，属于基础题． 根据正弦定理得，再由余弦定理解得，的值，即可得的面积． 【解答】 解：， 由正弦定理可得， 又，， 余弦定理得， 解得，， ． 故选B． 5.【答案】  【解析】【分析】 本题考查向量的数量积的应用，考查三角形的判断，注意单位向量的应用，考查计算能力，属于基础题． 通过向量的数量积为，判断三角形是等腰三角形，通过，求出，然后判断三角形的形状． 【解答】解：因为， 所以的平分线与垂直， 则，三角形是等腰三角形， 又因为， 则， 所以， 所以三角形是等边三角形． 6.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查和差角公式及正、余弦定理，三角形面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题． 由正弦定理结合两角和的正弦公式可求，然后由三角形面积公式可求出，由余弦定理可得边，进而利用三边关系可求出，由此可得结论． 【解答】解：因为， 根据正弦定理可得，， 整理得即， ，， ，，故A正确； ，又，， ， 解得，故D错误； 根据余弦定理得：， 则，故B错误； 因为，即，所以，故C正确． 故选AC． 7.【答案】  【解析】【分析】 本题考查平面向量在物理中的应用，属中档题． 由题意可得，利用平面向量的数量积公式计算，逐项判断即可． 【解答】 解：若平面上的三个力，，作用于一点，且处于平衡状态， 则，即， ， 则 ， 所以，故A正确； ， ， 由，， 可得，，故B错误； ， ， 由，， ，，故C正确；  ，故D错误． 故选AC． 8.【答案】  【解析】【分析】 本题考查向量在平面几何中的运用，共线向量，向量数量积的坐标表示与向量的垂直关系，属于中档题． 根据平面向量知识逐项分析判断即可． 【解答】 解：对于，当时，有，则是的垂直平分线， 则，故选项A可能成立 对于，， 不可能满足，故选项B不可能成立 对于，若成立，而是线段 的中点，则， 则点，，，在以点为圆心的圆上，必有 ，，不共线与是的中点矛盾， 因此不成立，故选项C不可能成立 对于，在直角坐标系中，取，，， 则，此时，，满足，故选项D可能成立． 9.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查正余弦定理，平面向量的数量积，三角形面积公式，属于中档题． 由正余弦定理，平面向量的数量积逐项判断即可． 【解答】 解：设内角，，所对的边分别为，，． 对于，由题意，， ，故A正确； 对于，在中，，则， 在中， ， 解得，当且仅当时等号成立， 所以，，即周长的最大值为，故B正确； 对于，，即， 在中，， 得，即，故C正确； 对于，，由选项C得， 在中，，， 由题意知面积要想最大，应为锐角，则， ，，当且仅当时，等号成立， ，故D错误． 10.【答案】  【解析】【分析】 本题考查向量在物理中的应用，属于基础题． 由已知可得出，根据向量数量积的定义以及运算律，即可得出答案． 【解答】 解：由题可得， 所以， 因为，所以， 所以   ， 所以     ， 所以． 故答案为：． 11.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查的是向量在平面几何中的应用，属于难题题． 数形结合，在平面直角坐标系中，由条件分析点、位置，再求最值即可． 【解答】 解：因为， 所以要求的最小值，可转化为求的最小值的倍， 如图建立直角坐标系，由题意设，，，， 设， 因为，所以，即， 所以向量的终点在直线上， 又， 所以向量的终点在以点为圆心，为半径的圆上， 又， 因为点在直线上运动，点在以点为圆心，为半径的圆上， 过点作垂直直线于点， 所以，两点间距离的最小值转化为圆心到直线的距离减去半径， 此时， 所以的最小值为， 故答案为． 12.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式以及三角函数的性质的综合运用，属于中档题． 根据已知条件，运用余弦定理，可得，再利用正弦定理以及三角恒等变换求出的取值范围，最后结合三角形的面积公式即可求解． 【解答】 解：，， ， 由余弦定理可得， ，即， 又，则， ， 为锐角三角形， ， 由正弦定理，可得， 即，， ， ， ， ， ， 面积， ， ， 故面积的取值范围是． 故答案为：． 13.【答案】  【解析】【分析】 本题考查余弦定理、正弦定理的运用，考查三角形的面积，属于中档题． 由题意，利用余弦定理及三角形的面积公式，结合配方法求解得出结论． 【解答】 解：由题意，，， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以的面积， 所以时，的面积的最大值为． 故答案为． 14.【答案】 解：， 是边的中点，点是上靠近的四等分点， ， 在矩形中，， ， 即，， 则． 设， 则，， ，   又， ， 解得， 的长为．   【解析】本题考查向量的加减的几何意义和向量在几何中的应用，建立平面直角坐标系是解题的关键之一，考查计算能力． 根据向量的加减的几何意义即可求出；  根据向量的加法运算，把和都用，表示出来，利用数量积即可求出结果． 15.【答案】解 设表示小船垂直于河岸行驶的速度，表示水流的速度，如图， 连接，过点作的平行线，过点作的平行线，两条直线交于点， 则四边形为平行四边形， 所以就是小船在静水中的速度． 在中，，， ， ， ， ，， 小船在静水中的速度的大小为 ，方向与水流方向的夹角为． 解，， ．  【解析】本题考查平面向量的物理应用，属于基础题． 设表示小船垂直于河岸行驶的速度，表示水流的速度，求出可得小船在静水中速度的大小，求出可得小船在静水中的方向． 本题主要考查平面向量的线性运算，属于基础题． 利用平面向量的线性运算求解即可． 16.【答案】解：由有， 展开． 由正弦定理， 有， 又，所以， 有， 代入有， ，， 则， 变形为． ， ，故C． ，， ． 又， ， 联立解得，或．  【解析】本题考查正余弦定理，考查三角形面积公式，考查两角和差公式，属于中档题． 由平面向量的坐标运算及正弦定理可得，根据两角差的正弦公式即可求解； 由三角形面积公式求出，再由余弦定理求出，从而可求解． 17.【答案】解：， ， ， 由正弦定理得，， ， ， ． ，， ， ， 由正弦定理知，， ， ．  【解析】本题考查了正弦定理，三角函数的恒等变换，正弦函数的图象与性质，属于中档题． 由化简为由正弦定理得，化简可求得；  利用正弦定理求，求面积． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$