2.5.2　矩形的判定同步练习 2024-2025学年 湘教版数学八年级下册

2.5.2　矩形的判定 @基础分点练 ♝ ▶　知识点1　一个角是直角的平行四边形是矩形 1.在四边形ABCD中，AB＝DC，AD＝BC，请再添加一个条件，使四边形ABCD是矩形，你添加的条件是　答案不唯一，如∠A＝90°等　（写出一种即可）. ♝2.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，四边形ABDE是平行四边形.求证：四边形ADCE是矩形. 证明：∵AB＝AC，D为BC的中点，∴AD⊥CD，BD＝CD. ∵四边形ABDE是平行四边形，∴BD綊AE. 又∵BD＝CD，∴CD綊AE， ∴四边形ADCE是平行四边形. 又∵AD⊥CD， ∴四边形ADCE是矩形. ♝▶　知识点2　三个角是直角的四边形是矩形 3.检查一个门框是否为矩形，下列方法中正确的是（　D　） A.测量两条对角线，是否相等 B.测量两条对角线，是否互相平分 C.测量两条对角线，是否互相垂直 D.测量门框的三个角，是否都是直角 ♝4.如图，在▱ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F.求证：四边形BFDE为矩形. 证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴CD∥AB. ∴∠CDE＋∠DEB＝180°. ∵DE⊥AB，BF⊥CD， ∴∠DEB＝∠BFD＝90°， ∴∠CDE＝90°. ∴∠CDE＝∠DEB＝∠BFD＝90°. ∴四边形BFDE为矩形. ♝▶　知识点3　对角线相等的平行四边形是矩形 5.四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，能判定它是矩形的是（　D　） A.AO＝CO，BO＝OD B.AB＝BC，AO＝CO C.AO＝CO，BO＝DO，AC⊥DB D.AO＝CO＝BO＝DO 6.（遂宁中考）康康在学习了矩形定义及判定定理1后，继续探究其他判定定理. （1）实践与操作 ①任意作两条相交的直线，交点记为O； ②以点O为圆心，适当长为半径画弧，在两条直线上分别截取相等的四条线段OA，OB，OC，OD； ③顺次连接所得的四点得到四边形ABCD. 于是可以判定四边形ABCD是平行四边形，则该判定定理是：　对角线互相平分的四边形是平行四边形　. ♝（2）猜想与证明 通过和同伴交流，他们一致认为四边形ABCD是矩形，于是猜想得到了矩形的另外一种判定方法：对角线相等的平行四边形是矩形.并写出了以下已知和求证. 请你完成证明过程. 已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD. 求证：四边形ABCD是矩形. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC. 在△BAD和△ABC中， ∴△BAD≌△ABC（SSS）. ∴∠BAD＝∠ABC. ∵AD∥BC，∴∠BAD＋∠ABC＝180°. ∴∠BAD＝∠ABC＝90°. ∴四边形ABCD是矩形. @中档提分训练 ♝ 7.（上海中考）在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD.下列说法能使四边形ABCD为矩形的是（　C　） A.AB∥CD B.AD＝BC C.∠A＝∠B D.∠A＝∠D 8.如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，点P为边BC上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，则EF的最小值为（　C　） A.2 B.2.2 C.2.4 D.2.5 第8题图 9.如图，M是矩形ABCD的边AD的中点，P是BC上一点，PE⊥MC，PF⊥MB，当AB，BC满足条件　BC＝2AB　时，四边形PEMF为矩形. 第9题图 10.如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，E，F，G，H分别是各边的中点，若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH的面积是　12　. ♝11.如图，点M在▱ABCD的边AD上，BM＝CM，请从以下三个选项中，①∠1＝∠2；②AM＝DM；③∠3＝∠4，选择一个合适的选项作为已知条件，使▱ABCD为矩形. （1）你添加的条件是　①　（填序号）； （2）添加条件后，请证明▱ABCD为矩形. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC，AB＝DC. ∴∠A＋∠D＝180°. 在△ABM和△DCM中， ∴△ABM≌△DCM（SAS）. ∴∠A＝∠D，∴∠A＝∠D＝90°. ∴▱ABCD为矩形. @拓展素养训练 ♝ 12.如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，延长BC至点F，使CF＝BE，连接AF，DE，DF. （1）求证：四边形AEFD是矩形； （2）若AB＝6，DE＝8，BF＝10，求AE的长. 解：（1）证明：∵CF＝BE， ∴CF＋EC＝BE＋EC. 即EF＝BC. ∵在▱ABCD中，AD∥BC且AD＝BC， ∴AD∥EF且AD＝EF. ∴四边形AEFD是平行四边形. ∵AE⊥BC，∴∠AEF＝90°. ∴四边形AEFD是矩形. （2）∵四边形AEFD是矩形，DE＝8， ∴AF＝DE＝8. ∵AB＝6，BF＝10， ∴AB2＋AF2＝62＋82＝100＝BF2. ∴△ABF是直角三角形，∠BAF＝90°. ∴S△ABF＝AB·AF＝BF·AE. ∴AE＝＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.5.2　矩形的判定 @基础分点练 ♝ ▶　知识点1　一个角是直角的平行四边形是矩形 1.在四边形ABCD中，AB＝DC，AD＝BC，请再添加一个条件，使四边形ABCD是矩形，你添加的条件是 （写出一种即可）. 2.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，四边形ABDE是平行四边形.求证：四边形ADCE是矩形. ▶　知识点2　三个角是直角的四边形是矩形 3.检查一个门框是否为矩形，下列方法中正确的是（　 　） A.测量两条对角线，是否相等 B.测量两条对角线，是否互相平分 C.测量两条对角线，是否互相垂直 D.测量门框的三个角，是否都是直角 4.如图，在▱ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F.求证：四边形BFDE为矩形. ▶　知识点3　对角线相等的平行四边形是矩形 5.四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，能判定它是矩形的是（　 　） A.AO＝CO，BO＝OD B.AB＝BC，AO＝CO C.AO＝CO，BO＝DO，AC⊥DB D.AO＝CO＝BO＝DO 6.（遂宁中考）康康在学习了矩形定义及判定定理1后，继续探究其他判定定理. （1）实践与操作 ①任意作两条相交的直线，交点记为O； ②以点O为圆心，适当长为半径画弧，在两条直线上分别截取相等的四条线段OA，OB，OC，OD； ③顺次连接所得的四点得到四边形ABCD. 于是可以判定四边形ABCD是平行四边形，则该判定定理是： . （2）猜想与证明 通过和同伴交流，他们一致认为四边形ABCD是矩形，于是猜想得到了矩形的另外一种判定方法：对角线相等的平行四边形是矩形.并写出了以下已知和求证. 请你完成证明过程. 已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD. 求证：四边形ABCD是矩形. @中档提分训练 ♝ 7.（上海中考）在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD.下列说法能使四边形ABCD为矩形的是（　 　） A.AB∥CD B.AD＝BC C.∠A＝∠B D.∠A＝∠D 8.如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，点P为边BC上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，则EF的最小值为（　 　） A.2 B.2.2 C.2.4 D.2.5 第8题图 9.如图，M是矩形ABCD的边AD的中点，P是BC上一点，PE⊥MC，PF⊥MB，当AB，BC满足条件 时，四边形PEMF为矩形. 第9题图 10.如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，E，F，G，H分别是各边的中点，若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH的面积是 . 11.如图，点M在▱ABCD的边AD上，BM＝CM，请从以下三个选项中，①∠1＝∠2；②AM＝DM；③∠3＝∠4，选择一个合适的选项作为已知条件，使▱ABCD为矩形. （1）你添加的条件是 （填序号）； （2）添加条件后，请证明▱ABCD为矩形. @拓展素养训练 ♝ 12.如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，延长BC至点F，使CF＝BE，连接AF，DE，DF. （1）求证：四边形AEFD是矩形； （2）若AB＝6，DE＝8，BF＝10，求AE的长. 学科网（北京）股份有限公司 $$