9.2.4总体离散程度的估计导学案-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

9．2.4　总体离散程度的估计 学案 学习目标 1．理解方差、标准差的含义，会计算方差和标准差． 2.掌握求分层随机抽样总样本的平均数及方差的方法． 情境导入 平均数、众数以及中位数作为一组数据的代表，刻画了该组数据的集中趋势．而数据的离散程度可以用极差、方差或标准差来描述．这节课我们共同来研究总体离散趋势的有关知识． 新知探究 知识点总结 1．方差和标准差 假设一组数据是x1，x2，…，xn，用表示这组数据的平均数，则我们称_(xi－)2为这组数据的方差，有时为了计算方差的方便，我们还把方差写成x－2的形式．我们对方差开平方，取它的算术平方根 ，称为这组数据的标准差． 2．总体方差和标准差 (1)总体方差和标准差：如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体平均数为，则总体方差S2＝ (Yi－)2. (2)总体方差的加权形式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i＝1，2，…，k)，则总体方差为S2＝fi(Yi－)2. 总体标准差：S＝. 3．样本方差和标准差 如果一个样本中个体的变量值分别为y1，y2，…，yn，样本平均数为，则称s2＝ (yi－)2为样本方差，s＝为样本标准差． 4．标准差的意义 标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小． 典例探究 例1(1)已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是3，方差是，那么另一组数据2x1－1，2x2－1，2x3－1，2x4－1，2x5－1的平均数、方差分别是(　　) A．5，　　　　 B．5，2 C．3，2 D．3， 解析：B　因为数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是3，方差是，所以＝3， (xi－3)2＝，因此数据2x1－1，2x2－1，2x3－1，2x4－1，2x5－1的平均数为2－1＝5，方差为 (2xi－1－5)2＝ (2xi－6)2＝4× (xi－3)2＝4×＝2. (2)甲、乙两机床同时加工直径为100 mm的零件，为检验质量，从中各抽取6件测量，数据为 甲：99　100　98　100　100　103 乙：99　100　102　99　100　100 ①分别计算两组数据的平均数及方差； ②根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定． 解：①甲＝×(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100， 乙＝×(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100. s＝×[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝， s＝×[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1. ②两台机床所加工零件的直径的平均数相同， 又s>s，所以乙机床加工零件的质量更稳定． 1．方差和标准差的算法 2．若数据x1，x2，…，xn的平均数为，方差为s2，则数据mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均数为m＋a，方差为m2s2. 3．在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究方差，方差描述了数据相对平均数的离散程度．在平均数相同的情况下，方差越大，离散程度越大，数据波动性越大，稳定性越差；方差越小，离散程度越小，数据越集中，越稳定． 变式训练 1．(1)已知数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数为3，标准差为4，则数据5x1－1，5x2－1，5x3－1，5x4－1，5x5－1的平均数和方差分别为________和________． 解析：由题意知，原数据的平均数＝(x1＋x2＋…＋x5)＝3， 方差s2＝[(x1－3)2＋(x2－3)2＋…＋(x5－3)2]＝42＝16； 另一组数据的平均数2＝[5x1－1＋5x2－1＋…＋5x5－1]＝[5(x1＋x2＋…＋x5)－5]＝×5(x1＋x2＋…＋x5)－1＝5－1＝15－1＝14， 方差s＝[(5x1－1－14)2＋(5x2－1－14)2＋…＋(5x5－1－14)2]＝{25[(x1－3)2＋(x2－3)2＋…＋(x5－3)2]}＝25s2＝400. 答案：14　400 (2)甲、乙两名战士在相同条件下各打靶10次，每次命中的环数分别如下： 甲：8，6，7，8，6，5，9，10，4，7. 乙：6，7，7，8，6，7，8，7，9，5. 估计两名战士的射击情况．若要从这两人中选一人参加射击比赛，选谁去合适？ 解：甲＝×(8＋6＋7＋8＋6＋5＋9＋10＋4＋7)＝7(环)， 乙＝×(6＋7＋7＋8＋6＋7＋8＋7＋9＋5)＝7(环)． 由方差公式s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]，得s＝3，s＝1.2. 甲＝乙，说明甲、乙两战士的平均水平相当． s>s，说明甲战士射击情况波动比乙大． 因此，乙战士比甲战士射击情况稳定，从成绩的稳定性考虑，应选择乙参加比赛． 知识点二　分层随机抽样的方差 知识点总结 假设第一层有m个数，分别为x1，x2，…，xm，平均数为，方差为s2；第二层有n个数，分别为y1，y2，…，yn，平均数为，方差为t2.则＝xi，s2＝ (xi－)2，＝yi，t2＝(yi－)2. 若记样本平均数值为，样本方差为b2，则可以算出 ＝(xi＋yi)＝， b2＝ ＝[(ms2＋nt2)＋(－)2]． 典例探究 例2　(链接教材P213例6)甲、乙两支田径队的体检结果为：甲队体重的平均数为60 kg，方差为200，乙队体重的平均数为70 kg，方差为300，又已知甲、乙两队的队员人数之比为1∶4，那么甲、乙两队全部队员的平均体重和方差分别是多少？ 解：由题意可知甲＝60，甲队队员在所有队员中所占比例为＝， 乙＝70，乙队队员在所有队员中所占比例为＝， 则甲、乙两队全部队员的平均体重为 ＝×60＋×70＝68(kg)， 甲、乙两队全部队员的体重的方差为 s2＝×[200＋(60－68)2]＋×[300＋(70－68)2]＝296. 分层随机抽样的方差 设样本中不同层的平均数分别为1，2，…，n，方差分别为s，s，…，s，相应的权重分别为w1，w2，…，wn，则这个样本的方差为s2＝wi[s＋(i－)2](为样本的平均数)． 变式训练 2．(多选)某分层随机抽样中，有关数据如下： 样本量 平均数 方差 第1层 45 4 2 第2层 35 8 1 第3层 10 6 3 则下列叙述正确的是(结果保留两位小数)(　　) A．第1，2层所有数据的平均数为5.75 B．第1，2层所有数据的方差为1.50 C．第1，2，3层所有数据的平均数约为7.68 D．第1，2，3层所有数据的方差约为5.23 解析：AD　第1，2层所有数据的平均数为1，2＝×4＋×8＝5.75，A正确；第1，2层所有数据的方差为s＝×[2＋(4－5.75)2]＋×[1＋(8－5.75)2]＝5.50，B不正确；第1，2，3层所有数据的平均数为＝×4＋×8＋×6≈5.78，C不正确；第1，2，3层所有数据的方差约为s2＝×[2＋(4－5.78)2]＋×[1＋(8－5.78)2]＋×[3＋(6－5.78)2]≈5.23，D正确． 思维提升 　方差、标准差与统计图表的综合应用 例3　甲、乙两人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图所示． (1)分别求出两人得分的平均数与方差； (2)根据图形和(1)中的计算结果，对两人的训练成绩作出评价． 解：(1)由题图可得，甲、乙两人五次测试的成绩分别为： 甲：10，13，12，14，16； 乙：13，14，12，12，14. 甲＝＝13， 乙＝＝13， s＝×[(10－13)2＋(13－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2＋(16－13)2]＝4， s＝×[(13－13)2＋(14－13)2＋(12－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2]＝0.8. (2)由s>s可知乙的成绩较稳定． 从折线图看，甲的成绩基本呈上升状态．而乙的成绩上下波动，可知甲的成绩在不断提高，而乙的成绩则无明显提高(言之有理即可)． 统计图中数字特征的求解技巧 根据统计图研究样本数据的数字特征与横坐标和纵坐标的统计意义有关，但一般情况下，整体分布位置较高的平均数大，数据波动性小的方差小． 变式训练 3．甲、乙、丙三名学生在一项集训中的40次测试分数都在[50，100]内，将他们的测试分数分别绘制成频率分布直方图，如图所示，记甲、乙、丙的分数标准差分别为s1，s2，s3，则它们的大小关系为(　　) 甲 乙 丙 A．s1>s2>s3　　　　　 B．s1>s3>s2 C．s3>s1>s2 D．s3>s2>s1 解析：B　比较三个频率分布直方图知，甲为“双峰”直方图，两端数据最多、最分散、方差最大；乙为“单峰”直方图，数据最集中，方差最小；丙为“单峰”直方图，但数据分布相对均匀，方差介于甲、乙之间．综上可知s1>s3>s2. 课堂小结 1．知识网络 2．方法归纳：数据分析． 3．易错提醒 易混淆方差(标准差)的大小与数据集中趋势的关系． 课堂练习 1．某校举行元旦诗歌朗诵比赛，七位评委为某位选手打出的分数为79，84，84，86，84，87，93，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的平均数和方差分别为(　　) A．84，4.84　　　　　 B．84，1.6 C．85，1.6 D．85，0.4 解析：C　由题意＝×(84＋84＋86＋84＋87)＝85. s2＝×[(84－85)2＋(84－85)2＋(86－85)2＋(84－85)2＋(87－85)2]＝×(1＋1＋1＋1＋4)＝＝1.6. 2．从一堆苹果中任取5个，称得它们的质量(单位：克)为125，124，121，123，127.则该样本的标准差s是(　　) A．4 B．2 C．9 D．3 解析：B　因为＝×(125＋124＋121＋123＋127)＝124(克)，所以s2＝×(12＋02＋32＋12＋32)＝4，所以标准差s＝2. 3．若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的标准差为(　　) A．8 B．15 C．16 D．32 解析：C　由题意得yi＝2xi－1(i＝1，2，3，…，10)，则所求的标准差为2×8＝16. 4．为了调查公司员工的体重状况，用分层随机抽样的方法抽取样本．若样本中有20名男员工，30名女员工，且男员工的平均体重为70 kg，标准差为4，女员工的平均体重为50 kg，标准差为6，则所抽取样本的方差为________． 解析：由题意知，样本的平均数＝＝58，故样本的方差s2＝×[42＋(70－58)2]＋×[62＋(50－58)2]＝124. 答案：124 学科网（北京）股份有限公司 $$ 9．2.4　总体离散程度的估计 学案 学习目标 1．理解方差、标准差的含义，会计算方差和标准差． 2.掌握求分层随机抽样总样本的平均数及方差的方法． 情境导入 平均数、众数以及中位数作为一组数据的代表，刻画了该组数据的集中趋势．而数据的离散程度可以用极差、方差或标准差来描述．这节课我们共同来研究总体离散趋势的有关知识． 新知探究 知识点总结 1．方差和标准差 假设一组数据是x1，x2，…，xn，用表示这组数据的平均数，则我们称_(xi－)2为这组数据的方差，有时为了计算方差的方便，我们还把方差写成x－2的形式．我们对方差开平方，取它的算术平方根 ，称为这组数据的标准差． 2．总体方差和标准差 (1)总体方差和标准差：如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体平均数为，则总体方差S2＝ (Yi－)2. (2)总体方差的加权形式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i＝1，2，…，k)，则总体方差为S2＝fi(Yi－)2. 总体标准差：S＝. 3．样本方差和标准差 如果一个样本中个体的变量值分别为y1，y2，…，yn，样本平均数为，则称s2＝ (yi－)2为样本方差，s＝为样本标准差． 4．标准差的意义 标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小． 典例探究 例1(1)已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是3，方差是，那么另一组数据2x1－1，2x2－1，2x3－1，2x4－1，2x5－1的平均数、方差分别是(　　) A．5，　　　　 B．5，2 C．3，2 D．3， (2)甲、乙两机床同时加工直径为100 mm的零件，为检验质量，从中各抽取6件测量，数据为 甲：99　100　98　100　100　103 乙：99　100　102　99　100　100 ①分别计算两组数据的平均数及方差； ②根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定． 变式训练 1．(1)已知数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数为3，标准差为4，则数据5x1－1，5x2－1，5x3－1，5x4－1，5x5－1的平均数和方差分别为________和________． (2)甲、乙两名战士在相同条件下各打靶10次，每次命中的环数分别如下： 甲：8，6，7，8，6，5，9，10，4，7. 乙：6，7，7，8，6，7，8，7，9，5. 估计两名战士的射击情况．若要从这两人中选一人参加射击比赛，选谁去合适？ 知识点二　分层随机抽样的方差 知识点总结 假设第一层有m个数，分别为x1，x2，…，xm，平均数为，方差为s2；第二层有n个数，分别为y1，y2，…，yn，平均数为，方差为t2.则＝xi，s2＝ (xi－)2，＝yi，t2＝(yi－)2. 若记样本平均数值为，样本方差为b2，则可以算出 ＝(xi＋yi)＝， b2＝ ＝[(ms2＋nt2)＋(－)2]． 典例探究 例2　(链接教材P213例6)甲、乙两支田径队的体检结果为：甲队体重的平均数为60 kg，方差为200，乙队体重的平均数为70 kg，方差为300，又已知甲、乙两队的队员人数之比为1∶4，那么甲、乙两队全部队员的平均体重和方差分别是多少？ 变式训练 2．(多选)某分层随机抽样中，有关数据如下： 样本量 平均数 方差 第1层 45 4 2 第2层 35 8 1 第3层 10 6 3 则下列叙述正确的是(结果保留两位小数)(　　) A．第1，2层所有数据的平均数为5.75 B．第1，2层所有数据的方差为1.50 C．第1，2，3层所有数据的平均数约为7.68 D．第1，2，3层所有数据的方差约为5.23 思维提升 　方差、标准差与统计图表的综合应用 例3　甲、乙两人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图所示． (1)分别求出两人得分的平均数与方差； (2)根据图形和(1)中的计算结果，对两人的训练成绩作出评价． 变式训练 3．甲、乙、丙三名学生在一项集训中的40次测试分数都在[50，100]内，将他们的测试分数分别绘制成频率分布直方图，如图所示，记甲、乙、丙的分数标准差分别为s1，s2，s3，则它们的大小关系为(　　) 甲 乙 丙 A．s1>s2>s3　　　　　 B．s1>s3>s2 C．s3>s1>s2 D．s3>s2>s1 课堂小结 1．知识网络 2．方法归纳：数据分析． 3．易错提醒 易混淆方差(标准差)的大小与数据集中趋势的关系． 课堂练习 1．某校举行元旦诗歌朗诵比赛，七位评委为某位选手打出的分数为79，84，84，86，84，87，93，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的平均数和方差分别为(　　) A．84，4.84　　　　　 B．84，1.6 C．85，1.6 D．85，0.4 2．从一堆苹果中任取5个，称得它们的质量(单位：克)为125，124，121，123，127.则该样本的标准差s是(　　) A．4 B．2 C．9 D．3 3．若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的标准差为(　　) A．8 B．15 C．16 D．32 4．为了调查公司员工的体重状况，用分层随机抽样的方法抽取样本．若样本中有20名男员工，30名女员工，且男员工的平均体重为70 kg，标准差为4，女员工的平均体重为50 kg，标准差为6，则所抽取样本的方差为________． 学科网（北京）股份有限公司 $$