八年级数学月考卷01（北师大版八下三角形的证明+一元一次（组））-学易金卷：2024-2025学年初中下学期第一次月考

请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年八年级下学期第一次月考卷 数学·答题卡 第Ⅰ卷（请用 2B 铅笔填涂） 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必 须用 0.5 mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆 珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题 3 分，共 24 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 9. _______________ 10. ________________ 11. ________________ 12. ________________ 13. ________________ 三、解答题（共 81 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14．（5 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 15．（5 分） 16．（5 分） 17．（5 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（5 分） 19．（5 分） 20．（6 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（6 分） 22．（7 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（7 分） 24．（7 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（8 分） 26．（10 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年八年级数学下学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版八年级下册第一章~第二章（第一章70分占60%、第二章50分占40%）。 5．难度系数：0.69。 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．以下列各组数为边长，可以构成直角三角形的是（    ） A．2，3，4 B．3，4，6 C．6，8，15 D．5，12，13 2．如图是一个跷跷板的示意图，立柱与地面垂直（于点C），跷跷板的一头A着地时，点A、C、在同一水平线上，，若，则的长度为（    ） A． B． C． D． 3．若，则下列不等式成立的是（　　） A． B． C． D． 4．如图，直线与直线交于点，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 5．若关于x的不等式组的解集中有6个整数解，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．如图，在中，，点为边的中点，过点作的垂线，交于点，点为延长线上一点，连接，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 7．已知的三边长分别为2、2、3，在所在平面内画一条直线，将分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（　　）条． A．3 B．4 C．5 D．6 8．如图，在中，，的垂直平分线交于D，交于E，连接，给出下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的结论有（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 9．“的3倍与7的和是非正数”用不等式表示为 ． 10．如图，已知平分，平分，且，设，，则的周长是 ． 11．如果关于的不等式的解集为，则的取值范围是 ． 12．等腰三角形一腰上的高线与另一腰夹角为，则该三角形的顶角为 ． 13．如图， 在等边中，， 点P、Q是直线的两动点，，以为边向下作等边， 连接，则的最小值为 ． 三、解答题（本大题共13小题，满分81分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14．（5分）已知是关于x的一元一次不等式，求该不等式的解集． 15．（5分）如图，，，求证：． 16．（5分）解不等式组：，并把解集表示在数轴上． 17．（5分）如图，已知，点在上．若，请用尺规作图法，在射线上求作一点，使．（保留作图痕迹，不写作法） 18．（5分）已知；如图，，，，，．求该图形的面积． 19．（5分）骑行被称为黄金有氧运动，能让全身内脏器官得到锻炼，有益于心肺耐力，增强心肺功能．某商店老板销售一种自行车，这款自行车的进价为400元/辆，标价为720元/辆．活动期间要降价销售，他要以不低于进价40%的利润才能出售，商店老板每辆最多可以降价多少元？ 20．（6分）如图：已知等边中，是的中点，是延长线上的一点，且，，垂足为． (1)求的度数． (2)求证：点是的中点． 21．（6分）从燃油车时代的“市场换技术”，到新能源汽车赛道的突飞猛进，中国在全球汽车产业的地位不断提高，众多中国车企正积极融入全球产业链，与其他国家共享绿色发展最新成果．现有一款新能源汽车在充满电后，汽车行驶的路程x与剩余电量y之间满足一次函数关系．该汽车每公里耗电0.1，汽车行驶了时剩余电量为40，为保证汽车内电子系统的正常工作，当电量低于2时，汽车将无法正常行驶． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)该款汽车充满电后最多可以行驶多少千米？ 22．（7分）已知方程组的解满足x为非正数，y为负数． (1)求m得取值范围． (2)在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式的解为． 23．（7分）如图，直线（，为常数）分别交轴，轴于点．直线（为常数）分别交轴，轴于点，与直线相交于点，已知． (1)求直线的表达式； (2)求当时，的取值范围． 24．（7分）如图，在中，，，是边上的中线，的垂直平分线交于点E，交于点F，点G是上一点，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 25．（8分）如图，在等腰中，，，点在边上运动（点不与点，重合），连接，作，交边于点E． (1)若时，求证：； (2)在点D的运动过程中，若以为其中一腰长的是等腰三角形时，求出此时的度数． 26．（10分）（1）发现：如图1，点A为线段外一动点，且，．则当点A位于______时，线段的长取得最大值，且最大值是______． （2）应用：点A为线段外一动点，且，，如图2所示，分别以，为边作等边和等边，连接、，求出线段长的最大值并说明理由 （3）拓展：如图3，在点A的正东方向3000米处有一物资补给站B，某园林部门要规划一片牡丹种植园，要求，，且米．为了在点A有最佳的观赏效果，要求线段最长，试求线段长的最大值及此时点C到直线的距离． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1 / 8 2024-2025 学年八年级数学下学期第一次月考卷 （考试时间：120 分钟 试卷满分：120 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版八年级下册第一章~第二章（第一章 70 分占 60%、第二章 50 分占 40%）。 5．难度系数：0.69。 第一部分（选择题 共 24 分） 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，满分 24 分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题 目要求的） 1．以下列各组数为边长，可以构成直角三角形的是（ ） A．2，3，4 B．3，4，6 C．6，8，15 D．5，12，13 2．如图是一个跷跷板的示意图，立柱OC与地面垂直（OC AC 于点 C），跷跷板的一头 A着地时 27OAC  ， 点 A、C、B在同一水平线上， OB C OAC   ，若 1 mOA  ，则 AB的长度为（ ） A．1.5m B．2m C．2.5m D．3m 3．若 a b ，则下列不等式成立的是（ ） A． 3 3a b   B．3 3a b C． 3 3 a b  D． a b   4．如图，直线 1 :l y ax b  与直线 2 :l y mx n  交于点  3, 2P  ，则关于 x的不等式ax b mx n   的解集是 （ ） 2 / 8 A． 2x   B． 2x   C． 3x  D． 3x  5．若关于 x的不等式组 0 5 2 1 x m x      的解集中有 6 个整数解，则 m的取值范围是（ ） A．7 8m  B．7 8m  C．7 8m  D．7 8m  6．如图，在 ABC 中， 70A  ，点D为边BC的中点，过点D作BC的垂线，交 AB于点E，点F 为DE延 长线上一点，连接CE，CF，若 ACF ECF   ，则 F 的度数为（ ） A．30 B．35 C．40 D．55 7．已知 ABC 的三边长分别为 2、2、3，在 ABC 所在平面内画一条直线，将 ABC 分割成两个三角形， 使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（ ）条． A．3 B．4 C．5 D．6 8．如图，在Rt ABC△ 中， 90 , 30C B     ， AB的垂直平分线交BC于 D，交 AB于 E，连接 AD，给出 下列结论：①DA平分 CDE ；②BE AC ；③ 2BD CD ；④ BD DE BC  ．其中正确的结论有（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 第二部分（非选择题 共 96 分） 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分） 9．“m的 3 倍与 7 的和是非正数”用不等式表示为 ． 10．如图，已知BO平分 CBA ，CO平分 ACB ，且MN BC∥ ，设 12AB  ， 24 18BC AC ， ，则 AMN 3 / 8 的周长是 ． 11．如果关于 x的不等式  1 3m x  的解集为 3 1 x m   ，则m的取值范围是 ． 12．等腰三角形一腰上的高线与另一腰夹角为50，则该三角形的顶角为 ． 13．如图， 在等边 ABC 中， 6AB  ， 点 P、Q是直线BC的两动点， 2PQ  ，以PQ为边向下作等边 PQD△ ， 连接 AP AD、 ，则 AP AD的最小值为 ． 三、解答题（本大题共 13 小题，满分 81 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14．（5 分）已知 12 2 0mx m   是关于 x的一元一次不等式，求该不等式的解集． 15．（5 分）如图， 90B D    ， AB AD ，求证：Rt RtABC ADC≌  ． 4 / 8 16．（5 分）解不等式组：  3 2 4 1 2 1 3 x x x x          ，并把解集表示在数轴上． 17．（5 分）如图，已知 AOB ，点C在OA上．若 30AOB  ，请用尺规作图法，在射线OB上求作一点 P， 使 2 CPO AOB．（保留作图痕迹，不写作法） 18．（5 分）已知；如图， 4AD ， 3CD  ， 90ADC  ， 13AB  ， 12BC  ．求该图形的面积． 5 / 8 19．（5 分）骑行被称为黄金有氧运动，能让全身内脏器官得到锻炼，有益于心肺耐力，增强心肺功能．某 商店老板销售一种自行车，这款自行车的进价为 400 元/辆，标价为 720 元/辆．活动期间要降价销售，他要 以不低于进价 40%的利润才能出售，商店老板每辆最多可以降价多少元？ 20．（6 分）如图：已知等边 ABC 中，D是 AC 的中点，E是 BC延长线上的一点，且CE CD ，DM BC ， 垂足为M ． (1)求 E 的度数． (2)求证：点M 是 BE 的中点． 6 / 8 21．（6 分）从燃油车时代的“市场换技术”，到新能源汽车赛道的突飞猛进，中国在全球汽车产业的地位不 断提高，众多中国车企正积极融入全球产业链，与其他国家共享绿色发展最新成果．现有一款新能源汽车 在充满电后，汽车行驶的路程 x  km 与剩余电量 y  kW h 之间满足一次函数关系．该汽车每公里耗电 0.1 kW h ，汽车行驶了100km时剩余电量为 40  kW h ，为保证汽车内电子系统的正常工作，当电量低于 2 kW h 时，汽车将无法正常行驶． (1)求 y  kW h 与 x  km 之间的函数表达式； (2)该款汽车充满电后最多可以行驶多少千米？ 22．（7 分）已知方程组 7 1 3 x y m x y m         的解满足 x为非正数，y为负数． (1)求 m得取值范围． (2)在 m的取值范围内，当 m为何整数时，不等式2 2 1mx x m   的解为 1x  ． 7 / 8 23．（7 分）如图，直线 1 1:l y kx a  （ 0k  ， a为常数）分别交 x轴， y轴于点    2,0 , 0,1A B ．直线 2 2: 2l y x b   （b为常数）分别交 x轴， y轴于点 ,C D，与直线 1l 相交于点E，已知 1 3 OB OC ． (1)求直线 1l 的表达式； (2)求当 1 2y y 时， x的取值范围． 24．（7 分）如图，在 ABC 中，AC BC ， 120ACB  ，CD是边 AB上的中线，BD的垂直平分线EF交 BC于点 E，交 AB于点 F，点 G是 AC上一点，且 15CDG  ． (1)求证： AG BD ； (2)若 1EF  ，求 AC的长． 8 / 8 25．（8 分）如图，在等腰 ABC 中， 4AB AC  ， 40B C    ，点D在边BC上运动（点D不与点 B， C重合），连接 AD，作 40ADE  ，DE交边 AC 于点 E． (1)若 4DC  时，求证： ABD DCE≌△ △ ； (2)在点 D的运动过程中，若以DE为其中一腰长的 ADE 是等腰三角形时，求出此时 BDA 的度数． 26．（10 分）（1）发现：如图 1，点 A为线段BC外一动点，且 4BC  ， 3AB  ．则当点 A位于______时， 线段 AC 的长取得最大值，且最大值是______． （2）应用：点 A为线段BC外一动点，且 4BC  ， 3AB  ，如图 2 所示，分别以 AB，AC 为边作等边 ABD△ 和等边 ACE△ ，连接CD、 BE ，求出线段 BE 长的最大值并说明理由 （3）拓展：如图3，在点A的正东方向3000米处有一物资补给站B，某园林部门要规划一片牡丹种植园 BCD△ ， 要求CB CD ， 90BCD  ，且 1000AC  米．为了在点 A有最佳的观赏效果，要求线段 AD最长，试求线 段 AD长的最大值及此时点 C到直线 AB的距离． 2024-2025学年八年级数学下学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版八年级下册第一章~第二章（第一章70分占60%、第二章50分占40%）。 5．难度系数：0.69。 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．以下列各组数为边长，可以构成直角三角形的是（    ） A．2，3，4 B．3，4，6 C．6，8，15 D．5，12，13 2．如图是一个跷跷板的示意图，立柱与地面垂直（于点C），跷跷板的一头A着地时，点A、C、在同一水平线上，，若，则的长度为（    ） A． B． C． D． 3．若，则下列不等式成立的是（　　） A． B． C． D． 4．如图，直线与直线交于点，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 5．若关于x的不等式组的解集中有6个整数解，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．如图，在中，，点为边的中点，过点作的垂线，交于点，点为延长线上一点，连接，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 7．已知的三边长分别为2、2、3，在所在平面内画一条直线，将分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（　　）条． A．3 B．4 C．5 D．6 8．如图，在中，，的垂直平分线交于D，交于E，连接，给出下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的结论有（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 9．“的3倍与7的和是非正数”用不等式表示为 ． 10．如图，已知平分，平分，且，设，，则的周长是 ． 11．如果关于的不等式的解集为，则的取值范围是 ． 12．等腰三角形一腰上的高线与另一腰夹角为，则该三角形的顶角为 ． 13．如图， 在等边中，， 点P、Q是直线的两动点，，以为边向下作等边， 连接，则的最小值为 ． 三、解答题（本大题共13小题，满分81分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14．（5分）已知是关于x的一元一次不等式，求该不等式的解集． 15．（5分）如图，，，求证：． 16．（5分）解不等式组：，并把解集表示在数轴上． 17．（5分）如图，已知，点在上．若，请用尺规作图法，在射线上求作一点，使．（保留作图痕迹，不写作法） 18．（5分）已知；如图，，，，，．求该图形的面积． 19．（5分）骑行被称为黄金有氧运动，能让全身内脏器官得到锻炼，有益于心肺耐力，增强心肺功能．某商店老板销售一种自行车，这款自行车的进价为400元/辆，标价为720元/辆．活动期间要降价销售，他要以不低于进价40%的利润才能出售，商店老板每辆最多可以降价多少元？ 20．（6分）如图：已知等边中，是的中点，是延长线上的一点，且，，垂足为． (1)求的度数． (2)求证：点是的中点． 21．（6分）从燃油车时代的“市场换技术”，到新能源汽车赛道的突飞猛进，中国在全球汽车产业的地位不断提高，众多中国车企正积极融入全球产业链，与其他国家共享绿色发展最新成果．现有一款新能源汽车在充满电后，汽车行驶的路程x与剩余电量y之间满足一次函数关系．该汽车每公里耗电0.1，汽车行驶了时剩余电量为40，为保证汽车内电子系统的正常工作，当电量低于2时，汽车将无法正常行驶． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)该款汽车充满电后最多可以行驶多少千米？ 22．（7分）已知方程组的解满足x为非正数，y为负数． (1)求m得取值范围． (2)在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式的解为． 23．（7分）如图，直线（，为常数）分别交轴，轴于点．直线（为常数）分别交轴，轴于点，与直线相交于点，已知． (1)求直线的表达式； (2)求当时，的取值范围． 24．（7分）如图，在中，，，是边上的中线，的垂直平分线交于点E，交于点F，点G是上一点，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 25．（8分）如图，在等腰中，，，点在边上运动（点不与点，重合），连接，作，交边于点E． (1)若时，求证：； (2)在点D的运动过程中，若以为其中一腰长的是等腰三角形时，求出此时的度数． 26．（10分）（1）发现：如图1，点A为线段外一动点，且，．则当点A位于______时，线段的长取得最大值，且最大值是______． （2）应用：点A为线段外一动点，且，，如图2所示，分别以，为边作等边和等边，连接、，求出线段长的最大值并说明理由 （3）拓展：如图3，在点A的正东方向3000米处有一物资补给站B，某园林部门要规划一片牡丹种植园，要求，，且米．为了在点A有最佳的观赏效果，要求线段最长，试求线段长的最大值及此时点C到直线的距离． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年八年级数学下学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版八年级下册第一章~第二章（第一章70分占60%、第二章50分占40%）。 5．难度系数：0.69。 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．以下列各组数为边长，可以构成直角三角形的是（    ） A．2，3，4 B．3，4，6 C．6，8，15 D．5，12，13 【答案】D 【详解】解：A．，， ， 不能构成直角三角形， 故选项不符合题意； B．，， ， 不能构成直角三角形， 故选项不符合题意； C．， 不能构成三角形， 故选项不符合题意； D．，， ， 能构成直角三角形， 故选项符合题意； 故选：D． 2．如图是一个跷跷板的示意图，立柱与地面垂直（于点C），跷跷板的一头A着地时，点A、C、在同一水平线上，，若，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴． 故选：B． 3．若，则下列不等式成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， ， 故本选项不符合题意； ， ， 故本选项不符合题意； ， ， 故本选项符合题意； ， ， 故本选项不符合题意． 故选：C． 4．如图，直线与直线交于点，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由图可知，当时，直线在直线下方， ∴不等式的解集为； 故选：C． 5．若关于x的不等式组的解集中有6个整数解，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 则不等式组的解集是， ∵不等式组有6个整数解， ∴整数解是2，3，4，5，6，7， ∴m的取值范围是， 故选：D． 6．如图，在中，，点为边的中点，过点作的垂线，交于点，点为延长线上一点，连接，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵点D为中点，过点D作的垂线，交于点E， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， ∴； 故选B． 7．已知的三边长分别为2、2、3，在所在平面内画一条直线，将分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（　　）条． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】解：设，， ∵， ∴有以下四种情况， ①以点B为圆心，以为半径画弧交于D，作直线，如图1所示： 则， ∴直线将分割成两个三角形，其中的一个是等腰三角形； ②以点C为圆心，以为半径画弧交于E，作直线，如图2所示： 则， ∴直线将分割成两个三角形，其中的一个是等腰三角形； ③作线段的垂直平分线交于点F，作直线，如图3所示： 则， ∴直线将分割成两个三角形，其中的一个是等腰三角形； ④作线段的垂直平分线交于点H，作直线，如图4所示： 则， ∴直线将分割成两个三角形，其中的一个是等腰三角形． 综上所述：这样的直线最多可以画4条， 故选：B． 8．如图，在中，，的垂直平分线交于D，交于E，连接，给出下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的结论有（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【详解】解：在中，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴平分， 故①正确； ∵， ∴， 又∵垂直平分， ∴， ∴， 故②正确； ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故③正确； ∵， ∴， 故④正确， ∴正确的结论有4个， 故选：A． 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 9．“的3倍与7的和是非正数”用不等式表示为 ． 【答案】 【详解】解：“的3倍与7的和是非正数”用不等式表示为， 故答案为：． 10．如图，已知平分，平分，且，设，，则的周长是 ． 【答案】30 【详解】解：∵平分，平分， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； ∴的周长为： ， 故答案为：30． 11．如果关于的不等式的解集为，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【详解】解：∵不等式的解集为， ∴， 解得， 故答案为：． 12．等腰三角形一腰上的高线与另一腰夹角为，则该三角形的顶角为 ． 【答案】或 【详解】解：如图1，三角形是锐角三角时， ∵， ∴顶角； 如图2，三角形是钝角时， ∵， ∴顶角， 综上所述，顶角等于或． 故答案为：或．    13．如图， 在等边中，， 点P、Q是直线的两动点，，以为边向下作等边， 连接，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：过点A作直线作点P关于直线的对称点，则， ∴ 当三点共线时，的值最小，最小值为， 过点D作交的延长线于点M， ∵ ∴ ∵是等边三角形， ∴ ∴ ∴ ∴ 过点C作于点H， ∵是等边三角形， ∴ ∵ ∴四边形是矩形， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∵点P与点关于对称， ∴， ∴， 在中，， ∴的最小值是 故答案为： 三、解答题（本大题共13小题，满分81分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14．（5分）已知是关于x的一元一次不等式，求该不等式的解集． 【详解】解：根据不等式是一元一次不等式可得：， ∴．······（2分） ∴原不等式化为：， 解得．······（3分） 15．（5分）如图，，，求证：． 【详解】证明：， 和都是直角三角形．······（2分） 在和中， ， ．······（3分） 16．（5分）解不等式组：，并把解集表示在数轴上． 【详解】解：， 解不等式得，，······（1分） 解不等式得，，······（2分） ∴不等式组的解集为，······（1分） 解集表示在数轴上表示如图， ······（1分） 17．（5分）如图，已知，点在上．若，请用尺规作图法，在射线上求作一点，使．（保留作图痕迹，不写作法） 【详解】解：如图，点即为所求． 由作图可得， ∵， ∴， ∴． ······（5分） 18．（5分）已知；如图，，，，，．求该图形的面积． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，，， ∴,······（1分） ∵，， ∴，······（2分） ∴是直角三角形，，······（1分） ∴图形面积为．······（1分） 19．（5分）骑行被称为黄金有氧运动，能让全身内脏器官得到锻炼，有益于心肺耐力，增强心肺功能．某商店老板销售一种自行车，这款自行车的进价为400元/辆，标价为720元/辆．活动期间要降价销售，他要以不低于进价40%的利润才能出售，商店老板每辆最多可以降价多少元？ 【详解】解：设商店老板每辆可以降价元，依题意，得： ，······（2分） 解得：，······（2分） ∴商店老板每辆最多可以降价160元······（1分） 答：商店老板每辆最多可以降价160元． 20．（6分）如图：已知等边中，是的中点，是延长线上的一点，且，，垂足为． (1)求的度数． (2)求证：点是的中点． 【详解】（1）解：三角形是等边， ，······（1分） 又， ，······（1分） 又， ；······（1分） （2）证明：连接， 等边中，是的中点， ······（1分） 由（1）知 ······（1分） 又 是的中点．······（1分） 21．（6分）从燃油车时代的“市场换技术”，到新能源汽车赛道的突飞猛进，中国在全球汽车产业的地位不断提高，众多中国车企正积极融入全球产业链，与其他国家共享绿色发展最新成果．现有一款新能源汽车在充满电后，汽车行驶的路程x与剩余电量y之间满足一次函数关系．该汽车每公里耗电0.1，汽车行驶了时剩余电量为40，为保证汽车内电子系统的正常工作，当电量低于2时，汽车将无法正常行驶． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)该款汽车充满电后最多可以行驶多少千米？ 【详解】（1）解：∵该汽车每公里耗电0.1，汽车行驶了时剩余电量为40， ∴新能源汽车在充满电后的电量为，······（1分） ∴y与x之间的函数表达式为．······（2分） （2）∵当电量低于2时，汽车将无法正常行驶． ∴，······（2分） 解得 ∴该款汽车充满电后最多可以行驶千米．······（1分） 22．（7分）已知方程组的解满足x为非正数，y为负数． (1)求m得取值范围． (2)在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式的解为． 【详解】（1）解： 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴方程组的解为，······（1分） ∵x为非正数，y为负数， ∴，， ∴，······（2分） 解得， ∴m的取值范围是．······（1分） （2）解：将不等式整理，得， ∵其解集为，······（1分） ∴， 解得 ∴．······（1分） 结合m取整数，可得， 即当时，不等式的解集为．······（1分） 23．（7分）如图，直线（，为常数）分别交轴，轴于点．直线（为常数）分别交轴，轴于点，与直线相交于点，已知． (1)求直线的表达式； (2)求当时，的取值范围． 【详解】（1）解：根据题意把代入， 得， 解得，······（2分） 直线的表达式为；······（1分） （2）解：， ， ， ， ，······（1分） 把代入得， 解得， ，······（1分） 解不等式得， 即时，的取值范围为．······（2分） 24．（7分）如图，在中，，，是边上的中线，的垂直平分线交于点E，交于点F，点G是上一点，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【详解】（1）证明：在中，，， ∴， ∵是边上的中线， ∴，，， ∴，······（2分） ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴；······（2分） （2）解：∵是线段的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴，······（1分） ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴．······（2分） 25．（8分）如图，在等腰中，，，点在边上运动（点不与点，重合），连接，作，交边于点E． (1)若时，求证：； (2)在点D的运动过程中，若以为其中一腰长的是等腰三角形时，求出此时的度数． 【详解】（1）证明：，，， ，······（1分） ，， ， 在和中， ， ；······（2分） （2）解：分两种情况： ①当时，， ，······（1分） ， ；······（1分） ②当时，， ，······（1分） ， ， ；······（2分） 综上所述：当是等腰三角形时，的度数为或． 26．（10分）（1）发现：如图1，点A为线段外一动点，且，．则当点A位于______时，线段的长取得最大值，且最大值是______． （2）应用：点A为线段外一动点，且，，如图2所示，分别以，为边作等边和等边，连接、，求出线段长的最大值并说明理由 （3）拓展：如图3，在点A的正东方向3000米处有一物资补给站B，某园林部门要规划一片牡丹种植园，要求，，且米．为了在点A有最佳的观赏效果，要求线段最长，试求线段长的最大值及此时点C到直线的距离． 【详解】解：（1）当点A位于线段的延长线上时，线段的长取得最大值，且最大值是；······（2分） （2）∵和为等边三角形， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴，······（2分） ∴当最大时，最大， ∵当点D在延长线时，最大，且最大值为，······（1分） ∴线段长的最大值为7； （3）过点C作，截取米，连接，，如图所示： ······（1分） 根据作图可知，为等腰直角三角形， ∴米，······（1分） ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当最大时，最大， ∴当点E在的延长线上时，最大，且最大值为：米， 即的最大值为米，······（2分） 此时过点C作于点F， ∵， ∴米，······（1分） 即此时点C到直线的距离为米． 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年八年级数学下学期第一次月考卷 参考答案 1、 选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 7 8 D B C C D B B A 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9． 10．30 11． 12．或 13． 三、解答题：本大题共13小题，共81分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 14．（5分） 【详解】解：根据不等式是一元一次不等式可得：， ∴．······（2分） ∴原不等式化为：， 解得．······（3分） 15．（5分） 【详解】证明：， 和都是直角三角形．······（2分） 在和中， ， ．······（3分） 16．（5分） 【详解】解：， 解不等式得，，······（1分） 解不等式得，，······（2分） ∴不等式组的解集为，······（1分） 解集表示在数轴上表示如图， ······（1分） 17．（5分） 【详解】解：如图，点即为所求． 由作图可得， ∵， ∴， ∴． ······（5分） 18．（5分） 【详解】解：如图所示，连接， ∵，，， ∴,······（1分） ∵，， ∴，······（2分） ∴是直角三角形，，······（1分） ∴图形面积为．······（1分） 19．（5分） 【详解】解：设商店老板每辆可以降价元，依题意，得： ，······（2分） 解得：，······（2分） ∴商店老板每辆最多可以降价160元······（1分） 答：商店老板每辆最多可以降价160元． 20．（6分） 【详解】（1）解：三角形是等边， ，······（1分） 又， ，······（1分） 又， ；······（1分） （2）证明：连接， 等边中，是的中点， ······（1分） 由（1）知 ······（1分） 又 是的中点．······（1分） 21．（6分） 【详解】（1）解：∵该汽车每公里耗电0.1，汽车行驶了时剩余电量为40， ∴新能源汽车在充满电后的电量为，······（1分） ∴y与x之间的函数表达式为．······（2分） （2）∵当电量低于2时，汽车将无法正常行驶． ∴，······（2分） 解得 ∴该款汽车充满电后最多可以行驶千米．······（1分） 22．（7分） 【详解】（1）解： 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴方程组的解为，······（1分） ∵x为非正数，y为负数， ∴，， ∴，······（2分） 解得， ∴m的取值范围是．······（1分） （2）解：将不等式整理，得， ∵其解集为，······（1分） ∴， 解得 ∴．······（1分） 结合m取整数，可得， 即当时，不等式的解集为．······（1分） 23．（7分） 【详解】（1）解：根据题意把代入， 得， 解得，······（2分） 直线的表达式为；······（1分） （2）解：， ， ， ， ，······（1分） 把代入得， 解得， ，······（1分） 解不等式得， 即时，的取值范围为．······（2分） 24．（7分） 【详解】（1）证明：在中，，， ∴， ∵是边上的中线， ∴，，， ∴，······（2分） ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴；······（2分） （2）解：∵是线段的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴，······（1分） ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴．······（2分） 25．（8分） 【详解】（1）证明：，，， ，······（1分） ，， ， 在和中， ， ；······（2分） （2）解：分两种情况： ①当时，， ，······（1分） ， ；······（1分） ②当时，， ，······（1分） ， ， ；······（2分） 综上所述：当是等腰三角形时，的度数为或． 26．（10分） 【详解】解：（1）当点A位于线段的延长线上时，线段的长取得最大值，且最大值是；······（2分） （2）∵和为等边三角形， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴，······（2分） ∴当最大时，最大， ∵当点D在延长线时，最大，且最大值为，······（1分） ∴线段长的最大值为7； （3）过点C作，截取米，连接，，如图所示： ······（1分） 根据作图可知，为等腰直角三角形， ∴米，······（1分） ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当最大时，最大， ∴当点E在的延长线上时，最大，且最大值为：米， 即的最大值为米，······（2分） 此时过点C作于点F， ∵， ∴米，······（1分） 即此时点C到直线的距离为米． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年八年级下学期第一次月考卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 第Ⅰ卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共24分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题3分，共15分） 9. _______________ 10. ________________ 11. ________________ 12. ________________ 13. ________________ 三、解答题（共81分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14．（5分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 15．（5分） 16．（5分） 17．（5分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（5分） 19．（5分） 20．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（6分） 22．（7分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（7分） 24．（7分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（8分） 26．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 试题 第 1 页（共 6 页） 试题 第 2 页（共 6 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … 学 校 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ 姓 名 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ 班 级 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ 考 号 ： _ __ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ 2024-2025 学年八年级数学下学期第一次月考卷 （考试时间：120 分钟 试卷满分：120 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版八年级下册第一章~第二章（第一章 70 分占 60%、第二章 50 分占 40%）。 5．难度系数：0.69。 第一部分（选择题 共 24 分） 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，满分 24 分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题 目要求的） 1．以下列各组数为边长，可以构成直角三角形的是（ ） A．2，3，4 B．3，4，6 C．6，8，15 D．5，12，13 2．如图是一个跷跷板的示意图，立柱OC与地面垂直（OC AC 于点 C），跷跷板的一头 A着地时 27OAC  ，点 A、C、B在同一水平线上， OB C OAC   ，若 1 mOA  ，则 AB的长度为（ ） A．1.5m B．2m C．2.5m D．3m 3．若 a b ，则下列不等式成立的是（ ） A． 3 3a b   B．3 3a b C． 3 3 a b  D． a b   4．如图，直线 1 :l y ax b  与直线 2 :l y mx n  交于点  3, 2P  ，则关于 x的不等式ax b mx n   的解集 是（ ） A． 2x   B． 2x   C． 3x  D． 3x  5．若关于 x的不等式组 0 5 2 1 x m x      的解集中有 6 个整数解，则 m的取值范围是（ ） A．7 8m  B．7 8m  C．7 8m  D．7 8m  6．如图，在 ABC 中， 70A  ，点D为边BC的中点，过点D作BC的垂线，交 AB于点E，点F 为DE 延长线上一点，连接CE，CF，若 ACF ECF   ，则 F 的度数为（ ） A．30 B．35 C．40 D．55 7．已知 ABC 的三边长分别为 2、2、3，在 ABC 所在平面内画一条直线，将 ABC 分割成两个三角形， 使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（ ）条． A．3 B．4 C．5 D．6 8．如图，在Rt ABC△ 中， 90 , 30C B     ， AB的垂直平分线交BC于 D，交 AB于 E，连接 AD，给 出下列结论：①DA平分 CDE ；②BE AC ；③ 2BD CD ；④ BD DE BC  ．其中正确的结论有（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 第二部分（非选择题 共 96 分） 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分） 9．“m的 3 倍与 7 的和是非正数”用不等式表示为 ． 10．如图，已知BO平分 CBA ，CO平分 ACB ，且MN BC∥ ，设 12AB  ， 24 18BC AC ， ，则 AMN 的周长是 ． 11．如果关于 x的不等式  1 3m x  的解集为 3 1 x m   ，则m的取值范围是 ． 12．等腰三角形一腰上的高线与另一腰夹角为50，则该三角形的顶角为 ． 试题 第 3 页（共 6 页） 试题 第 4 页（共 6 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 此 卷 只 装 订 不 密 封 … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 13．如图， 在等边 ABC 中， 6AB  ， 点P、Q是直线BC的两动点， 2PQ  ，以PQ为边向下作等边 PQD△ ， 连接 AP AD、 ，则 AP AD的最小值为 ． 三、解答题（本大题共 13 小题，满分 81 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14．（5 分）已知 12 2 0mx m   是关于 x的一元一次不等式，求该不等式的解集． 15．（5 分）如图， 90B D    ， AB AD ，求证：Rt RtABC ADC≌  ． 16．（5 分）解不等式组：  3 2 4 1 2 1 3 x x x x          ，并把解集表示在数轴上． 17．（5 分）如图，已知 AOB ，点C在OA上．若 30AOB  ，请用尺规作图法，在射线OB上求作一点 P， 使 2 CPO AOB．（保留作图痕迹，不写作法） 18．（5 分）已知；如图， 4AD ， 3CD  ， 90ADC  ， 13AB  ， 12BC  ．求该图形的面积． 19．（5 分）骑行被称为黄金有氧运动，能让全身内脏器官得到锻炼，有益于心肺耐力，增强心肺功能．某 商店老板销售一种自行车，这款自行车的进价为 400 元/辆，标价为 720 元/辆．活动期间要降价销售，他 要以不低于进价 40%的利润才能出售，商店老板每辆最多可以降价多少元？ 20．（6 分）如图：已知等边 ABC 中，D是 AC 的中点，E是 BC延长线上的一点，且CE CD ，DM BC ， 垂足为M ． (1)求 E 的度数． (2)求证：点M 是 BE 的中点． 21．（6 分）从燃油车时代的“市场换技术”，到新能源汽车赛道的突飞猛进，中国在全球汽车产业的地位不 断提高，众多中国车企正积极融入全球产业链，与其他国家共享绿色发展最新成果．现有一款新能源汽车 在充满电后，汽车行驶的路程 x  km 与剩余电量 y  kW h 之间满足一次函数关系．该汽车每公里耗电 0.1 kW h ，汽车行驶了100km时剩余电量为 40  kW h ，为保证汽车内电子系统的正常工作，当电量低于 2 kW h 时，汽车将无法正常行驶． (1)求 y  kW h 与 x  km 之间的函数表达式； (2)该款汽车充满电后最多可以行驶多少千米？ 22．（7 分）已知方程组 7 1 3 x y m x y m         的解满足 x为非正数，y为负数． (1)求 m得取值范围． (2)在 m的取值范围内，当 m为何整数时，不等式2 2 1mx x m   的解为 1x  ． 试题 第 5 页（共 6 页） 试题 第 6 页（共 6 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … 学 校 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ 姓 名 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ 班 级 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ 考 号 ： _ __ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ 23．（7 分）如图，直线 1 1:l y kx a  （ 0k  ， a为常数）分别交 x轴， y轴于点    2,0 , 0,1A B ．直线 2 2: 2l y x b   （b为常数）分别交 x轴， y轴于点 ,C D，与直线 1l 相交于点E，已知 1 3 OB OC ． (1)求直线 1l 的表达式； (2)求当 1 2y y 时， x的取值范围． 24．（7 分）如图，在 ABC 中，AC BC ， 120ACB  ，CD是边 AB上的中线，BD的垂直平分线EF交 BC于点 E，交 AB于点 F，点 G是 AC上一点，且 15CDG  ． (1)求证： AG BD ； (2)若 1EF  ，求 AC的长． 25．（8 分）如图，在等腰 ABC 中， 4AB AC  ， 40B C    ，点D在边BC上运动（点D不与点 B， C重合），连接 AD，作 40ADE  ，DE交边 AC 于点 E． (1)若 4DC  时，求证： ABD DCE≌△ △ ； (2)在点 D的运动过程中，若以DE为其中一腰长的 ADE 是等腰三角形时，求出此时 BDA 的度数． 26．（10 分）（1）发现：如图 1，点 A为线段BC外一动点，且 4BC  ， 3AB  ．则当点 A位于______时， 线段 AC 的长取得最大值，且最大值是______． （2）应用：点 A为线段BC外一动点，且 4BC  ， 3AB  ，如图 2 所示，分别以 AB，AC 为边作等边 ABD△ 和等边 ACE△ ，连接CD、 BE ，求出线段 BE 长的最大值并说明理由 （3）拓展：如图 3，在点 A的正东方向 3000 米处有一物资补给站 B，某园林部门要规划一片牡丹种植园 BCD△ ，要求CB CD ， 90BCD  ，且 1000AC  米．为了在点 A有最佳的观赏效果，要求线段 AD最 长，试求线段 AD长的最大值及此时点 C到直线 AB的距离．