22.3 相似三角形的性质-同步训练2024-2025学年沪科版九年级数学上册

22.3 相似三角形的性质 一、选择题： 1.若两个相似三角形的面积之比为，则它们的周长之比为(    ) A. B. C. D. 2.一个三角形三边的长分别为，，，另一个与它相似的三角形的最长边是，则其它两边的和是(    ) A. B. C. D. 3.在某一时刻，测得一根高为的竹竿的影长为，同时测得一栋楼的影长为，则这栋楼的高度为(    ) A. B. C. D. 4.如图，已知∽，若，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 5.如图，已知是斜边上的高，，，则的长为(    ) A. B. C. D. 6.如图，在中，，若，，则的值为(    ) A. B. C. D. 二、填空题： 7.在中，，，垂足为点，若，，则 ______． 8.如图，测量小玻璃管口径的量具上，的长为毫米，被分为等份，如果小管口中正好对着量具上份处，那么小管口径的长是          毫米． 9.若∽，且，的周长是，则的周长是______． 10.如图，中，交于点，，：，，，则的长等于___                                                                    三、解答题： 11. 如图，，，求的度数． 12.如图，，分别是的边，上的点，，，，，求的长． 13.已知：在中，，，，于． 求的长； 求的长； 求的长． 14.如图，在中，点，分别为边，的中点，，相交于点求的值． 15. 如图，已知，且，求证：． 16.如图，在四边形中，，延长、相交于点求证： ； ． 17. 如图，在梯形中，，点，分别在线段，上，且，． 求证：； 若，求证：． 答案和解析 1.【答案】  【解析】 本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质即可求解，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：这个相似三角形的面积之比为， 它们的周长之比为， 故选A． 2.【答案】  【解析】解：设另一个三角形的最短边为，第二短边为， 根据相似三角形的三边对应成比例，知， ，， ． 故选：． 根据相似三角形的性质三边对应成比例作答即． 本题主要考查了相似三角形的性质：相似三角形的三边对应成比例．运用此性质时，关键是对应边要找准．寻找对应边的一般方法有：最长边是对应边，最短边是对应边；对应角所对的边是对应边． 3.【答案】  【解析】解：设这栋楼的高度为， 在某一时刻，测得一根高为的竹竿的影长为，同时测得一栋楼的影长为， ，解得． 故选：． 根据同一时刻物高与影长成正比即可得出结论． 本题考查相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键． 4.【答案】  5.【答案】  【解析】解：是斜边上的高， ， 解得或舍去， 即的长为． 故选：． 直接利用射影定理计算． 本题考查了射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项． 6.【答案】  【解析】解：，，， ∽，， ， ， 故选：． 根据题意证明∽，利用相似三角形性质建立等式求解即可． 本题考查相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的性质． 7.【答案】  【解析】解：，， ， 根据射影定理可得： ， 解得，， 故答案为：． 现根据勾股定理求出的长，再利用射影定理，把已知数据代入计算即可． 本题考查射影定理，掌握根据射影定理进行计算是解题的关键． 8.【答案】  【解析】【分析】 本题考查相似三角形的应用，关键是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程即可求出小管口径的长． 利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出小管口径的长即可． 【解答】 解：， ∽， ：：， ：：， 毫米， 小管口径的长是毫米． 故答案为：． 9.【答案】  【解析】解：∽， 的周长：的周长：：， 的周长为， 的周长为． 故答案为：． 根据相似三角形周长的比等于相似比，即可求得的周长． 此题考查了相似三角形的性质，熟记相似三角形的周长得比等于相似比是解决问题的关键． 10.【答案】  【解析】解：：：，， ，， ，， ∽， ， ， ， ， 故答案为． 11.【答案】解：，， ， ， ．   【解析】本题考查了相似三角形的性质以及三角形内角和定理，掌握以上知识点是解答本题的关键． 先根据三角形内角和定理求出，再根据相似三角形的性质即可求出． 12.【答案】， ， ， ，，，则 ．   【解析】此题考查了相似三角形的判定与性质，由与平行，得到，由相似得比例，把已知边代入求出的长即可． 13.【答案】解：，，， ； ， ， ； ， ．  【解析】利用勾股定理计算的长； 利用面积法计算的长； 根据射影定理，然后把、的长代入可计算出的长． 本题考查了射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项． 14.【答案】解：点，分别为边，的中点， 为的中位线， ，， ∽， ．  【解析】先根据三角形中位线定理得到，，则可判断∽，然后根据相似三角形的性质求解． 本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点．也考查了三角形中位线定理和相似三角形的判定与性质． 15.【答案】解：由题意可得：， ． ， ∽， 由相似三角形的性质则：． ．  【解析】根据两角相等的两个三角形相似证明∽，然后利用相似三角形的性质即可证明． 本题考查了相似三角形的判定与性质，正确记忆相关判定与性质是解题关键． 16.【答案】【小题】 ，又，． 【小题】 ，，即．，，，．   17.【答案】【小题】 证明：，． ，，≌，． 【小题】 ≌，，． ，∽， ，． ，．   第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$