切割线放缩 讲义-2025届高三数学二轮专题突破　

切割线放缩 [考情分析]　在高考题中，经常考查与导数有关的不等式问题，这些问题可以用常规方法求解，也可以用切线不等式进行放缩.导数切线放缩法是一种非常实用的数学方法，它可以帮助我们更好地理解函数的性质和变化规律，使问题简单化，利用切线不等式进行求解，能起到事半功倍的效果. 考点一　切线放缩 常见的切线放缩：∀x∈R都有ex≥x+1，当且仅当x=0时等号成立. ∀x>-1都有ln(x+1)≤x，当且仅当x=0时等号成立. 当x>0时，x>sin x；当x<0时，x<sin x. 例1　(2024·银川模拟)设函数f(x)=ex-m-ln x. (1)若曲线y=ln x在点(1，0)处的切线与曲线y=ex-m也相切，求m的值； (2)当m≤2时，证明：f(x)>0恒成立. [规律方法]　该方法适用于凹函数与凸函数且它们的凹凸性相反的问题(拆成两个函数)，两函数有斜率相同的切线，这是切线放缩的基础，引入一个中间量，分别证明两个不等式成立，然后利用不等式的传递性即可，难点在于合理拆分函数，寻找它们斜率相等的切线. 跟踪演练1　已知函数f(x)=ex--1. (1)若直线y=x+a为f(x)的切线，求a的值； (2)若对∀x∈(0，+∞)，恒有f(x)≥bx，求b的取值范围. 考点二　双切线放缩 例2　(2024·河南省名校联盟模拟)已知b>0，函数f(x)=(x+a)ln(x+b)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为xln 2-y-ln 2=0. (1)求a，b的值； (2)若方程f(x)=. [规律方法]　含有两个零点的f(x)的解析式(可能含有参数)，告知方程f(x)=b有两个实根x1，x2，要证明两个实根之差小于(或大于)某个表达式.求解策略是求出f(x)在两个零点处(有时候不一定是零点处)的切线方程(有时候不是找切线，而是找过曲线上某两点的直线)，然后严格证明曲线f(x)在切线(或所找直线)的上方或下方，进而对x1，x2作出放大或者缩小，从而实现证明. 跟踪演练2　已知f(x)=x-xln x-1，记f(x)在x=处的切线方程为y=g(x). (1)证明：g(x)≥f(x)； (2)若方程f(x)=m有两个不相等的实根x1，x2(x1<x2)，证明：x1-x2>2m+2-e-. 答案精析 例1　(1)解　由y=ln x，得y'=，当x=1时，y'=1， 所以曲线y=ln x在点(1，0)处的切线斜率为1， 所以曲线y=ln x在点(1，0)处的切线方程为y=x-1， 由y=ex-m，得y'=ex-m， 设曲线y=ex-m与直线y=x-1相切于点(x0，x0-1)， 则解得 所以m的值为2. (2)证明　方法一　因为m≤2， 所以ex-m≥ex-2， 所以f(x)=ex-m-ln x≥ex-2-ln x， 令h(x)=ex-2-ln x，x∈(0，+∞)， 所以h'(x)=ex-2-， 令g(x)=ex-2-，x∈(0，+∞)， 所以g'(x)=ex-2+>0， 所以g(x)即h'(x)在(0，+∞)上单调递增， 因为h'(1)=-1<0， h'(2)=1->0， 所以∃x0∈(1，2)， 使得h'(x0)=-=0， ① 当x∈(0，x0)时，h'(x)<0，当x∈(x0，+∞)时，h'(x)>0， 所以h(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，+∞)上单调递增， 所以h(x)min=h(x0)=-ln x0， 由①得=，所以x0=， 所以h(x0)=-ln x0=+x0-2==， 因为x0∈(1，2)， 所以h(x)min=h(x0)>0， 所以ex-2-ln x>0， 故ex-m≥ex-2>ln x， 所以f(x)>0. 方法二　因为m≤2， 所以ex-m≥ex-2， 所以f(x)=ex-m-ln x≥ex-2-ln x， 由(1)知曲线y=ex-2和y=ln x的公切线方程为y=x-1， 设φ(x)=ex-2-x+1，x∈R， 则φ'(x)=ex-2-1， 当x<2时，φ'(x)<0， 当x>2时，φ'(x)>0， 所以φ(x)在(-∞，2)上单调递减，在(2，+∞)上单调递增， 所以φ(x)≥φ(2)=0， 故ex-2≥x-1，当且仅当x=2时等号成立. 令m(x)=x-1-ln x，x∈(0，+∞)， 所以m'(x)=1-=， 当x∈(0，1)时，m'(x)<0， 当x∈(1，+∞)时，m'(x)>0， 所以m(x)在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增， 所以m(x)≥m(1)=0，故x-1≥ln x，当且仅当x=1时等号成立， 所以ex-2≥x-1≥ln x，且两等号不能同时成立， 所以ex-2>ln x，即ex-2-ln x>0，即证得f(x)>0. 跟踪演练1　解　(1)设直线y=x+a与曲线f(x)相切于点(x0，y0)， 因为f'(x)=ex-x， 则f'(x0)=-x0=1， 解得x0=0，则y0=f(x0)=0， 即0+a=0，解得a=0. (2)因为f(0)=0，且曲线f(x)在x=0处的切线方程为y=x. 故可猜测当x∈(0，+∞)时，f(x)的图象恒在切线y=x的上方， 即证当x∈(0，+∞)时，f(x)>x， 即证当x∈(0，+∞)时， ex--x-1>0， 设h(x)=ex--x-1， 则h'(x)=ex-x-1， 设P(x)=h'(x)=ex-x-1， 则P'(x)=ex-1， 因为P'(x)>0在(0，+∞)上恒成立， 所以h'(x)在(0，+∞)上单调递增， 又因为h'(0)=0， 所以当x∈(0，+∞)时，h'(x)>0， 所以h(x)在(0，+∞)上单调递增， 所以当x∈(0，+∞)时， h(x)>h(0)=0， 即ex--x-1>0， 即ex--1>x， 由此可得，当x∈(0，+∞)时，只需x≥bx即可，解得b≤1.故b的取值范围为(-∞，1]. 例2　(1)解　因为f'(x)=+ln(x+b)， 所以f'(1)=+ln(1+b)=ln 2， 由题意知f(1)=0， 所以f(1)=(1+a)ln(1+b)=0， 又因为b>0， 联立 解得 (2)证明　由(1)可知f(x)= (x-1)ln(x+1)， x>-1，f(0)=0，f(1)=0， f'(x)=1-+ln(x+1)， 设u(x)=f'(x)， 则u'(x)=+>0， 所以u(x)即f'(x)在(-1，+∞)上单调递增. 又f'(0)=-1<0，f'(1)=ln 2>0， 所以存在x0∈(0，1)， 使得f'(x0)=0， 且当x∈(-1，x0)时，f'(x)<0， 当x∈(x0，+∞)时，f'(x)>0， 故f(x)在(-1，x0)上单调递减，在(x0，+∞)上单调递增. 由(1)知f(x)的图象在点(1，0)处的切线方程为xln 2-y-ln 2=0， 令h(x)=(x-1)ln 2， F(x)=f(x)-h(x) =(x-1)ln(x+1)-(x-1)ln 2， 则F'(x)=f'(x)-h'(x) =f'(x)-ln 2， 因为f'(x)在(-1，+∞)上单调递增，所以F'(x)在(-1，+∞)上单调递增. 又F'(1)=0，所以当-1<x<1时，F'(x)<0，当x>1时，F'(x)>0. 所以F(x)在(-1，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增. 故F(x)≥F(1)=0， 即(x-1)ln(x+1)≥(x-1)ln 2，当且仅当x=1时等号成立. 因为方程f(x)=有两个实数根x1，x2，且x1<x2， 也就是f(x2)=f(x1)=>f(1)=f(0)=0，且注意到f(x)在(1，+∞)上单调递增， 所以-1<x1<0<x0<1<x2， 所以(x2-1)ln(x2+1)>(x2-1)ln 2， 即f(x2)>h(x2). 设方程h(x)=的根为x2'， 则 x2'=1+， 又h(x)在(-1，+∞)上单调递增，所以h(x2')=f(x2)>h(x2)， 故x2'>x2. ① 易知f(x)的图象在坐标原点处的切线方程为y=-x，令g(x)=-x， T(x)=f(x)-g(x) =(x-1)ln(x+1)+x， 则T'(x)=f'(x)-g'(x) =f'(x)+1， 因为f'(x)在(-1，+∞)上单调递增，所以T'(x)在(-1，+∞)上单调递增.又 T'(0)=0， 所以当-1<x<0时，T'(x)<0， 当x>0时，T'(x)>0， 所以T(x)在(-1，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增. 所以T(x)≥T(0)=0，(x-1)ln(x+1)≥-x，当且仅当x=0时等号成立. 因为-1<x1<0， 所以(x1-1)ln(x1+1)>-x1， 即f(x1)>g(x1). 设方程g(x)=的根为x1'， 则x1'=-， 又g(x)在(-1，+∞)上单调递减， 所以g(x1')=f(x1)>g(x1)， 所以x1'<x1，从而-x1'>-x1. ② 由①②可知x2-x1<x2'-x1' =1++. 跟踪演练2　证明　(1)f(x)=x-xln x-1的定义域为(0，+∞)， ∵f'(x)=1-(ln x+1)=-ln x， ∴f'=1， f=+-1=-1， ∴f(x)在x=处的切线方程为 y-=x-， 则g(x)=x+-1. 令F(x)=g(x)-f(x)=x+-1-(x-xln x-1)=+xln x，x∈(0，+∞)， 则F'(x)=1+ln x， 令F'(x)=0，解得x=， ∴当0<x<时，F'(x)<0， F(x)在上单调递减， 当x>时，F'(x)>0， F(x)在上单调递增， ∴F(x)min=F=0， ∴F(x)≥0在(0，+∞)上恒成立，即g(x)≥f(x). (2)由(1)知f'(x)=-ln x， 令f'(x)=0，得x=1， ∴当0<x<1时，f'(x)>0，f(x)在(0，1)上单调递增， 当x>1时，f'(x)<0， f(x)在(1，+∞)上单调递减， ∴f(x)max=f(1)=0， 当x→0时，f(x)→-1；当x>e时，f(x)<f(e)=-1， ∵方程f(x)=m有两个不相等的实根x1，x2(x1<x2)，∴-1<m<0，且0<x1<1<x2<e， ∵f'(e)=-1，f(e)=-1， ∴函数f(x)在x=e处的切线方程为y-(-1)=-(x-e)， 即y=-x+e-1. 下证f(x)≤-x+e-1， 令h(x)=-x+e-1-f(x)=-x+e-1-(x-xln x-1)=-2x+xln x+e，x∈(0，+∞)， 则h'(x)=-2+ln x+1=-1+ln x，令h'(x)=0，解得x=e， ∴当0<x<e时，h'(x)<0， h(x)在(0，e)上单调递减， 当x>e时，h'(x)>0，h(x)在(e，+∞)上单调递增， ∴h(x)min=h(e)=0， ∴h(x)≥0在(0，+∞)上恒成立，即f(x)≤-x+e-1， 当且仅当x=e时等号成立. ∵1<x2<e， ∴m=f(x2)<-x2+e-1， 即-x2>m-e+1， 由(1)知，f(x)≤g(x)=x+-1， ∵0<x1<1， ∴m=f(x1)≤x1+-1， 即x1≥m-+1， ∴x1-x2>2m+2-e-. 学科网（北京）股份有限公司 $$