精品解析：山东省烟台市蓬莱区2024-2025学年九年级上学期期末学业水平检测数学试卷

蓬莱区2024—2025学年度第一学期期末学业水平检测初四数学试题 （时间：120分钟） 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的． 1. 下列现象中，属于中心投影的是（　　） A. 白天旗杆的影子 B. 阳光下广告牌的影子 C. 舞台上演员的影子 D. 中午小明跑步的影子 2. 某商场有一自动扶梯，扶梯相关数据如图所示，则下列关系或说法不正确的是（ ）． A. 扶梯的坡角是 B. 扶梯的坡度是 C. 用计算器求的长，按键为 D. 3. 榫卯（sǔn mǎo）是中国古代建筑，家具及其他器械的主要结构方式，不用钉子就可以加固物件，体现了中国古代的文化智慧，其中突出部分叫做榫，凹进部分叫卯．如图所示的“榫”和“卯”中，“卯”的左视图是（ ） A. B. C. D. 4. 中国体育代表团在巴黎奥运会上取得了优异的成绩，图1是2024年巴黎奥运会的一枚金牌，金牌正中间镶嵌了一块来自埃菲尔铁塔的正六边形铁块．这个正六边形铁块的示意图如图2所示，已知该正六边形的周长约为，则的长约为（ ） A. B. C. D. 5. 已知是关于的一元二次方程的一个根，点、均在反比例函数的图象上，则关于、的大小关系描述正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 有下列五个命题：①等弧所对的圆心角相等；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各边的距离都相等；④同圆或等圆中，等弦所对的弧相等；⑤直径平分弦，则垂直于弦．其中正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 7. 将一小球放在长方体盒子中，小球的一部分露在盒外，其截面如图所示，已知，，则此小球的直径是（ ） A. 4 B. 5 C. 8 D. 10 8. 如图，直角三角板叠放在量角器上，均落在量角器的外圆弧上，点在量角器上的读数为与圆弧交于点，已知，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 已知反比例函数在第一象限内的图象与一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点O为坐标原点，边在x 轴正半轴上，反比例画数的图象经过点A，交菱形对角线 于点D，轴于点E，若，则长为（ ） A. 1 B. C. D. 二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 从五个点、、、、中任取一点，在双曲线上的概率是______． 12. 已知将抛物线沿轴向左或向右平移后经过点，则平移后抛物线的解析式是__________． 13. 如图，太阳光线与地面成的角，照射在地面上的一只皮球上，皮球在地面上的投影长是，则皮球的半径是______． 14. 如图，在矩形中，是边上两点，且，连接与相交于点，连接．若，，则的值为______． 15. 有一直径为4的圆形铁皮，要从中剪出一个最大圆心角为的扇形，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径______． 16. 如图，已知二次函数的对称轴为直线，顶点的纵坐标为，有下列说法：①；②时，的值随值的增大而减小；③；④若关于的一元二次方程有实数根，则．其中正确的有______．（填序号） 三、解答题（本大题共9个题．满分72分，解答题要写出必要的计算步骤或文字说明或说理过程） 17. 已知是锐角，且． 求的值． 18. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，请用无刻度的直尺在给定网格中按要求作图．（不写作法，保留作图痕迹） （1）在图1中，的三个顶点均在格点上，请画出的外心． （2）在图2中，的三个顶点均在格点上，请画出的内心I． 19. 圆周率是无限不循环小数．历史上，祖冲之、刘徽、韦达、欧拉等数学家都对有过深入的研究．有学者发现，随着小数部分位数的增加，这10个数字出现的频率趋于稳定，接近相同． （1）从的小数部分随机取出一个数字，估计这个数字是3的正整数倍的概率为______； （2）某校进行校园文化建设，拟从以上4位科学家的画像中随机选用2幅，求其中有一幅是祖冲之的概率．（用画树状图或列表方法求解） 20. 已知：如图，及外一点．求作：直线，使与相切于点． 李华同学经过探索，想出了两种作法．具体如下（已知点B是直线上方一点）： 作法一（如图1） 作法二（如图2） ①连接，作线段的垂直平分线，交于点；②以点为圆心，以的长为半径作，交于点；③作直线，则直线是的切线． ①连接，交于点，过点作的垂线；②以点为圆心，以的长为半径作弧，交直线于点；③连接，交于点；④作直线，则直线是的切线． 证明：如图1，连接， 为直径， ．（______） ， 是的半径， 直线是的切线． 证明：… 请仔细阅读，并完成相应的任务． （1）“作法一”中的“依据”是指； （2）请写出“作法二”的证明过程． 21. 随着时代的发展，手机“直播带货”已经成为当前最为强劲的购物新潮流．某种手机支架如图所示，立杆垂直于地面，其高为，为支杆，它可绕点旋转，其中长为，为悬杆，滑动悬杆可调节的长度．（参考数据：，，) （1）如图，当、、三点共线，时，且支杆与立杆之间的夹角为，求端点距离地面的高度； （2）调节支杆，悬杆，使得，，如图所示，且点到地面的距离为，求的长．结果精确到） 22. 某公司成功研制出电子产品后投入生产并进行销售．已知生产这种电子产品的成本为10元/件，公司规定该种电子产品每件的销售价格不低于23元，不高于29元．在销售过程中发现：销售量（万件）与销售价格（元/件）的关系如表，投入成本（万元）与销售量（万件）的关系为二次函数，其图象如图，其中点是图象的顶点． （元/件） 23 23.5 25 27 29 （万件） 7 6.5 5 3 1 （1）求投入成本与销售量之间的函数解析式； （2）应如何定价才能使得销售这种电子产品的利润达到最大？最大利润为多少？ 23. 如图1，在四边形中，，，探究线段，，之间的数量关系．小明同学思路如下：将绕点D逆时针旋转到处，B，C两点分别落在A，E两点处，易证C，A，E三点在同一条直线上，并且是等腰直角三角形，所以，从而得到结论： ． （1）在图1中，若，，则 ； （2）在图2中，是的直径，点C是上一点（不与A、B重合），连接，，的角平分线交于点D，求证： ； （3）在图2中，若，，求的长． 24. 如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点B的坐标是，． （1）求该抛物线的解析式； （2）点P是直线下方抛物线上一动点，过点P作轴交直线于点Q，求的最大值及此时P点的坐标； （3）点D是y轴上一动点，若以D、C、B为顶点的三角形与相似，求出符合条件的点D的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 蓬莱区2024—2025学年度第一学期期末学业水平检测初四数学试题 （时间：120分钟） 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的． 1. 下列现象中，属于中心投影的是（　　） A. 白天旗杆的影子 B. 阳光下广告牌的影子 C. 舞台上演员的影子 D. 中午小明跑步的影子 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行投影和中心投影的定义对各选项进行判断． 【详解】解：A、白天旗杆的影子为平行投影，所以A选项不合题意； B、阳光下广告牌的影子为平行投影，所以B选项不合题意； C、舞台上演员的影子为中心投影，所以C选项符合题意； D、中午小明跑步的影子为平行投影，所以D选项不合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影．如物体在灯光的照射下形成的影子就是中心投影．也考查了平行投影． 2. 某商场有一自动扶梯，扶梯相关数据如图所示，则下列关系或说法不正确的是（ ）． A. 扶梯的坡角是 B. 扶梯的坡度是 C. 用计算器求的长，按键为 D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了坡度、坡角、解直角三角形的相关计算等知识，根据相关知识进行逐项判断即可． 【详解】A、 扶梯的坡角是，故选项正确，不符合题意； B、扶梯的坡度是，故选项正确，不符合题意； C、 用计算器求的长，按键为，故选项正确，不符合题意； D、 ，故选项错误，符合题意； 故选：D 3. 榫卯（sǔn mǎo）是中国古代建筑，家具及其他器械的主要结构方式，不用钉子就可以加固物件，体现了中国古代的文化智慧，其中突出部分叫做榫，凹进部分叫卯．如图所示的“榫”和“卯”中，“卯”的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案． 【详解】解：从左边看，是一个矩形，矩形的中间有一个边为虚线的矩形， ∴选项C符合题意， 故选：C． 4. 中国体育代表团在巴黎奥运会上取得了优异的成绩，图1是2024年巴黎奥运会的一枚金牌，金牌正中间镶嵌了一块来自埃菲尔铁塔的正六边形铁块．这个正六边形铁块的示意图如图2所示，已知该正六边形的周长约为，则的长约为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆的性质和等边三角形的判定与性质，正确把握正六边形的中心角、半径与边长的关系是解题的关键． 连接与交于点，证明为等边三角形，从而，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接与交于点， ∵为正六边形， ， ∴为等边三角形， ， ∵正六边形的周长约为， ， ， 故选：A． 5. 已知是关于的一元二次方程的一个根，点、均在反比例函数的图象上，则关于、的大小关系描述正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，反比例函数的性质；先根据题意得出的值，进而根据反比例函数的性质，即可求解． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个根， ∴ 解得： ∴反比例数解析式为 ∵点、均在反比例函数的图象上， ∴ ∴， ∴， 故选：D． 6. 有下列五个命题：①等弧所对的圆心角相等；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各边的距离都相等；④同圆或等圆中，等弦所对的弧相等；⑤直径平分弦，则垂直于弦．其中正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了命题，垂径定理，三角形内心的性质，圆心角、弧、弦的关系等知识．熟练掌握了命题，垂径定理，三角形内心的性质，圆心角、弧、弦的关系是解题的关键． 根据命题，垂径定理，三角形内心的性质，圆心角、弧、弦的关系进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，等弧所对的圆心角相等；①正确，故符合要求； 经过不在一条直线上三个点一定可以作圆；②错误，故不符合要求； 三角形的内心到三角形各边的距离都相等；③错误，故不符合要求； 同圆或等圆中，等弦所对的弧可能不唯一，故所对的弧不一定对应相等；④错误，故不符合要求； 直径平分不是直径的弦，则直径垂直于弦，⑤错误，故不符合要求； 故选：D． 7. 将一小球放在长方体盒子中，小球的一部分露在盒外，其截面如图所示，已知，，则此小球的直径是（ ） A. 4 B. 5 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的运用，掌握垂径定理是解题的关键． 设小球与切于点，取小球所在视图的圆的圆心为，连接并延长交于点，交于点，连接，则，根据垂径定理得到，，在中由勾股定理列式，求解即可． 【详解】解：设小球与切于点，取小球所在视图的圆的圆心为，连接并延长交于点，交于点，连接，则， ∴，， 在中，， ∴， 解得，， ∴， 故选：B ． 8. 如图，直角三角板叠放在量角器上，均落在量角器的外圆弧上，点在量角器上的读数为与圆弧交于点，已知，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，与相交于点H，由等腰三角形性质得到,由圆周角定理得出,再由,得出,从而求出,最后由弧长公式可得结果． 【详解】解：连接，与相交于点H， , , , , , , , , , , , , 故选：B 【点睛】本题考查了弧长公式，圆周角定理，等腰三角形的性质，解直角三角形及平行线的性质，解决本题的关键是熟练掌握弧长公式及圆周角定理． 9. 已知反比例函数在第一象限内的图象与一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，则，，将点，代入，得出，代入二次函数，可得当时，，则，得出对称轴为直线，抛物线对称轴在轴的右侧，且过定点，进而即可求解． 【详解】解：如图所示， 设，则，根据图象可得， 将点代入， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 对称轴为直线， 当时，， ∴抛物线经过点， ∴抛物线对称轴在的右侧，且过定点， 当时，， 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，二次函数图象的性质，得出是解题的关键． 10. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点O为坐标原点，边在x 轴正半轴上，反比例画数的图象经过点A，交菱形对角线 于点D，轴于点E，若，则长为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象上的点的特征、菱形的性质等知识，作于，分别求出、即可求解．解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题． 【详解】解：作于． 设， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，则， ∴，， ∴， ∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，设，则， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 从五个点、、、、中任取一点，在双曲线上的概率是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查概率公式的知识，解答本题关键是掌握概率=所求情况数与总情况数之比，首先找出在双曲线上点的个数，然后根据概率公式求出答案． 【详解】解：∵五个点、、、、中，在双曲线上的点有，一共2个， ∴五点任取一点，在双曲线上的概率是， 故答案为：． 12. 已知将抛物线沿轴向左或向右平移后经过点，则平移后抛物线的解析式是__________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了抛物线图象的性质，平移的性质，设沿轴向左平移个单位，列出平移后的抛物线解析式，再根据经过点，将其代入即可得出的值，再将代入即可得出答案． 【详解】解：设沿轴向左平移个单位后，抛物线经过点， ∵， ∴平移后的抛物线解析式为， ∴， 解得：或， ∴平移后的抛物线解析式为或， 故答案为：或． 13. 如图，太阳光线与地面成的角，照射在地面上的一只皮球上，皮球在地面上的投影长是，则皮球的半径是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线的性质，矩形的判定和性质，解直角三角形的运用，掌握解直角三角形的计算方法是解题的关键． 如图所示，为皮球视图中圆的直径，根据切线的性质得到四边形是矩形，，，则，在中，由，即可求解． 【详解】解：如图所示，为皮球视图中圆的直径，过点作， ∵点是切点， ∴，，， ∴四边形是矩形，则， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴皮球的半径是， 故答案为： ． 14. 如图，在矩形中，是边上两点，且，连接与相交于点，连接．若，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，求角的余弦值，掌握相似三角形的判定和性质，三角函数的计算方法是解题的关键． 根据矩形的性质可证，得到，，如图所示，过点作于点，可证，，，，在中由勾股定理得到，再根据余弦的定义计算即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图所示，过点作于点， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴，且， ∴在中，， ∴， 故答案为： ． 15. 有一直径为4的圆形铁皮，要从中剪出一个最大圆心角为的扇形，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆、扇形、圆锥、锐角三角函数等知识，熟练掌握圆的性质、扇形的性质、圆周角定理、锐角三角函数、弧长公式是解题的关键．连接，延长交于点，连接、，根据扇形性质，得，根据在同圆或等圆中，若两条弦相等，则它们所对的弧相等，可得，结合圆周角定理，得，进而得到，通过三角函数计算，求得，根据弧长公式，计算得，由此即可得解． 【详解】解：如图，连接，延长交于点，连接、， 扇形 ， ， ， 为直径， ， ， ， 由题意得：，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 16. 如图，已知二次函数的对称轴为直线，顶点的纵坐标为，有下列说法：①；②时，的值随值的增大而减小；③；④若关于的一元二次方程有实数根，则．其中正确的有______．（填序号） 【答案】①③## 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．由抛物线的位置可判断①，根据抛物线的性质，从而判断②，③，由抛物线与直线交点个数判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向上，与轴交于负半轴， ∴，， ∵对称轴在轴的左边， ∴， ∴，故①正确． 由图象得：当时，随的增大而增大，故②是错误的； ∵抛物线对称轴为直线， ∴， 由图象得，当时，，故③是正确的； ∵若关于的一元二次方程有实数根， ∴关于的一元二次方程有实数根， ∴，故④是错误的， 故答案为：①③． 三、解答题（本大题共9个题．满分72分，解答题要写出必要的计算步骤或文字说明或说理过程） 17. 已知是锐角，且． 求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数和实数的混合运算，熟知特殊角的三角函数值是解题的关键； 先根据是锐角和得出，再代入所求式子结合特殊角的三角函数值求解即可． 【详解】解：∵是锐角，且， ∴， ∴ ． 18. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，请用无刻度的直尺在给定网格中按要求作图．（不写作法，保留作图痕迹） （1）在图1中，的三个顶点均在格点上，请画出的外心． （2）在图2中，的三个顶点均在格点上，请画出的内心I． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查三角形外心，内心的定义，涉及垂直平分线的性质，角平分线的性质，圆周角定理，熟练掌握相关性质作图即可求解； （1）根据垂直平分线的性质，，的垂直平分线交点即是点，即为的外心； （2）根据角平分线的性质，找到的中点为点，的中点为点，连接，即为的角平分线，交于点I，即为的内心． 【小问1详解】 解：根据题意，点O为所求，作图如下： 【小问2详解】 解：根据题意，点I为所求，作图如下： 19. 圆周率是无限不循环小数．历史上，祖冲之、刘徽、韦达、欧拉等数学家都对有过深入的研究．有学者发现，随着小数部分位数的增加，这10个数字出现的频率趋于稳定，接近相同． （1）从的小数部分随机取出一个数字，估计这个数字是3的正整数倍的概率为______； （2）某校进行校园文化建设，拟从以上4位科学家的画像中随机选用2幅，求其中有一幅是祖冲之的概率．（用画树状图或列表方法求解） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，画树状图或列表法计算概率，熟练掌握概率计算公式，准确画出树状图或列表是解题的关键． （1）这个事件中有10种等可能性，其中是3，6，9都是3的倍数，根据概率公式计算即可； （2）画出树状图计算即可． 【小问1详解】 解：∵这个事件中有10种等可能性，其中3，6，9都是3的倍数， ∴这个数字（不等于0）是3的倍数的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：树状图如图所示： 由树状图可知：共有12种等可能的结果， 从以上4位科学家的画像中随机选用2幅，其中有一幅是祖冲之的画像有6种情况， ∴． 20. 已知：如图，及外一点．求作：直线，使与相切于点． 李华同学经过探索，想出了两种作法．具体如下（已知点B是直线上方一点）： 作法一（如图1） 作法二（如图2） ①连接，作线段的垂直平分线，交于点；②以点为圆心，以的长为半径作，交于点；③作直线，则直线是的切线． ①连接，交于点，过点作的垂线；②以点为圆心，以的长为半径作弧，交直线于点；③连接，交于点；④作直线，则直线是的切线． 证明：如图1，连接， 为直径， ．（______） ， 是的半径， 直线是的切线． 证明：… 请仔细阅读，并完成相应的任务． （1）“作法一”中的“依据”是指； （2）请写出“作法二”的证明过程． 【答案】（1）直径所对的圆周角是直角 （2） 证明：由作法可得，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴直线是的切线． 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理可得答案； （2）由作法可得，，，证明，得，根据切线的判定方法即可求证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了作图-作垂线、作垂直平分线，圆周角定理，切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 21. 随着时代的发展，手机“直播带货”已经成为当前最为强劲的购物新潮流．某种手机支架如图所示，立杆垂直于地面，其高为，为支杆，它可绕点旋转，其中长为，为悬杆，滑动悬杆可调节的长度．（参考数据：，，) （1）如图，当、、三点共线，时，且支杆与立杆之间的夹角为，求端点距离地面的高度； （2）调节支杆，悬杆，使得，，如图所示，且点到地面的距离为，求的长．结果精确到） 【答案】（1）端点距离地面的高度约为； （2）的长约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点作，垂足为，根据已知易得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答； （2）过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为，延长交于点，根据题意得，，，从而可得，进而可得，然后在中，利用含度角的直角三角形的性质可得，从而可得，进而可得，最后利用平角定义可得，从而在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答． 【小问1详解】 解：过点作，垂足为， ， ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 端点距离地面的高度约为； 【小问2详解】 解：过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为，延长交于点， 由题意得：，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， 答：的长约为． 22. 某公司成功研制出电子产品后投入生产并进行销售．已知生产这种电子产品的成本为10元/件，公司规定该种电子产品每件的销售价格不低于23元，不高于29元．在销售过程中发现：销售量（万件）与销售价格（元/件）的关系如表，投入成本（万元）与销售量（万件）的关系为二次函数，其图象如图，其中点是图象的顶点． （元/件） 23 23.5 25 27 29 （万件） 7 6.5 5 3 1 （1）求投入成本与销售量之间的函数解析式； （2）应如何定价才能使得销售这种电子产品的利润达到最大？最大利润为多少？ 【答案】（1） （2）定价为23元时，利润最大，最大利润是155万元 【解析】 【分析】本题考查一次函数，二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． （1）设投入成本与销售量之间的函数解析式为，将代入可求得函数关系式； （2）先用待定系数法求出销售量（万件）与销售价格（元/件）的函数关系式为，设销售这种电子产品的利润为元，根据题意得： ，再求出，最后根据二次函数性质可得答案． 【小问1详解】 解：点是图象的顶点， 设投入成本与销售量之间的函数解析式为， 将代入得：， 解得：， 投入成本与销售量之间的函数解析式为； 【小问2详解】 解：根据表格中的数据可以得出销售量（万件）与销售价格（元/件）是一次函数关系， 设销售量（万件）与销售价格（元/件）的函数关系式为， ，解得：， 销售量（万件）与销售价格（元/件）的函数关系式为， 设销售这种电子产品的利润为元，根据题意得： ； ，且， 当时，取最大值为， 定价为23元时，利润最大，最大利润是155万元． 23. 如图1，在四边形中，，，探究线段，，之间的数量关系．小明同学思路如下：将绕点D逆时针旋转到处，B，C两点分别落在A，E两点处，易证C，A，E三点在同一条直线上，并且是等腰直角三角形，所以，从而得到结论： ． （1）在图1中，若，，则 ； （2）在图2中，是的直径，点C是上一点（不与A、B重合），连接，，的角平分线交于点D，求证： ； （3）在图2中，若，，求的长． 【答案】（1） （2）证明：是的直径， ， 平分， ， ， 如图，将绕点D逆时针旋转到处，A，C两点分别落在B，F两点处， ，，，， ， ， ， ∴点C，B，F三点在同一条直线上， 是等腰直角三角形， ∴， ， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）先证明，代入即可求解； （2）先证明，将绕点D逆时针旋转到处，A，C两点分别落在B，F两点处，然后证明点C，B，F三点在同一条直线上，从而可得是等腰直角三角形，根据勾股定理和线段和差即可求解； （3）先由勾股定理求出的长，然后代入（2）中结论即可求解． 【小问1详解】 解：将绕点D逆时针旋转到处，B，C两点分别落在A，E两点处， ，，，， ， ， ， ∴点C，A，E三点在同一条直线上， 是等腰直角三角形， ∴， ， ∴， ，， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（2）得：，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，弦和弧的关系，勾股定理，旋转的性质，圆内接四边形的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 24. 如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点B的坐标是，． （1）求该抛物线的解析式； （2）点P是直线下方抛物线上一动点，过点P作轴交直线于点Q，求的最大值及此时P点的坐标； （3）点D是y轴上一动点，若以D、C、B为顶点的三角形与相似，求出符合条件的点D的坐标． 【答案】（1） （2）的最大值为，此时点P的坐标为 （3）点D的坐标为或 【解析】 【分析】（1）由抛物线解析式可求得点C的坐标，从而由可求得点A的坐标，再用待定系数法即可求得抛物线的解析式； （2）过点Q作轴于点H，易得为等腰直角三角形，则，因而有；求出直线的解析式为，设点P的坐标为，求得，则得关于m的二次函数，利用二次函数的知识即可求解； （3）设点D的坐标为，由题意得，，；分两种情况讨论：①当时，②当时；利用相似三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线与y轴交于点C， 令，得， ∴点C的坐标为， ∴， ∵， ∴， 即点A的坐标为， ∵点， ∴， 解得：， ∴抛物线的函数表达式是； 【小问2详解】 解：过点Q作轴于点H，如图1所示： ∵点B的坐标为，点C的坐标为， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 设点P的坐标为， ∵轴， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴， ∴ ， ∴当时，有最大值，且最大值为， ∴的最大值为，此时点P的坐标为： 【小问3详解】 解：如图2，     设点D的坐标为， ∵， ∴为的锐角三角形，所以也是锐角三角形， ∴点D在点C的上方， ∴， ∴， ∵，，， ①当时， ∴，即， 解得：， 即点， ②当时， ∴，即， 解得：， 即点， 综上所述：符合条件的点D的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数与几何的综合，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数的最值，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，注意分类讨论，灵活运用这些知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $